Gr´afok ´es algoritmusok

Gr´ afok ´ es algoritmusok

5. el˝oad´as, Minim´alis v´ag´asok keres´ese

2022. m´arcius 22.

Minim´ alis v´ ag´ as keres´ ese

Def: G = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´afban X,Y ⊆V eset´enE(X,Y) azX −Y ´esY −X k¨oz¨ott fut´o ´elek halmaza. Adott c :E →R+

s´ulyf¨uggv´eny mellettd_c(X,Y) = ˜c(E(X,Y)).

dc(X) :=dc(X,V −X). λc(x,y) = min{d_c(X) :x∈X 63y} ´es λc(G) = min{λ_c(x,y) :x,y ∈V(G)}.

(c ≡1 eset´en egyszer˝uen d(X,Y), d(X),λ(x,y), stb. jel¨ol´es.) AG minim´alis v´ag´asaolyan X ⊂V, amiredc(X) =λc(G).

C´el: Hat´ekony algoritmus minim´alis v´ag´as keres´es´ere.

Els˝o ¨otlet: Folyamalgoritmus. B´armelys,t cs´ucsp´arhoz tal´alunk minim´alisst-v´ag´ast. A glob´alis minimumhoz minden (x,y) p´arra meghat´arozzuk λc(x,y)-t, azaz ^|V₂^|

-szer futtatjuk az algoritmust. M´asodik ¨otlet: A folyamalgoritmust el´eg csup´an (|V| −1)-szer lefuttatni, merts-et r¨ogz´ıthetj¨uk. ´IgyO(|V|⁴) lesz a l´ep´essz´am. Ez mind sz´ep ´es j´o, de mi enn´el hat´ekonyabb elj´ar´ast szeretn´enk. Azt lehetne pl. kihaszn´alni, hogy G ir´any´ıtatlan.

Minim´ alis v´ ag´ as keres´ ese

Def: G = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´afban X,Y ⊆V eset´enE(X,Y) azX −Y ´esY −X k¨oz¨ott fut´o ´elek halmaza. Adott c :E →R+

s´ulyf¨uggv´eny mellettd_c(X,Y) = ˜c(E(X,Y)).

dc(X) :=dc(X,V −X). λc(x,y) = min{d_c(X) :x∈X 63y} ´es λc(G) = min{λ_c(x,y) :x,y ∈V(G)}.

(c ≡1 eset´en egyszer˝uen d(X,Y), d(X),λ(x,y), stb. jel¨ol´es.) AG minim´alis v´ag´asaolyan X ⊂V, amiredc(X) =λc(G).

C´el: Hat´ekony algoritmus minim´alis v´ag´as keres´es´ere.

Els˝o ¨otlet: Folyamalgoritmus. B´armelys,t cs´ucsp´arhoz tal´alunk minim´alisst-v´ag´ast. A glob´alis minimumhoz minden (x,y) p´arra meghat´arozzuk λc(x,y)-t, azaz ^|V₂^|

-szer futtatjuk az algoritmust.

M´asodik ¨otlet: A folyamalgoritmust el´eg csup´an (|V| −1)-szer lefuttatni, merts-et r¨ogz´ıthetj¨uk. ´IgyO(|V|⁴) lesz a l´ep´essz´am. Ez mind sz´ep ´es j´o, de mi enn´el hat´ekonyabb elj´ar´ast szeretn´enk. Azt lehetne pl. kihaszn´alni, hogy G ir´any´ıtatlan.

Minim´ alis v´ ag´ as keres´ ese

Def: G = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´afban X,Y ⊆V eset´enE(X,Y) azX −Y ´esY −X k¨oz¨ott fut´o ´elek halmaza. Adott c :E →R+

s´ulyf¨uggv´eny mellettd_c(X,Y) = ˜c(E(X,Y)).

dc(X) :=dc(X,V −X). λc(x,y) = min{d_c(X) :x∈X 63y} ´es λc(G) = min{λ_c(x,y) :x,y ∈V(G)}.

