Gr´afok ´es algoritmusok

Gr´ afok ´ es algoritmusok

Lamin´aris halmazrendszerek ´es gr´afok minv´ag´asainak reprezent´aci´oja

2022. ´aprilis 5.

Mir˝ ol lesz sz´ o a mai el˝ oad´ ason?

I Speci´alis halmazrendszereket vizsg´alunk, ´es azt figyelj¨uk meg, hogyan is lehet azokat alkalmas m´odon reprezent´alni. Egy ilyen reprezent´aci´o seg´ıtheti a rendszer fontos

tulajdons´againak meg´ert´es´et.

I Ha siker¨ul egy halmazrendszerre kell˝oen ¨ugyes reprezent´aci´ot tal´alni, akkor ennek seg´ıts´eg´evel k¨ul¨onf´ele t´eteleket

bizony´ıthatunk be, amiket a reprezent´aci´o n´elk¨ul nem lenne k¨onny˝u igazolni.

I Els˝osorban gr´afok minim´alis v´ag´asainak rendszer´et szeretn´enk meg´erteni ´es reprezent´alni. B´ar defin´ıci´o szerint a gr´af egy v´ag´asa olyan legsz˝ukebb ´elhalmazt jelent, aminek elhagy´as´at´ol a gr´af sz´etesik (azaz komponenseinek sz´ama megn˝o), a tov´abbiakban a v´ag´asokat azonos´ıtjuk egy olyan

cs´ucshalmazzal, amib˝ol kil´ep˝o ´elek alkotj´ak a v´ag´ast. Ez az azonos´ıt´as ugyan nem egy´ertelm˝u, ´es nem is minden cs´ucshalmaz hat´aroz meg v´ag´ast, mi ezzel most nem t¨or˝od¨unk, rem´elhet˝oleg nem fog ez zavart okozni.

Mir˝ ol lesz sz´ o a mai el˝ oad´ ason?

I Speci´alis halmazrendszereket vizsg´alunk, ´es azt figyelj¨uk meg, hogyan is lehet azokat alkalmas m´odon reprezent´alni. Egy ilyen reprezent´aci´o seg´ıtheti a rendszer fontos

tulajdons´againak meg´ert´es´et.

I Ha siker¨ul egy halmazrendszerre kell˝oen ¨ugyes reprezent´aci´ot tal´alni, akkor ennek seg´ıts´eg´evel k¨ul¨onf´ele t´eteleket

bizony´ıthatunk be, amiket a reprezent´aci´o n´elk¨ul nem lenne k¨onny˝u igazolni.

I Els˝osorban gr´afok minim´alis v´ag´asainak rendszer´et szeretn´enk meg´erteni ´es reprezent´alni. B´ar defin´ıci´o szerint a gr´af egy v´ag´asa olyan legsz˝ukebb ´elhalmazt jelent, aminek elhagy´as´at´ol a gr´af sz´etesik (azaz komponenseinek sz´ama megn˝o), a tov´abbiakban a v´ag´asokat azonos´ıtjuk egy olyan

cs´ucshalmazzal, amib˝ol kil´ep˝o ´elek alkotj´ak a v´ag´ast. Ez az azonos´ıt´as ugyan nem egy´ertelm˝u, ´es nem is minden cs´ucshalmaz hat´aroz meg v´ag´ast, mi ezzel most nem t¨or˝od¨unk, rem´elhet˝oleg nem fog ez zavart okozni.

Mir˝ ol lesz sz´ o a mai el˝ oad´ ason?

I Speci´alis halmazrendszereket vizsg´alunk, ´es azt figyelj¨uk meg, hogyan is lehet azokat alkalmas m´odon reprezent´alni. Egy ilyen reprezent´aci´o seg´ıtheti a rendszer fontos

tulajdons´againak meg´ert´es´et.

