*37<
137* PRO BLEM A X X X II. S i dentur duce ceauath- nes eandem incognitam quantitatem complebYentes ; quanti
tatem illam incognitam ex alterutra ipjarum eliminare.
REsoLuT. Plures id genu* eliminationis praxes habentur, quarum jam hanc , jam illam pro variis pro
blematum propositorum adjunctis Analyfta usurpare poterit1, ima praxiseft per subjiitutionem: si nemp* v a- lor cujusdam incognitae quantitatis ex una aequari,-me erutus in altera eidem incognitae substituatur, e. g. Po
namus aliquod problema per 2dam analyseos operatio
nem in has duas aequationes resolvi: x 4 - y = a, &
= 2^. In priore transponendo y, acquiro x = a — y : quem valorem si loco x substituam in altera aequatio, % loco = 2y acquiro 3« — 3y ■ = n y; hoc est, iacog: n-tam x hoc pacto ex aequatione altera elimino.
2da praxis est per compositionem dn^- v y - dita
tum uni eidemque tertiae aequalium: scilicel i e daa*
bus aequationibus totidem valores ejusdem incognitae eliciantur, & in unam aequationem componantur, e, g.
In exemplo pro prima praxi alla to , prima aequatio in hanc transformari potest: x = a ^ y 5 altera in hanc:
x = ~ scilicet ope theorematum, & regularum aday 3tiam analyseos operationem pertinentium. Hoc est, duo diversi ejusdem incognitae x valores acquiruntur:
qui cum inter se aequales elie debeant ( 1 0 1 ) , in hanc aequationem incognita x jam carentem componi pos*
funt:
Curandum autem e st, ut duo diversi ejusdem in
cognitae valores , in novam aequationem componendi, ex ejusmodi duabus diversis aequationibus eruantur, quarum una non dependeat ab altera ; seu quarum una in alteram ope generalium regularum ( 1 2 6 ) transfor*
mari non po s s i t s e c u s enim valores illos componendo ejusmodi aequatio acquiretur, cujus membra post varias transformationes demum utrinque fient aequalia nihilo;
cujusmodi aequatio solvendo problemati apta prorsus fcoia «st. Sic si quis e x his duabus aequationibus; a -f*
2»
( quarum prior in al«
teram , dividendo per 2, transformatur) duos diversos incognitaex valores eruere, eosque ln novam aequatio- n em , equa deinde alterius incognitae y valorern dete- g a t, componere vellet ; irrito conatu laboraret, ut pe-»
riclitanti patebit.
$tia praxis est per additionem unius aequationis ad alteram, e. g. Si in aliquo problemate hae duae aequa*
tiones inveniantur: x -\-y — a, & ,x - - y — b; adden
do stbi has duas aequationes, erit x - y x— y — a Hh b9 seu erit 2X — a ^ b : st eniin aequalibus addam»
turaequalia, manent aequalia. Consequenter acquiritur nova aequatio, ln qua incognita y non amplius com
paret. A t haec praxis nonnist fune potest adhiberi, quum per additionem id obtinetur, ut quantitas incog
nita ob contraria sua stgna , quorum unum in una, alte
rum in altera aequatione habuerat, se se elidat.
4to praxis est per subtraffiionem unius aequationis ab altera, e, g. Sint rursus in aliquo problemate hae duae aequationes: x*+- # = a9 & x — y = b. Posteriorem
« priore subtrahendo acquiritur rellduum — x -4- y — oc^ -y = a - * ~ b; seu acquiritur 2 z /= a — b. At neque hanc praxim possesemper exerceri, clarum est: litadeo plerumque alterutra e duabus primis Iit arripienda.
138. PROBLEM A X X X IIL Resolvere problemata ftmplicia determinata, in quibus phires occurrunt quantita
tes incognita\
REsoLuT. 1 ) Per primam generalem analyseos operationem fiant denominationes more consueto (110 ).
c. g. Sit propositum sequens problema: Mater de trium filiorum a tat e rogata reppondet; primus cum secundo lia-
bet annosas; secundus cum tertio annos 60; tertius cum primo annos 37. Quaeritur cetcis singulorum. Sint anni primi filii = #, secundl = ^, t e r t i l = £ ; 2 5 —a9 6 0 = f c ,3 7= c .
2) Operatione altera totidem aequationes eruantur e datis conditionibus, quot fuerint quantitates incogni
tae
diversis literis denominatae. Atque adeo in assump- to exemplo tres eruendae funt aequationes; nempe exprima conditione haec: x ^ r y — a% ex secunda haec;
y ^ z — b\ ex tertia denique haec: x - * - z = c.
