Gr´afok ´es algoritmusok

Gr´ afok ´ es algoritmusok

3. el˝oad´as, stabil p´aros´ıt´asok strukt´ur´aja ´es alkalmaz´asai

2022. m´arcius 1.

Hol tartunk?

I Cs´ucspreferenci´ak, (b-)domin´al´as, stabil (b-)p´aros´ıt´as, (b-)blokkol´as

I Elt¨´ orl´esi lemma

I P´aros gr´afban mindig van stabil (b-)p´aros´ıt´as, l´anyk´er˝o algoritmus fi´u/l´any-optimalit´as

I Preferenciak¨or¨ok, rural hospitals t´etel, stabil p´aros´ıt´asok h´al´otulajdons´aga

Hol tartunk?

I Cs´ucspreferenci´ak, (b-)domin´al´as, stabil (b-)p´aros´ıt´as, (b-)blokkol´as

I Elt¨´ orl´esi lemma

I P´aros gr´afban mindig van stabil (b-)p´aros´ıt´as, l´anyk´er˝o algoritmus fi´u/l´any-optimalit´as

I Preferenciak¨or¨ok, rural hospitals t´etel, stabil p´aros´ıt´asok h´al´otulajdons´aga

Hol tartunk?

I Cs´ucspreferenci´ak, (b-)domin´al´as, stabil (b-)p´aros´ıt´as, (b-)blokkol´as

I Elt¨´ orl´esi lemma

I P´aros gr´afban mindig van stabil (b-)p´aros´ıt´as, l´anyk´er˝o algoritmus fi´u/l´any-optimalit´as

I Preferenciak¨or¨ok, rural hospitals t´etel, stabil p´aros´ıt´asok h´al´otulajdons´aga

Hol tartunk?

I Cs´ucspreferenci´ak, (b-)domin´al´as, stabil (b-)p´aros´ıt´as, (b-)blokkol´as

I Elt¨´ orl´esi lemma

I P´aros gr´afban mindig van stabil (b-)p´aros´ıt´as, l´anyk´er˝o algoritmus fi´u/l´any-optimalit´as

I Preferenciak¨or¨ok, rural hospitals t´etel, stabil p´aros´ıt´asok h´al´otulajdons´aga

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

L´attuk, hogy ha k´et stabil p´aros´ıt´asb´ol a fi´uk a jobb p´art

v´alasztj´ak, akkor olyan stabil p´aros´ıt´as ad´odik, amiben a l´anyok a rosszabbat p´arjukat kapj´ak. Gyakorlaton szerepelt(?), hogy ha h´arom stabil p´aros´ıt´as eset´en mindenki a preferenci´aja szerint k¨oz´eps˝o p´art v´alasztja, szint´en stabil p´aros´ıt´ast kapunk.

Van-e vajon e m¨og¨ott vmi ´altal´anosabb igazs´ag?

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja. Biz: LegyenM1(v), . . . ,M<sub>k</sub>(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M<sub>1</sub>(v)-ben kapja v a legjobb, M<sub>k</sub>(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1M_i(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja. Biz: LegyenM1(v), . . . ,M<sub>k</sub>(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M<sub>1</sub>(v)-ben kapja v a legjobb, M<sub>k</sub>(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1M_i(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: Val´oban: M(1) =M1∨M2∨. . .∨M_k =:Wk i=1M_i.

T´etel: Ha minden fi´u azM₁,M₂, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja. Biz: LegyenM<sub>1</sub>(v), . . . ,M<sub>k</sub>(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M<sub>1</sub>(v)-ben kapja v a legjobb, M<sub>k</sub>(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: Val´oban: M(1) =M1∨M2∨. . .∨M_k =:Wk i=1M_i.

