Gr´afok ´es algoritmusok

Gr´ afok ´ es algoritmusok

1. el˝oad´as, moh´o technik´ak

2022. febru´ar 15.

Mi ez a kurzus?

I A c´el n´eh´any algoritmikusan is megk¨ozel´ıthet˝o gr´afelm´eleti probl´ema vizsg´alata.

I Online oktat´as eset´en: kurzushonlap

(www.cs.bme.hu/grafalg), moodle, neptun¨uzenet, teams

I P 12:15-13:45 gyakorlat (H406).

I ZH: 90 perc, 5x10 p., m´aj. 6, gyakorlat idej´eben. pZH: m´aj 13, gyak idej´eben. ppZH: p´otl´asi h´et. (p)ZH el˝otti el˝oad´as konzult´aci´o.

I Sz´obeli vizsga: t´etelsor,S ≤60p szerezhet˝o. S <24 eset´en a vizsga sikertelen, k¨ul¨onben a v´egs˝o pontsz´amV =S+ 0,8·Z. Oszt´alyzatok ponthat´arai: 2: 40, 3: 55, 4: 70, 5: 85.

I Seg´edanyagok

Frank Andr´as jegyzetei (ld. kurzushonlap) gyakorlatok feladatsorai, el˝oad´asvide´ok

Mi ez a kurzus?

I A c´el n´eh´any algoritmikusan is megk¨ozel´ıthet˝o gr´afelm´eleti probl´ema vizsg´alata.

I Online oktat´as eset´en: kurzushonlap

(www.cs.bme.hu/grafalg), moodle, neptun¨uzenet, teams

I P 12:15-13:45 gyakorlat (H406).

I ZH: 90 perc, 5x10 p., m´aj. 6, gyakorlat idej´eben. pZH: m´aj 13, gyak idej´eben. ppZH: p´otl´asi h´et. (p)ZH el˝otti el˝oad´as konzult´aci´o.

I Sz´obeli vizsga: t´etelsor,S ≤60p szerezhet˝o. S <24 eset´en a vizsga sikertelen, k¨ul¨onben a v´egs˝o pontsz´amV =S+ 0,8·Z. Oszt´alyzatok ponthat´arai: 2: 40, 3: 55, 4: 70, 5: 85.

I Seg´edanyagok

Frank Andr´as jegyzetei (ld. kurzushonlap) gyakorlatok feladatsorai, el˝oad´asvide´ok

Mi ez a kurzus?

I A c´el n´eh´any algoritmikusan is megk¨ozel´ıthet˝o gr´afelm´eleti probl´ema vizsg´alata.

I Online oktat´as eset´en: kurzushonlap

(www.cs.bme.hu/grafalg), moodle, neptun¨uzenet, teams

I P 12:15-13:45 gyakorlat (H406).

I ZH: 90 perc, 5x10 p., m´aj. 6, gyakorlat idej´eben. pZH: m´aj 13, gyak idej´eben. ppZH: p´otl´asi h´et. (p)ZH el˝otti el˝oad´as konzult´aci´o.

I Sz´obeli vizsga: t´etelsor,S ≤60p szerezhet˝o. S <24 eset´en a vizsga sikertelen, k¨ul¨onben a v´egs˝o pontsz´amV =S+ 0,8·Z. Oszt´alyzatok ponthat´arai: 2: 40, 3: 55, 4: 70, 5: 85.

I Seg´edanyagok

Frank Andr´as jegyzetei (ld. kurzushonlap) gyakorlatok feladatsorai, el˝oad´asvide´ok

Mi ez a kurzus?

I A c´el n´eh´any algoritmikusan is megk¨ozel´ıthet˝o gr´afelm´eleti probl´ema vizsg´alata.

I Online oktat´as eset´en: kurzushonlap

(www.cs.bme.hu/grafalg), moodle, neptun¨uzenet, teams

I P 12:15-13:45 gyakorlat (H406).