I Ha siker¨ul egy halmazrendszerre kell˝oen ¨ugyes reprezent´aci´ot tal´alni, akkor ennek seg´ıts´eg´evel k¨ul¨onf´ele t´eteleket

bizony´ıthatunk be, amiket a reprezent´aci´o n´elk¨ul nem lenne k¨onny˝u igazolni.

I Els˝osorban gr´afok minim´alis v´ag´asainak rendszer´et szeretn´enk meg´erteni ´es reprezent´alni. B´ar defin´ıci´o szerint a gr´af egy v´ag´asa olyan legsz˝ukebb ´elhalmazt jelent, aminek elhagy´as´at´ol a gr´af sz´etesik (azaz komponenseinek sz´ama megn˝o), a tov´abbiakban a v´ag´asokat azonos´ıtjuk egy olyan

cs´ucshalmazzal, amib˝ol kil´ep˝o ´elek alkotj´ak a v´ag´ast. Ez az azonos´ıt´as ugyan nem egy´ertelm˝u, ´es nem is minden cs´ucshalmaz hat´aroz meg v´ag´ast, mi ezzel most nem t¨or˝od¨unk, rem´elhet˝oleg nem fog ez zavart okozni.

Lamin´ aris halmazrendszerek

Def: AzA,B⊆V halmazok kereszteznek, ha az

A∩B,A\B,B\A,V \(A∪B) halmazok egyike sem ¨ures. A H ⊆2^V halmazrendszer keresztez´esmentes, ha nincs k´et

keresztez˝o tagja. AH ⊆2^V halmazrendszerlamin´aris, ha b´armely k´et tagja diszjunkt vagy tartalmazkod´o.

Megf: (1) Minden lamin´aris rendszer keresztez´esmentes. (2) HaHkeresztez´esmentes, akkor aH⁰ :={A,V \A:A∈ H} szimmetriz´altja keresztez´esmentes. (3) Ha H keresztez´esmentes, akkorH_v :={A∈ H:v6∈A}tetsz˝oletesv ∈V-re lamin´aris. (4) HaF fa, akkor azH={F −e komponensei :e ∈E(F)} keresztez´esmentes, v ∈V(F) eset´en pedigH_v pedig lamin´aris.

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egy F fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz H elemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.) K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)_v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)_v-t. Mivel H ⊆((H⁰)v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

Def: AzA,B⊆V halmazok kereszteznek, ha az

A∩B,A\B,B\A,V \(A∪B) halmazok egyike sem ¨ures. A H ⊆2^V halmazrendszer keresztez´esmentes, ha nincs k´et

keresztez˝o tagja. AH ⊆2^V halmazrendszerlamin´aris, ha b´armely k´et tagja diszjunkt vagy tartalmazkod´o.

A B V H

Megf: (1) Minden lamin´aris rendszer keresztez´esmentes. (2) HaHkeresztez´esmentes, akkor aH⁰ :={A,V \A:A∈ H} szimmetriz´altja keresztez´esmentes. (3) Ha H keresztez´esmentes, akkorH_v :={A∈ H:v6∈A}tetsz˝oletesv ∈V-re lamin´aris. (4) HaF fa, akkor azH={F −e komponensei :e ∈E(F)} keresztez´esmentes, v ∈V(F) eset´en pedigH_v pedig lamin´aris.

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egy F fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz H elemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.) K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

Def: AzA,B⊆V halmazok kereszteznek, ha az

A∩B,A\B,B\A,V \(A∪B) halmazok egyike sem ¨ures. A H ⊆2^V halmazrendszer keresztez´esmentes, ha nincs k´et

keresztez˝o tagja. AH ⊆2^V halmazrendszerlamin´aris, ha b´armely k´et tagja diszjunkt vagy tartalmazkod´o.

A B V H

Megf: (1) Minden lamin´aris rendszer keresztez´esmentes.

