Fels˝obb matematika villamosm´ern¨ok¨oknek – Kombinatorikus optimaliz´al´as

Fels˝ obb matematika villamosm´ ern¨ ok¨ oknek – Kombinatorikus optimaliz´ al´ as

Gr´afok ¨osszef¨ugg˝os´eg´enek meghat´aroz´asa, minim´alis v´ag´as keres´ese

2022. m´arcius 29.

Bevezet´ es

Egy gr´af akkor ¨osszef¨ugg˝o, ha b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezet ´ut. Defini´alhat´o a magasabb ¨osszef¨ugg˝os´eg is, ami a gyakorlatban is hasznos fogalom pl megb´ızhat´o h´al´ozatok tevez´esekor.

Egy G gr´af akkork-szorosan pont¨osszef¨ugg˝o (k-¨of), ha (1)

|V(G)| ≥k+ 1 ´es (2) b´arhogy is t¨orl¨unkG-b˝ol legfeljebbk−1 cs´ucsot, azt G t´ul´eli (vagyis ¨osszef¨ugg˝o marad). Menger t´etele szerint ez azzal ekvivalens, hogyG b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezetk olyan ´ut, amelyek k¨oz¨ul semelyik kett˝onek sincs k¨oz¨os bels˝o cs´ucsa. (Az (1) felt´etel jelent˝os´ege, hogy annak hi´any´abanKn b´armilyenk-rak-¨of lenne.) G pont¨osszef¨ugg˝os´ege κ(G) =k, ha G k-¨of, de nem (k+ 1)-¨of. Pl. κ(K_n) =n.

Az 2-´el¨of ill 2-¨of gr´afok strukt´ur´aj´at fogjuk vizsg´alni, ´es ´altalban azt n´ezz¨uk meg, hogyan lehet egy gr´afban minim´alis v´ag´ast tal´alni, azaz minim´alis sz´am´u ´el t¨orl´es´evel el´erni, hogyG ne maradjon

¨

osszef¨ugg˝o.

Bevezet´ es

Egy gr´af akkor ¨osszef¨ugg˝o, ha b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezet ´ut. Defini´alhat´o a magasabb ¨osszef¨ugg˝os´eg is, ami a gyakorlatban is hasznos fogalom pl megb´ızhat´o h´al´ozatok tevez´esekor.

EgyG gr´af akkork-szorosan ´el¨osszef¨ugg˝o (k-´el¨of), ha b´arhogy is t¨orl¨unk G-b˝ol legfeljebb k−1 ´elt, aztG t´ul´eli (vagyis ¨osszef¨ugg˝o marad). Menger t´etele szerint ez azzal ekvivalens, hogy G b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezetk olyan ´ut, amelyek k¨oz¨ul semelyik kett˝onek sincs k¨oz¨os ´ele. A G gr´af ´el¨osszef¨ugg˝os´ege λ(G) =k, ha G k-´el¨of, de nem (k+ 1)-´el¨of. Ez az ´ert´ek megegyezikG minim´alis v´ag´as´anak m´eret´evel, ahol minim´alis v´ag´as az olyan lehet˝o legkevesebb ´elb˝ol ´all´o halmaz, amit elhagyva G nem marad ¨of.

Egy G gr´af akkork-szorosan pont¨osszef¨ugg˝o (k-¨of), ha (1)

|V(G)| ≥k+ 1 ´es (2) b´arhogy is t¨orl¨unkG-b˝ol legfeljebbk−1 cs´ucsot, azt G t´ul´eli (vagyis ¨osszef¨ugg˝o marad). Menger t´etele szerint ez azzal ekvivalens, hogyG b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezetk olyan ´ut, amelyek k¨oz¨ul semelyik kett˝onek sincs k¨oz¨os bels˝o cs´ucsa. (Az (1) felt´etel jelent˝os´ege, hogy annak hi´any´abanKn b´armilyenk-rak-¨of lenne.) G pont¨osszef¨ugg˝os´ege κ(G) =k, ha G k-¨of, de nem (k+ 1)-¨of. Pl. κ(K_n) =n.

Az 2-´el¨of ill 2-¨of gr´afok strukt´ur´aj´at fogjuk vizsg´alni, ´es ´altalban azt n´ezz¨uk meg, hogyan lehet egy gr´afban minim´alis v´ag´ast tal´alni, azaz minim´alis sz´am´u ´el t¨orl´es´evel el´erni, hogyG ne maradjon

¨

osszef¨ugg˝o.

Bevezet´ es

EgyG gr´af akkork-szorosan pont¨osszef¨ugg˝o (k-¨of), ha (1)

|V(G)| ≥k+ 1 ´es (2) b´arhogy is t¨orl¨unkG-b˝ol legfeljebbk−1 cs´ucsot, aztG t´ul´eli (vagyis ¨osszef¨ugg˝o marad). Menger t´etele szerint ez azzal ekvivalens, hogyG b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezetk olyan ´ut, amelyek k¨oz¨ul semelyik kett˝onek sincs k¨oz¨os bels˝o cs´ucsa. (Az (1) felt´etel jelent˝os´ege, hogy annak hi´any´abanKn b´armilyenk-rak-¨of lenne.) G pont¨osszef¨ugg˝os´ege κ(G) =k, haG k-¨of, de nem (k+ 1)-¨of. Pl. κ(Kn) =n.

