Gr´afok ´es algoritmusok

(1)

Gr´ afok ´ es algoritmusok

2. el˝oadás, stabil páros´ıtások

2022. febru´ar 22.

(2)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

Egy, a gyakorlatban jól alkalmazható gráfmodell páros´ıtásait vizsgáljuk a továbbiakban.

Tfh aG = (V,E) gráf mindenv ∈V csúcsára adott egy_v lineáris (preferencia) rendezésE(v)-n.

Def: AzM ⊆E élhalmaz dominálja aze ∈E élt, ha van olyan v∈V csúcs ésm∈M él, amire m≺_v e. (Azaz m_v e 6=m.) Def: Hae 6∈M ésM nem domináljae-t, akkore blokkoljaM-et. Def: M stabil páros´ıtás, ha azM dominálta élek halmazaE \M. Megf: (1) HaM stabil páros´ıtás, akkorM nem dominálM-beli

élt, ezértM páros´ıtás. Tehát a stabil páros´ıtás olyan páros´ıtás, ami G minden más élét dominálja.

(2) EgyM páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se blokkolja. Példa: TfhG csúcsai fiúk ill. lányok, élei a lehetséges házasságok, a rendezés szimpátia szerinti. Mi ilyenkor a páros´ıtás/blokkoló él? Megf: Ciklikus preferenciák mellettC3-nak nincs stabil páros´ıtása.

(3)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

Def: AzM ⊆E élhalmaz dominálja aze ∈E élt, ha van olyan v∈V csúcs ésm∈M él, amire m≺_v e. (Azaz m_v e 6=m.)

Def: Hae 6∈M ésM nem domináljae-t, akkore blokkoljaM-et. Def: M stabil páros´ıtás, ha azM dominálta élek halmazaE \M. Megf: (1) HaM stabil páros´ıtás, akkorM nem dominálM-beli

(2) EgyM páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se blokkolja. Példa: TfhG csúcsai fiúk ill. lányok, élei a lehetséges házasságok, a rendezés szimpátia szerinti. Mi ilyenkor a páros´ıtás/blokkoló él? Megf: Ciklikus preferenciák mellettC₃-nak nincs stabil páros´ıtása.

(4)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

Def: AzM ⊆E élhalmaz dominálja aze ∈E élt, ha van olyan v∈V csúcs ésm∈M él, amire m≺_v e. (Azaz m_v e 6=m.)

(5)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

Def: AzM ⊆E élhalmaz dominálja aze ∈E élt, ha van olyan v∈V csúcs ésm∈M él, amire m≺_v e. (Azaz m_v e6=m.)

(6)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

Def: AzM ⊆E élhalmaz dominálja aze ∈E élt, ha van olyan v∈V csúcs ésm∈M él, amire m≺_v e. (Azaz m_v e6=m.)

Def: Hae 6∈M ésM nem domináljae-t, akkore blokkoljaM-et. Def: M stabil páros´ıtás, ha az M dominálta élek halmazaE \M. Megf: (1) HaM stabil páros´ıtás, akkorM nem dominálM-beli

(2) EgyM páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se blokkolja. Példa: TfhG csúcsai fiúk ill. lányok, élei a lehetséges házasságok, a rendezés szimpátia szerinti. Mi ilyenkor a páros´ıtás/blokkoló él?

Megf: Ciklikus preferenciák mellettC₃-nak nincs stabil páros´ıtása.

(7)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

Def: AzM ⊆E élhalmaz dominálja aze ∈E élt, ha van olyan v∈V csúcs ésm∈M él, amire m≺_v e. (Azaz m_v e6=m.) Def: Hae 6∈M ésM nem domináljae-t, akkore blokkoljaM-et.

Def: M stabil páros´ıtás, ha az M dominálta élek halmazaE \M. Megf: (1) HaM stabil páros´ıtás, akkorM nem dominálM-beli

(8)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

Def: M stabil páros´ıtás, ha az M dominálta élek halmazaE \M.

Megf: (1) HaM stabil páros´ıtás, akkorM nem dominálM-beli

(9)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(10)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(2) EgyM páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se blokkolja.

Példa: TfhG csúcsai fiúk ill. lányok, élei a lehetséges házasságok, a rendezés szimpátia szerinti. Mi ilyenkor a páros´ıtás/blokkoló él?

