29. jEraStioeft quantitas, quae cujuspiam totius pat*
1 tes, unam, vel plures significat. e. g. Unus crucifer est fractio comparate ad grossum : quia iigmsi*
eat unam tertiam grossi partem. Porro ad determinan
dum cujuspiam fractionis valorem opus est duabus quantitatibus , quarum alter denominator fractionis * al*
fer ejusdem numerator vocatur. Denominator expri
mit , in quotnam partes dividi concipiatur totum illud*
de cujus fractione sermo est; numerator autem indicat*
quotnam ejusmodi partes fractio contineat. Id est * de*
nominator exprim it, cujusnam speciei, denominationis*
que sint partes illae , quas fractio in se continet, an nem
pe sint tertiae, vel quartae , vel decimae&c. partes to
tiu s; munerator autem indicat, quotnam ejusmodi par
tes fractio valeat. Solet autem denominator subfcnbi numeratori lineola interjecta, e. g, £ significat duas tertias cujuspiam totius partes.
30. TH EO REM A III. S i manente eodem deno mi- natore crefcat numerator ; valor frafifionis augetur; W quidem ea ratione augetur, <77,^ 7>/c numerator, ita ut numeratore in duplum, £m£ triplum &c. crefeente valor quoque fraffionis in duplum, aut triplum &c. crefcat. F x adversio 9 si manente eodem denominator e numerator de- crefcat i valor fraffionis imminuitur: & quidem eadem ratione imminuitur, qua ipfe numerator, ita u t, si nume
rator duplo 9 aut triplo &c, minor evadat, nc prius fue
rit , tfto/n valor fraffionis duplo , t\ iplo minor fiat.
De m o n s t r a t, imee partis. Quamdiu manet idem denominator, tarndiu perdurat eadem species, denomi- natioque partium illarum , quas fractio exprimit * ergo,, si manente eodem denominatore crefcat numerator, fractio jam plures ejusdem speciel partes continet, a c prius continuerit ; & quidem ita. ut numeratore in du
plum , auttriplum & c. crescente fractio jam duplo \ aut triplo & c . plures ejusdem speciei partes contineat, a c prius continuerit. Atqui istud tantundem sane est, a c eadem prorfus ratione crescere valorern fractionis, qua numerator ejusdem crescit.
De m o n st r. ‘idce partis. Si enim manente eodem denominatore numerator decrescat ; fractio jam paucio
res ejusdem speciei partes continet, quam continuerit prius: & q u id em ita, ut si numeratorduplo , aut triplo
& c . minor evadat, fractio jam duplo, aut triplo & c . pauciores ejusdem speciei partes contineat, quam prius continuerit. Quod tautundurn utique est, ac eadem prorsiis ratione imminui valorern fractionis, qua nume
rator ejusdem imminuitur.
3 1. C o R o L L . Q n o d s i e r g o d u a e f r a c t i o n e s e u n d e m h a b u e r i n t d e n o m i n a t o r e m ; e j u s f r a c t i o n i s m a j o r e s t v a l o r , c u j u s n u m e r a t o r f u e r i t m a j o r , e. g . | >
32. TH EO REM A IV . S i manente eodem numera
tore crefcat denominator; valor fraffionis imminuitur i
& quidem eadem ratione imminuitur, qua rauone d‘>no- minator crefcit, ita ut denominatore in duplum. aut tri
plum &c. crefeente valor fraffiionis duplo . aut triplo mi
nor evadat. E x adversio , si manente eodem numeratore
Horvath Mathesi s . E
decre-decrefcat denominator; valor fruitionis augetur: & qui- dem eadem ratione augetur, qua denominator decrejdt, ita ut si denominator duplo , aut triplo &c. minor evadat, ac prius fuerit, valor fraSionis in duplum, aut triplum Sfc. crefcat.
DEMoNSTR. imee partis. Sl manente eodem nume
ratore denominator crescat; fractio totidem quidem partes sui totius continet, quot prius; at lingulas eo iam minores, quam prius, quo denominator ille magis creverit: ita ut denominature in duplum , aut triplum
& c. crescente, quaelibeteamm partium , quas numera- tor significat, jam duplo, aut triplo & c. minor sit, ac prius fuerit. Sic quaelibet i pars totius est duplo mi
nor , ac fit quaelibet ^ pars; quaelibet £ pars est triplo m inor, ac fit quaelibet x pars , & fic porro. E o ipso autem manifestum sane est; valorem fractionis decre
scere debere, si manente eodem numeratore denomina
tor crescat, & quidem eadem ratione debere decrelce- re , qua denominator crescit.