Megj: Ha pl. M₁,M₂, . . . ,M_k aG ¨osszes stabil p´aros´ıt´asa, akkor Wk

i=1Mi ´epp a fi´u-optim´alis stabil p´aros´ıt´as.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja. Biz: LegyenM1(v), . . . ,M<sub>k</sub>(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M<sub>1</sub>(v)-ben kapja v a legjobb, M<sub>k</sub>(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1M_i(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, M_k(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1M_i(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, M_k(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1M_i(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Megj:

(1) Az`-dik legjobb p´ar v´alaszt´asakor multiplicit´assal sz´amolunk.

Pl. k = 8 eset´en haf p´arjai (cs¨okken˝o preferencia szerint) a,a,b,b,b,c,d,d, akkorf 4-dik ´es 5-dik legjobb p´arja is b.

(2) A fenti t´etel stabil b-p´aros´ıt´asokra is ´altal´anos´ıthat´o.

Biz: LegyenM₁(v), . . . ,M_k(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M1(v)-ben kapja v a legjobb, M_k(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1M_i(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadott k p´aros´ıt´as av fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, Mk(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asbanv az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadottk p´aros´ıt´as a v fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, Mk(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asban v az`-dik legjobb p´arj´at kapja

, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadottk p´aros´ıt´as a v fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, Mk(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asban v az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket.

Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´upontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadottk p´aros´ıt´as a v fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, Mk(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asban v az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´u pontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja.

Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i). Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadottk p´aros´ıt´as a v fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, Mk(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asban v az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´u pontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i).

Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Stabil p´ aros´ıt´ asok medi´ anja

Megf: Ha M1,M2, . . . ,Mk stabil p´aros´ıt´asok a fi´u ´es l´any sz´ınoszt´alyokkal rendelkez˝o G p´aros gr´afban, ´es minden fi´u a legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(1) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, amiben minden l´any a legrosszabb p´arj´at kapja.

T´etel: Ha minden fi´u azM1,M2, . . . ,M_k stabil p´aros´ıt´asok szerinti

`-dik legjobb p´arj´at v´alasztja, akkor olyan M(`) stabil p´aros´ıt´ast kapunk, ahol minden l´any az `-dik legrosszabb p´arj´at kapja.

Biz: LegyenM1(v), . . . ,M_k(v) a megadottk p´aros´ıt´as a v fi´u preferenci´aja szerinti felsorol´asa: M₁(v)-ben kapja v a legjobb, Mk(v)-ben pedig a legrosszabb p´art. Az M(v, `) :=V`

i=1Mi(v) stabil p´aros´ıt´asban v az`-dik legjobb p´arj´at kapja, minden m´as fi´u alegal´abb `-diket. Ez´ertM(`) :=W

∀vM(v, `) olyan stabil p´aros´ıt´as, amiben minden fi´u pontosan az`-dik legjobb p´arj´at kapja. Ha i <j, akkor minden fi´u M(i)-t prefer´alja M(j)-vel szemben, ez´ert minden l´any sz´am´ara M(j) jobb, mintM(i).

Teh´atM(`) minden l´anyhoz az`-dik legrosszabb p´arj´at rendeli.

Utak linking tulajdons´ aga

Gale ´es Shapley t´etel´enek egy v´aratlan alkalmaz´asa

Pym linking t´etele: Tfh P ´esQa D ir´any´ıtott gr´af pk´ent pontdiszjunkt piros ill. z¨old utakat tartalmaz´o halmazai. Ekkor tal´alhat´o D-ben pk´ent pontdiszjunkt lila utak egyRhalmaza az al´abbi tulajdons´agokkal.

(1) Minden lila ´ut egy piros ´ut (esetleg ¨ures) kezdet´eb˝ol ´es egy z¨old

´

ut (esetleg ¨ures) v´eg´eb˝ol ´all.

(2) Minden piros kezd˝opontb´ol indul lila ´ut.

(3) Minden z¨old v´egpontba ´erkezik lila ´ut.

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk. Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak. D seg´edgr´afcs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok. Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o. A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Utak linking tulajdons´ aga

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk. Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak. D seg´edgr´afcs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok. Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o. A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Utak linking tulajdons´ aga

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk.

Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak.

D seg´edgr´afcs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok. Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o. A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Utak linking tulajdons´ aga

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk.

Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak.

D seg´edgr´afcs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok. Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o. A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Utak linking tulajdons´ aga

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk.

Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak.

D seg´edgr´af cs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok.

Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o. A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Utak linking tulajdons´ aga

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk.

Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak.

D seg´edgr´af cs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok.

Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o.

A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Utak linking tulajdons´ aga

Biz: A piros-z¨old v´alt´opontokat keress¨uk.

Minden piros/z¨old ´uton≤1 v´alt´opont lehet.

Lila utak: a vp-k meghat´arozta utak + vp-mentes p/z utak.

D seg´edgr´af cs´ucsai a p & z utak, ´elei a p-z ´ut-metsz´espontok.

Piros ´ut preferenci´aja a v´egpont fel´e cs¨okken, a z¨old´e n˝o.

A v´alt´opontokD-ben p´aros´ıt´asnak felelnek meg. Ha k´et lila ´ut metszeti egym´ast, a metsz´espont a blokkolja a p´aros´ıt´ast. Ez´ert stabil p´aros´ıt´asnak megfelel˝o vp-halmazt keres¨unk. D p´aros gr´af, van stabil p´aros´ıt´asa, ´ıgy l´etezik a k´ıv´antR.

Alacsony domin´ alts´ ag´ u preferenci´ ak

Def: AdottG gr´af ´es_v preferenci´ak eset´en aze =uv ∈E(G) ´el domin´alts´agaϕ(e) :=|{f ∈E(G) :f ≺_u e vagyf ≺_v e}|aze-t domin´al´o ´elek sz´ama. A G gr´af k-domin´alt, ha ϕ(e)≤k teljes¨ul G mindene ´el´ere, ´esG k-domin´alhat´o, ha a cs´ucsaihoz

megadhat´ok olyan≺_v ´elpreferenci´ak, amivel G k-domin´alt.

Term´eszetes k´erd´es b´armelyG gr´afra, hogy mi az a legkisebbk, amireG k-domin´alhat´o.

Alacsony domin´ alts´ ag´ u preferenci´ ak

Def: AdottG gr´af ´es_v preferenci´ak eset´en aze =uv ∈E(G) ´el domin´alts´agaϕ(e) :=|{f ∈E(G) :f ≺_u e vagyf ≺_v e}|aze-t domin´al´o ´elek sz´ama. A G gr´af k-domin´alt, ha ϕ(e)≤k teljes¨ul G mindene ´el´ere, ´esG k-domin´alhat´o, ha a cs´ucsaihoz

megadhat´ok olyan≺_v ´elpreferenci´ak, amivel G k-domin´alt.

Term´eszetes k´erd´es b´armelyG gr´afra, hogy mi az a legkisebbk, amireG k-domin´alhat´o.

T´etel: Minden G = (A,B;E) ps gr´af (∆(G)−1)-domin´alhat´o.

Alacsony domin´ alts´ ag´ u preferenci´ ak

Def: AdottG gr´af ´es_v preferenci´ak eset´en aze =uv ∈E(G) ´el domin´alts´agaϕ(e) :=|{f ∈E(G) :f ≺_u e vagyf ≺_v e}|aze-t domin´al´o ´elek sz´ama. A G gr´af k-domin´alt, ha ϕ(e)≤k teljes¨ul G mindene ´el´ere, ´esG k-domin´alhat´o, ha a cs´ucsaihoz

megadhat´ok olyan≺_v ´elpreferenci´ak, amivel G k-domin´alt.

Term´eszetes k´erd´es b´armelyG gr´afra, hogy mi az a legkisebbk, amireG k-domin´alhat´o.

T´etel: Minden G = (A,B;E) ps gr´af (∆(G)−1)-domin´alhat´o.

