C A P U T P R I M U M . De Quantitatum Radicibus, & Potentiis
generatinu
65. "pattum, quod oritur, si quantitas quaepiam fe«
1 m ei, aut saepius per se ipsam multiplicetur, vocatur Potentia, vel Dig :'as. Sic a* est potentia quantitatis a : item 16 = 4 x 4 est potentia numeri 4.
& c. Ipsa multiplicatio quantitatis per se ipsam , voca
tur ejusdem quantitatis elevatio ad potentiam.
66. Si quantitas semel duritaxat multiplicetur per f®
ipsam, dicitur elevari ad idam potentiam, seu ad qua- aratum; II bis per se ipsam multiplicetur, elevatur ad potentiam stiam, seu ad cubum ; si te r , ad 4tam ; & fic porro. Ipsa quantitas, quae elevatur, aut elevari pot
est ad quadratum, cubum , vel aliam quamcunque al- tiorem potentiam. R adix, vel etiam Potentia prima nuncupatur, e. g. Quantitas a est rad ix, cujus 2da
F 3 P ° *
potentia, feu quadratum est a * , potentia tertia, feu cubus est , quarta potentia a* , & sic porro. Si enim quantitatem a semel perse ipsam multiplices, enascitur factum = f l a : ll eandem bis multiplices per se ipsam, id est , st, postquam ex prima multiplicatione acquistvi- fti factum a* , hoc factam rursus per radicem a multi
plices, acquiris factum = ai : & stc porro.
67. COROLL. I. Quoniam 2da cujuscunque radicis apotentia est = a* , stia = ai , quarta = a* , & stc porro; clanim est, per exponentem quantitatis accu
rate indicari gradum potentiae illius, ad quam ea quan
titas elevata iit. Hinc generatim est ea quantitatis a potentia, quam exprimit exponens numericus tot unitatibus constans , quot unitates m in fe continet e.
g. Si ponaturesse m = 3 ; <*»» est potentia tertia, seu cubus quantitatis a.
68. CoRoLL. II. Sl fractio ad 'aliquam potentiam evehenda l i t ; ejus numerator per fe ipsum , & deno- minator itidem per se ipsum multiplicari debet.
Quae
vis enim quantitas tunc elevatur ad aliquam poten
tiam , quum per se ipsam multiplicatur (65) : tractio autem tunc multiplicatur per se ipsam, quum ejus tam numerator per fe ipsum, quam etiam denominator per fe ipsum multiplicatur.
69. Radix comparate ad quadratum suum dicitur radix quadrata; comparate ad cubum suum dicitur ra*
dix cubica; comparate ad quartam potentiam radix quarta, & stc porro. Sic a comparate ad a2 est radix quadrata ; comparate ad fl§,4est radix cubica : pariter 2 comparate ad 4 est radix quadrata, nam 2 X 2 = 4 ; com
parate ad 8 est radix cubica, nam 2 X a X a = g . 70. Signum radicis quadratae est V , v e l V ; radicis
3 4
cubicae est y , radicis quartae est v , radicis denique
indeterminatae est y \ Quantitas figno radicali infcri- pta, uti est numerus 3 in ligno radicis cubicae, voca- tur exponens radicis : ea vero quantitas, cui tale signum praefixum est, quantitas radicatis appellatur, e. g.
3 m
\/ab2 est quanthas radicalis, significatque radicem cu
bicam quantitatis ab- instar cubi consideratae. Quan
do designanda est radix cujuspiam complexae quanti
tatis, id genus quantitas plerumque parenthesi inclu
ditur, tum praefigitur ipsi lignum radicale. e. g. Ra
dix cubica de quantitate complexa a -f- b plerumque hoc modo scribitur: X/* ( 3 a -f- b ) ; interdum vero hoc
3
---m odo: v Ipsae etiam potentiae quantitatum complexarum saepe indicantur duntaxat, hoc nempe modo : ( a - t - b j * ; hoc est, quadratum quantitatis com-plexae a-f- b : vel etiam hoc modo: a -4- b2•
7 1. Radix alia dicitur rationalis, alia irrationalis, alia denique imaginaria. Radix rationalis, seu vera est, quae numeris exacte exprimi potest, c. g. Nume
rus 3 est vera radix quadrata numeri 9. Radix irratio
nalis , seu furda vocatur illa , quae non potest numeris exacte exprim i; licet in lineis geometricis dari queat, e. g. Videbimus suo lo c o , radicem quadratam numeri 8 , seu V/’ 8 lineis exprimi posse, tametsi numeris e x primi nequeat: itaque \ / 8 est radix surda. Denique radix im aginaria, seu inwoffibilis illa est. quae nec li
n e is, nec numeris exprimi potest, e. g; \ / — 4eftra^
dix imaginaria, seu impossibilis. Quippe impollibile est, ut ulla radix perse ipsam semel multiplicata det quadratum = — 4. V el enim 2* vel — 2 deberet esse radix illa ; atqui neutra haec radix dat quadratum
= — 4 ; nam & + 2 X + 2 , & — 2 X — 2 est = Hh- 4 ( 27.yfeg.4ta.).