(c ≡1 eset´en egyszer˝uen d(X,Y), d(X),λ(x,y), stb. jel¨ol´es.) AG minim´alis v´ag´asaolyan X ⊂V, amiredc(X) =λc(G).

C´el: Hat´ekony algoritmus minim´alis v´ag´as keres´es´ere.

Els˝o ¨otlet: Folyamalgoritmus. B´armelys,t cs´ucsp´arhoz tal´alunk minim´alisst-v´ag´ast. A glob´alis minimumhoz minden (x,y) p´arra meghat´arozzuk λc(x,y)-t, azaz ^|V₂^|

-szer futtatjuk az algoritmust.

M´asodik ¨otlet: A folyamalgoritmust el´eg csup´an (|V| −1)-szer lefuttatni, merts-et r¨ogz´ıthetj¨uk. ´IgyO(|V|⁴) lesz a l´ep´essz´am.

Ez mind sz´ep ´es j´o, de mi enn´el hat´ekonyabb elj´ar´ast szeretn´enk. Azt lehetne pl. kihaszn´alni, hogy G ir´any´ıtatlan.

Minim´ alis v´ ag´ as keres´ ese

Def: G = (V,E) ir´any´ıtatlan gr´afban X,Y ⊆V eset´enE(X,Y) azX −Y ´esY −X k¨oz¨ott fut´o ´elek halmaza. Adott c :E →R+

s´ulyf¨uggv´eny mellettd_c(X,Y) = ˜c(E(X,Y)).

dc(X) :=dc(X,V −X). λc(x,y) = min{d_c(X) :x∈X 63y} ´es λc(G) = min{λ_c(x,y) :x,y ∈V(G)}.

(c ≡1 eset´en egyszer˝uen d(X,Y), d(X),λ(x,y), stb. jel¨ol´es.) AG minim´alis v´ag´asaolyan X ⊂V, amiredc(X) =λc(G).

C´el: Hat´ekony algoritmus minim´alis v´ag´as keres´es´ere.

Els˝o ¨otlet: Folyamalgoritmus. B´armelys,t cs´ucsp´arhoz tal´alunk minim´alisst-v´ag´ast. A glob´alis minimumhoz minden (x,y) p´arra meghat´arozzuk λc(x,y)-t, azaz ^|V₂^|

-szer futtatjuk az algoritmust.

M´asodik ¨otlet: A folyamalgoritmust el´eg csup´an (|V| −1)-szer lefuttatni, merts-et r¨ogz´ıthetj¨uk. ´IgyO(|V|⁴) lesz a l´ep´essz´am.

Ez mind sz´ep ´es j´o, de mi enn´el hat´ekonyabb elj´ar´ast szeretn´enk.

Azt lehetne pl. kihaszn´alni, hogy G ir´any´ıtatlan.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

a b

c

de f

g h i

a bc

de f

g h i

a bc

de

g fh i

bc ade

g fh i

bc ade

g fhi

ade

g bcfhi adeg bcfhi

a b

c d

e f

g h i

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

a b

c

de f

g h i

a bc

de f

g h i

a bc

de

g fh i

bc ade

g fh i

bc ade

g fhi

ade

g bcfhi adeg bcfhi

a b

c d

e f

g h i

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

K¨ov: (1) P(kn² futtat´as ut´an sosem X az output)≤e^−2k. (2)n cs´ucs´u gr´afnak legfeljebb ⁿ₂

minim´alis v´ag´asa van.

(A korl´at ´eles: a k¨ornek pl. ´epp ennyi van.)

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Biz: k cs´ucs´u gr´afban az egypont´u v´ag´asok minden ´elt k´etszer haszn´alnak, ´ıgy azX minv´ag´as ´ert´ek´ere kdc(X)≤2˜c(E) teljes¨ul.

Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyX a random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´eli

˜

c(E)−dc(X)

˜

c(E) = kc˜(E)−kdc(X)

kc˜(E) ≥ k˜c(E)−2˜c(E)

k˜c(E) = k−2 k .