Az 2-´el¨of ill 2-¨of gr´afok strukt´ur´aj´at fogjuk vizsg´alni, ´es ´altalban azt n´ezz¨uk meg, hogyan lehet egy gr´afban minim´alis v´ag´ast tal´alni, azaz minim´alis sz´am´u ´el t¨orl´es´evel el´erni, hogyG ne maradjon

¨

osszef¨ugg˝o.

Bevezet´ es

EgyG gr´af akkork-szorosan pont¨osszef¨ugg˝o (k-¨of), ha (1)

|V(G)| ≥k+ 1 ´es (2) b´arhogy is t¨orl¨unkG-b˝ol legfeljebbk−1 cs´ucsot, aztG t´ul´eli (vagyis ¨osszef¨ugg˝o marad). Menger t´etele szerint ez azzal ekvivalens, hogyG b´armely cs´ucs´ab´ol b´armely m´asik cs´ucs´aba vezetk olyan ´ut, amelyek k¨oz¨ul semelyik kett˝onek sincs k¨oz¨os bels˝o cs´ucsa. (Az (1) felt´etel jelent˝os´ege, hogy annak hi´any´abanKn b´armilyenk-rak-¨of lenne.) G pont¨osszef¨ugg˝os´ege κ(G) =k, haG k-¨of, de nem (k+ 1)-¨of. Pl. κ(Kn) =n.

Az 2-´el¨of ill 2-¨of gr´afok strukt´ur´aj´at fogjuk vizsg´alni, ´es ´altalban azt n´ezz¨uk meg, hogyan lehet egy gr´afban minim´alis v´ag´ast tal´alni, azaz minim´alis sz´am´u ´el t¨orl´es´evel el´erni, hogyG ne maradjon

¨

osszef¨ugg˝o.

λ(G ) meghat´ aroz´ asa folyamokkal

Haλ(G)-t keress¨uk, akkor azt szeretn´enk meg´allap´ıtani, mennyi a legkevesebb ´el, aminek a t¨orl´es´et˝olG sz´etesik, azazG egyu ´es egy v cs´ucsa k¨oz¨ott nem lesz ´ut. R¨ogz´ıtett u,v eset´en egyetlen

folyamalgoritmussal meg tudunk hat´arozni egy minim´alisuv-v´ag´ast G-ben (c ≡1 ´esG minden ´el´et oda-vissza megir´any´ıtjuk). Ha az

¨

osszes lehets´eges u,v cs´ucsp´arra ezt megtessz¨uk, akkor a kapott legkisebb v´ag´as G egy minim´alis v´ag´asa lesz.

Enn´el azonban van jobb m´odszer is. Legyen v aG egy kit¨untetett cs´ucsa. G b´armely minim´alis v´ag´asa olyan, hogy ha elhagyjuk az

´eleit, akkor leszG-nek olyan u6=v cs´ucsa, hogyu ´esv k¨oz¨ot nincs

´

ut. Ez´ertG b´armely minv´ag´asa olyan, hogy megkaphat´o a kit¨untetett v-t egy alkalmasu cs´ucst´ol szepar´al´o minim´alis v´ag´ask´ent egyetlen folyamalgoritmussal. Ez´ert hav-t r¨ogz´ıtj¨uk, akkor elegend˝on−1 folyamalgoritmust futtani, aholn a G cs´ucsai sz´ama. (Tkp. λ(G) aλ(u,v)-k minimuma, ahol v r¨ogz´ıtett,u pedig bmelyik m´asik cs´ucs lehet.)

λ(G ) meghat´ aroz´ asa folyamokkal

Haλ(G)-t keress¨uk, akkor azt szeretn´enk meg´allap´ıtani, mennyi a legkevesebb ´el, aminek a t¨orl´es´et˝olG sz´etesik, azazG egyu ´es egy v cs´ucsa k¨oz¨ott nem lesz ´ut. R¨ogz´ıtett u,v eset´en egyetlen

folyamalgoritmussal meg tudunk hat´arozni egy minim´alisuv-v´ag´ast G-ben (c ≡1 ´esG minden ´el´et oda-vissza megir´any´ıtjuk). Ha az

¨

osszes lehets´eges u,v cs´ucsp´arra ezt megtessz¨uk, akkor a kapott legkisebb v´ag´as G egy minim´alis v´ag´asa lesz.

Enn´el azonban van jobb m´odszer is. Legyen v aG egy kit¨untetett cs´ucsa. G b´armely minim´alis v´ag´asa olyan, hogy ha elhagyjuk az

´eleit, akkor leszG-nek olyan u6=v cs´ucsa, hogyu ´esv k¨oz¨ot nincs

´

ut. Ez´ertG b´armely minv´ag´asa olyan, hogy megkaphat´o a kit¨untetett v-t egy alkalmasu cs´ucst´ol szepar´al´o minim´alis v´ag´ask´ent egyetlen folyamalgoritmussal. Ez´ert hav-t r¨ogz´ıtj¨uk, akkor elegend˝on−1 folyamalgoritmust futtani, aholn a G cs´ucsai sz´ama. (Tkp. λ(G) aλ(u,v)-k minimuma, ahol v r¨ogz´ıtett,u pedig bmelyik m´asik cs´ucs lehet.)

κ(G ) meghat´ aroz´ asa folyamokkal

Az el˝obbi ¨otlet m˝uk¨odik a pont¨osszef¨ugg˝os´eg meghat´aroz´as´ara is.