(11)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

1 11

1 1

2 2 2 2

2 2 3

3 3

1 2 13 12

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(12)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

1 11

1 1

2 2 2 2

2 2 3

3 3

1 2 13 12

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(13)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

1 11

1 1

2 2 2 2

2 2 3

3 3

1 2 13 12

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(14)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

1 1

1 2

2

1 11 2

1 1

2 2 2 2

2 2 3

3 3

1 2 13 12

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(15)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

1 1

1 2

2

1 11 2

1 1

2 2 2 2

2 2 3

3 3

1 2 13 12

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(16)

Elpreferenci´ ´ ak, domin´ al´ as, stabilit´ as

1 1

1 2

2

1 11 2

1 1

2 2 2 2

2 2 3

3 3

1 2 13 12

g k e f

i

b c a

j l

h

3 21 d

1 1 2

1 2 3 1 1 4 6 3 5

2 14 1 2 2 4 1 3 4 2

2 3 2

2 1

3 3 3

1 2 3

2 3 1

(17)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

Éltörlési lemma: Ha uw a≺_u-legjobb él ésuw ≺_w vw akkor (M stabil G-ben) ⇐⇒ (M stabil (G−vw)-ben).

Megj: (1) Az éltörlési lemma azt mondja ki, hogy bizonyos éleket ,,ingyen” törölhetünk, mert ett˝ol a stabil páros´ıtások halmaza nem változik. A lemma nagy el˝onye, hogy rekurz´ıvan alkalmazható: egy

él lemma szerinti törlése után ujabb élek válhatnak ingyen törölhet˝ové. Ilyen módon az éltörlési lemma ismételt alkalmazása sokat seg´ıthet a stabil páros´ıtások megkeresésében.

(2) A lemmában szerepl˝o uw él az u csúcslegjobb éle.

Legrosszabb él: egy csúcs preferenciasorrendjében utolsó él.

Konvenció: Minden csúcs legjobb élét a csúcsból kifelé irány´ıtjuk.

Köv: TfhGb gráfon nem végezhet˝o a lemma alapján éltörlés. Ekkor

∀e =uv ∈E(Gb): (e ≺_u-legjobb) ⇐⇒ (e ≺_v-legrosszabb). Megf: AGb tetsz. u csúcsa vagy izolált (és egyetlen stabil páros´ıtás se fedi), vagy egy ,,izolált él” egy csúcsa (ez az él minden stabil páros´ıtásban szerepel), vagy egy irány´ıtott élek alkotta kör csúcsa.

(18)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

(19)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

Biz: ⇒: Tfh M stabil G-ben. Ekkor vagyuw ∈M vagy uw-t egy M-beli él w-nél dominálja. Ezértvw 6∈M, ´ıgyM (G−vw)-ben is páros´ıtás, és mivelM minden más élt dominál, egyúttal stabil is.

(20)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

Biz: ⇒: Tfh M stabil G-ben. Ekkor vagyuw ∈M vagy uw-t egy M-beli él w-nél dominálja. Ezértvw 6∈M, ´ıgyM (G−vw)-ben is páros´ıtás, és mivelM minden más élt dominál, egyúttal stabil is.

⇐: Tfh M stabil (G−vw)-ben. Azt kell igazolni, hogyM vw-t is dominálja. Hauw ∈M, akkoruw ≺_w vw miatt ez világos, ha viszontuw 6∈M, akkor van olyanf ∈M, amire (mivelf ≺_uuw nem lehet)f ≺_w uw ≺₂vw teljesül.

(21)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

∀e =uv ∈E(Gb): (e ≺_u-legjobb) ⇐⇒ (e ≺_v-legrosszabb).

Megf: AGb tetsz. u csúcsa vagy izolált (és egyetlen stabil páros´ıtás se fedi), vagy egy ,,izolált él” egy csúcsa (ez az él minden stabil páros´ıtásban szerepel), vagy egy irány´ıtott élek alkotta kör csúcsa.

(22)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

(23)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

Biz: Ha e ≺_u-legjobb ´es nem≺_v-legrosszabb, akkor lehetne m´eg

élt törölni. Hae ≺_v-legrosszabb, akkor v-b˝ol elindulva és legjobb

éleket követve el˝obb-utóbb olyan csúcsba érkezünk (egy

legrosszabb él mentén), ahol már jártunk. Ez a csúcs csak v lehet, ezért az e él mentén érkezünk meg.

(24)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 u

w v

1 u

w

v

(25)

Egy hasznos megfigyel´ es

1 1 1

1 ∞

∞

1 1

∞1 ∞

∞

∞ 1

1

1 ∞

∞ 1 1

∞ 1

Gb 1 u

w v

1 u

w

v

(26)

A stabil h´ azass´ agi t´ etel

Gale és Shapley tétele: Ha a G páros gráf sz´ınosztályait fiúk és lányok alkotják akkor tetsz˝oleges preferenciasorrendekhez van stabil páros´ıtás. Ha több stabil páros´ıtás is van, akkor van ezek között olyan is, amiben minden fiú a számára stabil páros´ıtásban elérhet˝o legjobb feleséget kapja, miközben minden lánynak a számára stabil páros´ıtásban elérhet˝o legrosszabb férj jut.

