buere lu b e t: in quibus st Tiro probe exercitatus fue
rit, etiam in difficilioribus problematis solvendis cum fuccessu versabitur.
PRIM A A N A L T SE O S O PERATIO .
n o . Prima analyseos operatio consistit in accurat®
omnium conditionum problemati adnexarum difcujjione 9
& a pta q u a n tita tu m tam cognitarum, quam incognita- nim d enom inatione. Scilicet Analysta problema quod
piam resoluturus rite confideret imprimis, quisnam fifc ftatus quaestionis, & quae conditiones problemati ad
jectae. His probe cognitis di spiciat deinde, quaenam sint quantitates cognitae, quae incognitae; tum cogni
tas quidem quantitates primis alphabeti literis a, b9 s
& c . denominet, incognitas vero ultimis a:, y9 z. e .g . Si proponatur problema de inveniendis duobus nume
ris. quorum summa sit = 1 5 , factum autem = 5 6 ; ponat 15 = a , 5 6 = / ; . unum numerum inveniendum
= x 9 alterum = y : scilicet in calculo deinde loco ea
rum quantitatum his literis usurus. Porro denomina
tiones hae ad latus quodpiam folii adnotandae erunt;
ne excidat e memoria, quaenam lltera hujus quantitatis Joco usurpetur in calculo.
1 1 1 . Saepius ex ipsis problematis conditionibus di
ligenter expensis patet , pro statuendis denominationi
bus non debere totidem diversas alphabeti literas assu
m i, quot diversas quantitates problema continet, led plures quantitates ( feu eae cognitae iint, seu incogni
tae) paucioribus literis exprimi posse. Quo casu ejus
modi compendio in statuendis denominationibus uten
dum omnino est: sic enim facilior evadet problematis solutio , uti deinceps apparebit. Quam ln rem tres sequentes regulas notasse juvabit. imo. Si in dato problemate duae sint incognitae quantitates, clarum au
tem sit, unam earum esse duplam alterius; prima de
nominetur x : at altera non denominetur^, sed Si autem altera quantitas esset dimidia prioris, & ista prior denominaretur x ; altera illa deberet poni
sic porro in aliis quoque similibus casibus sive inco
gnitarum quantitatum, sive etiam cognitarum.
2do. Sint duae quaecunque incognitae quantitates in dato problemate , quarum disserentia d nota sit. Sl ma
jor quantitas ponatur = x ; minor ponenda erit = a?
L - d : si autem minor ponatur = x ; major ponenda erit = x -f- d. Clarum enim est, ex duabus quibus
cunque inaequalibus quantitatibus minorem semper esse aequalem m ajori, dempta disserentia ; majorem vero aequalem esse minori, addita disserentia. Sic si assuma
mus numeros 6 & 4, quorum disserentia est = 2 ; est utique 4 = 6 — 2 , & 6 = 4 - H 2.
3tio. Sint quaecunque duae quantitates inaequales, quarum summa vocetur s 9 disserentia d ;
demoiistrabi-s -f- d mus fequ. Cap. quantitatem majorem esse = — — —
s*—d
minorem autem = —~— Hoc est, majorem quantita
tem semper esse aequalem femisummae addita semidisse- rentia ; minorem autem semisummae dempta semidisse- rentia. Unde hoc corollarium eruitur: si duae id ge*
nus quantitates occurrant ln problemate, quarum sum
ma 5 nota Iit, non item disserentia; non est necessb duas illas quantitates duabus diversis literis x & y de
nominare, sed satis est earundem semidisserentiam po
nere = x. Hoc enim posito major quantitas erit =
s s
~ •+* at, minor autem = “ — x,
E X E M P L A Primae operationis A nalyf
I. Detur sequens problema. Quidam parens tvibm filiis /ais reliquit kcereditatem 8oo florenorum. hac lcge9
ut secundus fdius ioo fiorenis plus acquirat ex ea haeredi- tate9 quam primus: tertius autem tantundem accipiat9 quantum primus, & fecmdus Jimul. Quaeritur , qmn~
tum unicuique ex ea hcereditate obtigerit ? Quantitates,, quae hoc in problemate denominari debent, sunt duae»
cognitae, scilicet numerus 8oo. & io o ; deinde tres in
cognitae, nempe singulorum siliorum haereditates. Ita
que ponatur imprimis 8oo = m, ioo = f c . Deinde hae- reditas primi silii ponatur = x : quo polito haereditaS
H 5 secun*
secundi erit x *4-&; tertii autem = # 6 , feu
= 2.X -f- b.
