tcntiam n; ejus fraftionis tam numerator, quam deno
minator elevari debebit ad potentiam n (6g ) , adeo-b»
que quaefita potentia erit — E rgo eadem
aequi-/;* #
ritur potentia quaesita, sive ba» , sive elevetur ad potentiam m. Atqui istud evenire utique non
pos-m b
f e t , nisi esset ba ~ = nam . Sed , uti jam y ’
n. 77. innuimus, haec a Tironibus nostris praetermitti posse existimamus.
C A P U T S E C U N D U M .
Ve Extrafiione radicum e potentiis algebraicis.
8i* J?adicem extrahere e data potentia, est ex eadem eruere eam quantitatem , quae aliquoties per se ipsam multiplicata potentiam illam generavit, e. g.
Extrahere radicem quadratam e x fl* est invenire quan
titatem u* , quge lemel per se ipsam multiplicata gignit quadratum = : ex eadem cuantitate a* extrahere
radi-radicem cubicam est invenire quantitatem a* , quae bis per se ipsam multiplicata dat cubum a* . Hinc quadra- tum , cubus, aliaeque altiorespotentiae, sicutimultipli
catione nascuntur, ita divisione dissuuntur, suasque in radices resolvuntur.
82. PROBLEMA X X . E data potentia monomia ra
dicem quamcunque extrahere.
REsoLUT. Exponens datae potentiae dividatur per
•xponentem datae radicis; quotus, qui enascetur, erit exponens radicis quaesitae, e. g. Si ex a6 extrahenda fit radix quadrata; quoniam exponens radicis quadratae est = 2 (6 7 ), dividatur exponens 6 per 2 , & quotus 3 erit exponens radicis quaesitae, hoc est, radix quaesita erit = a* . Si cx a4 b- radix quadrata extrahenda sit, dividantur exponentes per 2 , & erit radix quaesita =
b. Radix cubica quantitatis a« ( exponentem per 3 dividendo) est = z2 . Radix cubica quantitatis a* b *
— a*b> & sic porro. Scilicet, quemadmodum data radix monomia ad datam potentiam elevatur multipli- cando ejus exponentem per exponentem datae potentiae (7 2 ), ita ex adverso, ut ex data potentia monomia ex
trahatur radix dati exponentis , exponens potentiae per exponentem radicis dividatur, est necesfe (81). E t sane radix hac methodo inventa , si per se ipsam multi
plicetur ( nempe quadrata semel, cubica bis & c . ). fem- per restituit datam potentiam : ac proinde radix hac methodo inventa, genuina radix iit, oportet.
83. TH EO REM A IX . Quodlibet quadratum radicis binomioc conjiat 1) quadrato termini primi radicis fuce, a ) duplo ejusdem termini primi per terminum secundum multiplicato, 3) quadrato termini secundi.
De m o n s t r. Quaevis radix binomia repraesentari potest, vel per a -4- b, vel per a — b : consequenter ( radices has elevando ad quadrata) quodlibet quadra
tum radicis binomiae rite repraesentatur, vel per u* -p
&ab b1 , vel per a2 — 2 ^ -4- £-■* . Atqui consideranti patet, utrumque istud quadratum constare 1 ) quadrato termini primi radicis suae, 2) duplo ejusdem termini prlmi per terminum secundum multiplicato , 3)
qua-
dr«-drato termini secundi; ergo quodlibet quadratum radi-eis binomiae & c.