Az éltörlési lemmából hatékony algoritmus adódik a fiú-optimális stabil páros´ıtás keresésére. Ehhez nem is szükséges minden lehetséges éltörlést végrehajtani: elég csak olyanokat, ahol a törlend˝o él egy fiú legjobb éle az alábbiak szerint.

Lánykér˝o algoritmus (Deferred acceptance algorithm) 1. Minden fiú megkéri a számára legszimpatikusabb lány kezét. 2. Ha van olyan lány, aki legalább két kér˝ot kap, akkor a legjobb

kivételével mindegyik kér˝ojét kikosarazza. GoTo 1.

3. Ha egy lánynak sincs egynél több kér˝oje, akkor a lánykérések (fiú-optimális) stabil páros´ıtást adnak, végeztünk.

(27)

A stabil h´ azass´ agi t´ etel

Megj: A tételben szerepl˝o kitüntetett stabil páros´ıtást szokás fiú-optimális stabil páros´ıtásnak is nevezni. Természetesen lány-optimális stabil páros´ıtás is létezik.

(28)

A stabil h´ azass´ agi t´ etel

(29)

A stabil h´ azass´ agi t´ etel

Biz: Az éltörlések utániGb gráfban a fiúk legjobb élei olyan M páros´ıtást alkotnak, ami a lányok a legrosszabb éleib˝ol áll. M aGb minden élét dominálja, ´ıgyM stabilGb-ben. Az éltörlési lemma miattM aG-ben is stabil. A tétel második része abból adódik, hogy törölt él nem szerepelhet stabil páros´ıtásban.

Gb

(30)

A stabil h´ azass´ agi t´ etel

(31)

A stabil h´ azass´ agi t´ etel

Lánykér˝o algoritmus (Deferred acceptance algorithm) 1. Minden fiú megkéri a számára legszimpatikusabb lány kezét.

2. Ha van olyan lány, aki legalább két kér˝ot kap, akkor a legjobb kivételével mindegyik kér˝ojét kikosarazza. GoTo 1.

(32)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

Megvan!

Talány: Vajon lehet-e mindezt általános´ıtani?

(33)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(34)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(35)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(36)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(37)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(38)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(39)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(40)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(41)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(42)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(43)

Konkr´ et l´ anyk´ er˝ o algoritmus

1 3 3 1 2 3

1 3

1 4 2

1 2 4 3

2

3 2

7 2

2

3 4

1

4 3

1 2 1

3

1 2 2

3 1

2 1 3

4

2 2

2 3

1 1 4

1 1

6 4

5

2

Megvan!

(44)

Polig´ amia?

Def: G = (V,E) gráf ésb :V →Nfokszámkorlát eseténM ⊆E b-páros´ıtás ha |M(v)| ≤b(v) teljesül G mindenv csúcsára.

Tfh aG = (V,E) gráf mindenv ∈V csúcsára adott E(v)-n egy _v lineáris rendezés valamint egy b:V →N fokszámkorlát. Def: AzM ⊆E élhalmaz b-dominálja aze ∈E élt, ha ∃v ∈V

ésm₁,m₂, . . . ,m_b(v) ∈M, amirem₁ ≺_v m₂≺_v . . .≺_v m_b(v) ≺_v e. Ha M nemb-dominálja e 6∈M-et, akkore (b-)blokkoljaM-et. M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmazaE\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él seb-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemma b-páros´ıtásokra?

(45)

Polig´ amia?

ésm₁,m₂, . . . ,m_b(v) ∈M, amirem₁ ≺_v m₂≺_v . . .≺_v m_b(v) ≺_v e. Ha M nemb-dominálja e 6∈M-et, akkore (b-)blokkoljaM-et. M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmazaE\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él seb-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemma b-páros´ıtásokra?

(46)

Polig´ amia?

Megj: Az 1-páros´ıtás pontosan a (jelz˝o nélküli) páros´ıtás.

ésm1,m2, . . . ,m_b(v) ∈M, amirem1 ≺_v m2≺_v . . .≺_v m_b(v) ≺_v e. Ha M nemb-dominálja e 6∈M-et, akkore (b-)blokkoljaM-et. M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmazaE\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él seb-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemma b-páros´ıtásokra?

(47)

Polig´ amia?

