129. p ro b lem a vel est pofilbiie, vel impolfibile. Pqffi- bile est , cujus conditiones non pugnant Inter fe , ac proinde solutionem admittunt, cujusmodi sunt tria illa problemata, quae praem Cap. (127) solvimus.
Problema impojpbile est, cujus conditiones inter se pugnant, e. g. Si quaeratur num erus, qul fit J pars numeri 6, & fimul * paLi numeri 12 ; problema impos
sibile est: ejus enim conditiones inter fe pugnant, ut expendenti patet.
J 3°/ Problematis impossibilitas vei illico e x ipfi*
conditionibus rite apprehensis elucet; vel saltem per decursum operationis se se manifestat, quatenus Analy- sta suo calculo ad manifestum absurdum deducitur: ut
1 3 quum
*S4
quum t calculo prodit e. g. totum esse aequale fuae par
ti , esse 3 = — 4, & limilia.
1 3 1 . Problema possibile aliud est determinatum , aliud indeterminatam. Determinatum est , in cujus so
lutione cujuslibet incognitae quantitatis valor calculo
•ruitur , quin ulli incognitae debeat valor ad arbitrium Analyftae ftatui. Ejusmodi sunt problemata n. 1 1 1 . proposita. Indeterminatum contra est , in cujus solu
tione alicui quantitati incognitae valor ab Analysra pro arbitrio statuitur,, ac tum primum valor alterius, vel aliarum incognitarum e formulis calculo acquisitis erui
tur. e. g. Si quaerantur duo numeri , quorum summa
te t, propterea quod ejus valorem ingrediatur incognita quantitas y. Itaque problema est indeterminatum, de- betque Analyfta quantitati y valorem statuere ad arbi
trium : quo facto valorem x jam formula ipsa determi
nabit. Si enim ponatur y esse ». g. = 2 0 ; erit x = 100 — 20 = 8o.
132. COROLL. I. E x aequatione data eatenus erui
tur valor incognitae quantitatis , quatenus ita sensim transformatur aequatio, ut unum ejus membrum solita*
ria quantitas incognita constituat, in altero autem mem
bro solae quantitates cognitae repedantur (125) , itaque e x unica aequatione duae incognitae quantitates innote
scere minime possunt. Hinc, ut problema sit determi
natum , necesse est tot adesse diversas conditiones di
versis aequationibus exprimendas, quot incognitae quan
titates diversis literis expressae in problemate continen
tur, Si autem plures diversae literae, incognitas quanti
tates designantes, reperiunturin problemate, quam sint conditiones diversis aequationibus exprimendae; pro*
blema est iadetei minatum.
133. CoROLL. II. Quodsi plures dentur conditio
nes, quam sint quantitates incognitae diversis literis ex
primendae ; problema est plus quam determinatum. Sed hujusmodi problemata plerumque sunt impossibilia ob
pug-pugnam conditionum, quae eo casu plerumque ad eft:
potest tamen evenire nonnunquam, ut postquam ex ne- cessariis, fimulque sufficientibus conditionibus valores incognitarum quantitatum erutae sunt, reliquae etiam
superfluae conditiones verificentur.
134. Problemata tam determinata, quam indetermi
nata', alia sunt simplicia, alia composita, seu altiorii gradus. Simplicia sunt, in quorum aequationibus in
cognitae quantitates ultra primam potentiam non assur
g u n t: compofita autem, (en ait i oris gradus sunt, in quorum aequationibus aliqua, vel aliquae quantitates incognitae ad quadratum, vel cubum, vel altiorem ali
quam potentiam sunt elevatae, e. g. Problema illud, cujus haec est aequatio: x = a — &, simplex est; Com~
pofitum autem , si hac e. g. aequatione gaudeat; x* x = ab.
Schol. Hoc Cap. nonnisi de problematis simplicibus a6Furl sumus: ac imprimis quidem de problematis sim
plicibus determinatis, unicam incognitam quantitatem continentibus; deinde de simplicibus determinatis plu
rium quantitatum incognitarum; demum de simplici*
bus indeterminatis.
135. PRO BLEM A X X X I. ReJoluere problemata sim*
plicid determinata, in quibus unica occurrit quantitas in*
cognita.
REsoLUT. Pro resolvendis hujus generis problema
tis haud opus est aliis regulis, quam lis, secundum quas, generales analvseos operationesn. 1 1 0 , & sequ . pertra
ctatae institui debent. Itaque statutis juxta num. u o denominationibus, eruatur per u. 1 1 2 aequatio; tum per regulas n. 126. traditas ad uuum terminum incog
nitum , & solitarium reducatur
:
denique resolvatur in numeros (12 7 ).E X E M P L A .
I* Quidam interrogatus, quotnam habent famuloi, Jjc rejpondit: dimidia pars meorum famulorum laborat in vinea ; pars tertia pifcatur; tres autetn famulos miji venatum: jam plures non habeo. Quaritur, quotnam famulos habuerit•
Operatio \ma (iio). Sit 3 — a ; numerus omnium a;
famulorum = x : erit eorum dimidia pars = “ &
x pars tertia =
Oper. nda C1I2). Quoniam adaequatum famulorum numerum juxta problematis conditionem constituunt pars eorundem dimidia, pars tertia , & praeterea tres \
x x
haec habetur aequatio: # = ” -H -4- cs.