84. CoRoLL. Quaecunque polynomia radix qua
drata ad binorniarn reduci potest, st plures ejus notae instar unius termini considerentur. Igitur cujusvls quadrati quamcunque polynomiam radicem habentia partes per alterutram formularum nunc allatarum e x
rum lex n. 83» demonstrata, quod nempe quodlibet qua
dratum radicis binomiae constet quadrato termini pri
mi , duplo termini primi per terminum secundum mul
tiae termino lateat quadratum termini primi radicis ; extrahatur radix quadrata e primo termino , ea videli
cet m ethodo, quam n. 82. tradidimus , & scribatur pro primo radicis termino post potentiam datam parentheli inclusam. Deinde quadratum hujus radicis subtrahatur a data potentia, & residuum pro ulteriore operatione reservetur.
zdo. In residuo hoc latebit adhuc duplum factum termini primi ln secundum ducti, item quadratum se
cundi. itaque haec duo porro fian t: 1 ) Per duplum termini primi jam inventi dividatur aliquis residui il
lius terminus, & quotus monomius scribatur pro secun
do radicis termino. 2) Quotus iste multiplicetur tum perse ipsum, quam per duplum termini primi, seu per divisorem; & iacta haec a dicto reiidu* subtrahantur.
Quodfi
94
Quodst post alteram hanc subtractionem nihil reman
serit ex data potentia; id argumento erit, eam fuisse persectum quadratum radicis binomiae, ejus nempe, quae extracta jam est: hactenus enim ex data potentia nihil aliud subtractum est, quam partes quadrati, di
ctam radicem binomiam habentis, scilicet quadratum termini primi, duplum factum termini primi i n secun alteram hanc subtractionem nihil remanet amplius e data potentia : unde patet, datam potentiam esse perfe
ctum quadratum radicis binomiae « + 2, E t sane si haec radix in se ipsam ducatur, non aliud enascitur qua
dratum , quam data illa potentia, ut periclitanti patebit.
$tio, Quodsi eveniat, ut post alteram quoque sub
tractionem aliquod residuum e data potentia remaneat;
id indicio e rit, radicem quaesitam tertio quoque termi
no constare, qui adhuc extrahendus supersit. Quo casu hoc modo procedendum est. Duo primi quaesitae radi
cis termini per superiores regulas jam inventi, instar unius accipiantur, habeanturque pro primo radicis quaesitae termino , ille autem, qui adhuc latet , pro se
cundo. Hac sacta hypothesi, hactenus non plus sub
tractum est a data potentia , quam quadratum termini prim i: adeoque in ejus residuo latet adhuc duplum fa
ctum termini primi ( per terminum primum deinceps intelligendo summam duorum terminorum jam inven
to
torum ) ln secundum ducti, & quadratum termini secu ndi (84). Itaque rursus Cnt in 2d areg. dictum c ft) haec duo fiant: 1) Per duplum termini primi jam in
venti dividatur aliquis reiidul illiu s, quod adhuc re
mansit, terminus, & quotus mouomius scribatur pvo novo radicis termino. 2) Quotus iste multiplicetur tam per ie ipsum » quam per duplum termini priml, &c facta haec a dicto reliduo subtrahantur, e. g.
Sit potentia data, Erit radix quadrata ( a 2 --- 2a-H4u&Hh4fc2 — 4&•+* 1 )
a
— 1 ab.Nimirum 1) per reg imam, e x quadrato monornio a2 extrahatur radix quadrata a , scribaturque pro primo quaesitae radicis termino ; tum ejus quadratum a1 sub
trahatur a data potentia: manebit residuum = — 20
rJr- 4<zb — 4& 1.
2) Per reg. adam, hujus residui terminus — ia dividatur per duplum termini jam inven ti, seu per 2a ,
& quotus = — 1 scribatur pro secundo radicis quaesitae termino. Porro hic quotus , seu — 1 multiplicetur tam per se ipsum , quam etiam per divisorem 2u , & factum
— — aa -+- 1 subtrahatur a residuo superius adnota- to. Post hanc subtractionem alteram adhuc remanet e data potentia residuum = *+- 4ab 4fc* — J\b, Itaque
3) Per reg. %tiam , duo quaesitae radicis termini ha
ctenus inventi instar unius accipiantur, & per eorum duplum, seu per 2 ^ — 2 dividatur postremum isthoc residuum. Scilicet quaeratur, quotiesuam primus di
visoris terminus 2u contineatur ln primo residui divi
dendi termino *+«qab ( 28, Reg* im a ), & quotus = ■ +•
do scribatur pro novo radicis termino. Porro idem quotus ab multiplicetur tam per \e ipsum, quam perin
tegrum divisorem 20 — 2 , & factum = 4ab — $ -H 4fc~ ab eodem residue postremo subtrahatur. Post ter
tiam hanc subtractionem nihil amplius remanet e data potentia: ac proinde data potentia est perfectum qua
dratum , cujus radix est = a — 1*4 - ab.