ésm₁,m₂, . . . ,m_b(v) ∈M, amirem₁≺_v m₂≺_v . . .≺_v m_b(v) ≺_v e. HaM nemb-dominálja e 6∈M-et, akkore (b-)blokkoljaM-et. M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmaza E\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se b-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemmab-páros´ıtásokra?

(48)

Polig´ amia?

Tfh aG = (V,E) gráf mindenv ∈V csúcsára adott E(v)-n egy _v lineáris rendezés valamint egy b:V →N fokszámkorlát.

Def: AzM ⊆E élhalmaz b-dominálja aze ∈E élt, ha ∃v ∈V

´esm₁,m₂, . . . ,m_b(v) ∈M, amirem₁≺_v m₂≺_v . . .≺_v m_b(v) ≺_v e.

HaM nemb-dominálja e 6∈M-et, akkore (b-)blokkoljaM-et. M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmaza E\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se b-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemmab-páros´ıtásokra?

(49)

Polig´ amia?

HaM nemb-domin´alja e6∈M-et, akkore (b-)blokkoljaM-et.

M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmaza E\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se b-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemmab-páros´ıtásokra?

(50)

Polig´ amia?

M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmaza E\M.

Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja. (2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se b-blokkolja. K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemmab-páros´ıtásokra?

(51)

Polig´ amia?

M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmaza E\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja.

(2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se b-blokkolja.

K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemmab-páros´ıtásokra?

(52)

Polig´ amia?

M stabilb-páros´ıtás ha azM b-dominálta élek halmaza E\M. Megf: (1) Minden stabilb-páros´ıtásb-páros´ıtás. Tehát a stabil b-páros´ıtás olyan b-páros´ıtás, ami G minden más élétb-dominálja.

(2) Egyb-páros´ıtás pontosan akkor stabil, ha egy él se b-blokkolja.

K´ınzó kérés: Kiterjeszthet˝o-e az éltörlési lemmab-páros´ıtásokra?

(53)

Elt¨ ´ orl´ es b-p´ aros´ıt´ asokon

Def: Tfhb:V(G)→Nrögz´ıtett. Azu legjobb élei a≺_u szerint legjobb (legfeljebb)b(u) db él. (Ezeket u-ból kifelé irány´ıtjuk.) Azu legrosszabb élea≺_u szerint legrosszabb él.

Kiterjesztett éltörlési lemma: Ha i = 1,2, . . . ,b(w) eseténuiw egy≺_u₁-legjobb él ésu_iw ≺_w vw akkorM pontosan akkor stabil G-ben ha M stabil (G−vw)-ben.

Köv: Ha aGb gráfon nem végezhet˝o a lemma alapján éltörlés, akkorδ(v) =ρ(v)∀v ∈V(Gb) és ha e =uv ≺_v-legrosszabb akkor

≺_u-legjobb.

Biz: δ(v)≥ρ(v)∀v ∈V(Gb) és ˜δ(V(Gb)) =|A(Gb)|= ˜ρ(V(Gb)), ezértδ(v) =ρ(v)∀v∈V(Gb). Ha d(v)≤b(v), akkor∀e ∈E(v) mindkét csúcsának a legjobb éle, ha pedig d(v)>b(v), akkor ρ(v) =b(v), ´ıgy a≺_v-legrosszabb él v felé van irány´ıtva.

(54)

Elt¨ ´ orl´ es b-p´ aros´ıt´ asokon

u₁ v u₁ v

3

w w 3

u₂ u₃ u₂ u₃

Def: Tfhb:V(G)→Nrögz´ıtett. Azu legjobb élei a≺_u szerint legjobb (legfeljebb)b(u) db él. (Ezeket u-ból kifelé irány´ıtjuk.) Azu legrosszabb élea≺_u szerint legrosszabb él.

Kiterjesztett éltörlési lemma: Ha i = 1,2, . . . ,b(w) eseténuiw egy≺_u₁-legjobb él ésu_iw ≺_w vw akkorM pontosan akkor stabil G-ben ha M stabil (G−vw)-ben.

Köv: Ha aGb gráfon nem végezhet˝o a lemma alapján éltörlés, akkorδ(v) =ρ(v)∀v ∈V(Gb) és ha e =uv ≺_v-legrosszabb akkor

≺_u-legjobb.

Biz: δ(v)≥ρ(v)∀v ∈V(Gb) és ˜δ(V(Gb)) =|A(Gb)|= ˜ρ(V(Gb)), ezértδ(v) =ρ(v)∀v∈V(Gb). Ha d(v)≤b(v), akkor∀e ∈E(v) mindkét csúcsának a legjobb éle, ha pedig d(v)>b(v), akkor ρ(v) =b(v), ´ıgy a≺_v-legrosszabb él v felé van irány´ıtva.