Demo^s t r. a-dee partis. Sl manente eodem nume
ratore denominator decrescat; fractio totidem quidem partes fui totius continet, quot prius; at eo jam majo
res singulas, quam prius, quo denominator ille magis decrevit: ita ut, si denominator duplo, aut tripolo & c.
minor fiat, quaelibet earum partium, quas numerator significat , jam duplo, aut triplo & c. major evadat, ac prius suent. Sic quaelibet i pars est duplo m ajor, ac fit quaelibet | pars ejusdem totius. E o ipso autem cla
rum utique est, valorem fractionis crescere, si manente eodem numeratore denominator decrescat, & quidem eadem ratione crescere, qua denominator decrescit.
33. C o R O L L . Quodii ergo duae fractiones eundem habeant numeratorem ; ejus fractionis major est valor, cujus denominator fuerit minor,
34. Si totum quodpiam in tres e. g. partes aequales, adeoque in meras partes tertias dividi concipiatur;
utique tres id genus partes simul sumptae adaequant ip
sum totum (A rith. 3 5 .) : similiter, si totum quodeun- que in meras quartas partes dividi concipiatur;
qua-t u o r
tuor id genus partes simul sumptae aequales sunt ipli toti, & sic porro. Ergo geueratirn, si numerator fra
ctionis sit aequalis denorninatorl; id genus fractio est aequalis ipli toti. Sic | vel | partes unius floreni adaequant ipsum florenurn integrum. Porro id genus totum , cujus partes fractio exprim it, per modum unius consideratur, ita u t, dum aliqua fractio dicitur esse aequalis, major, aut minor unitate, nomine unitatis in- telligatur ipsum totum, cujus partes ea fractio reprae
sentat. Itaque fractio , cujus numerator est aequalis denominatori, est = i . Hinc, quoniam manente eo
dem denominatore valor fractionis eo major , aut mi
nor est, quo m ajor, aut minor est numerator ( 3 2 J ; clarum est, eam tractionem, cujus numerator major est denominatore, majorem esse unitate, eam vero esse unitate minorem, cujus numerator minor est denomi
nature.
35. CoRoLL. I. Fracti©, quae est aequalis, aut ma
jor unitate, vocatur fractio impropria; fractio autem genuina est , quae minor est unitate : igitur fractio im- propria e st, cujus numerator est aequalis, aut major denominatore, genuina v ero , cujus numerator est de
nominatore minor* e. g. * est fractio impropria; at
| est genuina*
36. CoRoLL. II. Cum valor fractionis manente eo
dem denominatore ita crescat , aut decrescat, uti cre
scit , aut decrescit numerator; quemadmodum fractio tunc aequalis est unitati, quum numeratorem habet de
nominatori aequalem, lta tunc aequivalet duabus, tri
bus & c. unitatibus , quum ejus numerator est duplo, triplo & c. major denominatore. Hinc generarim va- lorem fractionis indicat quotus ille , qui enascitur nu
meratore per denominatorern diviso, e. g. Fractio | est = 4 ; quia si numerator 8 per denominatorern 2 di
vidatur, quotus est = 4 : item | , seu duae tertiae sunt ille ipse quotus, qui prodit, si 2 per 3 dividatur. At
que haec est ratio, cur eodem modo soleamus scribendo
£ a
ex-68
exprim ere e. g. & 2 divisum per3 , & duas tertias;
scilicet utrumque hoc signo: f ,
37. COROLL. III. Si divssor & dividendus iisdem lignis gaudeant, quotus est positivus ( 2 4 .) ; negativus autem ? si divisor cc dividendus contraria signa habeant libi praesixa (26). Cum ergo quaevis fractio sit ille ipse q u o tu s , qui enascitur numeratore per denom ina- torem d iv is o ; valorfractionis positivus est, ii tam nu
m erator, quam denominator iisdem signis, sive positi-, v is , sive negativis afficiantur: negativus a utem , s i n u - , m e ra to r, & denominator contraria signa habeant. ^
38. COROLL. I V . Quaevis quantitas integra laequi- va le t el fractioni impropriae, cujus num erator sit eadem illa quantitas, denominator autem unitas.
39. T H E O R E M A V . S i fraRioms cujuspiam tam numerator, quam denominator per idem multiplicetur ; valor ejusdem non mutatur. Pariter non mutatur valor fraSlionis, si ejus tam numerator, quam denominator per idem dividatur.