4fo. Si post tertiam quoque subtractionem aliquod residuum maneat e data quapiam potentia; id erit in
dicio, quartum quoque radicis terminum latere in ea
/ p©~
9*
potentia. Itaque radix quatuor terminorum reduca
tur ad duos, ita ut pro primo termino accipiantur tres simul termini jam inventi; cetera autem peragantur ut ante. Si post hanc quoque operationem aliquod adhuc residuum superesset, in ulteriore operatione quatuor primi termini jam inventi pro uuo accipiendi essent , &
operatio constanter eadem, quam hucusque secuti su
m us, lege deberet continuari, dum vel evanescat omn®
residuum , vel abeatur in seriem quandam infinitam.
5*0. Si data potentia suerit fractio ; per easdem re
gulas radix tam e numeratore, quam etiam ex deno
minatote extrahi debebit ( 68. & 81 ).
E X EM P LA A L IA Extraft. Radie. Quadrat. I. Quadratum, x 2 — x Radix, x —
II. Quadrat. 4a* + i2aa b + $b2 . R adix, xa2 -f- 3bm III. Q. x 2h-2n X '+ ‘ti2 — 4 * — 4?;-f-4. R a d ix ,x ^ -n— 2.
Schol. Legitime peractam esse operationem id evin
cet , si radix inventa per se ipsam multiplicata dederit ejusmodi quadratum, quod cum data potentia prorsus fit idem.
86. PROBLEMA X X II. Invenire, quibus partibus eoujiet cubus radicis binomioe.
REsoLUT. Id elucescet, sia-4 -fo ad cubum eleve
tur. Est autem ejsts c u b u s = a3•+* %a2 b -t-3ab2 -4- bs , uti patebit, si eam radicem bis per se ipsam multiplica
veris. Itaque cubus radicis binorniae constat 1) cubo termini primi radicis suae; 2) triplo facto quadrati ter
mini primi in terminum secundum ducti; 3) triplo fa
cto termini primi in quadratum secundi ducti; 3) cubo termini secundi.
Schol. Extractione radicis cubicae ex quantitate po- lynomia sive algebraica, sive numerica neque in h o c , neque in physicis opusculis nostris utemur uspiam: me
thodum tamen eam extractionem peragendi, si quis nosse desiderat, ln sequentibus adnotatam habet.
87. PROBLEMA X X III. E data potentia algebraica polynomia radicem cubicam extrahere.
RESoLUT. Ordinetur data potentia secundum e x ponentes cujusdam literae, ita nt maximus exponens primoloco fit; tum ponatur ob oculos formula gene
ralis a* -4- 3a* b -4- 3ab* H- i?7 , partes cubi binomiarn radicem habentis repraesentans (86) , & hae denique re
gulae observentur.
imo. E x inspectione formulae generalis p atet, in primo datae, riteque ordinatae potentiae termino latere cubum termini primi quaesitae radicis: itaque extraha
tur radix cubica ex primo datae potentiae termino
& scribatur post datam potentiam parenthesi in
clusam pro primo quaesitae radicis termino. Deinde cubus hujus radicis nunc inventae subtrahatur a data potentia, & residuum pro ulteriore operatione no
tetur.