Ez´ert

P(X az output)≥ n−2

n ·n−3

n−1·n−4

n−2 ·. . .·2 4·1

3 = 2

n(n−1) . Pontosan ezt akartuk bizony´ıtani.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Biz: k cs´ucs´u gr´afban az egypont´u v´ag´asok minden ´elt k´etszer haszn´alnak, ´ıgy azX minv´ag´as ´ert´ek´ere kdc(X)≤2˜c(E) teljes¨ul.

Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyX a random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´eli

˜

c(E)−dc(X)

˜

c(E) = kc˜(E)−kdc(X)

kc˜(E) ≥ k˜c(E)−2˜c(E)

k˜c(E) = k−2 k . Ez´ert

P(X az output)≥ n−2

n ·n−3

n−1·n−4

n−2 ·. . .·2 4·1

3 = 2

n(n−1) . Pontosan ezt akartuk bizony´ıtani.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Karger algoritmusa

Hajtsuk v´egre a k¨ovetkez˝o elj´ar´ast.

Am´ıg|V|>2, v´alasszunk az aktu´alis c szerinti eloszl´assal random

´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. Ha csak k´et cs´ucs marad, meg´allunk. Ez a k´et cs´ucsG egy minim´alis v´ag´as jel¨oltj´et hat´arozza meg.

T´etel: Legyen X a G egy minim´alis v´ag´asa. Karger fenti elj´ar´asa legal´abb 1/ ⁿ₂

val´osz´ın˝us´eggel X-et tal´alja meg, aholn =|V(G)|.

Megj: (1) Karger algoritmus´anak hat´ekonys´ag´at Stein ¨otlete egy nagys´agrenddel megjav´ıtja. Ugyanis m´ıg nagy a gr´af, dr´aga egy ´el

¨

osszeh´uz´asa. Kis gr´afra m´ar olcs´o, de ekkor k¨onnyen elveszhet a minv´ag´as. Az ´ert´ekes munk´at jobban kihaszn´aljuk, ha egy

¨

onmag´at megh´ıv´o, rekurz´ıv algoritmussal dolgozunk:

A random ´el¨osszeh´uz´assal nem k´et, hanem ^√n

2 cs´ucsn´al ´allunk le.

A kapott kisebb gr´afra k´etszer megh´ıvjuk ugyanezt az algoritmust.

´Igy csak konstanszor t¨obbet dolgozunk, m´egis legal´abb ¹_n val´osz´ın˝us´eggel tal´aljuk meg az X minv´ag´ast.

(2) Karger algoritmusa szellemes ugyan, de nem determinisztikus.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Megf: G egy maxvissza sorrendje ´ugy kaphat´o, hogy tetsz˝oleges cs´ucsb´ol kiindulva mindig azt a cs´ucsot v´alasztjuk k¨ovetkez˝onek, amelyik a legnagyobb ¨osszs´ullyal kapcsol´odik a kor´abban m´ar kiv´alasztott cs´ucsokhoz.

P´elda:

1 2

3

4

5 9

8

7

6

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis. (K´es˝obb bizony´ıtjuk.)

1 2

3

4

5 9

8

7

6

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

(G/vnvn−1 itt azt a gr´afot jel¨oli, amitG-b˝ol ´ugy kapunk, hogy a vn−1 ´esv_n cs´ucsokat egybeolvasztjuk.)

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

Biz: Ha {v_n} nem minv´ag´as, akkorλc(G)<dc(vn) =λc(vn−1vn), azazG egyetlen minv´ag´asa sem szeper´alja a vn ´esvn−1 cs´ucsokat.

Ez´ert G minden minv´ag´asa t´ul´eli e k´et cs´ucs egybeolvaszt´as´at.

M´asik ir´any: az egybeolvasztott gr´af minden v´ag´asa megtal´alhat´o G-ben is.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

K¨ov: G minv´ag´asa vagy{v_n} vagyG/vnvn−1 egy minv´ag´asa.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

K¨ov: G minv´ag´asa vagy{v_n} vagyG/vnvn−1 egy minv´ag´asa.