I ZH: 90 perc, 5x10 p., m´aj. 6, gyakorlat idej´eben. pZH: m´aj 13, gyak idej´eben. ppZH: p´otl´asi h´et. (p)ZH el˝otti el˝oad´as konzult´aci´o.

I Sz´obeli vizsga: t´etelsor,S ≤60p szerezhet˝o. S <24 eset´en a vizsga sikertelen, k¨ul¨onben a v´egs˝o pontsz´amV =S+ 0,8·Z. Oszt´alyzatok ponthat´arai: 2: 40, 3: 55, 4: 70, 5: 85.

I Seg´edanyagok

Frank Andr´as jegyzetei (ld. kurzushonlap) gyakorlatok feladatsorai, el˝oad´asvide´ok

Mi ez a kurzus?

I A c´el n´eh´any algoritmikusan is megk¨ozel´ıthet˝o gr´afelm´eleti probl´ema vizsg´alata.

I Online oktat´as eset´en: kurzushonlap

(www.cs.bme.hu/grafalg), moodle, neptun¨uzenet, teams

I P 12:15-13:45 gyakorlat (H406).

I ZH: 90 perc, 5x10 p., m´aj. 6, gyakorlat idej´eben. pZH: m´aj 13, gyak idej´eben. ppZH: p´otl´asi h´et. (p)ZH el˝otti el˝oad´as konzult´aci´o.

I Sz´obeli vizsga: t´etelsor,S ≤60p szerezhet˝o. S <24 eset´en a vizsga sikertelen, k¨ul¨onben a v´egs˝o pontsz´amV =S+ 0,8·Z. Oszt´alyzatok ponthat´arai: 2: 40, 3: 55, 4: 70, 5: 85.

I Seg´edanyagok

Frank Andr´as jegyzetei (ld. kurzushonlap) gyakorlatok feladatsorai, el˝oad´asvide´ok

Mi ez a kurzus?

I A c´el n´eh´any algoritmikusan is megk¨ozel´ıthet˝o gr´afelm´eleti probl´ema vizsg´alata.

I Online oktat´as eset´en: kurzushonlap

(www.cs.bme.hu/grafalg), moodle, neptun¨uzenet, teams

I P 12:15-13:45 gyakorlat (H406).

I ZH: 90 perc, 5x10 p., m´aj. 6, gyakorlat idej´eben. pZH: m´aj 13, gyak idej´eben. ppZH: p´otl´asi h´et. (p)ZH el˝otti el˝oad´as konzult´aci´o.

I Sz´obeli vizsga: t´etelsor,S ≤60p szerezhet˝o. S <24 eset´en a vizsga sikertelen, k¨ul¨onben a v´egs˝o pontsz´amV =S+ 0,8·Z. Oszt´alyzatok ponthat´arai: 2: 40, 3: 55, 4: 70, 5: 85.

I Seg´edanyagok

Frank Andr´as jegyzetei (ld. kurzushonlap) gyakorlatok feladatsorai, el˝oad´asvide´ok

Ism´ etl´ es

I Gr´afokkal kapcsolatos fogalmak

I ir´any´ıtatlan/ir´any´ıtott gr´af,

I (ki/be)fok (δ, ρ,d),

I ¨osszef¨ugg˝os´eg, komponens, t¨obbsz¨or¨os ¨osszef¨ugg˝os´eg (λ(G), κ(G)),

I k¨or, v´ag´as, fa, fesz´ıt˝ofa (ffa), fesz´ıt˝o erd˝o

I Jel¨ol´esek G = (V,E) gr´af eset´en.

I I(X) ={uv ∈E :u,v∈X}azX ⊆V ´altal fesz´ıtett (induk´alt) ´elek,i(X) :=|I(X)|.

I E(X) =E\I(V −X) azX ⊆V ´altal lefogott ´elek, e(X) :=|E(X)|.

I A\B ill.A∪ {x} helyett gyakranA−B-t ill. A+x-et ´ırunk.

I Hac:E →R, akkorF⊆E eset´en ˜c(F) =P{c(f) :f ∈F} az ¨osszegfv.