Ha az ¨osszes u,v cs´ucsp´arra meghat´arozzuk κ(u,v)-t (azu ´esv k¨oz¨ott fut´o, bels˝oleg p´aronk´ent pontdiszjunkt utak maxim´alis sz´am´at), akkor

κ(G) = min{|V(G)| −1,min{κ(u,v) :u,v ∈V(G)}}, ´es ez alapj´an κ(G) meghat´arozhat´o. Egyetlenκ(u,v) meghat´aroz´asa szint´en a folyamalgoritmussal lehets´eges: minden ´elt oda-vissza ir´any´ıtjuk, a cs´ucsokat sz´eth´uzzuk ´es minden ir´any´ıtott ´elnek 1 kapacit´ast adunk.

v vbe vki

Pont¨osszef¨ugg˝os´eg meghat´aroz´asakor azonban nem m˝uk¨odik a m´asodik ¨otlet: nem r¨ogz´ıthetj¨uk az s =v cs´ucsot, mert lehet, hogyv-t el kell hagyniG minim´alis v´ag´asban.

κ(G ) meghat´ aroz´ asa folyamokkal

Az el˝obbi ¨otlet m˝uk¨odik a pont¨osszef¨ugg˝os´eg meghat´aroz´as´ara is.

Ha az ¨osszes u,v cs´ucsp´arra meghat´arozzuk κ(u,v)-t (azu ´esv k¨oz¨ott fut´o, bels˝oleg p´aronk´ent pontdiszjunkt utak maxim´alis sz´am´at), akkor

κ(G) = min{|V(G)| −1,min{κ(u,v) :u,v ∈V(G)}}, ´es ez alapj´an κ(G) meghat´arozhat´o. Egyetlenκ(u,v) meghat´aroz´asa szint´en a folyamalgoritmussal lehets´eges: minden ´elt oda-vissza ir´any´ıtjuk, a cs´ucsokat sz´eth´uzzuk ´es minden ir´any´ıtott ´elnek 1 kapacit´ast adunk.

v vbe vki

Pont¨osszef¨ugg˝os´eg meghat´aroz´asakor azonban nem m˝uk¨odik a m´asodik ¨otlet: nem r¨ogz´ıthetj¨uk az s =v cs´ucsot, mert lehet, hogyv-t el kell hagyniG minim´alis v´ag´asban.

Gr´ afok 2-´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

AG gr´af akkor 2-´el¨of, ha G ¨of, ´esG-nek nincs elv´ag´o ´ele, azaz olyan ´ele, amit elhagyva G sz´etesik.

Def: AG gr´af2-komponensei aG elv´ag´o ´eleinek elhagy´as´aval kapott gr´af komponensei. Egy 2-kompnenensizol´alt, ha 0,lev´el, ha 1 ´esbels˝o, ha legal´abb 3 elv´ag´o ´el indul bel˝ole. `(G) ill.`⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt 2-komponensei sz´am´at jel¨oli.

T´etel: AG gr´af 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o ´elek minim´alis sz´ama

l`(G)+2`⁰(G) 2

m .

Biz: Minden lev´el 2-komponensb˝ol ki kell indulnia egy ´uj ´elnek, minden izol´alt 2-komponensb˝ol legal´abb 2-nek. Mindig be lehet h´uzni olyan ´elt, ami a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenti.

Gr´ afok 2-´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

AG gr´af akkor 2-´el¨of, ha G ¨of, ´esG-nek nincs elv´ag´o ´ele, azaz olyan ´ele, amit elhagyva G sz´etesik.

Def: AG gr´af 2-komponensei aG elv´ag´o ´eleinek elhagy´as´aval kapott gr´af komponensei. Egy 2-kompnenensizol´alt, ha 0,lev´el, ha 1 ´esbels˝o, ha legal´abb 3 elv´ag´o ´el indul bel˝ole. `(G) ill.`⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt 2-komponensei sz´am´at jel¨oli.

`(G) = 7

`⁰(G) = 1 izol´alt

lev´el bels˝o egy´eb

Megf: AG gr´af 2-komponenseit egy-egy pontba ¨osszeolvasztva olyan erd˝ot kapunk, aminek ´elei aG elv´ag´o ´elei. HaG ¨osszef¨ugg˝o, akkor ez az erd˝o fa.

T´etel: AG gr´af 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o ´elek minim´alis sz´amal_`(G)+2`0(G)

2

m .

Biz: Minden lev´el 2-komponensb˝ol ki kell indulnia egy ´uj ´elnek, minden izol´alt 2-komponensb˝ol legal´abb 2-nek. Mindig be lehet h´uzni olyan ´elt, ami a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenti.

Gr´ afok 2-´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

AG gr´af akkor 2-´el¨of, ha G ¨of, ´esG-nek nincs elv´ag´o ´ele, azaz olyan ´ele, amit elhagyva G sz´etesik.

Def: AG gr´af 2-komponensei aG elv´ag´o ´eleinek elhagy´as´aval kapott gr´af komponensei. Egy 2-kompnenensizol´alt, ha 0,lev´el, ha 1 ´esbels˝o, ha legal´abb 3 elv´ag´o ´el indul bel˝ole. `(G) ill.`⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt 2-komponensei sz´am´at jel¨oli.

`(G) = 7

`⁰(G) = 1 izol´alt

lev´el bels˝o egy´eb

Megf: AG gr´af 2-komponenseit egy-egy pontba ¨osszeolvasztva olyan erd˝ot kapunk, aminek ´elei aG elv´ag´o ´elei. HaG ¨osszef¨ugg˝o, akkor ez az erd˝o fa.

T´etel: AG gr´af 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o ´elek minim´alis sz´amal_`(G)+2`0(G)

2

m .