Nagamochi ´es Ibaraki algoritmusa Input: G = (V,E),c ∈R^E+

Output:λ_c(G) ´ert´eke ´esG egy X minv´ag´asa.

M˝uk¨od´es 1. Elk´esz´ıtj¨uk G egyv1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendj´et.

2. Rekurz´ıvan meghat´arozzuk G⁰ =G/vn−1vn egyX⁰ minv´ag´as´at.

3. Haλ_c(G⁰)<d_c(v_n), akkor az output λ_c(G⁰) ´esX⁰ ˝oseG-ben.

4. K¨ul¨onben az outputλc(G) =dc(vn) ´esX ={v_n}.

Minv´ ag´ as maxvissza sorrenddel

Egy determinisztikus algoritmust is bemutatunk.

Def: AG = (V,E) gr´afnak a c ´els´ulyoz´as mellett v1,v2, . . . ,vn

egymaxvissza sorrendje, ha d_c(v_i+1,V_i)≥d_c(v_j,V_i) teljes¨ul minden 1≤i <j ≤n eset´en, ahol Vi ={v₁,v2, . . . ,vi}.

Lemma: Ha v1,v2, . . . ,vn aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

K¨ov: Ha v1,v2, . . . ,vn aG maxvissza sorrendje, ´es{v_n}nem minim´alis v´ag´as akkor G ´esG/v_nvn−1 minv´ag´asai megegyeznek.

K¨ov: G minv´ag´asa vagy{v_n} vagyG/vnvn−1 egy minv´ag´asa.

Nagamochi ´es Ibaraki algoritmusa Input: G = (V,E),c ∈R^E+

Output:λ_c(G) ´ert´eke ´esG egy X minv´ag´asa.

M˝uk¨od´es 1. Elk´esz´ıtj¨uk G egyv1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendj´et.

2. Rekurz´ıvan meghat´arozzuk G⁰ =G/vn−1vn egyX⁰ minv´ag´as´at.

3. Haλ_c(G⁰)<d_c(v_n), akkor az output λ_c(G⁰) ´esX⁰ ˝oseG-ben.

4. K¨ul¨onben az outputλc(G) =dc(vn) ´esX ={v_n}.

Alg helyess´ege: A lemm´an m´ulik. Ennek alaposan nekifutunk.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

Egy bej´ar´asi algoritmus elej´en az input gr´af cs´ucsai el´eretlenek. Az algoritmus lefut´asa sor´an minden cs´ucs az el´eretlen-el´ert-befejezett evol´uci´on megy kereszt¨ul. ´Altal´anos l´ep´es esetek szerint:

1. Van el´ert cs´ucs, mondjuku.

a Ha∃uv ∈E,v el´eretlen, akkor azuv ´el ment´env el´ertt´e v´alik.

b Ha nincs ilyenuv ´el, akkor u befejezett´e v´alik.

2. Nincs el´ert cs´ucs a Van el´eretlen cs´ucs,v. Ekkor v el´ertt´e v´alik.

b El´eretlen cs´ucs sincs. Ekkor minden cs´ucs befejezett, STOP.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

Egy bej´ar´asi algoritmus elej´en az input gr´af cs´ucsai el´eretlenek. Az algoritmus lefut´asa sor´an minden cs´ucs az el´eretlen-el´ert-befejezett evol´uci´on megy kereszt¨ul. ´Altal´anos l´ep´es esetek szerint:

1. Van el´ert cs´ucs, mondjuku.

a Ha∃uv ∈E,v el´eretlen, akkor azuv ´el ment´env el´ertt´e v´alik.

b Ha nincs ilyenuv ´el, akkor u befejezett´e v´alik.

2. Nincs el´ert cs´ucs a Van el´eretlen cs´ucs,v. Ekkor v el´ertt´e v´alik.

b El´eretlen cs´ucs sincs. Ekkor minden cs´ucs befejezett, STOP.