(2) HaHkeresztez´esmentes, akkor aH⁰ :={A,V \A:A∈ H}

szimmetriz´altja keresztez´esmentes. (3) Ha H keresztez´esmentes, akkorH_v :={A∈ H:v 6∈A}tetsz˝oletesv ∈V-re lamin´aris.

(4) HaF fa, akkor azH={F −e komponensei :e ∈E(F)}

keresztez´esmentes, v∈V(F) eset´en pedigH_v pedig lamin´aris.

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egy F fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz H elemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.) K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

Def: AzA,B⊆V halmazok kereszteznek, ha az

A∩B,A\B,B\A,V \(A∪B) halmazok egyike sem ¨ures. A H ⊆2^V halmazrendszer keresztez´esmentes, ha nincs k´et

keresztez˝o tagja. AH ⊆2^V halmazrendszerlamin´aris, ha b´armely k´et tagja diszjunkt vagy tartalmazkod´o.

Megf: (1) Minden lamin´aris rendszer keresztez´esmentes.

(2) HaHkeresztez´esmentes, akkor aH⁰ :={A,V \A:A∈ H}

szimmetriz´altja keresztez´esmentes. (3) Ha H keresztez´esmentes, akkorH_v :={A∈ H:v 6∈A}tetsz˝oletesv ∈V-re lamin´aris.

(4) HaF fa, akkor azH={F −e komponensei :e ∈E(F)}

keresztez´esmentes, v∈V(F) eset´en pedigH_v pedig lamin´aris.

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz H elemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)_v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)_v-t. Mivel H ⊆((H⁰)v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

Def: AzA,B⊆V halmazok kereszteznek, ha az

A∩B,A\B,B\A,V \(A∪B) halmazok egyike sem ¨ures. A H ⊆2^V halmazrendszer keresztez´esmentes, ha nincs k´et

keresztez˝o tagja. AH ⊆2^V halmazrendszerlamin´aris, ha b´armely k´et tagja diszjunkt vagy tartalmazkod´o.

Megf: (1) Minden lamin´aris rendszer keresztez´esmentes.

(2) HaHkeresztez´esmentes, akkor aH⁰ :={A,V \A:A∈ H}

szimmetriz´altja keresztez´esmentes. (3) Ha H keresztez´esmentes, akkorH_v :={A∈ H:v 6∈A}tetsz˝oletesv ∈V-re lamin´aris.

(4) HaF fa, akkor azH={F −e komponensei :e ∈E(F)}

keresztez´esmentes, v∈V(F) eset´en pedigH_v pedig lamin´aris.

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)_v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)_v-t. Mivel H ⊆((H⁰)v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)_v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

z

V

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)_v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.) Biz: Feltehet˝o, hogyV ∈ H. LegyenV(F) =H ∪ {z}, ´es A,B ∈ H,A(B eset´enAB ∈E(F), ha nincs olyan C ∈ H, amire A(C (B ill. zV ∈E(F). F-ben minden cs´ucsb´ol vezet ´utV-be,

´es minden cs´ucsb´ol legfeljebb egy ´el indul n´ala nagyobb m´eret˝u halmazba. HaC azF egy k¨ore, akkor C legkisebb halmaz´anak megfelel˝o cs´ucsb´ol C-nek csak egy ´ele indulhat. ´Igy F k¨ormentes, teh´at fa. Rendelj¨ukV mindenv elem´et ahhoz alegsz˝ukebbH-beli halmazhoz, amiv-t tartalmazza. A lamin´aris tulajdons´ag miatt ez egy j´ol defini´alt tagja a halmazrendszernek. Tov´abb´a minden A∈ H halmazhoz az A-b´olV fel´e indul´o ´el ´altal meghat´arozott v´ag´as V-t nem tartalmaz´o r´esze ´epp A-nak felel meg.

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogy Hminden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)_v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)_v-t. Mivel H ⊆((H⁰)v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.)