3) Quod ad tertiam analyseos operationem attinet:
in id incumbendum est, utaequationes datae reducantur ad unam, in qua nonnisi unica incognita reperiatur, ceteris eliminatis ; tum ex nova hac'aequatione valor ejus incognitae , quae in ea adhuc continetur , eruatur.
Id genus reductio praxibus n. 137 . allatis, accedente Analystae ju d icio, frequentioreqsse exercitio haud dif- ficui ter peragetur.
e. g. In assumpto exemplo , ut eliminetur imprimis incognita z , duo ipsius valores, tametsi ab incognita nondum liberi, eliciantur primam aequationem trans- formando in hanc: x — a—y , tertiam vero in h an c ;
hoc pacto acquiruntur duo valores ejusdem incognitae y, solam incognitam z complectentes; quos valores componendo exurgit haec aequatio : a — c -4- z = b — z 9 in qua jam neque x , neque y 9 sed sola incognitas repentur.
Habita hac aequatione, valor incognitae z jam per solas generales tertiae operationis leges n. 126 allatas erui potest: juxta quas ea aequatio in hanc demutti ftituenda est. Valor unius ex incognitis operatione praecedente plene detectus resolvatur in numeros me
thodo consueta; tum valor ille numcricus substituatur eidem incognitae in aequatione altera, alterius incogni
tae valorem exprimente: hoc pacto jam alterius quo
que incognitae valor innotescet, & fic porro. Sic itt
as-assumpto exemplo valor incognitae z in numeros reso
lutus, est = 3 0 ; qui valor ii 'ln aequatione y ~ b — z loco z substituatur, erit y — 36 = 60 — 36 = 24.
Denique si porro valor iste in altera aequatione x = a
~ y loco y substituatur ; erit x — a — 24 = 25 — 24
= 1. Itaque jam omnium incognitarum valores dete
cti sunt: eftnempe # = 1 , # = 2 4 , Z — &6*
E X E M P L A A L I A .
I. Herus cum fuo fervo hoc paffium iniit: pro quoti- bet die, quo laboraveris ( inquit herus ad servum ) proe- ter victum acquires a me 3 groJTos : ex adverfo singulis diebus 9 quibus feriatus fueris, iu mihi pro victu 7 grof*
fos solves. Elapfis a paftu diebus 50 nihil fervo debeba
tur, nec fervus quidquam hero debuit* Quaeritur, quot di ibus laboraverit fervus, quot item diebus feriatus fue
rit.
Operat, rma. Ponamus 5 0 = 0 , dies laboris = x , dies feriarum = y. Expendenti facile p atet, solutio
nem problematis connexam esse tam cum ihmma gros
sorum laborando acquisitorum a se rv o , quam etiam cum summa grossorum ab eodem feriando perditorum : ac proinde utraque summa denominetur, oportet. Est autem prior summa = 2 . * , p o ste rio r= 7 ^ ,
Oper* ada. Juxta conditionem problematis dies la
boris , & feriarum simui sumpti erant = 50 ; est ergo X
= a. Deinde summa grossorum laborandoacqui- sitorum erat aequalis summae grossorum feriando perdi
torum ; elapsis enim 50 diebus" nec herus servo * nec iste illi debuit quidquam : est ergo ope = 7^.
Operat. 3tia. E x aequatione prima acquiritur x — a
•— y. Hic valor si in aequatione altera loco x substi
tuatur, est 3a — 3y — 7#. E x aequatione hac per communes regulas ( 12 6 ) invenitur valor incognitae^:
3«
est enim demum y = — Valor x compendii gratia 10.
solum in numeris sequ, operat, eruetur.
Operat.
4ia.
L it e r is n u m e r o s su b f t i t u e n d o , » ft y “II. Euclicles hoc olim aenigma proposuisse fertur s Ibant Mulus , & Asina vinum portantes: Asinos sub poti- dere ingemifcenti ait Mulus: quid ita lamentaris ? S i i vino $ quod portas 9 mensuram unam mihi dederis; onus meum erit duplo majus9 quam tuum: sin tu a me unam mensuram acceperis, aqualia pondera feremus. Quceri-tur 9 quot mensuras Mulus, quot item Ajina bajulaverit.