DFS: 1-benu a legk´es˝obb el´ert cs´ucs.

BFS: 1-benu a legkor´abban el´ert cs´ucs.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

Egy bej´ar´asi algoritmus elej´en az input gr´af cs´ucsai el´eretlenek. Az algoritmus lefut´asa sor´an minden cs´ucs az el´eretlen-el´ert-befejezett evol´uci´on megy kereszt¨ul. ´Altal´anos l´ep´es esetek szerint:

1. Van el´ert cs´ucs, mondjuku.

a Ha∃uv ∈E,v el´eretlen, akkor azuv ´el ment´env el´ertt´e v´alik.

b Ha nincs ilyenuv ´el, akkor u befejezett´e v´alik.

2. Nincs el´ert cs´ucs a Van el´eretlen cs´ucs,v. Ekkor v el´ertt´e v´alik.

b El´eretlen cs´ucs sincs. Ekkor minden cs´ucs befejezett, STOP.

DFS: 1-benu a legk´es˝obb el´ert cs´ucs.

BFS: 1-benu a legkor´abban el´ert cs´ucs.

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

Egy bej´ar´asi algoritmus elej´en az input gr´af cs´ucsai el´eretlenek. Az algoritmus lefut´asa sor´an minden cs´ucs az el´eretlen-el´ert-befejezett evol´uci´on megy kereszt¨ul. ´Altal´anos l´ep´es esetek szerint:

1. Van el´ert cs´ucs, mondjuku.

a Ha∃uv ∈E,v el´eretlen, akkor azuv ´el ment´env el´ertt´e v´alik.

b Ha nincs ilyenuv ´el, akkor u befejezett´e v´alik.

2. Nincs el´ert cs´ucs a Van el´eretlen cs´ucs,v. Ekkor v el´ertt´e v´alik.

b El´eretlen cs´ucs sincs. Ekkor minden cs´ucs befejezett, STOP.

DFS: 1-benu a legk´es˝obb el´ert cs´ucs.

BFS: 1-benu a legkor´abban el´ert cs´ucs.

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Megj: Az SFS a BFS ´altal´anos´ıt´asa, ha 1’-ben mindig a legkor´abban el´ert cs´ucsot v´alasztjuk.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Az SFS bej´ar´as befejez´esi sorrendje j´ol karakteriz´alhat´o.

Def: AG gr´af cs´ucsainak v1,v2, . . . ,vn sorrendjefolytonos, ha G mindenK komponens´ere igaz, hogyK cs´ucsai intervallumot alkotnak ebben a sorrendben ´esK legels˝o cs´ucsa kiv´etel´evel K minden cs´ucs´anak van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja. A folytonos sorrendhez tartoz´o erd˝otminden cs´ucsb´ol az ˝ot megel˝oz˝o, legkor´abbi szomsz´edj´aba fut´o ´elek alkotj´ak.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Az SFS bej´ar´as befejez´esi sorrendje j´ol karakteriz´alhat´o.

Def: AG gr´af cs´ucsainak v1,v2, . . . ,vn sorrendjefolytonos, ha G mindenK komponens´ere igaz, hogyK cs´ucsai intervallumot alkotnak ebben a sorrendben ´esK legels˝o cs´ucsa kiv´etel´evel K minden cs´ucs´anak van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja. A folytonos sorrendhez tartoz´o erd˝otminden cs´ucsb´ol az ˝ot megel˝oz˝o, legkor´abbi szomsz´edj´aba fut´o ´elek alkotj´ak.

T´etel: (1) A G cs´ucsainakv1,v2, . . . ,vn sorrendje pontosan akkor folytonos, haG egy SFS bej´ar´as´anak befejez´esi sorrendje.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Az SFS bej´ar´as befejez´esi sorrendje j´ol karakteriz´alhat´o.