K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogyH minden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.) K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogyH minden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

Lamin´ aris halmazrendszerek

T´etel: MindenH ⊆2^V lamin´aris rendszerhez l´etezik egyF fa, egyz ∈V(F) cs´ucs ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´eny ´ugy, hogy tetsz˝oleges A∈ H azF egy alkalmas ´el´enek elhagy´as´aval F-b˝ol keletkez˝o, z-t nem tartalmaz´o komponensf szerinti ˝osk´epe.

(Azaz Helemeit a fa v´ag´asai reprezent´alj´ak.) K¨ov: MindenH ⊆2^V keresztez´esmentes rendszer

reprezent´alhat´o a fenti m´odon egyF f´aval ´es egyf :V →V(F) f¨uggv´ennyel ´ugy, hogyH minden tagja megfelelF egy alkalmas

´el´enek elhagy´as´aval keletkez˝o komponensnek.

Biz: Legyen v ∈V. (H⁰)v lamin´aris, ez´ert a t´etel miatt tartozik hozz´a egy F reprezent´al´o fa, ami reprezent´alja a (H⁰)v-t. Mivel H ⊆((H⁰)_v)⁰, ez´ert F H-t is reprezent´alja.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

(E(X) azX-b˝ol kil´ep˝o ´elek halmaz´at jel¨oli.)

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) aG keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X ∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X ∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

(E(X) azX-b˝ol kil´ep˝o ´elek halmaz´at jel¨oli.) Biz:

(1) Minden ´el ugyanannyival j´arul hozz´a mind´et oldalhoz.

(2) K¨ozvetlen¨ul ad´odik (1)-b˝ol.

(3) Alkalmazzuk (2)-t azX ´es V \Y halmazokra, figyelembe

V Y X

v´eve, hogy ˜c(E(V \Y)) = ˜c(E(Y)),

˜

c(E(X∩(V \Y)) = ˜c(E(X\Y)) ill.

˜

c(E(X∪(V \Y)) = ˜c(E(Y \X)).

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) aG keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X ∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X ∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

(E(X) azX-b˝ol kil´ep˝o ´elek halmaz´at jel¨oli.)

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) aG keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X ∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X ∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

(E(X) azX-b˝ol kil´ep˝o ´elek halmaz´at jel¨oli.)

A Lemma (2) r´esz´enek neveszubmodul´aris egyenl˝otlens´eg.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X ∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X ∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X ∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X ∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

Biz: (1-2): Lemma (1) (c ≡1) miatt 2λ=|E(X)|+|E(Y)|=

|E(X ∩Y)|+|E(X∪Y)|+ 2|E(X \Y,Y \X)| ≥2λ, ´ıgy v´egig =

´all. Ez´ertX ∩Y ´esX∪Y minv´ag´asok ´esX \Y ´esY \X k¨oz¨ott nem fut ´el. UgyaneztX-re ´esV \Y-ra alkalmazva ad´odik, hogy X\Y,Y \X minv´ag´asok, ´esE(X ∩Y,V \(X∩Y)) =∅ .

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

Biz:

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

Biz: (3) K¨ov (1,2)-b˝ol l´atszik. Pl. |E(X ∩Y)|=|E(X)|miatt

|E(X ∩Y,X \Y)|=|E(X \Y,V \(X ∪Y).

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

Biz: Ha X ´esY keresztez˝o halmazok minim´alis v´ag´ast

hat´aroznak meg, akkorλ(G) =|E(X ∩Y)|=|E(X∩Y,X \Y)|+

|E(X ∩Y,Y \X)|= 2· |E(X ∩Y,X \Y)|ami p´aros.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

A szubmodul´ aris egyenl˝ otlens´ eg

Lemma: Legyen G = (V,E) v´eges gr´af ´esc :E →R+ nemneg.

kapacit´asfv. Ekkor tetsz. keresztez˝oX,Y ⊂V halmazokra (1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y))+

+2˜c(E(X \Y,Y \X)) (2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X ∩Y)) + ˜c(E(X ∪Y)) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X \Y)) + ˜c(E(Y \X)) teljes¨ul.