De m o n s t h. xmce partis. M ultiplicetur e. g. per a tam n u m e ra tor, quam denominator cujuspiam datae fractionis. Si imprimis num erator per 2 m ultip lice tu r;
hac multiplicatione va lo r fractionis in duplum augetur (3 0 ): si deinde denominator per eundem numerum a m u ltip lice tu r, hac m ultiplicatione v a lo r ejusdem fra
ctionis duplo m inor efficitur (3 2 ). E rg o quum tam num erator , quam denominator fractionis cujuspiam per eundem numerum 2 ( v e l per quemcunque alium ) m ultiplicatur, tantundem augetur ejus v a lo r ex una parte, quantum ex alia parte im m inuitur. E o ipso au
tem clarum est, non mutari valorern fractionis , si ejus tam num erator, quam denom inator per idem m ultipli
cetur.
De m o n s t r. odce partis. D iv id a tu r e. g. per 2 , tam n u m era to r, quam denom inator cujuspiam datae fractio-*
n i s .
fiiS. Si imprimis numerator per 2 dividatur; hac di
visione valor fractionis duplo minor efficitur (30. per adam partem theor.) : si deinde denominator per eur- dem numeturn 2 dividatur; hac divisione valor ejus
dem fractionis in duplum augetur ( 32 per 2iiatn par- temtheor. ) : ergo quum tam numerator, quam denomi
nator fractionis cujuspiam per eundem numerum 2 ( v e l perquemcunquealinm ) dividitur, tantundemim- minuitur ex una parte, quantum ex alia parte angetur.
E o ipso autem clarum est , non mutari valorem fractio
nis , si ejus tam numerator, quam denominator per idem dividitur.
40. C oftolL. I. Quodsi ergo numerator fractionis per majorem quantitatem multiplicetur, cuam denomi
nator; vasi r fractionis ex una parte magis augetur, quam imminuatur ex parte a tera : eo ergo casu valor ejusdem fractionis reapse augetur. E x adverso, ii nu
merator fractionis per minorem quantitatem multipli
cetur, quam denominator; valor fractionis ex una par
te minus augetur, quam imminuatur ex pane altera r consequenter valor ejusdem fractionis reapse immi
nuitur*
4 1. CORoLL. II. Si numerator per majorem quanti*
tatem dividitur. quam denominator; valor fractionis e x una parte magisimminuitu r, quam augeatur ex par
te altera: tunc ergo valor ejusdem fractionis teapse imminuitur. E x adverso, si numerator per minorem quantitatem dividatur, quam denominator; valor fra
ctionis ex una parte minus imminuitur, quam augea
tur ex parte altera: consequenter valor ejusdem fra
ctionis reapse augetur.
42. Duae, aut plures fractiones, quae eundem ha
bent deuominatorem, tametsi numeratores ipsarum di
versi sint, inter se comparatae vocantur homogencoe*
ltern ejusdem de nominatoris.
E x adverso fractiones heterogencts, seu diversi denomu natoris sunt, quae nou habent eundem denominatorem.
PROBLEMA V I. Datas quotcunque fra&iones hetevogeneas reducere ad eundem communem denomina- tovem , fm convertere in homogeneas, quin prior eantn- dem vcilor immutetur.
REsOLUT. Sinte, g. tres hae fractiones heterogeneae
a t m
— reducendae ad communem denominatorem.
bd o
Imprimis omnes denominatores multiplicentur inter se : factum enascens b d o erit communis denominator.
Delude cujuslibet fractionis numerator multiplicetur per omnes reliquarum fractionum denominatores, non tamen per proprium ; tum facta enafcentia scribantur pro novis numeratoribus. Sic in assumpto exem plo, primae fractionis numerator a multiplicetur per deno
minatores d & o , & factum a do scribatur pro novo numeratore primae fractionis. Similiter numerator c ducatur in denominatores b & o, factumque beo scriba
tur pro numeratore novo secundae fractionis & c. Hoc
pacto tres illae fractiones heterogeneae abibunt in has ad o beo bdm
tres novas homogeneas : - = ---r~j--- & ta-s b d o 9 bdo9 bdo:
tnen quaelibet fractio priorem valorem suum accurate retinebit, quod sic ostendo. Quando denominatores omnes inter se multiplicati sunt, & factum pro novo primae fractionis denominatore scriptum est , reapse prior primae fractionis denominator per denominato
res omnium reliquarum est multiplicatus: at etiam nu
merator ejusdem primae fractionis multiplicatus est per denominatores omnium reliquarum, & factum isthoc est pro novo numeratore scriptum: ergo prima fractio
a . . a do
haud aliter abivit in novam — quam quatenus tam numerator ipsius, quam etiam denominator per idem
idem est multiplicatus, nempe per d o. Atqui valor fractionis prorsus non mutatur, si ejus tam numera
t o r , quam denominator per idem multiplicetur (39 Q ; ergo prima fractio abeundo in novam , prorsus ejus
dem , ac prius, valons manet. Simili ratione patet, neque secundae, aut tertiae fractionis valorem esse dicta operandi ratione immutatum.