Ism´ etl´ es

I Gr´afokkal kapcsolatos fogalmak

I ir´any´ıtatlan/ir´any´ıtott gr´af,

I (ki/be)fok (δ, ρ,d),

I ¨osszef¨ugg˝os´eg, komponens, t¨obbsz¨or¨os ¨osszef¨ugg˝os´eg (λ(G), κ(G)),

I k¨or, v´ag´as, fa, fesz´ıt˝ofa (ffa), fesz´ıt˝o erd˝o

I Jel¨ol´esek G = (V,E) gr´af eset´en.

I I(X) ={uv∈E:u,v∈X} azX ⊆V ´altal fesz´ıtett (induk´alt) ´elek,i(X) :=|I(X)|.

I E(X) =E\I(V −X) azX ⊆V ´altal lefogott ´elek, e(X) :=|E(X)|.

I A\B ill.A∪ {x} helyett gyakranA−B-t ill. A+x-et ´ırunk.

I Hac:E →R, akkorF ⊆E eset´en ˜c(F) =P{c(f) :f ∈F} az ¨osszegfv.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a Gi-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en.

K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´o Gc

r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

Megf: AGi bmely Fi ⊆Ei fesz´ıt˝o erdeje kieg´esz´ıthet˝o aGi+1-nek egyF_i+1 fesz´ıt˝o erdej´ev´e. AG1 fesz´ıt˝o erdej´eb˝ol kiindulva

megkaphat´o ´ıgy aG =G_` egy F fesz´ıt˝of´aja.

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a Gi-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en. K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´o Gc

r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

Megf: AGi bmely Fi ⊆Ei fesz´ıt˝o erdeje kieg´esz´ıthet˝o aGi+1-nek egyF_i+1 fesz´ıt˝o erdej´ev´e. AG1 fesz´ıt˝o erdej´eb˝ol kiindulva

megkaphat´o ´ıgy aG =G_` egy F fesz´ıt˝of´aja.

Azt fogjuk bel´atni, hogy G mkff´ai pontosan a megfigyel´esbeli fesz´ıt˝of´ak.

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a Gi-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en.

K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´o G_c r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a G_i-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en.

K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´o Gc

r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a G_i-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en.

Biz: TfhF aG t´etel szerinti fesz´ıt˝of´aja. LegyenF⁰ is fesz´ıt˝ofa ´es F ={f₁,f2, . . . ,fn−1}ill. F⁰ ={f₁⁰,f₂⁰, . . . ,f_n−1⁰ }, ahol

c(f1)≤c(f2)≤. . .≤c(fn−1) ill.c(f₁⁰)≤c(f₂⁰)≤. . .≤c(f_n−1⁰ ).

EkkorF-nek legal´abb annyi E_i-beli ´ele van, mint F⁰-nek, ez´ert c(fj)≤c(f_j⁰) teljes¨ul minden 1≤j ≤n−1 eset´en. Ezek szerint

˜

c(F)≤˜c(F⁰), ´es az egyenl˝otlens´eg szigor´u, haF⁰ nem rendelkezik a t´etel szerinti tulajdons´aggal.

K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´o Gc

r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a G_i-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en.

K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´o Gc

r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak strukt´ ur´ aja

Def: AdottG = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´af ´esc :E →R+ ktg fv eset´enF ⊆E mkffa, ha (V,F) aG ff´aja ´es bmely (V,F⁰) ff´ara

˜

c(F)≤˜c(F⁰).

TfhG ¨of. A mkff´ak strukt´ur´aj´at vizsg´aljuk. Tfh

c(E) ={c₁,c2, . . . ,c_{`</sub>} ahol c1 <c2 < . . . <c<sub>`} ´es legyen E_i :={e ∈E :c(e)≤c_i},G_i = (V,E_i).

T´etel: A G gr´afF fesz´ıt˝of´aja pontosan akkor mkkfa, haF a G_i-nek tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et minden 1≤i ≤`eset´en.