K¨ov: Ha X,Y ⊂V(G) a G keresztez˝o minim´alis v´ag´asai, akkor (1)X∩Y,X∪Y,X\Y ´esY\X szint´en minv´ag´asok,

(2)E(X \Y,Y \X) =∅=E(X ∩Y,V \(X∪Y)) (3) |E(X ∩ Y,X \ Y)| = |E(X ∩ Y,Y \ X)| =

|E(X \Y,V \(X ∪Y))|=|E(Y \X,V \(X∪Y))|

V Y X

K¨ov: Ha λ(G) p´aratlan, akkor aG minim´alis v´ag´asait meghat´aroz´o halmazok keresztez´esmentes rendszert alkotnak.

K¨ov: Ha u,v ∈V ´esX1 ´esX2 olyan uv-szepar´al´o minim´alis v´ag´asok, amire u∈X1 ´esu ∈X2, akkorX1∩X2 ´esX1∪X2 is uv-szepar´al´o minv´ag´as. Az u-t tartalmaz´o uv-szepar´al´o minv´ag´asok k¨oz¨ott l´etezik legb˝ovebb ´es legsz˝ukebb.

A Gomory-Hu fa

C´el: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enG b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨ott szeretn´enk hat´akonyan t´arolni azu-t ´es v szepar´al´o v´ag´asok kapacit´asainak a minimum´at. S˝ot: szeretn´enk minden cs´ucsp´arra egy minim´alis kapacit´as´u v´ag´ast is k´odolni.

Def: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enF a G Gomory-Hu f´aja, ha (1)F fa ´esV(F) =V,

(2)F mindenuv ´el´ere F −uv komponensei egy minim´alis kapacit´as´uu-t ´esv-t szepar´al´o v´ag´ast hat´aroznak meg, valamint (3)∀x,y ∈V(G) cs´ucsra F egyuv ´el´ereF −uv komponensei egy x-et ´esy-t szepar´al´o minim´alis v´ag´ast hat´aroznak meg.

Ha azF Gomory-Hu fa ´eleire r´a´ırjuk az adott ´el ´altal reprezent´alt minim´alis v´ag´as kapacit´as´at, akkor G b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨otti minim´alis v´ag´ast az F uv-´utj´anak legkisebb c´ımk´ej˝u ´ele

reprezent´alja.

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

A Gomory-Hu fa

C´el: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enG b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨ott szeretn´enk hat´akonyan t´arolni azu-t ´es v szepar´al´o v´ag´asok kapacit´asainak a minimum´at. S˝ot: szeretn´enk minden cs´ucsp´arra egy minim´alis kapacit´as´u v´ag´ast is k´odolni.

Def: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enF a G Gomory-Hu f´aja, ha (1)F fa ´esV(F) =V,

(2)F mindenuv ´el´ere F −uv komponensei egy minim´alis kapacit´as´u u-t ´esv-t szepar´al´o v´ag´ast hat´aroznak meg, valamint (3)∀x,y ∈V(G) cs´ucsra F egyuv ´el´ere F −uv komponensei egy x-et ´esy-t szepar´al´o minim´alis v´ag´ast hat´aroznak meg.

Ha azF Gomory-Hu fa ´eleire r´a´ırjuk az adott ´el ´altal reprezent´alt minim´alis v´ag´as kapacit´as´at, akkor G b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨otti minim´alis v´ag´ast az F uv-´utj´anak legkisebb c´ımk´ej˝u ´ele

reprezent´alja.

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

A Gomory-Hu fa

Def: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enF a G Gomory-Hu f´aja, ha (1)F fa ´esV(F) =V,

(2)F mindenuv ´el´ere F −uv komponensei egy minim´alis kapacit´as´u u-t ´esv-t szepar´al´o v´ag´ast hat´aroznak meg, valamint (3)∀x,y ∈V(G) cs´ucsra F egyuv ´el´ere F −uv komponensei egy x-et ´esy-t szepar´al´o minim´alis v´ag´ast hat´aroznak meg.

