Készítette: Bíró Anikó Szakmai felelős: Bíró Anikó

GAZDASÁGSTATISZTIKA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén,

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

Készítette: Bíró Anikó Szakmai felelős: Bíró Anikó

2010. június

2

GAZDASÁGSTATISZTIKA 4. hét

Egyváltozós regresszió – illeszkedés, nemlinearitás, konfidenciaintervallum

Bíró Anikó

Egyváltozós regresszió – ismétlés

Regressziós modell Becslés: OLS

Példa

70 trópusi országra X: népsűrűség (fő/1000 ha) és erdőirtási ráta (%) összefüggése

Értelmezés?

Koefficiensek

Tengelymetszet 0,60

X változó 0,001

i i i

i i i

u X Y

e X Y

ˆ ˆ

3

Illeszkedés mérése

OLS: legjobban illeszkedő egyenes megtalálása Mennyire jó az illeszkedés?

Mérőszám: R²

Egyváltozós regresszió:

korreláció négyzete = R²

Becsült érték

Regressziós egyenlet:

Becsült/illesztett/előrejelzett érték:

Kettő összehasonlítása – illeszkedés jósága Hirdetési példa

Maradéktag

Maradéktag vs. hibatag!

e X Y

X Yˆ ˆ ˆ

Y Y

u ˆ

470 480 490 500 510 520 530 540 550 560

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Hirdetés (1000 $)

Értékesítés (1000 $)

becsült megfigyelt

4

R ²

R ² értelmezése

Y varianciájából hány %-ot magyarázható X segítségével

R² = 1 – tökéletes illeszkedés TSS RSS TSS R SSR

SSR RSS TSS

u Y

Y SSR

Y Y RSS

Y Y TSS

i i

i i i

1

ˆ) ( :

zeg négyzetöss Maradéktag

ˆ ) ( :

eg négyetössz s

Regresszió

1) - TSS/(N : Variancia

) ( :

zet szórásnégy Teljes

2

2 2 2

Teljes 2

szórásnégyzet:

Variancia:

Regressziós négyzetösszeg:

Maradéktag négyzetösszeg:

1 0 R²

5

Erdőirtási példa

Regressziós statisztika

r-négyzet 0.434

VARIANCIAANALÍZIS

df SS

Regresszió 1 25.828

Maradék 68 33.618

Összesen 69 59.446

6

Nemlinearitás

Nem lineáris kapcsolat X és Y között Gyakori példák:

Négyzetes:

Logaritmikus

Logaritmikus forma

Lineáris összefüggést eredményezhet Könnyű értelmezhetőség – rugalmasság:

X egy %-os változásakor Y általában béta %-kal változik Mértékegységnek nincs szerepe

%-os változás közelítése:

Meredekségi együttható értelmezése?

X d

Y d

X Y

ln ln

ln ln

Y dln 100

i i i

i i i

e X Y

e X Y

ln

ln

7

Bizonytalanság

Regressziós együtthatók valódi értéke nem ismert Minta alapján becsülünk

Becsült érték nem pontosan azonos a valódi értékkel Pontbecslés: bizonytalanságot nem tükrözi

OLS becslés pontosságát befolyásoló tényezők

Tk. 87–89

Több adatpont – pontosabb becslés Kisebb hibatagok – pontosabb becslés X nagyobb szóródása – pontosabb becslés

Példa: végzettség hatásának becslése jövedelemre

Konfidenciaintervallum

kisebb s

megfigyelé Több

nagyobb szint

sági megbízható Nagyobb

eloszlás -

t féle - Student :

szórása : ˆ

) (

) 2 (

, ˆ ˆ

2

b

b b

b

i b

b b b

b

t

t t

s

X X N

s SSR

s t s

t

8

Értelmezés

Leggyakoribb:

95%-os konfidenciaintervallum

„95% a valószínűsége, hogy az együttható valódi értéke az adott intervallumba esik”

N nagy, 95%: t = 1.96 Táblázat t-eloszlásról

Excel: megbízhatósági szint megadható

Erdőirtási példa

Koefficiensek Standard hiba Alsó 95% Felső 95%

Tengelymetsz. 0.6000 0.1123 0.3758 0.8241

X változó 0.0008 0.0001 0.0006 0.0011

Összefoglalás

Becsült együtthatók értelmezése R-négyzet mutató

Nemlinearitás, logaritmikus forma Bizonytalanság, konfidenciaintervallum

9

Gyakorlat

Egyváltozós regresszió – illeszkedés, nemlinearitás, konfidenciaintervallum

R ²

R ² értelmezése

Y varianciájából hány %-ot magyarázható X segítségével

R² = 1 – tökéletes illeszkedés

Példák: hirdetési regresszió, KSH munkanélküliségi regresszió

Példák nemlinearitásra

Tk. 4.5, 4.6 feladatok

TSS RSS TSS

R SSR

SSR RSS

TSS

Y Y SSR

Y Y RSS

Y Y TSS

i i i i

1

ˆ ) ( :

zeg négyzetöss Maradéktag

ˆ ) ( :

eg négyetössz s

Regresszió

) (

: zet szórásnégy Teljes

2

2 2

Teljes szórásnégyzet: 2

Regressziós négyzetösszeg:

Maradéktag négyzetösszeg:

1 0 R²

10

Bizonytalanság

Regressziós együtthatók valódi értéke nem ismert Minta alapján becsülünk

Becsült érték nem pontosan azonos a valódi értékkel Pontbecslés: bizonytalanságot nem tükrözi

Konfidenciaintervallum:

Példák

Hirdetési-értékesítési példa: meredekségi együttható konfidenciaintervalluma (különböző megbízhatósági szintek)

Ingatlanárak – telekméret (hprice.xls)

Házi feladat (csoportos)

Egy tetszőleges keresztmetszeti mintából (KSH, Eurostat, OECD, Penn World tables) két változó közti kapcsolat vizsgálata

Két változó leíró statisztikája Korreláció

Regresszió

Függvényforma?

Illeszkedés?

Becslés és eredmény értelmezése (konfidenciaintervallum is) )2

( ) 2 (

, ˆ ˆ

X X N

s SSR

s t s t

i b

b b b b