Operat. 3 ^ ( 1 2 5 ) . Per rcg. 1. ( 1 2 6 ) tollen«
do primam fractionem, adcoque totum multipL per
2X
2, est: «■ 2x — x -\-~ ^ 4- 2A
Tollendo fract. alteram, adeoquc per 3 multiplic, est:
6x = 5*-+- 6u.
P erreg. 2. transponendog x, est: 6x —- 5x = 6 a . Id e s t: * = 6 n . Operat. 4to ( i2 8 ) . Est u = 3 ; est ergo feu numerus famulorum = 18.
# rv
Examen (i28). Cum sit .r = 1 8 ; est ~ = 9 & ”
= 6. Igitur hos valores literis substituendo in aequa-?
tion e, quam operat. a invenim us, deberet esse 38 = Quae aequatio cum stet, solutionem legi
timam esse evincit.
II. Abiit Tyrnavia Cajus Romam ante dies 6, qui singulis diebus emetitur mi Ilia r ia 3 ; nunc Titius itidem
Tyrnavia Romam movet, idem accurate iter, quod Ca+
jn ?, emenfurus, at singulis diebus confecturus militaria 5, Quaeritur, intra quot dies sit Titius Cajum ajjecuturus. ■
Sit 6 = u , 3 = & , 5 = c, quaesitus dierum numerus
= #. Clarum est, duos hos peregrinos eo temporis momento conventuros, quo milliariaab utroque ernen- sii fuerint totidem ; itaque amborum milliaria algebrai- ce exprirnertda sunt, & inter se aequanda. Porro Cajus intra dies a 9 Titii iter praecedentes, confecitmilliariutn numerum = #&, confecturus adhuc intra dies x
millia-rium
rium numerum = & # : hinc numerus milliarium a Ca
jo , dum ipsum Titius assequatur, emetiendorum est a a b ^ -b x . Titius, qul, antequam Cajum assequatur, perget tantum diebus#, conficiet milliarium numerum
— cx. Hanc itaque habemus aequationem :
cxT=z ab^bx Transponendo b x ( n a m c # > & # ) est : c x—bx-^-ab;
Dividendo totum per c — b ( 28. reg. 3. > est;
III. Data summ a, & differentia duorum numerorum invenire numeros ipfos.
Sit summa data = s 9 disserentia = d. Numerus quaesitus major sit = x: eo ipso numerus minor est = x d. A t idem numerus minor est etiam = s x ; ft enim ex summa duorum inaequalium numerorum sub„
trahatur numerus m ajor, clarum est, remanere debere numerum minorem. Itaque 2
Transpon. imprimis Dividendo per 2 , est
Hoc est, generatim quicunque duo inaequales numeri aft sumantur; femy\cr numerus major est ecqualis ipforum Je*
mfimimx addita femidifferetitia.
P o rro : numerus minor est, uti diximus, = x — rf, ac prolude loco x substituendo valorem nunc lnven
s -f- d
tum , est numerus minor = "—~— — d. Totum hoc multiplicando per 2, acquiritur numeri minoris du*.
pium — s~\~d — zd — s — d ( 8 ) : quod duplum st s
—
d dividatur per %, acquiritur numerus minor = ^1S
* Hoc
Hoc est, generatim quicunque duo inaequales numeri as s umantur , ftmpn minor est ecqualis ipforum femisummcs
dempta femidijjer entia.
e. g. Si assumantur numeri 12 & 8» quorum ferai- ftunma c s t= io , semldiftbrentla = 2 ; erit major , seu
d io, ut Tirones in lis uberius se se exercere queant, IV . Interrogatus quispiam, quotnam florenos lucra- tus fi t, respondit: Spartes mei lucri additis ejusdem lu- tri | partibus efficiunt 34 florenos. Quaeritur; quotnam is florenos fit lucratus.
V . Aliquot milites certam aureorum summam hosti ereptam habuerunt inter fe aequaliter dividendam. Pri- mum tentarunt singuli accipere ex simma aureos 7 ; at 5 aureos experti funt deeffie sibi ad aquam divisionem: dum autem tentarunt singuli accipere aureos 5 ; exaffiefiicceft fit divisio i quin ullus ex summa aureus aut de effiet, aut s uperesset. Quaeritur, quotnam fuerint miliites illi. Sit numerus militum = x ; ex conditione problematis haec obtinetur aequatio: 7 # ~ 5 = 6 ^ . Hinc x = g. Unde innotescit etiam numerus aureorum = g x 6 = 3 0 .
136. Sl in quopiam problemate determinato plures occurrant quantitates incognitae, adeoque etiam aequa
tiones ( 1 3 2 ) 5 fere quaelibet id genus aequatio plures , quam unam, complectitur incognitas quantitates. Jam vero ex aequatione plures incognitas quantitates com
plectente nullius incognitae quantitatis valor potest:
e ru i; quia nequit ejusmodi aequatio lta transformari, u t unum ejus membrum unica incognita quantitas fo- Jitaria constituat, ln altero autem membro Iolae cogni
tae quantitates rcperiantur. Itaque ex qualibet id genus jequatione eliminandae funt incognitae quantitates" prae
ter unicam, actum demum unicae hujus relictae valor c x ea aequatione eruendus. Praxim hujus eliminatio