Numerus mensurarum onus muli constituentium fit
= x 9 & numerus mensurarum asinae impolitarum fit
— 1/. Imprimis si asina mensuram unam mulo daret;
muli onus esset = ar 2, asinae autem remaneret onus
— y— 1 : porro hac mensurae translatione facta, onus muli per imam problematis conditionem duplo majus esset 9 quam asinae, adeoque esset aequale oneri asinae groffis: cuperet autem ita commifcere siliginem cnm tri
tico , ut mensura mixti frumenti, fervato priore utrius- que pretio , valeat 30 groffos. Quaerit itaquem, quotam
nam menfuroe partem debeat efficere siligo, quotam triti
cum.
S i t 2 2 = t f , 38 = &, 3 0 = r ; pars mensurae, quam iiligo efficere debent , sit = x 9 quam autem efficere de
bet triticum, sit = y. Imprimis erit x -4- y — 1 ; nam quaesitae portiones Uliginis & tritici fimul famptae per
eoR»
condit, probi. debent efficere mensuram unam. Deinde?
pretium siliginis ln ea mensura contentae erit = a x 9
& pretium tritici = by : hinc quoniam m ixti frumenti mensura integra debet 30 grossos valere , erit ax by
— c. Jam ex aequatione prima acquiritur, x — i —y : qui valor si in aequatione altera loco x substituatur, erit a_ay b y — c. Unde per communes regulas (126 ) fas. Quafitur imprimist quanti fuerit una libra fachari, deinde quantum pecuuice is emptor habuerit.
Omnem pecuniam in grossos resolvamus, adeoque
£ siorenos in 40 grossos. Sit autem 40 a ; pretium fachari in greiiis sit = x , pecunia tota emptoris iti
dem in grossis sit = y. Est imprimis j x = y ; est deinde 4x — y — 5. Unde x = 15 , & z/ = 65. Hoc est, fachari libra vendebatur 35 groffis, & emptor ha
buit 65 grossos, seu 3 siorenos, 5 grossos.
V. determinare generatim factum duorum numero- hoc theorema eruitur: Ut acquiratur fasitum duorum Humerorum, quorum uterlibet decade fit minor; ex 100 subtrciiiantiir tot decades, quot funi unitates in utriusque numeri a decede differentia, & residuo addatur factum tarutidem differentiarum, e. g. Quaeratur, quot sint sep
ties octo. Numeri 7 a 10 disserentia est 3, numeri 8 2 ; adeoque utraque simul differentia est = 5, & fa
ctum earunoem differentiarum est = 6, Itaque 5 deca
des
des (feu so ) subtrahantur a io o , & residuo r r 50 ad- dantur6 ; acquiretur numerus 5 6 = 7 X 8
-Schol. i. E x hujus problematis solutione intelligi potest theoria ejus multiplicandi p raxeo s, quae vulgo Tabida Pigri nuncupatur. Nimirum concipe 10 de
pressos manuum tuarum in pugnam contractarum di
gitos esse totidem decades : erit Jiimma per omnes simul digitos expressa = 100. Deinde erige tot digitos in una manu, quot unitates continet unius fa&oris dati a 10. disserentia — x ; in aitera autem mnnu erige tot di-»
g ito s, quot unitates continet alterius factoris dati a 10
«iisserentia= y : porro erecti digiti non amplius deca
d es, sed simplices unitates valere concipiantur. Cla
rum est, per residuos digitos depressos (quorum unus
quisque, uti monuimus, decadem valet) exprimi sum
mam = 100 — 1o:v — loy ; quia tot jam decades sub
tractae sunt a 100, quot ih utraque maiiu digitos erexi
sti. Denique si erectos unius manus digitos per erectos alterius manus digitos m ultiplicaveris, factium erit = x i j: ll enim digiti datorutn factorum a 10 differentias exprimunt. Itaque summa per depressos digitos veluti per totidem decades expressa, addito falfo digitorum erectorum manus unius in erectos alterius manus di
gitos ductorum, erit = 100 — i o j t — 10y x ij, adeo-que erit ipsum factium e x datorum factorum multiplica
tione enascens.
e. g. Qnceratur, quantum Jit 7 X 8 - Quoniam 10
— 7 = 3 , & 1 0 — 8 = 2 , erige in manu una 3 digi
to s, in altera 2 digitos. 5 depreili digiti valent 5 dcca- te s , seu 5 0 ; quibus si addas erectorum unius manus digitorum in erectos alterius ductorum factum = 6 , acquires 56 = 7 X 8» Item : quceratur , quantum sii novies novem, Jeu 9 X 9 . Quoniam 10 — 9 = 1 , tam in una, quam in altera manu unicus duntaxat digitus erigatur : depressi 8 digiti valebunt 80 ; digiti erecti in fe ducti dant factum = 1 , nam 1 X 1 = 1 2 est itaque 9
X 9 =8x.
