540. C i in aequatione composita maximus exponens
^ quantitatis incognitae sit = 2 ; ld genus aequa
tio dicitur secundi gradus ; si dictus exponens sit = 3 . v el = 4 & c. aequatio est 3tii9 vel 4ti (kc. graduss.
N os, qui solis Tironibus scribere statuimus, praetermis
sis altiorum graduum aequationibus, utpote quarum re
solutionem Uiblimior Analvsis libi ven dicat, nonnisi methodum solvendi aequationes secundi gradus strictim
exponemus*
14 1. PRO BLEM A X X X V . Resolvere problemata determinata secundi gradus.
R E S O L U T. Prima, & secunda analyseos operatio (110, & 112) m ore consueto peragatur : tertia v e ro operatio , seu aequationis ad unum term inum incogni
tum , & solitarium reductio (135) his legibus liat.
imo. Per communes leges in praecedentibus tradi
ta s, & hactenus usurpatas ita transformetur aequatio, ut in uno aequationis rnembro sit imprimis quadratiun incognitae, per nullam quantitatem multiplicatum, v e l divisum , deinde omnes i l l i , liqui adsint, term ini, in quibus eadem incognita , sed simplex comparet ; in al
tero autem membro merae cognitae quantitates conti
neantur, Hinc si plures diversae incognitae adfuerint in aequatione problematis ; consueta incognitarum eli
minatio (13 7 ) instituenda est, priusqusm ?d sequentes regulas transeatur. Porro dicta aequationis transfor
matio ita instituenda est, ut imprimis quadratum incog
nitae sit positivum, cum nullum quadratum postit ene negativum , nti ex n. 21. regi 2. inteiligere licet ; de
inde ut idem quadratum in eo aequationis membro, ad quod pertinet, primo loco scribatur, e. g. Siperadain analyieos operationem haec obtineatur aequatio : 40*
r= 2 & — 2x~ $ ea per communes regulas ( 126)
edus-K 3 que
que transformanda e st, dum ln hanc demum abeat;
X * - f - 2CIX = b.
zdo. Exacta ad regulam primam aequatione, si m imo aequationis membro solum incognitae quadratum fuerit repertum ; facile jam absolvitur reductio : nihil enim amplius restat faciendum, quam extrahenda est Utrinque radix quadrata (126. reg. 5.) Quae quidem ra
dix ex quadrato incognitae reapfe extrahatur (82) : in altero autem aequationis membro extractio radicis nunc adhuc indicetur duntaxat, praefixo radicali signo, e. g.
Haec aequatio: x* = a ---b ln hanc commutetur: # — V ( a — b)9
31tio. Quodsi autem in uno aequationis ad primam regulam jam exactae membro quadratum incognitae habuerit adnexos libi alios terminos (unum v el plures) incognitam simplicem continentes, uti superius in ex emplo regulae lmoc videre est ; hoc modo procedatur:
quadratum incognitae habeatur pro primo membro qua
drati binomiam radicem habentis, quod membrum in formula generali (83) per a* repraesentatur; reliqui ad
juncti termini, incognitam simplicem continentes, con
siderentur ut alterum ejusdem quadrati membrum, ln formula generali (83) per h- 2ab9 vel per — 2ab re
praesentari solitum. "H oc pacto illud aequationis mem
brum erit quadratum incompletum radicis binomiae : sci
licet carebit solo quadrato termini secundi radicis, e.
g. In hac aequatione: x 2— \a x — 2b — 4rt3 , habea
tur x 2 pro primo, & — j^cix pro secundo quadrati bi- nomiarn radicem habentis termino, in formula generali (83) per — 2ab repraesentari solito; primum aequatio
nis membrum x* — \ax erit quadratum incompletum radicis binomiae, in quo solum quadratum secundi ter
mini radicis, per b1 repraesentari solitum desideretur.