K¨ov: (F aG mkff´aja) ⇐⇒

(mindenc eset´en aG legfeljebbc k¨olts´eg˝u ´eleib˝ol ´all´oGc

r´eszgr´afj´anak fesz´ıt˝o erdej´et alkotj´ak az F legfeljebbc k¨olts´eg˝u

´elei).

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.)

Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly. (3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele. (4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly. (3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele. (4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

B:Ha uv pirosra fest´ese piros v´ag´ast hoz l´etre, akkor a sz´ınez´es el˝ott bmelyuv-t tartalmaz´o k¨ornek volt piros ´ele.

Hauv z¨oldre fest´ese z¨old k¨ort hoz l´etre, akkor e sz´ınez´es el˝ott mindenuv-t tartalmaz´o v´ag´asnak volt z¨old ´ele.

u

u

v v

(2) Am´ıg van feh´er

´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele. (4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele. (4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele. (4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

B:Ha uv feh´er ´es van z¨olduv-´ut, akkor a piros szab´aly alkalmazhat´o, ha nincs ilyen ´ut, akkor a z¨old szab´aly.

u v u

v

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele. (4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

B:Ha C-nek nincs z¨old ´ele, vil´agos. K¨ul¨onben legyenf aC legdr´ag´abb z¨old ´elei k¨oz¨ul az utols´onak kisz´ınezett, mondjuk Z(Q) =f. Ekkor |C ∩Q| ≥2 miattC-nek van f-n´el nem olcs´obb feh´er ´ele, teh´atc(e)≥c(f).

C Q

f e

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak. K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

B:Ha Q-nak nincs piros ´ele, vil´agos. K¨ul¨onben legyenf a Q legolcs´obb piros ´elei k¨oz¨ul az utols´onak kisz´ınezett, mondjuk P(C) =e. Ekkor |C ∩Q| ≥2 miatt Q-nak van f-n´el nem olcs´obb feh´er ´ele, teh´atc(e)≤c(f).

Q C

e

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

B:A z¨old ´elek Z halmaza k¨ormentes gr´afot alkot, ´es mivel nincs piros v´ag´as, ez´ert a (V,Z) ¨of is, azaz ffa. HaZ nem mkffa, akkor valamelyikGi-nek nem tartalmazza fesz´ıt˝o erdej´et a mkffa

kor´abbbi jellemz´ese miatt. Ez´ert G_i-nek van egy Q piros v´ag´asa.

LegyenP(C) =uv ezen v´ag´as utols´onak pirosra festett ´ele. (3) miattC ⊆Ei, ´ıgy|Q∩C| ≥2 miatt C-nek van piros ´ele.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

Moh´o algoritmus: E ={e₁, . . . ,em},c(e1)≤. . .≤c(em).

F0=∅, ´esFi+1 =Fi ha Fi +ei+1 tartalmaz k¨ort, egy´ebk´ent F_i+1 =F_i +e_i+1. Output: F_m.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

Moh´o algoritmus: E ={e₁, . . . ,em},c(e1)≤. . .≤c(em).

F0=∅, ´esFi+1 =Fi ha Fi +ei+1 tartalmaz k¨ort, egy´ebk´ent F_i+1 =F_i +e_i+1. Output: F_m.

Megf: HaFi+1=Fi+ei+1, akkorei+1 azFi egyik komponens´eb˝ol kil´ep˝o legolcs´obb ´el, ´ıgy a z¨old szab´aly szerint z¨oldre festhet˝o.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

Minim´ alis k¨ olts´ eg˝ u fesz´ıt˝ of´ ak keres´ ese

Egy mkffa keres´es´ehezG ´eleit 3 sz´ınnel (p,f,z) sz´ınezz¨uk.

Eredetileg minden ´el feh´er.