II. Proponatur istud problema. Quidam parens 30 ctnnis fenior esi filio fuo. Quodji cetati Parentis addas ejusdem aetatis dimidium , praeterea £ partem aetatis filii i pro summa totali obvenient 8o anni. Quaeritur, guot annorum Jit parens, annorum silius. Quanti
tates , quae hoc in problemate denominandae occur
ru n t, sunt: 30, 8o, aetas parentis, aetas filii, dimidia pars de aetate parentis, & £ pars de aetate filii. Anni 30, quoniam sunt differentia aetatum , ponantur esse =
\H; 8o = a, 7Etas parentis fit = # ; quo posito aetas filii erit — x — d , scilicet per illud compendii genus, quod superius ln reg. 2da descripsimus. Hinc dimidia
x
parentis aetas erit = — & | pars aetatis filii erit = x —d
~4
-III. Detur problema sequens. Quidam interrogatus, quotnam oviculas haberet, hoc modo respondit: si adhuc totidem haberem, quot habeo, & proeterea 1 partem ea -rum, item * partem, & adhuc unam; tunc efient 100.
Quaeritur, quotnam oviculas habuerit. Sit 100 = a; qu ae- fitus ovicularum numerus = x. Hujus numeri J pars
x x
erit = — & A pars 5= —
2, * 4»
Schol. Tria haec problemata probe imprimantur me
moriae: ea enim ln singulis sequentibus operationibus resumentur.
A L T E R A A N A L Y SE O S O PERATIO .
IT2. Altera analyseos operatio est dati problematis
&d fuas aequationes reduUio. Scilicet post probe cogni- tum quaestionis statum, institotasque singularum quan
titatum ad problema pertinentium denominationes, ac-
«rurate videat Analysta , quamnam aequationem in se contineat quaevis conditio problematis-/ tum quamlibet conditionem propria aequatione exprim at, inter
quan-
tita-titates, quae per conditionem problematis aequales funtj lignum = interponendo. Hoc est, propositum pro
blema signis algebraicis per unam, vel plures aequatio-*
nes adaequate exprimat. Quodsi aliqua problematis conditio (quod aliquando even it) non aequationem 9 fed aliquam proportionem in se contineat; ejusmodi proportio methodo suo loco tradenda in aequationem transformetur.
Schol i. Altera haec analyfeos operatio, fen aequa
tionum inventio maximi laboris est, & quasi lapis lv - dius, in quo egregium ingenii fui specimen Analysta darepoffit. Immo praeter acre ingenium longiori eti
am exercitio opus est, ut facilitas aequationes in qui
busvis problematis inveniendi acquiratur. Quare T i
rones , cumprimis in itio , in statuendis problematum ipsis propositorum aequationibus juvandi erunt. Lu- beat resumere tria illa problemata , quae num. 1 u . pro
posita sunt, & pro iis aequationes determinare.
In PRoBL. I. ( u 1 ) Filii primi haereditas est ~
x
9 secundi = * ~ 4 - b 9 tertii = 2x -t-b, uti eolocodictum est. Porro ex problematis conditione patet , omnium trium filiorum naereditates simul sumptas esse 8oo flo- renos, seu e f f % = a : itaque in hoc problemate est#-H-k-b— a , seu est 4#Hh26 = u .