Jam ut valor incognitae in hujusmodi aequationi
bus detegatur; id genus quadratum incompletum prae
vie complendum est : quae completio priusquam per sequentem regulam 3tam, aut 5tan» peragatur, haec fa
cienda sunt : 1) extrahatur radix ex to termino, qui
E
ro primo quadrati binomiam radicem habentis mem- ro assumptus est, seu in assumpto exemplo ex x2 ; radix illa erit primus radicis binomiae terminus ^83; : 2)
4 ' per
per duplum hujus termini primi dividatur alterum qua
drati binomiarn radicem habentis membrum, nempe in assumpto exemplo dividatur --- 40* per 2ljpf ; quotus
«nascens (qui in assumpto exemplo e s t ^ - 2 a ) erit secu ndus radicis binorniae terminus (83). Porro haec ra
dix binomia notetur ad latus folii ; tum secundus ejus
dem radicis terminus elevetur ad quadratum, quod pa
riter notetur. In assumpto exemplo radix binomia est rr~ x— 2as adeoque quadratum secundi termini est:
•+■ 4CJ2 •
4to. His peractis investigetur, num quadratum ter
mini secundi radicis nunc inventae reperiatur in altero aequationis membro, meras cognitas quantitates con
tinente, idque cum signo negativo, an non. E t siqui
dem repertum fuerit, transferatur mutato ligno ad mem
brum illud, quod incognitas continet. Hoc facto illud aequationis membrum, quod incognitas continet, jam erit completum quadratum, cujus radix binomia per reg. tertiam determinata jam est: quippe praeter quadra
tum termini primi radicis, & duplum termini primi ln secundum ductum aderit jam in eo membro etiam qua
dratum termini secundi radicis. Sic in exemplo regu
lae 3tiae, seu in aequatione x 2 — 4ax — ib — , qua
dratum secundi termini radicis, quod est — 4a* repen
tur inter cognitas quantitates cum signo negativo : quo quadrato in aliud aequationis membrum translato, ita Ut sit x 2 — 4ax *+- 4n- = 2&, membrum illud aequatio
nis jam evadit completum quadratum radicis binorniae x — 2a : quippe continet imprimis primi termini radi
cis quadratum — x 2 , deinde duplum termini primi in secundum ductum = — ja x , deinde termini secundi quadratum = 4a2 ; quae partes simul sumptae consti
tuunt completum quadratum radicis binorniae (83).
Itaque extrahatur utrmque radix quadrata : ac ejus quidem membri, quod completum quadratum est, radix quadrata jam peritiam regulam innotuit ; in altero au
tem aequationis membro extractio radicis nunc adhuc indicetur duntaxat, praefigendo lignum radicale. e. g«
Assumpta superius aequatio x 2
—
4/j.r-4-
4.a2 — i b transformetur in hanc : x — 2a — \ f 2b. Quo facto facile jam reducitur aequatio ad unum incognitum , &K 4 solL
solitarium terminum, si nempe — 2a transponatur, ufc fit tf = \ / , (2&) -4- 2n.
Porro dictum est superius, investigandum esse, mim quadratum termini secundi radicis repedatur in altero aequationis membro cum figno negativo• a Si enim ejus
modi quadrato in altero illo aequationis membro sig
num positivum esset praefixum; pro tertio quadrati bi- nomiarn radicem habentis membro haberi nequaquam posset. Assumamus enim hanc e. g. aequationem : x~
— ^ax = 2b 4«* . Tametsi 4n3 sit re ipsa qua
dratum secundi term ini; si tamen mutato ligno ad al
terum aequationis membrum transferretur, ut litx* —.
<\ax— 4a* = 2&, in eo membro quadratum binomia»
radicis non compleret : nam — 4a* non potest esse quadratum termini secundi, cum nec* positivus, nec ne
gativus terminus postit liabere quadratum negativum (21. reg. 2).
5to. Quodfi autem peractis iis, quae regula $tia exi
g it, quadratum secundi termini radicis in altero aequa
tionis membro solas quantitates cognitas continente non reperiatur cum ligno n egativo ; quadratum illud cum signo positivo addatur utrique aequationis mem
bro. Hoc pacto complebitur in uno aequationis mem
tur in altero aequationis membro, addatur utrique mem
bro aequationis, nt sit x* -4- aax-4- a* — b -h a » : hoc pacto primum aequationis membrum erit completum quadratum radicis binomiae x + a . Hinc extrahendo utrinqoe radicem quadratam, erit x-\- a — \/r (0-\-az ),
& transponendo a , erit demum # = \/* (b-i-a* ) — j . Quarta analyseos operatio more consueto sit, literis numeros substituendo (127). e. g. In aequatione x = \ / T C&■ +"
(b-±*a~ ) -* a & = 2 4 : e r :t x ^ = \ f (i4 - f*
25) — 5= \ Z (49; — 5 = 7 —5= 2.