Biz: Minden lev´el 2-komponensb˝ol ki kell indulnia egy ´uj ´elnek, minden izol´alt 2-komponensb˝ol legal´abb 2-nek. Mindig be lehet h´uzni olyan ´elt, ami a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenti.

Gr´ afok 2-´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

AG gr´af akkor 2-´el¨of, ha G ¨of, ´esG-nek nincs elv´ag´o ´ele, azaz olyan ´ele, amit elhagyva G sz´etesik.

Def: AG gr´af 2-komponensei aG elv´ag´o ´eleinek elhagy´as´aval kapott gr´af komponensei. Egy 2-kompnenensizol´alt, ha 0,lev´el, ha 1 ´esbels˝o, ha legal´abb 3 elv´ag´o ´el indul bel˝ole. `(G) ill.`⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt 2-komponensei sz´am´at jel¨oli.

`(G) = 7

`⁰(G) = 1 izol´alt

lev´el bels˝o egy´eb

T´etel: AG gr´af 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o ´elek minim´alis sz´ama

l`(G)+2`⁰(G) 2

m .

Biz: Minden lev´el 2-komponensb˝ol ki kell indulnia egy ´uj ´elnek, minden izol´alt 2-komponensb˝ol legal´abb 2-nek. Mindig be lehet h´uzni olyan ´elt, ami a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenti.

Gr´ afok 2-´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

AG gr´af akkor 2-´el¨of, ha G ¨of, ´esG-nek nincs elv´ag´o ´ele, azaz olyan ´ele, amit elhagyva G sz´etesik.

Def: AG gr´af 2-komponensei aG elv´ag´o ´eleinek elhagy´as´aval kapott gr´af komponensei. Egy 2-kompnenensizol´alt, ha 0,lev´el, ha 1 ´esbels˝o, ha legal´abb 3 elv´ag´o ´el indul bel˝ole. `(G) ill.`⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt 2-komponensei sz´am´at jel¨oli.

`(G) = 7

`⁰(G) = 1 izol´alt

lev´el bels˝o egy´eb

T´etel: AG gr´af 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o ´elek minim´alis sz´ama

l`(G)+2`⁰(G) 2

m .

Biz: Minden lev´el 2-komponensb˝ol ki kell indulnia egy ´uj ´elnek, minden izol´alt 2-komponensb˝ol legal´abb 2-nek. Mindig be lehet h´uzni olyan ´elt, ami a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenti.

Gr´ afok 2-´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

AG gr´af akkor 2-´el¨of, ha G ¨of, ´esG-nek nincs elv´ag´o ´ele, azaz olyan ´ele, amit elhagyva G sz´etesik.

Def: AG gr´af 2-komponensei aG elv´ag´o ´eleinek elhagy´as´aval kapott gr´af komponensei. Egy 2-kompnenensizol´alt, ha 0,lev´el, ha 1 ´esbels˝o, ha legal´abb 3 elv´ag´o ´el indul bel˝ole. `(G) ill.`⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt 2-komponensei sz´am´at jel¨oli.

`(G) = 7

`⁰(G) = 1 izol´alt

lev´el bels˝o egy´eb

T´etel: AG gr´af 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o ´elek minim´alis sz´ama

l`(G)+2`⁰(G) 2

m .

Biz: Minden lev´el 2-komponensb˝ol ki kell indulnia egy ´uj ´elnek, minden izol´alt 2-komponensb˝ol legal´abb 2-nek. Mindig be lehet h´uzni olyan ´elt, ami a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenti.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

G akkor 2-¨of, ha G ¨of,|V(G)| ≥3, ´esG-nek nincs elv´ag´o pontja.

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama max n

b(G)−1,

lm(G)+2m⁰(G) 2

mo . Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

G akkor 2-¨of, ha G ¨of,|V(G)| ≥3, ´esG-nek nincs elv´ag´o pontja.

Def: Blokk: elv´ag´o pont mentes ¨of gr´af. Maxblokk: maxim´alis blokk r´eszgr´af. G egy maxblokkjaizol´alt blokk (lev´elblokk), ha G-nek 0 (1) elv´ag´o pontj´at tartalmazza. m(G) ill. m⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt blokkjai sz´am´at, b(G) az egy cs´ucs elhagy´as´aval keletkez˝o komponensek maxim´alis sz´am´at jel¨oli.

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo . Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

G akkor 2-¨of, ha G ¨of,|V(G)| ≥3, ´esG-nek nincs elv´ag´o pontja.

Def: Blokk: elv´ag´o pont mentes ¨of gr´af. Maxblokk: maxim´alis blokk r´eszgr´af. G egy maxblokkjaizol´alt blokk (lev´elblokk), ha G-nek 0 (1) elv´ag´o pontj´at tartalmazza. m(G) ill. m⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt blokkjai sz´am´at, b(G) az egy cs´ucs elhagy´as´aval keletkez˝o komponensek maxim´alis sz´am´at jel¨oli.

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo .

Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

G akkor 2-¨of, ha G ¨of,|V(G)| ≥3, ´esG-nek nincs elv´ag´o pontja.

Def: Blokk: elv´ag´o pont mentes ¨of gr´af. Maxblokk: maxim´alis blokk r´eszgr´af. G egy maxblokkjaizol´alt blokk (lev´elblokk), ha G-nek 0 (1) elv´ag´o pontj´at tartalmazza. m(G) ill. m⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt blokkjai sz´am´at, b(G) az egy cs´ucs elhagy´as´aval keletkez˝o komponensek maxim´alis sz´am´at jel¨oli.

izol´alt lev´el egy´eb

m⁰(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 5

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo .

Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

G akkor 2-¨of, ha G ¨of,|V(G)| ≥3, ´esG-nek nincs elv´ag´o pontja.

Def: Blokk: elv´ag´o pont mentes ¨of gr´af. Maxblokk: maxim´alis blokk r´eszgr´af. G egy maxblokkjaizol´alt blokk (lev´elblokk), ha G-nek 0 (1) elv´ag´o pontj´at tartalmazza. m(G) ill. m⁰(G) aG lev´el ill. az izol´alt blokkjai sz´am´at, b(G) az egy cs´ucs elhagy´as´aval keletkez˝o komponensek maxim´alis sz´am´at jel¨oli.

izol´alt lev´el egy´eb

m⁰(G) = 1

m(G) = 7 b(G) = 5

Megf: AG gr´af maxblokkjai az elv´ag´o pontok ment´en faszer˝uen kapcsol´odnak: ha minden maxblokkot egy cs´uccsal helyettes´ıt¨unk, amit aG maxblokkbeli elv´ag´o pontjaival k¨ot¨unk ¨ossze, akkor ´ıgy olyanT₂(G) erd˝ot kapunk, aminek cs´ucsai a maxblokkok ´esG elv´ag´o pontjai. Ha G ¨of, akkorT2(G) fa. T2(G) izol´alt pontjai az izol´alt blokkoknak, a levelei pedig a lev´elblokkoknak felelnek meg.

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama max n

b(G)−1,

lm(G)+2m⁰(G) 2

mo .

Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

izol´alt lev´el egy´eb

m⁰(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 5

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo . Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

izol´alt lev´el egy´eb

m⁰(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 5

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo .

Biz:

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

izol´alt lev´el egy´eb

m⁰(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 5

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo . Biz: Minden lev´elblokkb´ol kell indulnia ´uj ´elnek, minden

izol´altb´ol legal´abb 2-nek. Ha egy elv´ag´o pontonb(G) maxblokk ¨ul, akkor m´ar emiatt legal´abbb(G)−1 ´el sz¨uks´eges.

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ afok 2-¨ osszef¨ ugg˝ os´ egi strukt´ ur´ aja

izol´alt lev´el egy´eb

m⁰(G) = 1

m(G) = 7

b(G) = 5

T´etel: AG gr´af 2-¨osszef¨ugg˝ov´e t´etel´ehez sz¨uks´eges beh´uzand´o

´elek minim´alis sz´ama maxn

b(G)−1,l_m(G)+2m0(G) 2

mo . Biz: Minden lev´elblokkb´ol kell indulnia ´uj ´elnek, minden

izol´altb´ol legal´abb 2-nek. Ha egy elv´ag´o pontonb(G) maxblokk ¨ul, akkor m´ar emiatt legal´abbb(G)−1 ´el sz¨uks´eges.

Mindig be lehet h´uzni egy ´elt ´ugy, hogy a formula ´ert´ek´et 1-gyel cs¨okkenjen, ez´ert a formula ´altal megadott szam´u ´el elegend˝o.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa I.

C´el: Adott G = (V,E)n cs´ucs´u gr´afra ´esc :E →R+

kapacit´asokra λc(G) meghat´aroz´asa, azaz a lehet˝o legkevesebb

¨

osszkapacit´as´u ´elek t¨orl´es´evel el´erni, hogyG sz´etessen.

Megf: Legyen E(X) egy minim´alis v´ag´as G-ben a c kap.fv-re. Ha ac-vel ar´anyos eloszl´assal random e ´elt v´alasztunk, akkor P(e ∈E(X))≤ ²_n, azaz P(e 6∈E(X))≥ ⁿ⁻²_n .

Megf: Ha e 6∈E(X), akkor azX ´altal reprezent´alt minv´ag´as az e ¨osszeh´uz´asa ut´an is megmarad. Ez´ert annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy azE(X) minv´ag´as egym´as ut´an n−2 random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´el, legal´abb ⁿ⁻²_n ·ⁿ⁻³_n−1 ·ⁿ⁻⁴_n−2·. . .·¹₃ = _n(n−1)² .

Karger algoritmusa: c-vel ar´anyos eloszl´assal v´alasszunk random ´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. (´El¨osszeh´uz´asn´al itt a p´arhuzamos

´eleket megtartjuk, a hurok´eleket t¨or¨olj¨uk.) Ism´etelj¨uk ezt eg´eszen addig, am´ıg a gr´af k´et cs´ucs´u marad. A k´et cs´ucs ˝osk´epe ´altal meghat´arozott v´ag´as egy jel¨olt aG minim´alis v´ag´as´ara. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyk·n² ilyen jel¨olt k¨oz¨ottE(X) nem fordul el˝o legfeljebbe^−2k.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa I.

C´el: Adott G = (V,E)n cs´ucs´u gr´afra ´esc :E →R+

kapacit´asokra λc(G) meghat´aroz´asa, azaz a lehet˝o legkevesebb

¨

osszkapacit´as´u ´elek t¨orl´es´evel el´erni, hogyG sz´etessen.

Megf: Legyen E(X) egy minim´alis v´ag´as G-ben a c kap.fv-re.

Ha ac-vel ar´anyos eloszl´assal random e ´elt v´alasztunk, akkor P(e ∈E(X))≤ ²_n, azaz P(e 6∈E(X))≥ ⁿ⁻²_n .