Ha azF Gomory-Hu fa ´eleire r´a´ırjuk az adott ´el ´altal reprezent´alt minim´alis v´ag´as kapacit´as´at, akkor G b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨otti minim´alis v´ag´ast az F uv-´utj´anak legkisebb c´ımk´ej˝u ´ele

reprezent´alja.

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

A Gomory-Hu fa

Def: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enF a G Gomory-Hu f´aja, ha (1)F fa ´esV(F) =V,

(2)F mindenuv ´el´ere F −uv komponensei egy minim´alis kapacit´as´u u-t ´esv-t szepar´al´o v´ag´ast hat´aroznak meg, valamint (3)∀x,y ∈V(G) cs´ucsra F egyuv ´el´ere F −uv komponensei egy x-et ´esy-t szepar´al´o minim´alis v´ag´ast hat´aroznak meg.

Ha azF Gomory-Hu fa ´eleire r´a´ırjuk az adott ´el ´altal reprezent´alt minim´alis v´ag´as kapacit´as´at, akkor G b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨otti minim´alis v´ag´ast az F uv-´utj´anak legkisebb c´ımk´ej˝u ´ele

reprezent´alja.

P´elda:

F 5

5

2

5 5 G

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

A Gomory-Hu fa

Def: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enF a G Gomory-Hu f´aja, ha (1)F fa ´esV(F) =V,

(2)F mindenuv ´el´ere F −uv komponensei egy minim´alis kapacit´as´u u-t ´esv-t szepar´al´o v´ag´ast hat´aroznak meg, valamint (3)∀x,y ∈V(G) cs´ucsra F egyuv ´el´ere F −uv komponensei egy x-et ´esy-t szepar´al´o minim´alis v´ag´ast hat´aroznak meg.

Ha azF Gomory-Hu fa ´eleire r´a´ırjuk az adott ´el ´altal reprezent´alt minim´alis v´ag´as kapacit´as´at, akkor G b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨otti minim´alis v´ag´ast az F uv-´utj´anak legkisebb c´ımk´ej˝u ´ele

reprezent´alja.

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

A Gomory-Hu fa

Def: G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok eset´enF a G Gomory-Hu f´aja, ha (1)F fa ´esV(F) =V,

(2)F mindenuv ´el´ere F −uv komponensei egy minim´alis kapacit´as´u u-t ´esv-t szepar´al´o v´ag´ast hat´aroznak meg, valamint (3)∀x,y ∈V(G) cs´ucsra F egyuv ´el´ere F −uv komponensei egy x-et ´esy-t szepar´al´o minim´alis v´ag´ast hat´aroznak meg.

Ha azF Gomory-Hu fa ´eleire r´a´ırjuk az adott ´el ´altal reprezent´alt minim´alis v´ag´as kapacit´as´at, akkor G b´armely u,v cs´ucsa k¨oz¨otti minim´alis v´ag´ast az F uv-´utj´anak legkisebb c´ımk´ej˝u ´ele

reprezent´alja.

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

u_i

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: TfhV ={u₁,u₂, . . . ,u_n}. k szerinti indukci´oval igazoljuk, hogyV-nek van olyan V =V1∪V2∪. . .∪Vk part´ıci´oja, amire u_i ∈V_i ∀i ´es egy F_k fa a V(F) ={V₁,V2, . . . ,V_k} ponthalmazon, ami minden 1≤i <j ≤k eset´en reprezent´al egy minim´alis

uiuj-v´ag´ast ´es emellett Fk annak a gr´afnak a GH f´aja, amitG-b˝ol az egyesVi r´eszek egy cs´ucsba t¨ort´en˝o ¨osszeolvaszt´as´aval kapunk.