Biz: K˝onig t´etele szerintG ´elei az 1,2, . . . ,∆(G) sz´ınekkel kisz´ınezet˝ok. Defini´alja az Asz´ınoszt´aly cs´ucsain a preferenci´at a sz´ınek nagys´ag szerinti, a B sz´ınoszt´aly cs´ucsain pedig a sz´ınek nagys´ag szerinti ford´ıtott sorrendje. (Azaze,f ∈E(v) eset´en e≺_v f hac(e)<c(f) ´esv ∈Avagy hac(e)>c(f) ´esv ∈B.) Ha aze =ab∈E(G) ´el sz´ınec(e) =i, akkor

ϕ(e)≤ |{f ∈E(a) :f ≺_a e}|+|{f ∈E(b) :f ≺_be}| ≤ (i−1) + (∆(G)−i) = ∆(G)−1⇒G (∆(G)−1)-dom.hat´o

Alacsony domin´ alts´ ag´ u preferenci´ ak

Def: AdottG gr´af ´es_v preferenci´ak eset´en aze =uv ∈E(G) ´el domin´alts´agaϕ(e) :=|{f ∈E(G) :f ≺_u e vagyf ≺_v e}|aze-t domin´al´o ´elek sz´ama. A G gr´af k-domin´alt, ha ϕ(e)≤k teljes¨ul G mindene ´el´ere, ´esG k-domin´alhat´o, ha a cs´ucsaihoz

megadhat´ok olyan≺_v ´elpreferenci´ak, amivel G k-domin´alt.

Term´eszetes k´erd´es b´armelyG gr´afra, hogy mi az a legkisebbk, amireG k-domin´alhat´o.

Alacsony domin´ alts´ ag´ u preferenci´ ak

Def: AdottG gr´af ´es_v preferenci´ak eset´en aze =uv ∈E(G) ´el domin´alts´agaϕ(e) :=|{f ∈E(G) :f ≺_u e vagyf ≺_v e}|aze-t domin´al´o ´elek sz´ama. A G gr´af k-domin´alt, ha ϕ(e)≤k teljes¨ul G mindene ´el´ere, ´esG k-domin´alhat´o, ha a cs´ucsaihoz

megadhat´ok olyan≺_v ´elpreferenci´ak, amivel G k-domin´alt.

Term´eszetes k´erd´es b´armelyG gr´afra, hogy mi az a legkisebbk, amireG k-domin´alhat´o.

T´etel: Ha G k-´elsz´ınezhet˝o, akkor G (k−1)-domin´alhat´o.

Alacsony domin´ alts´ ag´ u preferenci´ ak

Def: AdottG gr´af ´es_v preferenci´ak eset´en aze =uv ∈E(G) ´el domin´alts´agaϕ(e) :=|{f ∈E(G) :f ≺_u e vagyf ≺_v e}|aze-t domin´al´o ´elek sz´ama. A G gr´af k-domin´alt, ha ϕ(e)≤k teljes¨ul G mindene ´el´ere, ´esG k-domin´alhat´o, ha a cs´ucsaihoz

megadhat´ok olyan≺_v ´elpreferenci´ak, amivel G k-domin´alt.

Term´eszetes k´erd´es b´armelyG gr´afra, hogy mi az a legkisebbk, amireG k-domin´alhat´o.

T´etel: Ha G k-´elsz´ınezhet˝o, akkor G (k−1)-domin´alhat´o.