In PRoBL. II. ( i n ) JEtzs parentis est = a;, hujua dimidium = — aetas filii
x
x —d,
hujus *. pars = x —d--- Cum ergo per conditionem problematis aetaspa-rentis cum fuo dim idio, & iimul cum 4* .1 parte aptatis si»
lii debeat efficere go annos, feu efie a ; erit in hoc
, ,
x x—d
problemate
x
— .+«--- s= a.3 4
In Pr o b i.. III. ( c it .) E x data conditione facile pa»
tet, qua:litum ovicularum numeranti
x
bis sumptum „ addita » fui p arte, & 1 parte, ac praeterea unitate effeJi 24
Schol. 2. Patebit ex sequentibus, non este plure*
aequationes ad solvendum problema necessarias , quam iint in eo problemate incognitae quantitates diversis li
teris expressae: eum ergo in quolibet allatorum trium problematum nonnisi unica litera x designet quantita
tem incognitam ; pro singulis eorum unicam aequatio
nem invenisse satis est.
Schol. 3. Tertiae analyfeos operationi praemittenda funt quaepiam axiom ata, & theoremata.
11 3 . AXIO M A IT. S i aqualibus quantitatibus eadem * quantitas, vel aquales q uan tita tes addantur; Jummce erunt aquales, e. g. Si sit a b — c — d; erit etiam ( utrique idem e addendo ) a - i- b - i~ e = c — rf-+- e.
11 4 . AXIO M A III. S i ab aqualibus quantitatibus eadem quantitas, aut aequales quantitates subtrahantur;
reftduoe quantitates erunt aquales, e. g. Si sit -f- b=z
terum aequationis membrum , dummodo ejus lignum — in contrarium transmutetur , eritque a -{-b -\-d = c.
Pariter potest e. g. b transponi in membrum alterum mutato in contrarium signo ipsius, eritque a e
. b. E t iic porro.
De m o n s t r. Term inus, quem e x uno aequationis membro in alterum transferre cupis , vel est positivus, v e l negativus. Si est positivus; eum ex uno aequatio
nis membro in alterum signo mutato transferre tan- tunsiem est , ac positivum illum terminum tam ab uno, quam ab altero aequationis membro subtrahere. Sit
= si b mutato signo transferas, illud pri-
«no membro, exqu oau ssers, utique iubtra b is : at idem b subtrahis etiam ex membro altero, ln quod mutato signo illud transfers: addere enim alicui quantitati
«hantitatem —-
b
tantondem utique est, ac ab eadem subtrahere fc Atqui aequatio non t&rbatu r, si ex<
utro-utroque ejus membro ldem subtrahatur ( 1 1 4 ) : ergo terminus quivis positivus ex uno aequationis membro in alterum transferri potest mutato signo, quin aquatio, seu mutua membrorum aequalitas turbetur, e. g. Cum sit 6 - f - 4 = i o , est etiam 6 = 1 0 — 4. Quodsi autem terminus ex uno aequationis membro in alterum trans
ferendus negativus fuerit ; eum mutato signo trans
ferre tantundem est , ac unam eandemque positivam quantitatem addere tam u n i, quam alteri aequationis membro, e. g. Si sit a = c — b ; quum e x membro dextimo transfers — b, utique eidem membro addis tollere enim quantitatem negativam est aequalem positivam addere: at etiam inembW sin istim o addis ea translatione quantitatem -t-b , ut clarum est. Cum er-' go non turbetur aequatio, quum idem utrique membro additur ( 1 13 ) ; etiam quantitas negativa ex uno aequa
tionis membro in alterum transferri potest , quin turbe
tur aequatio. e. g. Cum sit 6 = 10 — 45 est etiam 6
um utriusque membri terminorum signa mutentur in contraria, quin ullus terminus transferatur ex uno membro in aliud; mutua membrorum aequalitas non turbatur; dummodo singulorum omnino terminorum nullo neglecto signa mutentur in contraria, e. g. Cum iit 6 + 4 = 1 2 — 2 ; est quoque — 6 — 4 = — 12 •+*
a. Periclitanti enim patebit, hoc compendio idem prae
stari , ac si omnes omnino utriusque membri termini ex ima aequationis parte in alterans mutato signo fuccesii- v e transferrentur : quae successiva translatio aequalita
tem membrorum utique non turbat (115 ). A t si vel in uno termino negligatur signi im m utatio; jam prior membrorum aequalitas in assumpta hypothesi termino
rum loca sua retinentium suffertur. * Sic si est a — b t=.c — d, non potest esse a ~i- & ~ — e Hr d : priorem
enim
enim aequationem succeffiva terminorum ex uno mem
bro in alterum translatione nunquam commutabis ln hanc posteriorem, ut periclitanti patebit.