Ak = 1 eset triv. Tfh (k−1)-re tudjuk.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz:

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Tfhu_k ∈V_i.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

X

B_j

λ(i,j)

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Tfhu_k ∈V_i. Legyen X⁰ a legb˝ovebbu_iu_k-szepar´al´o minv´ag´as, amire ui ∈X⁰. Tfh X⁰ keresztezi Fk−1 egyBj ´ag´at.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

X

B_j

λ(i,j)

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Tfhu_k ∈V_i. Legyen X⁰ a legb˝ovebbu_iu_k-szepar´al´o minv´ag´as, amire ui ∈X⁰. Tfh X⁰ keresztezi Fk−1 egyBj ´ag´at.

Hau_j ∈X⁰, akkor B_j ∪X⁰ azu_i-t ´esu_k-t, m´ıg B_j∩X⁰ u_i-t ´esu_j-t szepar´alja. Ez´ert a szubmodularit´as miatt λ(i,k) +λ(i,j) =

= ˜c(E(X⁰)) + ˜c(E(Bj))≥˜c(E(X⁰∩Bj)) + ˜c(E(X⁰∪Bj))≥

≥λ(i,k) +λ(i,j), ez´ert X⁰∪Bj is minim´alisuiu_k-v´ag´as, teh´atX⁰ legb˝ovebb volta miatt B_j ⊆X⁰.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

X

B_j

λ(i,j)

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Tfhu_k ∈V_i. Legyen X⁰ a legb˝ovebbu_iu_k-szepar´al´o minv´ag´as, amire ui ∈X⁰. Tfh X⁰ keresztezi Fk−1 egyBj ´ag´at.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

B_j

λ(i,j)

X

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Tfhu_k ∈V_i. Legyen X⁰ a legb˝ovebbu_iu_k-szepar´al´o minv´ag´as, amire ui ∈X⁰. Tfh X⁰ keresztezi Fk−1 egyBj ´ag´at.

Ha pedigu_j 6∈X⁰, akkorX⁰\B_j szepar´aljau_i-t ´esu_k-t, m´ıg B_j\X⁰ szepar´aljau_i-t ´esu_j-t. Ez´ertλ(i,k) +λ(i,j) =

= ˜c(E(X⁰)) + ˜c(E(Bj))≥˜c(E(X⁰\Bj)) + ˜c(E(Bj \X⁰))≥ λ(i,k) +λ(i,j), ez´ertXj :=X⁰\Bj is minim´alis uiu_k-v´ag´as.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

B_j

λ(i,j)

ui uk

u_`

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Tfhu_k ∈V_i. Legyen X⁰ a legb˝ovebbu_iu_k-szepar´al´o minv´ag´as, amire ui ∈X⁰. Tfh X⁰ keresztezi Fk−1 egyBj ´ag´at.

Ha pedigu_j 6∈X⁰, akkorX⁰\B_j szepar´aljau_i-t ´esu_k-t, m´ıg B_j\X⁰ szepar´aljau_i-t ´esu_j-t. Ez´ertλ(i,k) +λ(i,j) =

= ˜c(E(X⁰)) + ˜c(E(Bj))≥˜c(E(X⁰\Bj)) + ˜c(E(Bj \X⁰))≥ λ(i,k) +λ(i,j), ez´ertXj :=X⁰\Bj is minim´alisuiu_k-v´ag´as.Legyen X az ilyen X_j-k metszete. A szubmodularit´as miatt X olyan minim´alisuiuk-v´ag´as, ami nem keresztez egy Bj ´agat sem.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

B_j

λ(i,j)

ui uk

u_`

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz:

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

u_j Vi

V_j

ui uk

B_j

λ(i,j)

X

ui uk

u_`

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

Biz: Ez az X lesz az ´uj v´ag´as, ami az F_k f´at megadja. Csak azt kell l´atni, hogyFk minden 1≤` <k-ra reprezent´al minim´alis u<sub>k</sub>u<sub>`</sub>-v´ag´ast. Ha λ(k, `)≥λ(i, `), akkor m´ar F_k is reprezent´al j´o v´ag´ast. Ha pedigλ(k, `)< λ(i, `), akkor λ(k, `)≥λ(i,k) miatt X megfelel.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk. (2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel. (3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk.