Piros szab´aly: Ha egyC k¨ornek nincs piros ´ele, akkorC egyik legdr´ag´abb feh´er ´el´et (e-t) pirosra sz´ınezz¨uk. (Jel: P(C) =e.) Z¨old szab´aly: Ha egyQ v´ag´asban nincs z¨old ´el, akkorQ egyik legolcs´obb feh´er ´el´et (e-t) z¨oldre sz´ınezz¨uk. (Jel: Z(Q) =e.) Megf: (1) Nem j¨on l´etre se piros v´ag´as, se z¨old k¨or.

(2) Am´ıg van feh´er ´el, alkalmazhat´o valamelyik szab´aly.

(3) HaP(C) =e, akkore aC egyik legdr´ag´abb ´ele.

(4) HaZ(Q) =e, akkore aQ egyik legolcs´obb ´ele.

(5) Ha m´ar nincs feh´er ´el, akkor a z¨old ´elek mkff´at alkotnak.

K¨ov: A moh´o algoritmus helyess´ege.

K¨ov: Az ´ovatos (csak a piros szab´alyt alkalmaz´o), Bor˚uvka, Prim algoritmusok helyess´ege.

R´ eszfapakol´ asok

Dirac t´etele: Adott azF fa r´eszf´ainakF rendszere. Jel¨olje ν az F-beli p´aronk´ent diszjunkt f´ak maxim´alis sz´am´at, τ pedig az F elemeit lefog´o cs´ucsok minim´alis sz´am´at. Ekkorν =τ.

Biz: Vil´agos, hogyτ ≥ν. Legyenr azF talppontja, ´esF minden F r´eszf´aj´anak talppontja azF r-hez legk¨ozelebbi cs´ucsa. Az F elemein a talppontjaikr-t˝ol val´o t´avols´ag´anak cs¨okken˝o (pontosabban nemn¨ovekv˝o) sorrendj´eben v´egighaladva moh´on v´alasztott diszjunkt r´eszf´ak talppontjai lefogj´akF minden r´eszf´aj´at. Ez´ertν≥τ, ´ıgy a kor´abbiτ ≥ν miattν=τ.

r

R´ eszfapakol´ asok

Dirac t´etele: Adott azF fa r´eszf´ainakF rendszere. Jel¨olje ν az F-beli p´aronk´ent diszjunkt f´ak maxim´alis sz´am´at, τ pedig az F elemeit lefog´o cs´ucsok minim´alis sz´am´at. Ekkorν =τ.

Biz: Vil´agos, hogy τ ≥ν. Legyenr azF talppontja, ´esF minden F r´eszf´aj´anak talppontja azF r-hez legk¨ozelebbi cs´ucsa. AzF elemein a talppontjaikr-t˝ol val´o t´avols´ag´anak cs¨okken˝o (pontosabban nemn¨ovekv˝o) sorrendj´eben v´egighaladva moh´on v´alasztott diszjunkt r´eszf´ak talppontjai lefogj´akF minden r´eszf´aj´at. Ez´ert ν≥τ, ´ıgy a kor´abbiτ ≥ν miatt ν=τ.

r

R´ eszfapakol´ asok

Dirac t´etele: Adott azF fa r´eszf´ainakF rendszere. Jel¨olje ν az F-beli p´aronk´ent diszjunkt f´ak maxim´alis sz´am´at, τ pedig az F elemeit lefog´o cs´ucsok minim´alis sz´am´at. Ekkorν =τ.

Biz: Vil´agos, hogy τ ≥ν. Legyenr azF talppontja, ´esF minden F r´eszf´aj´anak talppontja azF r-hez legk¨ozelebbi cs´ucsa. AzF elemein a talppontjaikr-t˝ol val´o t´avols´ag´anak cs¨okken˝o (pontosabban nemn¨ovekv˝o) sorrendj´eben v´egighaladva moh´on v´alasztott diszjunkt r´eszf´ak talppontjai lefogj´akF minden r´eszf´aj´at. Ez´ert ν≥τ, ´ıgy a kor´abbiτ ≥ν miatt ν=τ.

r

Foksz´ amkorl´ atos ir´ any´ıt´ asok

T´etel: Legyen G = (V,E) ´esf :V →Nfoksz´amkorl´at. Ekkor pontosan akkor l´etezik G-nek olyan ir´any´ıt´asa, amelyre

ρ(v)≥f(v) teljes¨ul minden v ∈V-re, ha ˜f(X)≤e(X) teljes¨ul mindenX ⊂V eset´en.