Scholion. Compendii gratia, communis denomina
tor semel duntaxat subscribitur numeratoribus redu
ctis.
44. PROBLEMA V II. Invenire, utra sit majoris va- loris ex datis duabus heterogeneisfraffiionibus.
REsOLuT. Datae fractiones heterogeneae reducan
tur ad eundem denominatorum (43) : cujus major fue
rit numerator , ea erit majoris vaioris (3 1). Si autem idemtherir utriusque numerator, ldem erit utriustjue valor.
4g. PROBLEMA V III. Datam fractionem ad sim- pliciar em exprejjioncm , seu ad minorem numeratorem , &
devomi natarem reducere , quin prior ejus fraStionis valor immutetur.
REsoLUT. Si per aliquam quantitatem exacte divi
di possit tam numerator, quam denominator: peream dividatur uterque. Hoc pacto termini fractionis im
minuentur, & tamen prior ejusdem valor retinebitur (39). e. g. Fractionis tam numerator, quam de
nominator exacte dividi potest per 4 ; qua divisione peracta, fractio illa abit in hanc simpliciorem: quia prior ipsius valor immutetur. Quodtl termini fractio
nis per aliquam quantitatem unitate majorem ( nata unitas nihil dividit ) non possunt exacte dividi: id ge
nus fractio ad simpliciorem expresiionem reduci ne
quaquam potest, e. g. Fractio £ non potest reduci ad expressionem simpliciorem; cum nullus sit numerus, qui tam numeratorem , quam denominatorem ejus e x acte dividat.
46. CoRoLL. Itaque si e. g. a b c per a d dividi de
beat; quotus (llteram a utrique termino communem omittendo) est = - j -bc Quippe quotum e x ea divi-fione oriundum exprimit fractio — — (2 7. S ch o L );abc quae fractio, si tam numerator a b c 9 quam denominator a d dividatur per a 9 retento priore valore suo abit ia hanc : bc Item , siflS bc2 dividi debeat per abc3 ; que-tus (utrumqueterminum pern&r* dividendo est = —a
c.
SchoL Divisor numeratori, & denominatori com- munis in literis facile perspicitur; at difficilius in nu
meris, praesertim paullo majoribus. Quare aliqua hanc iu rem arijumenta subnectere non erit supervacuum.
Scilicet 1 ) videatur, an non numerator exacte metiatur denominatorem : id enim si even iat, fractionem ad sim
pliciorem expreilione na reduces, per numeratorem di-
viden-videndo tam fe ipsum , quam etiam denominatorem. e. g.
^ = ^ 2) Si tam num erator, quam denominator iherint numeri pares; uterque per 2 dividi poterit, e.g.
3| _ 7*4? & qUia video , in hac quoque reducta fra
ctione tam numeratorem , quam etiam denominatorem esse numerum parem, adhuc continuari poterit per 2 di
visio, eritque demum 3) Si tam numerator, quam denominator in sine zeros habuerint; poterunt dividi per 10 , v e lio o & c . delendo utrobiqueunurn vel duos & c. zeros. e. g. *2 = A. 4) Si tam numera
to r, quam denominator pro dextima nota habuerit nu
merum 5 , aut alter numerum5 , alterzerum ; ambo di
vidi poterunt per 5.
47. PROBLEM A IX . Datam fra&ionem impropriam ad integra reducere.
RESoLUT. Dividatur numerator per denominato
rem : quotus exprimet datam fractionem ad integra re
ductam, velsine, vel cum aliqua genuina fractione re
manente. Cujuslibet enim fractionis valoreru indicat quotus ille, qui enascitur numeratore per denominato*
rem diviso ( 3 6 ) .
48. PRO BLEM A
X.
Datam quantitatem integram convertere in fractionem dati denominatoris•RESOLUT. Data quantitas integra multiplicetur per datum denominatorem , & facto idem denominator sub
scribatur. e .g . Si data quantitas integra fit = u, datus denominator r r b} quaesita fractio erit = —7—•a b Um Kam fractio haec est dati denominatoris b : porro ean
dem fractionem esse aequalem datae quantitati integre
£i facile patet:. Est enim imprimis quaelibet integra quantitas a = — (3 8 ); deinde tam numeratorem, quama denominatorem hujus fractionis multiplicando per da
tum
a b a tum denominatorem b, acquiritur — = — ( 3 9 ) ; est ergo etiam a = — Eodem m od o, si e. g. nuab merus 4 convertendus fit ln fractionem , cujus deno
minator fit 3 ; multiplicetur 4 per 3 , & facto 12 sub
scribatur idem denominator 3 ; quaesita ftactlo erit
= 4.