2rfo. In hoc residuo latebit inter cetera triplum fa
ctum quadrati termini primi nunc inventi in secundum radicis terminum ducti; quod factum in generali for
mula per b repraesentatur. Itaque si ex termino primo nunc invento fiat quadratum , & per triplum hu
jus quadrati dividatur primus rite ordinati residui ter
minus , pro quoto obveniet secundus quaesitae radicis terminus, priori post potentiam datam parenthesi in
clusam addendus. Porro triplum quadratum termini primi multiplicetur per termimim secundum nunc in
ventum , deinde triplum quadratum secundi hujus ter
mini multiplicetur per terminum primum, denique idem terminus secundus elevetur ad cubum, & facta haec a residuo superius notato subtrahantur. Hoc pacto to
tus jam radicis binomiae hactenus inventae cubus ( &
nihil aliud) subtractus est a data potentia , uti formulae generalis contemplatio palam facit. Hinc ii post alte
ram hanc subtractionem nihil amplius remaneat e data potentia; id argumento erit, eam potentiam esse per
fectum cubum radicis binomiae, ejus nempe , quae e x tracta jam est.
Scilicet imprimis per reg. imam, ex primo ‘d a t* , riteque ordinatce potenti* termino extrahatur ra
dix cubica 2 * a (82), fcribaturque pro primo quaefitae radicis termino ; tum ejus cubus subtrahatur a da
ta potentia: manebit rdiduum s = — izx* -f- 6x z *
— n * .
Deinde juxta reg. zdam, hujus residui terminus — n dividatur per triplum quadratum primi quaesitae radicis termini nunc inventi, seu per I2x* , & quotus
«— n scribatur pro secundo radicis termino. Porro hic quotus multiplicetur per triplum quadratum termi
ni prim i, seu per divisorem, deinde triplum quadratum quam data illa potentia, uti periclitanti patebit.
of,io. Quodst eveniat, ut post alteram quoque sub- tra&ionem aliquoa residuum a data potentia remaneat;
indicio erit, radicem quaesitam tertio quoque termino constare. Quo in casu hoc modo procedendum porro est.
Duo primi quaesitae radicis termini , per superiores re
gulas jam in venti, instar unius accipiantur, habeantur- que pro primo quaesitae radicis term ino: ille autem, qui adhuc latet, pro secundo. Hoc stante hactenus non plus subtractum est a data potentia, quam cubus ter
mini primi : adeoque iri ejus residuo latet adhuc tri
plum quadratum terminl primi ( per terminum primum deinceps intelligendo summam duorum terminorum jam inventorum ) in secundum ducti, triplum quadra
tum termini secundi adhuc latentis multiplicatum per terminum primum , & cubus ejusdem termini secundi.
Itaque rursus ( ut in reg. 2da dictum est ) haec duo stant:
Imprimis ex termino primo ( seu ex summa duorum terminorum jam inventorum) stat quadratum, & per triplum hujus quadrati dividatur sequens residui rite Ordinati terminus; tum quotus enascens scribatur pro
novo
novo radicis termino. Deinde triplum quadratum ter
mini primi, seu divisor ducatur in terminum secun
dum nunc inventum , triplum autem quadratum termi
ni secundi ducatur ln terminum primum, denique ter
minus secundus elevetur ad cubum ; tum facta haec a residuo illo , quod post alteram subtractionem reman
sit , subtrahantur.
4to. Sl post tertiam quoque subtractionem aliquod residuum e data potentia manserit, id erit indicio, quartum quoque radicis terminum latere in data po
tentia. Itaque radix quatuor terminorum reducatur ad duos, ita ut pro primo termino accipiantur tres simul termini jam in ven ti; cetera autem peragantur, ut ante.
5io. Si data potentia fuerit fractio ; per easdem re
gulas radix cubica tam e numeratore, quam etiam e denominatote extrahenda erit (68, & g i) .
Schol. Consideranti facile p atet, methodum extra
hendi radicem cubicam congruere cum methodo e x trahendi radicem quadratam ; hoc uno discrimine, quod in extractione radicis quadratae formula a3 -4- zabHh*
b2 doceat, quorum divisorum ope inveniendi sint ter
mini radicis , & quae subtractio instituenda lit invento quovis termino radicis , in cubicae autem radicis ex-, tractione formula