72. PROBLEM A X IX . Datam potentiam monomiam ad aliam dati exponentis potentiam elevare, e. g. Quan
titatem a* elevare ad cubum fuum.
RESoLUT. Exponens datae potentiae monomiae multiplicetur per exponentem datum potentiae quaesitae:
F 4 tu»
s s
tum fa&um fcribatur pro novo exponente d at* poten
t i* . e. g. Si si* elevari debeat ad cubum; exponena est, ejus exponens per datum quaesitae potentiae expo
nentem est multiplicandus.
73. CoROLL. I. Si ergo quaecunque potentia am elevari debeat ad potentiam exponentis n; quaesita
po-m
tentia erit = a*»: si an debeat elevari ad potentiam m»
exponentis » ; potentia quaesita erit = a» = am0 74. CORoLLv II. Si data potentia monornia pluri
bus constet literis; cujuslibet literae exponens multi
plicandus est per datum quaesitae potentiae exponen
tem. e. g. Quantitas ambr ad quadratum elevata, est
tentiam aliquam elevetur , per datum quaesitae potenti»
exponentem singularum literarum exponentes multi
plicari debent.
75 CORCLL. III. Si quantitas algebraica monornia ad aliquam potentiam elevanda , habeat coefficientem mimericum ; is coefsiciens pariter ad potentiam illam elevetur, est nec esse. e.g. Quantitatis zam quadratum est = 4u>*i, cubus = 8a* m• scilicet etiam coefficientem 2 elevando ad quadratum., cubum. Nam za™ x zam
76. TH EO REM A V III. Potentia habetis pro expo
nente zerum esi ecqualis unitati.
De m o n st r* Omnis ejusmodi potentia repraesentari potest per a° ; este vero a° = i fic ostendo. Si am dividatur per m», quotus est = a° (27. Reg. $tia) : at
qui ls quotus, qui e x hac divisione enascitur, debet esse
= j , nam am in am semel continetur; est ergo a° = 1 . 77. In libris Mathematicis occurrere solent quanti
tates algebraicae habentes pro exponente quantitatem integram negativam, aut fractionem aliquam , jam po
sitivam, jam negativam. Cujnsmodl expressionum va- lores (quibus quidem expressionibus nos neque in hoc, neque in physicis opusculis nostris utem ur) siquis nosse
--- m n desiderat, ii sic habent. I. Generatim a» est = V/* am,.
n
Elevetur enim imprimis V am ad potentiam exponen-n tis n , quaesita potentia utique e r it = m » : nam p e r v ia » non aliud significatur, quam ea radix , quaesi elevare
tur ad potentiam exponentis w, fieret — am. Elevetur m
deinde etiam an ad eandem potentiam , scilicet expo
nentis n ; quaesita potentia erit = an ( 7 3 ) , seu erit rursus = am (45). Atqui nequiret sane utriusque ra- dicis potentia n esse eadem , nisi radices illae essent
. .--- m »
aequales, hoc est, nisi esset a» = \farn. Unde haee generalis regula flu it: S i quacunque quantitas an ha- iens pro exponente fraffionem positivam exprimi debeat ope signi radicalis, quin prior ipsius valor immutetur;
/olus numerator frafiionis relinquatur ei poteutice pro exponente , denominator autem eiusdem fraStionig signo radicati pro exponente radicis inferibatur.
b
78. II. Eft generatim ha Multiplicetur enim ha— » per a» ; factum erit = ba »*i<m — b a ° (27. Reg.^tia), seu ob 0° = 1 ( 7 6 ) , factum erit = &.
b
Deinde multiplicetur etiam per idem a » ; factum barn
erit = ~ (5 6 ) = & ( 4 5 ) . E rgo idem factum b b
prodit, Rveba » , five “ multiplicetur per 0«. A t qui istud evenire utiquer.on posset, nisi esset ba »» =
b
Unde haec generalis lex eruitur: S i qucecunquc potentia 9 habens pro exponente quantitatem integram
negativam exprimi debeat cum exponente positivo, quin prior ipjhis valor immutetur; ejus quantitatis coefficiens sumatur pro numeratore fraSionls, pro denominatore autem sumatur eadem illa quantitas cum priore fuo ex- ponente, fed jam positivo, non negativo. Hinc est 20 *
2 1
= & a » — cum in a ~ » nullus prae
ter unitatem repedatur alter coefficiens.
b 1
79.
III. Est = ba». Nam est a— » = ~ 1 (7 9 ); ergo idem est, five per a— m, five p e r ~ dividatur quantitas b: atqui, si b dividatur per a— » 9 b
quotus est = ut clarum est, si autem idem b 1
dividatur per “ quotus est = ba» ( 6 1 . SchoL) ; est b
ergo a— m — ba». Eodem modo ostendi poteft
effe — am’
m b
80.
IV .Eft
generatim b a ~=
„ aw> Si enim 7W Vimprimis quatitas b a ~ elevetur ad potentiam m; mu
erit quae lita potentia s c b»a “ (7 4) = m —:
i» b
— (7g ) : si deinde quantitas elevetur ad