Def: AG gr´af cs´ucsainak v1,v2, . . . ,vn sorrendjefolytonos, ha G mindenK komponens´ere igaz, hogyK cs´ucsai intervallumot alkotnak ebben a sorrendben ´esK legels˝o cs´ucsa kiv´etel´evel K minden cs´ucs´anak van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja. A folytonos sorrendhez tartoz´o erd˝otminden cs´ucsb´ol az ˝ot megel˝oz˝o, legkor´abbi szomsz´edj´aba fut´o ´elek alkotj´ak.

T´etel: (1) A G cs´ucsainakv1,v2, . . . ,vn sorrendje pontosan akkor folytonos, haG egy SFS bej´ar´as´anak befejez´esi sorrendje.

Biz: A folytonos sorrenden v´egighaladva v´egrehajthat´o az SFS bej´ar´as, mindig a folytonos sorrend soron k¨ovetkez˝o cs´ucs´at befejezve.

Az SFS befejez´esi sorrendj´ebenG komponensei intervallumok, ´es minden gy¨ok´ert˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o cs´ucsnak van kor´abbi szomsz´edja, ´ıgy az SFS befejez´esi sorrend folytonos.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Az SFS bej´ar´as befejez´esi sorrendje j´ol karakteriz´alhat´o.

Def: AG gr´af cs´ucsainak v1,v2, . . . ,vn sorrendjefolytonos, ha G mindenK komponens´ere igaz, hogyK cs´ucsai intervallumot alkotnak ebben a sorrendben ´esK legels˝o cs´ucsa kiv´etel´evel K minden cs´ucs´anak van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja. A folytonos sorrendhez tartoz´o erd˝otminden cs´ucsb´ol az ˝ot megel˝oz˝o, legkor´abbi szomsz´edj´aba fut´o ´elek alkotj´ak.

T´etel: (1) A G cs´ucsainakv1,v2, . . . ,vn sorrendje pontosan akkor folytonos, haG egy SFS bej´ar´as´anak befejez´esi sorrendje.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Az SFS bej´ar´as befejez´esi sorrendje j´ol karakteriz´alhat´o.

Def: AG gr´af cs´ucsainak v1,v2, . . . ,vn sorrendjefolytonos, ha G mindenK komponens´ere igaz, hogyK cs´ucsai intervallumot alkotnak ebben a sorrendben ´esK legels˝o cs´ucsa kiv´etel´evel K minden cs´ucs´anak van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja. A folytonos sorrendhez tartoz´o erd˝otminden cs´ucsb´ol az ˝ot megel˝oz˝o, legkor´abbi szomsz´edj´aba fut´o ´elek alkotj´ak.

T´etel: (1) A G cs´ucsainakv1,v2, . . . ,vn sorrendje pontosan akkor folytonos, haG egy SFS bej´ar´as´anak befejez´esi sorrendje.

(2) Az SFS bej´ar´ashoz tartoz´o erd˝o megegyezik a befejez´esi sorrendj´ehez (mint folytonos sorrendhez) tartoz´o erd˝ovel.

Scan First Search bej´ ar´ asok ´ es folytonos sorrendek

SFS: 1’ Van el´ert cs´ucs, mondjuku. Minden uv ´elre, amirev el´eretlen, azuv ment´env el´ertt´e v´alik,u befejezett´e v´alik.

Az SFS bej´ar´as befejez´esi sorrendje j´ol karakteriz´alhat´o.

Def: AG gr´af cs´ucsainak v1,v2, . . . ,vn sorrendjefolytonos, ha G mindenK komponens´ere igaz, hogyK cs´ucsai intervallumot alkotnak ebben a sorrendben ´esK legels˝o cs´ucsa kiv´etel´evel K minden cs´ucs´anak van a sorrendben kor´abbi szomsz´edja. A folytonos sorrendhez tartoz´o erd˝otminden cs´ucsb´ol az ˝ot megel˝oz˝o, legkor´abbi szomsz´edj´aba fut´o ´elek alkotj´ak.