SchoL E x his lntelligere jam licet, quidnam fit qua
dratum incompletum9 & quando , ac quomodo compleri debeat. Scilicet, quando in aequatione secundi gradus (ut de sitioribus aequationibus nihil dicam) ad* regulam primam superius allatam exacta, membrum unum prae
ter quadratum incognitae adnexos habet alios etiam terminos (unum vel plures) eandem incognitam, sed simplicem continentes ; membrum illud est quadratum incompletum radicis binorniae : nam continet quidem quadratum termini primi radicis , & duplum termini primi ductum in terminum secundum, ut ex terti» re
gula inteliigi potest; at caret quadrato termini secundi.
Hoc ergo casu compleri debet ejusmodi quadratum ; secus enim ex eo raaix extrahi non posset retenta mem
brorum aequalitate , quae tamen extractio ad detegen
dum incognitae valorem necessaria est. Hoc autem ordine procediturin complendo quadrato : per regulam Atiani invenitur uterque radicis terminus , & terminus secundus ad quadratum elevatur ; tum investigatur, num quadratum isthoc reperiatur in altero aequationis membro cmn signo negativo , an non. Si repentur ; regula 4ta suppeditat methodum complendi quadratum i sin minus ; regula 5ta.
PRO BLEM A T A Determinata zdi gradus• I. Aliquot PatvesfamiUas cum fuis singuli fervis ad perficiendum quodpiam opus confluxerunt. Singuli patres familias totidem fervos habuerunt, quot fuerunt omnes simul patresfamilias : numerus autem fervorum erat — 625. Qiueritur numerus patrumfamilias.
Sit 625 = « , numerus patrumfamilias = x. Per condit problem. est xa = a. ut consideranti patet. Ita
que (per veg, idam) sufficit m ox utrinque radicem quadratam extrahere: ac proinde est x = v a = \A 6zg
II. Duo lu!ores ex theatro reduces hunc in modum fermocinantur. Primus ad secundum : tu 4 florenis plus htcrains inquiU quam ego. Secundus ei respondct: s i tam mei tum, quam etiam tui numerus elevaretur uti
K 5
qua-quadratum ; duo hcec quadrata fm ul sumpta accurate 400 florenos efficerent. Quatitur, quot florenos primus, quot secundus sit lucratus.
Operat. iwtf. S i t 4 = f l, 4 0 0 = 6 . numerus floreno- rum, quos primus lusor lucratus est* f i t = # ; erit nu
merus florenorum secundi lusoris = x -1- a.
Operat. zda. Quadratum quantitatis .reft - f - = x- , &
quadratum quantitatis x -4- «est — x* -h2ax-\-a* (8 3 ):
est ergo per condit, probi. 2x2 -i- zax-t-a2 = b.
Operat. %tia juxta regulas paullo superius allatas facienda. tJc regulae unce satisfiat, transponatur a- 9
& tota aequatio per 2 dividatur: erit x* -f- a x =z b—az
—--- Porro st (per reg, 31tiarn]) x * pro primo, &c-^ax
2.
E
ro secundo quadrati binomiam radicem habentis mern- ro assumatur ; primum aequationis membrum continebit quadratum incompletum , ln quo solum secundi ter
mini radicis membrum desideretur. Itaque compleatur id quadratum hne modo. 1) Per reg. 3tiam scribatur x pro primo radicis termino. 2) Per hujus duplum,
a feu per x1 dividatur ■ +• ax9 & quotus = h---pro
fe-2
eundo radicis termino scribatur; cujus quadratum est = a1
— 3) Isthoc quadratum, quoniam ln altero aequatio- 4*
nls membro non repentur, per reg. $tam utrique aequa
ns tionis membro addendum est, ut fit x~ -H ax ---- =
b— az az 4
— --- -4-— Quo facto anterius membrum aequatio
nis jam completum quadratum est, habens.radicem bi- a
npmiarn x-\---Hinc extrahendo utrinque radicem 2.
quadratam, e st:
x -+■
Itaque primus lusor lucratus est flor, i s, alter flor, 12 -4- 4
III. Cajus agricola ait ad Titum : ego 4 metretis minus/eminavi, quam tu Jeminaveris ; fif tamen, ft me- tretoc Jingulff, quas feminavi, tantum procrearent, quan
tum tu feminajii, inferrem in horreum metretas 165.
Quaeritur 9 quot metretas feminaverit Cajus, quot metre
tas Titius.
Sit 165 = : numerus metretarum a Titio semina
tarum stt = 2:; erit numerus metretarum a Cajo semi
natarum = 2; — 4. H inc, st metretae singulae a Cajo seminatae tantum procrearent, quantum seminavit T i
tius ; Cajus inferret in horreum metretas = ( x —4 ) x — x* — 4x. Consequenter est per condit, probi. x z
42; = a.