Megf: Ha e 6∈E(X), akkor azX ´altal reprezent´alt minv´ag´as az e ¨osszeh´uz´asa ut´an is megmarad. Ez´ert annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy azE(X) minv´ag´as egym´as ut´an n−2 random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´el, legal´abb ⁿ⁻²_n ·ⁿ⁻³_n−1 ·ⁿ⁻⁴_n−2·. . .·¹₃ = _n(n−1)² .

Karger algoritmusa: c-vel ar´anyos eloszl´assal v´alasszunk random ´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. (´El¨osszeh´uz´asn´al itt a p´arhuzamos

´eleket megtartjuk, a hurok´eleket t¨or¨olj¨uk.) Ism´etelj¨uk ezt eg´eszen addig, am´ıg a gr´af k´et cs´ucs´u marad. A k´et cs´ucs ˝osk´epe ´altal meghat´arozott v´ag´as egy jel¨olt aG minim´alis v´ag´as´ara. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyk·n² ilyen jel¨olt k¨oz¨ottE(X) nem fordul el˝o legfeljebbe^−2k.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa I.

C´el: Adott G = (V,E)n cs´ucs´u gr´afra ´esc :E →R+

kapacit´asokra λc(G) meghat´aroz´asa, azaz a lehet˝o legkevesebb

¨

osszkapacit´as´u ´elek t¨orl´es´evel el´erni, hogyG sz´etessen.

Megf: Legyen E(X) egy minim´alis v´ag´as G-ben a c kap.fv-re.

Ha ac-vel ar´anyos eloszl´assal random e ´elt v´alasztunk, akkor P(e ∈E(X))≤ ²_n, azaz P(e 6∈E(X))≥ ⁿ⁻²_n .

Biz: 2˜c(E) =P

{˜c(E(v)) :v ∈V} ≥n·λc(G), ´ıgy P(e ∈E(X)) = ^λ_˜c(E)^c(G) ≤ ²_n .

Megf: Ha e 6∈E(X), akkor azX ´altal reprezent´alt minv´ag´as az e ¨osszeh´uz´asa ut´an is megmarad. Ez´ert annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy azE(X) minv´ag´as egym´as ut´an n−2 random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´el, legal´abb ⁿ⁻²_n ·ⁿ⁻³_n−1 ·ⁿ⁻⁴_n−2·. . .·¹₃ = _n(n−1)² .

Karger algoritmusa: c-vel ar´anyos eloszl´assal v´alasszunk random ´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. (´El¨osszeh´uz´asn´al itt a p´arhuzamos

´eleket megtartjuk, a hurok´eleket t¨or¨olj¨uk.) Ism´etelj¨uk ezt eg´eszen addig, am´ıg a gr´af k´et cs´ucs´u marad. A k´et cs´ucs ˝osk´epe ´altal meghat´arozott v´ag´as egy jel¨olt aG minim´alis v´ag´as´ara. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyk·n² ilyen jel¨olt k¨oz¨ottE(X) nem fordul el˝o legfeljebbe^−2k.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa I.

C´el: Adott G = (V,E)n cs´ucs´u gr´afra ´esc :E →R+

kapacit´asokra λc(G) meghat´aroz´asa, azaz a lehet˝o legkevesebb

¨

osszkapacit´as´u ´elek t¨orl´es´evel el´erni, hogyG sz´etessen.

Megf: Legyen E(X) egy minim´alis v´ag´as G-ben a c kap.fv-re.

Ha ac-vel ar´anyos eloszl´assal random e ´elt v´alasztunk, akkor P(e ∈E(X))≤ ²_n, azaz P(e 6∈E(X))≥ ⁿ⁻²_n .

Megf: Ha e 6∈E(X), akkor azX ´altal reprezent´alt minv´ag´as az e ¨osszeh´uz´asa ut´an is megmarad. Ez´ert annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy azE(X) minv´ag´as egym´as ut´an n−2 random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´el, legal´abb ⁿ⁻²_n ·ⁿ⁻³_n−1 ·ⁿ⁻⁴_n−2·. . .·¹₃ = _n(n−1)² .

Karger algoritmusa: c-vel ar´anyos eloszl´assal v´alasszunk random ´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. (´El¨osszeh´uz´asn´al itt a p´arhuzamos

´eleket megtartjuk, a hurok´eleket t¨or¨olj¨uk.) Ism´etelj¨uk ezt eg´eszen addig, am´ıg a gr´af k´et cs´ucs´u marad. A k´et cs´ucs ˝osk´epe ´altal meghat´arozott v´ag´as egy jel¨olt aG minim´alis v´ag´as´ara. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyk·n² ilyen jel¨olt k¨oz¨ottE(X) nem fordul el˝o legfeljebbe^−2k.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa I.

C´el: Adott G = (V,E)n cs´ucs´u gr´afra ´esc :E →R+

kapacit´asokra λc(G) meghat´aroz´asa, azaz a lehet˝o legkevesebb

¨

osszkapacit´as´u ´elek t¨orl´es´evel el´erni, hogyG sz´etessen.

Megf: Legyen E(X) egy minim´alis v´ag´as G-ben a c kap.fv-re.

Ha ac-vel ar´anyos eloszl´assal random e ´elt v´alasztunk, akkor P(e ∈E(X))≤ ²_n, azaz P(e 6∈E(X))≥ ⁿ⁻²_n .