118 . CoRoLL. III. Quivis terminus, qui ln utro
que aequationis membro, eodem signo affectus reperi- tu r, retenta membrorum aequalitate utrinque deleri potest, e/g. Cum sit6 4- 2 * 4 - 4 = 10 4 - 2 ; utrinque
<ielendo4-a est 6 4- 4 = 10. Nam delere utrinque eandem quantitatem positivam tantundem est, ac utrin- que eandem quantitatem subtrahere; delere autem Utrinque eandem quantitatem negativam , idem est, ac utrinque addere aequalem quantitatem positivam.
139. AXIOM A IV . S i aqualia per idem, aut per aqualia multiplicentur, vel dividantur; etiam facta, vel quoti inter fe aquari debent.
120. TH EO REM A X I. Si unus, aut plures termini fwe in uno duntaxat, fwe in utroque aquationis membro per eandem aliquam quantitatem divisi Jin t; is divi/or
in eo, vel iis terminis deleri potest, dummodo reliqui om- nes iitriusque membri termini per eundem divisorcm multiplicentur•
De m o n st r. Delere alicujus fractionis divisorem tantundem est, ac fractionem illam per suum diviso
rem multiplicare;
Quodsi ergo alii quoque omnes utriusque membri termini in quibus ea deletio non usurpatur, per eundem divisorem mul
tiplicentur; reapse utrumque aequationis membrum per idem multiplicatur; aequalitas ergo membrorum pror
sus non turbatur 11 1 9 ;.
I 2 i . COROLL. Sl ergo omnes utriusque membri termini per eandem quantitatem divisi iin t, sufficit communem illum divisorem ubique delere.
122. TH EO R EM A X II. S i unus, aut plnres terni• ni in aliqua aquatione multiplicati Jint per eandem quan
titatem ? hac quantitas , Jeu coefficiens in eo, vel iis ter
minis deleri potefi, modo reliqui omnes termini in utro
que aquationis membro per eundem coefficientem dividan
tur. e. g. Si sit 2a + 4 = i o ; erit d - f - 2 = 5.
De m o nSt r. Delere alicujus termini coefficientem tantundem est, ac eum terminum dividere per eundem coefficientem: si enim e. g. 2a dividi debeat per 2, quo- tus est = — 2a a• Quodsi ergo alii quoque omnes utriusque membri termini, in quibus ea deletio non usurpatur, per eundem coefficientem dividantur; reapse utrumque aequationis membrum per idem dividitur:
aequalitas ergo membrorum prorsus non turbatur ( 119 ) . 12 3. C o R O L L . Itaque si omnes utriusque membri termini eupdern habeant coefficientem ; eo coefficiente deleto aequalitas membrorum non turbatur, modo is ubique deleatur, e. g. Si si t 2a -f- 2b— 2c -t-2rf; est a-\-b —
c
— d124. TH EO R EM A X III. Potefi utrumque aquatio
nis membrum retenta aqua litate mutua ad eandem po
tentiam elevari; vel ex utroque membro eadem radix ex
trahi. e g. Si fit a = b ; est imprimis = bm, est deinde a = b.
De m o n s t r. ima partis. Assumamus quascunque duas radices c & b, inter se aequales. Has ad eandem potentiam quamcunque elevare, reapse non aliud est,, quam easdem per aequalia semel, aut saepius multiplica
re. Sic si radices illae eleventur ad cubum
;
aper a,
b per b bis multiplicatur (66); est autem ex hypotb. a~ b. Jam vero ii aequalia multiplicentur, facta quo
que inter fe aequari debeat ( 1 1 9 ) : ergo potest utrurn-que
528
que aequationis membrum retenta aequalitate mutua ad eandem potentiam elevari.
DEMONSTR. 2dce partis. Fieri nequit, ut duae inae
quales quantitates eandem habeant potentiam secundam, tertiam & c. Secus enim quantitas minor e. g. bis in fe Ipsam ducta prorsus idem fastum daret, quod daret quantitas major itidem bis in se ipsam ducta ; quod ab
surdum est. Itaque si duae ejusdem exponentis poten
tiae fuerint aequales; etiam radices ipsarum eodem ex
ponente gaudentes aequales sint, est necesse. Hoc est, altera quoque Theorematis pars manifesta est.