49. PROBLEM A X I. Cujuscunque dateo quantita
tis fractionem quamcumque invenire. e. g. Invenire | partes alicujus quantitatis.
REsoLuT. Quantitas data multiplicetur per nume
ratorem fractionis, & factum dividatur per ejusdem fractionis denominatorem : quotus euascens erit ipsa fractio quaesita. Quaerantur enim e. g. | partes cujus
cunque quantitatis a. Quantitas haec multiplicata per 2,
& iimui divisa per 3 , aequivalet z sui partibus, seu est
2a 2a
~ = | u, quod sic declaro, “ est * pars quantitatis 2a : si enim quaecunque quantitas per 3 dividatur , uti
que pro quoto obvenit v pars ejusdem quantitatis.
Jam vero j pars quantitatis 2a efficit | partes quanti-2 a tatis u» cum 2a fit duplum quantitatis az ergo —
= p a. Quae demonstrandi ratio cuilibet alteri parti
culari casui aeque applicari potest.
50. CoRoLL. Quodfi ergo e. g. | partes quaerantur de numero 6 0 ; multiplicetur 60 per 3 , & factum = jg o per 5 dividatur: quotus = 3 6 , ' partes quaesitas exprimet.
5 1. PROBLEM A X II. Invenire, quoties data unita- tis fraStio *n quacunque data quantitate contineatur, e, g.
FraStio | quoties in numero 4 contineatur.
REsoLUT. Datam quantitatem multiplica per deno
minatorem datae fractionis, tum factum divide perejus- aem fractionis num eratorem : hoc pacto quotum quae
situm
litum obtinebis. Sic si quaeratur, quoties | in 4 con
tineantur; 4 multiplica per 3 , & factum = 12 divide per 2 : quotus e nascens = 6 , indicat, fractionem | la numero 4 sexies contineri.
De m o n s t r. Quaeratur enim, quoties e. g. | partes unitatis contineantur in quacunque data quantitate a. Quoniam l pars unitatis in qualibet unitate ter conti
netur (3 4 ); si quantitas «p er denominatorem 3 multi
plicetur, factum enascens yn, , indicat, quoties £ para unitatis contineatur in quantitate a. Postquam autem deprehendi , numerum tertiarum unitatis partium in quantitate «contentarum esse = 3 « ; ut innotescat quo- tiesnam duae tertiae unitatis partes in eadem quantitate a contineantur, utique 3« per numeratorem 2 dividere debeo : ut adeo numerus | partium unitatis in
quanti-3 a
tate a contentarum fit = — Hoc est, si quaeratur quoties unitatis fractio | contineatur in quacunque quantitate # ; quaesitus quotus erit aequalis quantitati#
multiplicatae per fractionis denominatorem, & simul divisae per ejusdem numeratorem. Quae demonstrandi ratio cuilibet alteri particulari casui aeque applicari pot
est , ac proinde legitimam esse probi, rejblutionem gene- ratim evincit.
52. PROBLEM A X III. Datam quamcunque auantita»
tem quacunque fu i fraftione, e. g . j fui parte multitare.
R EsoL. Datae fractionis numeratorem a denomi- natore subtrahe, & per horum differentiam multiplica datam quantitatem ; tum factum enascens divide pec denominatorem ejusdem fractionis datae, e. g. Sl nu
merus 30 mulctandus fit | ful partibus; imprimis sub-trahe 2 a 5 , & per differentiam = 3 multiplica nurne- rum 30 , tum factum = 90 divide per 5 : quotus ena- fcens = ig aequabitur numero 30 duabus quintis fui partibus mulctato.
53« COROLL. Igitur datam quantitatem data sui fractione mulctare tantundem est , ac eam quantitatem multiplicare per aliam novam fractionem , cujus novae fractionis numerator iit ipsa disserentia terminorum datae fractionis , denominator autem idem iit cum de- Uominatore ejusdem datae fractionis. Sic si quantitas 0 mulctanda iit * ful parte; re ipsa quantitas illa multi
plicari debet per quo pacto acquiretur quantitas saa «qualis quantitati a, | fui parte mulctatae.