Schol. 2. E x liis saciie palet, ope tabulce pigri non
nisi ejusmodi factorum fa ctum posse compendio obri-
ffirvath M athesis, & neri,
14 &
n eri, quorum neuter est minor numero
5.
& alteruter major eodem numero 5.139. PROBLEMA X X X IV . Kesolvere problemata funplicia indetermi nata.
KEsoLUT. Problematum indeterminatorum solutio iisdem iegibusperagitur, quibus det erminatorum ; hoc uno discrimine, quod in problemate indeterminato ob defectum sufficientium aequationum non possint om
nium incognitarum valores calculo erui, sed incogni
tae cuipiam, uni. vei subinde pluribus etiam valor ad arbitrium Analvstae statui debeat, atque tunc primum reliquarum incognitarum valores consuetis analyseos operationibus detegi possint.
e. g. Sit propositum problema sequens. Quidcms statuit 100 florenos expendere in coemenda triplicis spe- ciet vina. ‘Urna unius vini venditur 7 flovems ; alterius totum pretium debeat 100 florenos aequare, erit impri
mis 7.x*-4-s y-4 -3 2 = /;. Deinde, cum urnae coemen
dae debeant esse 18 , estx-\-y-\~z — a. Atque hae duntaxat aequationes possunt ex datis conditionibus erui : hinc quoniam incognitae sunt tres, problema est:
Atque ex pofrretna liac aequatione non amplius pot- est iuccgnita z eliminari, ob defeftum aquationis ter
tiae,
tiae , fed ejus valor ad arbitrium Analyftae determinari debet. Qua in re judicio opus est ; ne tantus sta
tuatur valor quantitati z , ut pro alterutra ceterarum deinde ex calculo prodire debeat valor negativus, aut nihilo aequalis. Ponamus ergo esse z = 3. Hoc valo- re lo c o z substituto, postrema aequationum praeceden
tium abit in h anc:
Consequenter valor incognitae y jam innotescit: si enim Ilteris numeros substituamus, est:
Porro ut etiam valor incognitae x innotescat; in aequatione x — a — y— z substituatur loco y valor nunc inventus = 7 , & loco z valor superius ad arbi
trium statutus = 3. Hoc facto erit x = 18 — 7 — 3
= 8. Atque ita habemus jam valores determinatos omnium trium incognitarum: scilicet ii ponatur z= 3 , est y = 7, & x = g.
E X E M P L A A L I A .
I. Sint inveniendi duo inaquales numeri, quorum ffa Sto si addatur summa9 prodeant 79.
Sit 79 = a , unus numerus quaefitus = x , alter = y: erit eorum factum = x y, & summa — x -* -y . Itaque per condit, probi, e s t : x y -4- x •+• y — a*
Transponendo y9 est : x y x — a— y.
a — y Dividendo per y Hh 1 , est : x = ™
r y -+- Im
Jam cum e x aequatione hac nequeat incognita y eli
minari , statuatur ipsi valor pro arbitratu, sed talis ta
men, qui minor fit quam a, ne x evadat quantitas ne
gativa.
IT. Sint inveniendi duo numeri , quorum fa ctum Jit aequale dupla summa.
Sit numerus quaesitorum unus = x , alter = y : erit eorum factum — x y, & dupla summa — 2 X ^ zy, Itaque per condit, probi, est : xy — 2X -+- 2y*
Transponendo 2.v, est xy — zx = zy.
Ponamus jam esse y = 3 ; erit 3 * — 2ac = 6 , seu X = £ 6 .
III. Florent 100 distribuendi funt inter 20 pauperes, ita ut singuli viri acquirant flor. 7. fuignloe mulieres flor. 5, & singuli pueri flor. i. * queeutur numerus virorwn9 mulierum > & puerorum.
Numerus virorum sit = x , mulierum = y 9 puero
rum — z: sit deinde 100 = a9 20 = b. Erit imprimis y ^ z — b\ erit deinde j x -4- 5^ •+* z = a. Por
ro ex prima aequatione est z = b ~ x — y 9 & ex se
cunda est z = a — 7 * — 5y. Itaque duos ejusdem z valores componendo, est:
Statuatur jam incognitae y valor ad arbitrium, sed ita, ut deinde valor x in numeris integris absque fractione acquiratur : e. g. ponatur y — g j erit x = 9 0 - aa_
g = 8 « Hinc, quoniam ex prima aequatione eruitur esse z — b — x — y 9 erit2:rr=:2o — 8 — 8 = 4. Hoc est, si ponatur y = g , est etiam x = S , & £
= 4