T´etel: (1) A G cs´ucsainakv1,v2, . . . ,vn sorrendje pontosan akkor folytonos, haG egy SFS bej´ar´as´anak befejez´esi sorrendje.

(2) Az SFS bej´ar´ashoz tartoz´o erd˝o megegyezik a befejez´esi sorrendj´ehez (mint folytonos sorrendhez) tartoz´o erd˝ovel.

Biz: Az SFS erd˝oben minden (nemgy¨ok´er) cs´ucs ˝ose az a szomsz´edja, amelyiket el˝osz¨or fejezt¨uk be az SFS bej´ar´as sor´an.

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Biz: (1) A maxvissza sorrendben minden komponens intervallum,

´es minden komponens els˝ot˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o cs´ucs´anak van kor´abbi szomsz´edja a komponensben.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Biz: (1) A maxvissza sorrendben minden komponens intervallum,

´es minden komponens els˝ot˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o cs´ucs´anak van kor´abbi szomsz´edja a komponensben.

(2) MindenV_i-hez G-ben csatlakoz´o,u 6∈V_i cs´ucsra

d_G−F1(u,V_i) =d(u,V_i)−1 azF₁ defin´ıci´oja alapj´an. Ha pedig u nem csatlakozikVi-hez, akkord_G−F1(u,Vi) =d(u,Vi) = 0. Ez´ert G−F₁ maxvissza sorrendj´enek k´esz´ıt´esekor tudunkv₁,v₂, . . . ,v_n sorrendben haladni.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Lemma: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Lemma: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Megj: Itt csak azt az esetet bizony´ıtjuk, aholc eg´esz. Ekkor mindene ´el helyett bevezet¨unkc(e) p´arhuzamos ´elt, ´es ebben a gr´afban dolgozunk.

(A nem eg´eszc s´ulyf¨uggv´enyt a gyakorlaton lehet majd n´ezegetni.)

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Lemma: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Lemma: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Biz: Bel´atjuk, hvn−1 ´esv_n k¨oz¨ott van k :=d(v_n) ´eldiszjunkt ´ut.

Legyeni <j eset´en a v_iv_j ´el sz´ınep, ha a maxvissza sorrendbenv_i avj p-dik szomsz´edja. Fp :={p sz´ın˝u ´elek}. L´attuk, hogyF1 a maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o,F₂ aG −F₁ ugyanezen maxvissza sorrendj´ehez tartoz´o erd˝o, s´ıt. Mivelv₁,v₂, . . . ,v_n minden`-re maxvissza (´es ´ıgy folytonos) sorrendje a

G−F₁−F₂−. . .−F_` gr´afnak, ez´ert hax ´esy cs´ucs F_k azonos komponensben van, akkor azF₁,F₂, . . . ,F_k−1 erd˝ok mindegyik´eben x´esy k¨oz¨os komponensben van. vn−1 ´esvn pl. ilyenek. Ez´ertvn−1

´esv_n k¨oz¨ott az F₁,F₂, . . . ,F_k erd˝okben ´eldiszjunkt utak vezetnek,

´ıgy d(v_n) =k ≤λ(vn−1,v_n)≤d(v_n).

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Lemma: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol

A maxvissza sorrend folytonoss´ aga

All´ıt´´ as: (1) Minden maxvissza sorrend folytonos.

(2) HaF1 av1,v2, . . . ,vn maxvissza sorrendhez tartoz´o erd˝o, akkor v1,v2, . . . ,vn aG −F1 gr´afnak is maxvissza sorrendje.

Lemma: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG c ´els´ulyoz´as melletti maxvissza sorrendje, akkorλ_c(vn−1,v_n) =d_c(v_n), azaz avn−1-et ´esv_n-t szepar´al´o v´ag´asok k¨oz¨ott{v_n} minim´alis.

Ennyit m´ ara a term´ eszettudom´ anyok

´

ujdons´ agaib´ ol, ´ erdekess´ egeib˝ ol