T E R T IA A N A LYSE O S O PERATIO .
T25. Tertia Analyfeos operatio est aquationis ad
%mum terminum incognitum, & solit avium redu&io. Ni
mirum inventa per 2dam analyfeos operationem aequa
tione , in id incumbere debet *Aualysta , ut retentafem- per membrorum aequalitate lta pedetentim transformet aequationem, ut unum aequationis membrum sola quan
titas incognita constituat, lu altero autem membro merae quantitates notae nullis incognitis permixtae ha
beantur. e. g. Si per 2dam operationem ( 1 12 ) haie obtenta est aequatio: x H- b — c\; ea per regulas se
quentes transformanda est in hanc: x = c — b 9 ut ia»um aequationis membrum sola incognita quantitas x constituat, in altero autem membro sint merae cognitae quantitates c &cb. Hocenim pacto jam innotescit va- ior incognitae illius quantitatis , ac proinde problema propositum solvitur. Sic si in assumpta aequatione sit 1 = 8, . 6 = 3 ; est 3; = 8 — 3 = 5.
126. Tertia haec analyfeos operatio sequentibus le
gibus est peragenda. 1:110. Si in aliquo, vel utroque aequationis membro occurrant fractiones; eae ante om
nia tollantur, ita tamen f ut membrorum aequalitas non turbetur: & quidem, 11 plnres diversae fractiones oc
currerint, juvabit confusionis vitandae gratia tollere unam post alteram. Tollitur autem fractio, quin tur
betur membrorum aequalitas, si ejus denominator de
leatur , & per eundem d en ominatorem reliqui omnes tctriusque membri termini multiplicentur ( 120). e. g.
Si fit — — aot bs= cJ, sublata fractione erit . . . afr
2
= 2C.
2^u. Videndum deiude est, an quantitas incognita, cujus valor quaeritur , in unico duntaxat, an ln utro
que aequationis membro reperiatur. Si in utroque ; e x uno membro transferatur in alterum mutato figno ( 1 1 5 ) , ut deinceps in unico duntaxat membro cornpa- reat, A t hac in translatione judicio opus est, ut nimi
rum ad illud membrum transferatur quantitas incogni
ta , in quo demum valor ejus sit positivus, non nega
tivus. e. g. Si sit aequatio $x -f--/? = a x ; ex parte dextra ad sinistram transferenda est quantitas incogni
ta x , seu scribendum — x -hb = a : si enim eX parte sinistra in dextram transferretur, id est, si scribe
retur b = a -4- x — $ x; facile patet fo r e , ut demum valor quantitatis x sit negativus, Eandem ob causi*
fam, tametsi quantitas incognita ln unico solummodo membro com pareat, si tamen ea sit ibi valoris nega*
t iv i, ln membrum alterum mutato signo est transferen
da. e. g. Si iit
a
■ * * ■ .# = & ; mox initio transferaturx
ad partem alteram, ut sit a = b *+* x
3tio. Si terminis incognitam quantitatem continen
tibus adhaereant quantitates cognitae, signo -4- vel — junctae; eae omnes mutatis signis transferantur ad mem
brum alterum ( u g ) . e. g. Si iit a x b — c = & d , termini b & c mutatis signis transferuntur ad partem al*
teram , seu scribatur: 'a x — b d — b-{- c.
4io« Si quantitas incognita coefficientem aliquem habeat; is coefficlens deleatur, & per eundem dividan
tur omnes reliqui termini membri utriusque : hoc pacto quantitas incognita liberabitur a ftio coefficientb, & ta
men aequalitas membrorum retinebitur (122 ).