Biz: ⇒: ˜f(X)≤ρ(X˜ )≤e(X).

⇐: Tetsz˝oleges ir´any´ıt´as eset´env hib´ajamax(0,f(v)−ρ(v)). Ha egy ir´any´ıt´as ¨osszhib´aja 0, akkor az megfelel. Ha pedig az ¨osszhiba pozit´ıv, akkor ezt egy ir´any´ıtott ´ut megford´ıt´as´aval cs¨okkentj¨uk. Tfhv hib´as, azazρ(v)<f(v). LegyenX :={v-b˝ol ir´any´ıtott ´uton el´erhet˝o cs´ucsok}. Ekkor ˜ρ(X) =e(X)≥˜f(X), ex´ert van olyan u∈X, amiref(u)> ρ(u). Egyvu-´ut megford´ıt´as´aval az ¨osszhiba cs¨okken.

X

G

v u

Foksz´ amkorl´ atos ir´ any´ıt´ asok

T´etel: Legyen G = (V,E) ´esf :V →Nfoksz´amkorl´at. Ekkor pontosan akkor l´etezik G-nek olyan ir´any´ıt´asa, amelyre

ρ(v)≥f(v) teljes¨ul minden v ∈V-re, ha ˜f(X)≤e(X) teljes¨ul mindenX ⊂V eset´en.

Biz: ⇒: ˜f(X)≤ρ(X˜ )≤e(X).

⇐: Tetsz˝oleges ir´any´ıt´as eset´env hib´ajamax(0,f(v)−ρ(v)). Ha egy ir´any´ıt´as ¨osszhib´aja 0, akkor az megfelel. Ha pedig az ¨osszhiba pozit´ıv, akkor ezt egy ir´any´ıtott ´ut megford´ıt´as´aval cs¨okkentj¨uk. Tfhv hib´as, azazρ(v)<f(v). LegyenX :={v-b˝ol ir´any´ıtott ´uton el´erhet˝o cs´ucsok}. Ekkor ˜ρ(X) =e(X)≥˜f(X), ex´ert van olyan u∈X, amiref(u)> ρ(u). Egyvu-´ut megford´ıt´as´aval az ¨osszhiba cs¨okken.

X

G

v u

Foksz´ amkorl´ atos ir´ any´ıt´ asok

T´etel: Legyen G = (V,E) ´esf :V →Nfoksz´amkorl´at. Ekkor pontosan akkor l´etezik G-nek olyan ir´any´ıt´asa, amelyre

ρ(v)≥f(v) teljes¨ul minden v ∈V-re, ha ˜f(X)≤e(X) teljes¨ul mindenX ⊂V eset´en.

Biz: ⇒: ˜f(X)≤ρ(X˜ )≤e(X).

⇐: Tetsz˝oleges ir´any´ıt´as eset´env hib´ajamax(0,f(v)−ρ(v)). Ha egy ir´any´ıt´as ¨osszhib´aja 0, akkor az megfelel. Ha pedig az ¨osszhiba pozit´ıv, akkor ezt egy ir´any´ıtott ´ut megford´ıt´as´aval cs¨okkentj¨uk.

Tfhv hib´as, azazρ(v)<f(v). LegyenX :={v-b˝ol ir´any´ıtott ´uton el´erhet˝o cs´ucsok}. Ekkor ˜ρ(X) =e(X)≥˜f(X), ex´ert van olyan u∈X, amiref(u)> ρ(u). Egyvu-´ut megford´ıt´as´aval az ¨osszhiba cs¨okken.

X

G

v u

K¨ osz¨ on¨ om a figyelmet!