Biz: k szerinti inducki´o, ak ≤2 eset trivi´alis. Tfh G ´elei az 1,2, . . . ,k sz´ınekkel vannak sz´ınezve. Hagyjuk el a k ´esk−1 sz´ın˝u

´eleket. A kapottG⁰ gr´af (k−2)-´elsz´ınezhet˝o, ez´ert az indukci´o miatt (k−3)-domin´alhat´o. Az elhagyott ´elek utakat ´es k¨or¨oket alkotnak. Ir´any´ıtsuk mindegyiket. G⁰ preferenci´ait ´ugy eg´esz´ıtj¨uk ki, hogy minden cs´ucsb´ol a kil´ep˝o ´el a legjobb, a bel´ep˝o pedig a legrosszabb. Hae ∈E(G⁰), akkor ϕ_G(e)≤2 +ϕ_G⁰(e)≤k−1 ill.

hae ∈E(G)\E(G⁰), akkorϕ(e)≤∆(G)−1≤k−1. Teh´atG (k−1)-domin´alhat´o.

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e ∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehet G cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol. (M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.)

Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_{`</sub>(G) teljes¨ul. Dinitz-sejt´es: χ<sup>0</sup><sub>`}(Kn,n) =n

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e ∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehet G cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol. (M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.)

Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_{`</sub>(G) teljes¨ul. Dinitz-sejt´es: χ<sup>0</sup><sub>`}(Kn,n) =n

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehet G cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol. (M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.)

Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_{`</sub>(G) teljes¨ul. Dinitz-sejt´es: χ<sup>0</sup><sub>`}(Kn,n) =n

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehet G cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol. (M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.)

Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_{`</sub>(G) teljes¨ul. Dinitz-sejt´es: χ<sup>0</sup><sub>`}(Kn,n) =n

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehetG cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol.

(M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.)

Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_{`</sub>(G) teljes¨ul. Dinitz-sejt´es: χ<sup>0</sup><sub>`}(Kn,n) =n

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehetG cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol.

(M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.) Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_`(G) teljes¨ul.

Dinitz-sejt´es: χ⁰_`(Kn,n) =n

El-listasz´ınez´ ´ esek

Def: LegyenL(e)⊂Negy sz´ınlista a G gr´af minden e ´el´ehez. A G = (V,E) gr´afL-´elsz´ınezhet˝o, ha van olyanc :E →N

´elsz´ınez´ese, amire c(e)∈L(e) ∀e ∈E. AG gr´af

k-´el-listasz´ınezhet˝o, ha G L-´elsz´ınezhet˝o minden olyanL-re, amire|L(e)| ≥k ∀e ∈E. AG ´el-listasz´ınez´esi sz´amaχ⁰_`(G) =k, haG k-´el-listasz´ınezhet˝o, de nem (k−1)-´el-listasz´ınezhet˝o.

Megf: χ⁰(G)≤χ⁰_`(G) teljes¨ul minden G gr´afra.

Biz: Legyenk =χ⁰(G). HaL(e) ={1,2, . . . ,k−1} ∀e∈E, akkorG nemL-´elsz´ınezhet˝o, ez´ertχ⁰_`(G)≥k.

Megj: Az ´elkromatikus sz´amra k¨onny˝u fels˝o becsl´est adni (konkr´et

´elsz´ınez´es), az ´el-listasz´ınez´esire m´ar ez sem trivi´alis.

Megj: Tetsz. k-ra megadhat´o G p´aros gr´af ´esk m´eret˝u sz´ınlist´ak acs´ucsokhozamire nem lehetG cs´ucsait j´ol sz´ınezni a list´akb´ol.

(M´as sz´oval: χ(G) = 2 mellettχ_`(G) tetsz. nagy lehet.) Listasz´ınez´esi sejt´es (LCC):

Minden hurok´elmentes v´egesG gr´afra χ⁰(G) =χ⁰_`(G) teljes¨ul.

Dinitz-sejt´es: χ⁰_`(Kn,n) =n

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkor χ⁰_`(G) = ∆(G).

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Megj: K˝onig ´elsz´ınez´esi t´etele miattχ⁰_`(G) = ∆(G) =χ⁰(G).