5*0. Si incognita quantitas a cognitis ptene jam se
parata, ad aliquam potentiam e. g, ad quadratum ele
vata esie deprehendatur; ex utroque aequationis mem
bro extrahatur radix ejus gradus , quem indicat expo
nens
nens potentiae. Quae quidem extractio m quantitate' incognita reapse perficienda est methodo num. 82. alla
ta ; at in altero membro quantitates cognitas comple
ctente sufficit nunc adhuc eandem praefixo radicali signo indicare duntaxaE e. g. Sl fit demum x* = a — b; feribatur # = \/ ( a — b). QuOdli autem ex adverso quantitas incognita deprehendatur esse signo radicali affecta; elevetur utrumque membrum ad eam poten
tiam, quam indicat exponens signi radicalis. e, g. Si fit \/ x — a-f- b ; erit x — { a b)* . Neutro enim casu turbari membrorum aequalitatem, aum. 124. de
monstratum est*
Schol. i . Si quis in tollendis ( per reg. imam ) fra
ctionibus compendio uti v e lit; cujuslibet in utroque aequationis membro fractionis numeratorem , item quamlibet utriusque membri quantitatem integram mul
tiplicet per factum omnium utriusque membri denomi
natorum excepto denominatore proprio.
Schol. 2. Si quantitatis incognitae valorem demum aliqua fractio expresserit , quae ad simpliciorem expres
sionem reduci postit (4 5 ), ea reductio negligenda non erit.
Schol. 3. Praecedentes quinque generales regulae me
moriae probe imprimendae sunt, eodem que/quo pro
positae sunt, ordine dato problemati applicandae. L i
beat earum ope tertiam auaiyseos operationem in pro
blematum num. m . propositorum aequationibus, n.
1 1 2 . Schol. 1. inventis exercere.
Pro PEoBL. I. Hanc invenimus n. 112 . Schol. 1.
aequationem.
Q U A R T A A N A L Y SE O S O PERATIO .
127. Quarta analyfeos operatio est aquationis, ad unum terminum incognitum, & solitarium 'jam reduEla, in numeros resolutio. Scilicet postquam per tertiam analyfeos operationem valor incognitae quantitatis eru
tu s, perque noti valoris llteras expressus est; literis istis valores proprii in numeris substituendi sunt, ut
I 2 etiam
etiam incognitae quantitatis valor in ipfis numeris clare videatur. Lubeat praxim hujusm. resolutionis videre in problematis n. 1 1 1 propositis, quarum aequationes ultimas paullo superius (126. SchoL 3 .) determinavimus.
— 50; adeoque est x = 150. Jam vero x est haeredi- tas primi sisii > uti cit. loco ponitur: itaque primo filio obvenit haereditas 1 5 ° florenorum. Secundus fiiius per conditionem problematis 100 tlorenis plus debuit ac
quirere , quam primus: secundi ergo haereditas est 250 florenorum. Tertius tantundern acquirere debuit, quantum reliqui duo sim ul; adeoque hujus haereditas est = 150 250 flor. = 400. flor.
Schol. Atque haec sunt generales analyseos opera
tiones, quae in quolibet problemate resolvendo locum habent: supersunt adhuc particulares aliquae regulae, operationesque in certis problematum classibus obser
vandae , quas fequ. Cap. pertractabimus.
128. Postquam solutum est problema, examinan
dum est, num solutio fit legitima : hoc autem modo stituendurn est: examen. Singulis lireris tam cognitis a9 b. c9 & c. quam etiam incognitis x 9y9 &c. sed jam dete
ctis, substituantur sui valores num erici; tum lingulae problematis conditiones ponantur ob oculos : si numeri illi his conditionibus exacte satisfecerint, legitima est solutio; lin m inus, vitiosa.
e. g. In Pr o b l. I. ( i n ) per primam conditionem, omnium trium filiorum haereditates fimul sumptae de
bent effe = 8oo florenis: invenimus autem n. 127, hae- reditatem primi liili esse 150 flor. 2di = 250 flor. 3tii
= 400 flor. Curn ergo sit 150 -f- 250 400 = goo ; primae conditioni satisfit. Porro reliquae problematis conditiones erant, ut haereditas secundi 100 florenis fifr major haereditate prim i, & haereditas c$tii aequetur hae- reditatibus duorum reliquorum fimul sumptis: cum er
go fit 25© = 150 10 0 , & 400 = 150 + 250 j etiam posteriores hae problematis conditiones implentur.
Solutio ergo problematis fuit legitima.