Megf: Ha e 6∈E(X), akkor azX ´altal reprezent´alt minv´ag´as az e ¨osszeh´uz´asa ut´an is megmarad. Ez´ert annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy azE(X) minv´ag´as egym´as ut´an n−2 random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´el, legal´abb ⁿ⁻²_n ·ⁿ⁻³_n−1 ·ⁿ⁻⁴_n−2·. . .·¹₃ = _n(n−1)² .

Karger algoritmusa: c-vel ar´anyos eloszl´assal v´alasszunk random ´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. (´El¨osszeh´uz´asn´al itt a p´arhuzamos

´eleket megtartjuk, a hurok´eleket t¨or¨olj¨uk.) Ism´etelj¨uk ezt eg´eszen addig, am´ıg a gr´af k´et cs´ucs´u marad. A k´et cs´ucs ˝osk´epe ´altal meghat´arozott v´ag´as egy jel¨olt aG minim´alis v´ag´as´ara. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogyk·n² ilyen jel¨olt k¨oz¨ottE(X) nem fordul el˝o legfeljebbe^−2k.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa I.

C´el: Adott G = (V,E)n cs´ucs´u gr´afra ´esc :E →R+

kapacit´asokra λc(G) meghat´aroz´asa, azaz a lehet˝o legkevesebb

¨

osszkapacit´as´u ´elek t¨orl´es´evel el´erni, hogyG sz´etessen.

Megf: Legyen E(X) egy minim´alis v´ag´as G-ben a c kap.fv-re.

Ha ac-vel ar´anyos eloszl´assal random e ´elt v´alasztunk, akkor P(e ∈E(X))≤ ²_n, azaz P(e 6∈E(X))≥ ⁿ⁻²_n .

Megf: Ha e 6∈E(X), akkor azX ´altal reprezent´alt minv´ag´as az e ¨osszeh´uz´asa ut´an is megmarad. Ez´ert annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy azE(X) minv´ag´as egym´as ut´an n−2 random ´el¨osszeh´uz´ast t´ul´el, legal´abb ⁿ⁻²_n ·ⁿ⁻³_n−1 ·ⁿ⁻⁴_n−2·. . .·¹₃ = _n(n−1)² .

Karger algoritmusa: c-vel ar´anyos eloszl´assal v´alasszunk random ´elt, ´es h´uzzuk ¨ossze. (´El¨osszeh´uz´asn´al itt a p´arhuzamos

´eleket megtartjuk, a hurok´eleket t¨or¨olj¨uk.) Ism´etelj¨uk ezt eg´eszen addig, am´ıg a gr´af k´et cs´ucs´u marad. A k´et cs´ucs ˝osk´epe ´altal meghat´arozott v´ag´as egy jel¨olt aG minim´alis v´ag´as´ara. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy k·n² ilyen jel¨olt k¨oz¨ottE(X) nem fordul el˝o legfeljebbe^−2k.

Karger algoritmus´ anak illusztr´ aci´ oja

Az ¨osszeh´uzand´o random ´elt piros sz´ın jel¨oli. A v´egs˝o v´ag´asjel¨olt az{a,d,e} cs´ucshalmazb´ol kil´ep˝o ´elek halmaza.

a bf c

de g

a

de

g bcf

ade bcfg

g ade bcf

a b c

d

e f g

a b c

de f g

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa II.

C´el: Gyors, egyszer˝u determinisztikus algoritmusλ(G) meghat´aroz´as´ara. (λc(G)-re is m˝uk¨odik, de most c ≡1.)

Def: AG gr´af cs´ucsainak v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrendje, ha mindeni = 1,2, . . . ,n eet´envi azon cs´ucsok egyike, amelyik a legt¨obb ´ellel kapcsol´odik a{v₁,v2, . . . ,vi−1} halmazhoz.

Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan tal´alhat´o.

T´etel: Ha v1,v2, . . . ,vn aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn,vn−1) =d(vn).

K¨ov: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n a G cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G) =d(vn) vagy λ(G) =λ(G/vn−1vn), aholG/uv az u

´esv cs´ucsok egybeolvaszt´as´aval kapott gr´af.

Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet utols´o k´et cs´ucs´at egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ism´etelj¨uk eg´eszen addig, am´ıg csak 2 cs´ucs marad. Minden k¨oztes gr´af utols´o cs´ucs´ab´ol kiindul´o ´elek ´altal defini´alt egypont´u v´ag´asnak megfelel az eredetiG gr´af egy v´ag´asa. Ezenn−1 jel¨olt k¨oz¨ul a

legkevesebb´elt tartalmaz´o az output: ezG egy minim´alis v´ag´asa.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa II.

C´el: Gyors, egyszer˝u determinisztikus algoritmusλ(G) meghat´aroz´as´ara. (λc(G)-re is m˝uk¨odik, de most c ≡1.)

Def: AG gr´af cs´ucsainak v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrendje, ha mindeni = 1,2, . . . ,n eet´envi azon cs´ucsok egyike, amelyik a legt¨obb ´ellel kapcsol´odik a{v₁,v2, . . . ,vi−1} halmazhoz.

Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan tal´alhat´o.

T´etel: Ha v1,v2, . . . ,vn aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn,vn−1) =d(vn).

K¨ov: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n a G cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G) =d(vn) vagy λ(G) =λ(G/vn−1vn), aholG/uv az u

´esv cs´ucsok egybeolvaszt´as´aval kapott gr´af.

Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet utols´o k´et cs´ucs´at egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ism´etelj¨uk eg´eszen addig, am´ıg csak 2 cs´ucs marad. Minden k¨oztes gr´af utols´o cs´ucs´ab´ol kiindul´o ´elek ´altal defini´alt egypont´u v´ag´asnak megfelel az eredetiG gr´af egy v´ag´asa. Ezenn−1 jel¨olt k¨oz¨ul a

legkevesebb´elt tartalmaz´o az output: ezG egy minim´alis v´ag´asa.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa II.

C´el: Gyors, egyszer˝u determinisztikus algoritmusλ(G) meghat´aroz´as´ara. (λc(G)-re is m˝uk¨odik, de most c ≡1.)

Def: AG gr´af cs´ucsainak v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrendje, ha mindeni = 1,2, . . . ,n eet´envi azon cs´ucsok egyike, amelyik a legt¨obb ´ellel kapcsol´odik a{v₁,v2, . . . ,vi−1} halmazhoz.

Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan tal´alhat´o.

T´etel: Ha v1,v2, . . . ,vn aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn,vn−1) =d(vn).

K¨ov: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n a G cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G) =d(vn) vagy λ(G) =λ(G/vn−1vn), aholG/uv az u

´esv cs´ucsok egybeolvaszt´as´aval kapott gr´af.

Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet utols´o k´et cs´ucs´at egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ism´etelj¨uk eg´eszen addig, am´ıg csak 2 cs´ucs marad. Minden k¨oztes gr´af utols´o cs´ucs´ab´ol kiindul´o ´elek ´altal defini´alt egypont´u v´ag´asnak megfelel az eredetiG gr´af egy v´ag´asa. Ezenn−1 jel¨olt k¨oz¨ul a

legkevesebb´elt tartalmaz´o az output: ezG egy minim´alis v´ag´asa.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa II.

C´el: Gyors, egyszer˝u determinisztikus algoritmusλ(G) meghat´aroz´as´ara. (λc(G)-re is m˝uk¨odik, de most c ≡1.)

Def: AG gr´af cs´ucsainak v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrendje, ha mindeni = 1,2, . . . ,n eet´envi azon cs´ucsok egyike, amelyik a legt¨obb ´ellel kapcsol´odik a{v₁,v2, . . . ,vi−1} halmazhoz.

Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan tal´alhat´o.

T´etel: Ha v1,v2, . . . ,vn aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn,vn−1) =d(vn).

K¨ov: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G) =d(vn) vagyλ(G) =λ(G/vn−1vn), aholG/uv az u

´esv cs´ucsok egybeolvaszt´as´aval kapott gr´af.

Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet utols´o k´et cs´ucs´at egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ism´etelj¨uk eg´eszen addig, am´ıg csak 2 cs´ucs marad. Minden k¨oztes gr´af utols´o cs´ucs´ab´ol kiindul´o ´elek ´altal defini´alt egypont´u v´ag´asnak megfelel az eredetiG gr´af egy v´ag´asa. Ezenn−1 jel¨olt k¨oz¨ul a

legkevesebb´elt tartalmaz´o az output: ezG egy minim´alis v´ag´asa.

Gr´ af ´ el¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg´ enek meghat´ aroz´ asa II.

C´el: Gyors, egyszer˝u determinisztikus algoritmusλ(G) meghat´aroz´as´ara. (λc(G)-re is m˝uk¨odik, de most c ≡1.)

Def: AG gr´af cs´ucsainak v₁,v₂, . . . ,v_n maxvissza sorrendje, ha mindeni = 1,2, . . . ,n eet´envi azon cs´ucsok egyike, amelyik a legt¨obb ´ellel kapcsol´odik a{v₁,v2, . . . ,vi−1} halmazhoz.

Megf: Maxvissza sorrend nagyon gyorsan tal´alhat´o.

T´etel: Ha v1,v2, . . . ,vn aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(vn,vn−1) =d(vn).

K¨ov: Ha v₁,v₂, . . . ,v_n aG cs´ucsainak maxvissza sorrendje, akkorλ(G) =d(vn) vagyλ(G) =λ(G/vn−1vn), aholG/uv az u

´esv cs´ucsok egybeolvaszt´as´aval kapott gr´af.

Nagamochi-Ibaraki-algoritmus: Maxvissza sorrendet utols´o k´et cs´ucs´at egybeolvasztjuk, majd ugyanezt ism´etelj¨uk eg´eszen addig, am´ıg csak 2 cs´ucs marad. Minden k¨oztes gr´af utols´o cs´ucs´ab´ol kiindul´o ´elek ´altal defini´alt egypont´u v´ag´asnak megfelel az eredetiG gr´af egy v´ag´asa. Ezenn−1 jel¨olt k¨oz¨ul a

legkevesebb´elt tartalmaz´o az output: ezG egy minim´alis v´ag´asa.

A Nagamochi-Ibaraki-algoritmus illusztr´ aci´ oja

A maxvissza sorrendet sz´amoz´as, az ¨osszeolvasztand´o cs´ucsp´art szaggatott bekeretez´es, a v´ag´asjel¨olteket szaggatott piros ´ıv jel¨oli.

A legjobb v´ag´asjel¨olt{c,g} cs´ucshalmazb´ol kil´ep˝o ´elek halmaza:

ez az algoritmus outputja.

a b cg

d

e f

2

3 6

a b c

d

e f

2 3

4 5

6

7

ae b

f 1

5

b cg

d aef

1 2

3

4 g

d 3

3 b aef

1 1

cg 2 4

1 cdg

cdg 2

5 4

abef

Itt a v´ ege, fuss el v´ ele!