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Biz: Mivel ∆(G)≤χ⁰(G)≤χ⁰_`(G), ez´ert el´eg azt igazolni, hogy

∆ m´eret˝u sz´ınlist´ak eset´en G garant´altan L-´elsz´ınezhet˝o. Tfh L(e)⊂N´es|L(e)| ≥∆(G) ∀e ∈E(G). LegyenE_i :=L⁻¹(i) az i-sz´ınezhet˝o ´elek halmaza. Egy M₀ ⊆E₀ p´aros´ıt´as ´eleit sz´ınezz¨uk 0-´as sz´ın˝ure, egy M1⊆E1−M0 p´aros´ıt´as ´eleit 1-es sz´ınre, s´ıt.

Ez´altal azonos sz´ınre sz´ınezett ´eleknek nem lesz k¨oz¨os cs´ucsa.

Teh´at az M_i p´aros´ıt´asok alkalmas v´alaszt´as´aval ,,csak” azt kell garant´alni, hogy minden ´el megkapja vmik sz´ınt a list´aj´ab´ol.

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Biz: Mivel ∆(G)≤χ⁰(G)≤χ⁰_`(G), ez´ert el´eg azt igazolni, hogy

∆ m´eret˝u sz´ınlist´ak eset´en G garant´altan L-´elsz´ınezhet˝o. Tfh L(e)⊂N´es|L(e)| ≥∆(G) ∀e ∈E(G). LegyenE_i :=L⁻¹(i) az i-sz´ınezhet˝o ´elek halmaza. Egy M₀ ⊆E₀ p´aros´ıt´as ´eleit sz´ınezz¨uk 0-´as sz´ın˝ure, egy M1⊆E1−M0 p´aros´ıt´as ´eleit 1-es sz´ınre, s´ıt.

Ez´altal azonos sz´ınre sz´ınezett ´eleknek nem lesz k¨oz¨os cs´ucsa.

Teh´at az M_i p´aros´ıt´asok alkalmas v´alaszt´as´aval ,,csak” azt kell garant´alni, hogy minden ´el megkapja vmik sz´ınt a list´aj´ab´ol.

R¨ogz. olyan preferenci´akat, amibenG (∆−1)-domin´alt, ´es mindeni-re legyenM_i az E_i −(M₀∪. . .∪Mi−1) ´elek alkotta gr´af egy stabil p´aros´ıt´asa. Ha egye ´el nem kapja meg a list´aj´aban szerepl˝o els˝o ∆−1 sz´ın valamelyik´et, akkor minden ilyen i sz´ınre M_i tartalmaze-t domin´al´o ´elt. Mivelϕ(e)≤∆−1, ez´ert a lista utols´o sz´ın´ehez tartoz´o Mj p´aros´ıt´as nem tudja domin´alni e-t, ´ıgy e∈Mj. Teh´atG csakugyan L-´elsz´ınezhet˝o.

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Galvin t´etel´enek ´altal´anos´ıt´asa: Tfh aG = (V,E) gr´af k-´elsz´ınezhet˝o ´es|L(e)| ≥k ∀e ∈E, valamint azi sz´ınre sz´ınezhet˝o ´elek L⁻¹(i) halmaza nem tartalmaz p´aratlan k¨ort semelyiki sz´ın eset´en sem. Ekkor G L-sz´ınezhet˝o.

Galvin t´ etele

Galvin igazolta Dinitz sejt´es´et, s˝ot, az LCC-t is p´aros gr´afokra.

Galvin t´etele: Ha G p´aros gr´af, akkorχ⁰_`(G) = ∆(G).

Galvin t´etel´enek ´altal´anos´ıt´asa: Tfh aG = (V,E) gr´af k-´elsz´ınezhet˝o ´es|L(e)| ≥k ∀e ∈E, valamint azi sz´ınre sz´ınezhet˝o ´elek L⁻¹(i) halmaza nem tartalmaz p´aratlan k¨ort semelyiki sz´ın eset´en sem. Ekkor G L-sz´ınezhet˝o.

Biz: L´enyeg´eben azonos a Galvin-t´etel im´enti bizony´ıt´as´aval.

V´ ege!