(2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel.

(3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk.

(2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel.

(3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

Biz: (1) Sorra konstru´aljuk az F₁,F₂, . . . ,F_n f´akat. Ha az Fk−1

f´abanuk ∈Vi, akkorG-ben egybeolvasztjuk azFk−1 faVi

cs´ucs´ar´ol lel´og´o ´agaknak megfelel˝o r´eszhalmazokat. Az ´ıgy kapott gr´afban keres¨unk minim´alisu_iu_k-v´ag´ast pl. folyamalgoritmussal, ´es ennek seg´ıts´eg´evel ´ep´ıtj¨uk fel azFk f´at. AzFn fa pedig ´epp aG Gomory-Hu f´aja lesz.

(2-3) A Gomory-Hu fa ´eleihez tartoz´o v´ag´asok megfelelnek.

A Gomory-Hu fa el˝ o´ all´ıt´ asa

T´etel: Tetsz˝oleges G = (V,E) gr´af ´esc :E →R+ kapacit´asok mellett l´etezik G-nek Gomory-Hu f´aja.

K¨ov: Ha G ncs´ucs´u gr´af akkor

(1)G Gomory-Hu f´aja megkonstru´alhat´on−1 olyan

folyamalgoritmussal, amit legfeljebbn cs´ucs´u h´al´ozaton futtatunk.

(2)G cs´ucsai k¨oz¨ott legfeljebb (n−1)-f´ele λ(u,v) ´ert´ek l´ep fel.

(3) Megadhat´o G-nekn−1 v´ag´asa ´ugy ami b´armely k´et cs´ucsp´arhoz tartalmaz a p´art szepar´al´o minim´alis v´ag´ast.

Megj: Vonz´o gondolat, hogy a GH fa konstrukci´oj´aban a folyamalgoritmust valami olcs´obb elj´ar´assal helyettes´ıts¨uk.

Ig´eretesnek t˝unik a maxvissza sorrend, aholis az utols´o k´et cs´ucsr´ol sz´ol´o lemma miatt azonnal kapunk egy minim´alis vn−1v_n-v´ag´ast, amib˝olu1=vn ´esu2=vn−1 v´alaszt´assal megtal´aljukF2-t. Egy folyamalgoritmust ugyan megsp´orolunk ´ıgy, de sajnos nem vil´agos, hogyan lehetne valami Nagamochi-Ibaraki jelleg˝u m´odon folytatni a munk´at. ´Ugy t˝unik, a GH fa megtal´al´as´ara nem ismert l´enyegesen gyorsabb m´odszer, mintn−1 folyamalgoritmus kisz´am´ıt´asa.

Minim´ alis v´ ag´ asok reprezent´ aci´ oja

Megj: A GH fa megad a vizsg´alt gr´af minden egyes cs´ucsp´arj´ara egy ˝oket szepar´al´o minim´alis v´ag´ast. Ha azonban minket csak aG minim´alis v´ag´asai ´erdekelnek, de abb´ol az ¨osszes (pl. az´ert, mertG

´el¨osszef¨ugg¨os´eg´et akarjuk n¨ovelni ´elek beh´uz´as´aval, ´es minden minim´alis v´ag´ast ´uj ´elnek kell fednie), akkor ezekre is l´etezik j´ol kezelhet˝o reprezent´aci´o, m´egpedig az ´u.n. kaktuszgr´af.

Az el˝ozetes tervben szerepelt az idev´ag´o t´etel igazol´asa is, de ez id´en elmarad.

K¨ osz¨ on¨ om a figyelmet!