Porro quod ad operat. 3tiam per regulas superius allatas instituendam attinet : aequatio haec ad primam earum regularum exacta jam est. Per reg. tyiam in st- nisteriore ejus membro habeatur x* pro primo quadrati hinorniam radicem habentis membro, — 42; pro altero s erit primus radicis terminus x % & secundus (— 42? per 22; dividendo) erit — 2. Hujus quadratum = -4- 4 1 i utrique aequationis membro (per reg. 5tam) addatur, complebitur quadratum in dexteriore aequationis mem
bro , eritque :
Consequenter ob a — 165. est :
x — \ / (169) + 2 = 13 + = 15.
Hoc est, Titius seminavit 15 metretas, adeoque Cajus metretas 1 1 .
IV . Invenire numerum x , qui quadrato fuo additus efficiat summam = 600.
Sit 600 = a; erit per condit, probl. x 1 -f- x — a. Complendo (per reg. 3. & 5.) quadratum erit :
1 ]
Si reducantur 600 ad fractionem ejusdem, cum adjuncta fractione denominationis , est :
V . Quidam interrogabis. quotnam aureos nummos mot item argenteos in marsupio/uo haberet, sic respon- a it: si numerus aureorum subtrqhatur a quadrato argen
teorum , residuum esi = 39 5; J i autem quadratum argen- teorum addatur quadrato aureorum, /umma est = 425.
Quaeritur, quotnam habeat aureos nummos, gwof argen
teos.
Sit 395 = 0 , 425 = fc, numerus aureorum = x 9 argenteorum = y. Est per primam condit, probi, y3
~ -x — ai & per secundam
est
x2+ Quoniam duae adsunt incognitae» alterutra eliminanda est. Sci- licetex prima aequatione est y2 = a & e x altera est y — b — x 2 . Quos duos ejusdem y valores componendo eliminatur y2 , estque : a x — b — x 2 . Transponendo a & — x2 , est x 2 -+■ x — b — a. Tum per regulas superius allatas continuando operatio
nem, demum acquiritur x — 5 Qui, valorii in aequa- donet/2 — a -h x , loco x substituatur; est y2 = a -H 5 : unde innotescit y — 2o.
Schol. Quandoque accidit, ut aequatio secundi gra
dus inter operandum abeat in simplicem, quin opus iit completione quadrati, e. g. Quaerantur duo numeri9 quorum summa sit = 2Q, & differentia quadratorum = 8o. Sit 2o = a, 8o = &, quaesitus numerus major — x , minor = y. Est per condit. probJ. imprimis x •+* y = a ; est deinde x 2 — y2 = b.
Jam e x priore aequatione eruitur esse x m a — y z
itaque (totum elevando ad quadrat.) est x2 — a2 —2dy
*+-y2 . Qui valor si in aequatione altera loco x2 subfti- tuatur, est a2 — 2ay-+- y2 —y2 — b\ seu est a2 — 2ay
= /?. Hoc est, aequatio composita 2di gradus jam in simplicem, adeoque communi methodo (138 ) solven- dam abit. Qua quidem methodo repedetur demum esse y = 8 , & hoc valore in aequatione # = a — y locc y substituto repedetur esse* = 12 ,
142. PRO BLEM A X X X V I. Resolv e n problemata indeterminata Jecundi gradus.
Re s o l u t. Incognita quantitas, cui v a lo r ( q u o d nim irum ta non possit ex aequatione elim in ari) pro ar
bitrio statui debebit, tractetur interim instar quantitatis cognitae, omnisque operatio m ethodo n. 141 tradita in stituatur, dum perveniatur ad quartam aualyseos ope
rationem . A d hanc ubi perventum fuerit, statuatur ad arbitrium v a lo r ei incognitae, quae hactenus instar c o g - nitae tractabatur : at in eo v a lo re statuendo ju d icio opus e d t, U t nim irum is v a lo r inlra limites al> interme
diis aequationibus determinatos statuatur, quem admo
dum
dum monuimus etiam In resolutionibus problematum indeterminatorum simplicium (139).
e. g. Sint inveniendi duo numeri x & y, quorum fa- ffiim additum quadrato primi ejiciat summam = 105.
Sit 105 = a; erit per condit, probl. x 1 -\-x y — a.
t y* y*
CompL quadrat., erit, x* -t- xy ---— a -+- —•
4
4-S E C T I O Q U A R T A