16 1. J n omni quantitatum genere proportiones geo
metricae saepissime in considerationem veniunt.
Unde etiam quando vocabula ratio, proportio, propor- tionalis absque omni addito proferuntur, ea femper pro geometricis sumuntur. Nos nobilissimam hanc Algebrae partem, id eiI. proportionis geometricae doffivinam, qua nihil esse magis necessarium per universam Mathesim, Philosophiamque naturalem, nihil in omni vitae huma
nae commercio utilius, nonnisi ignarus insiciari potest, sioc> & sequ. duobus Capit, pertrattabimus.
162. Proportionem geometricam (uti jam n. 15 2 di
ctum est) constituunt duae rationes geometricae aequa
le s , feu eundem exponentem habentes (149 J. Unde
I. 3 edam
etiam evidens proportionis geometricae lignum est, R utra que ratio eundem habeat exponentem ; sicut ex ad
versi) , si duae quaepiam rationes uou habeant eundem exponentem, eae veram proportionem geometricam non efficiunt.
163. PROBLEMA X L I. Conflruere formulam gene
ralem , quee reprcefentet quamlibet proportionem geometri
cam.
RESOLUT. Quaevis ratio geometrica una bene re-Sraefentatur hac formula, a : uro, & altera huic aequalis
ac, b : bm (150, ejusque Schol.) cum ergo duae ratio
nes geometricae aequales efficiant proportionem geome
tri am (i6 2i * quaevis proportio geometrica bene re*
praesentatur hac formula, a : atn = b : bm.
164. COROLL. Sl de continua proportione geome
trica fit sermo ; in formula nunc inventa , est uro = i (15 5 J : tunc ergo formula generalis (loco b ponendo uro) abit ln hanc, a : uro = uro: uro* .
165. TH EO REM A X V I. In quavis proportione geo
metrica , faltum extremorum efi aequale fallo mediorum, Nempe si fit, a :b — c : d 9 erita d = b c.
DEMOKfeTR. Quaevis geometrica proportio reprae
sentari potest hac formula, a i a m — b:bm (16 3 ) : atqui hac ln fomuua patet, factum extremorum esse aequale facto mediorum ; ln hac enim est abm = amb : ergo ln quavis proportione geometrica & c.
166. PROBLEM A X L II. Datis tribus terminis inve
nire quartum geometrice proportionalem.
R E S O L U T . Sidentur tres termini u , b9 c9 & quaera
tur quartus x 9 ftabit haec proportio geometrica, a : b =
t : x
; erit ergo a x ~ bc (165) ac proinde eritx
= bc—- Hoc est, si terminus secundus ducatur in tertium, u.
& factum eorum di vidatur per terminum primum; quo
tus enafeens erit ipse quaesitus terminus quartus, e. g.
Si dentur tres hi termini,
2,4,3,
& quaeratur quartus x ; erit x = 1 * ? = 6. E t sane ftare hanc geometricam2 pro
proportionem, a : 4 “ 3 : 6 ln confesso est; quippt ia utraque ratione idem est exponens, nimirum 2.
.167. CORoLL. I. Itaque quicunque tres termini in proportionem ordinari possunt, dummodo pro quarto termino assumatur factum terminorum secundi, & tertii divisuir» per terminum primum.
a, b, c, in hanc proportionem ordii
i6g. CoROLL. II. E x problemate n. 166 resolut#
facile intelligitur, quomodo inveniendus fit datis duo*
bus terminis tertius, aut inter duos datos medius geo- metrice proportionalis. Scilicet si 1 ) datis duobus ter
minis a & b, quaeratur te rtiu s# , stabit haec continua proportio, a : b ~ b: x ; erit ergo a x Z Z b - (165), adeo-que erit
Si 2) inter datos duos terminos a & 8 quaeratur medius geometrice proportionalis x ; stabit haec propor
tio continua, 2 : x ~ x : 8 ; erit ergo x - “ 16 ( 1 6 3 ) , adeoque erit x — \/ 16 “ 4.
169. TH EO R EM A X V II. AJJumamus quascmque duas quantitates cequnles, quarum tam ima, quam altera in duos factiores refoivatur. Quatuor hi duarum quanti- tatum aqualium faBtores femper funt reciproce propor- tionales: id est, femper possunt in proportionem ordinari ita9 ut unius quantitatis faSores assumantur pro /olis e x - tremis proportionis, alterius vero falfores pro solis me
diis.
De m o n s t r. Quaevis duae aequales quantitates, qua
rum tam una, quam altera in duos factores resolvi de
beat , repraesentari potest per AB ~ cd ; ergo ad theo
rematis veritatem generarim demonstrandam sufficit ostendere, hac in aequatione factores esse reciproce pro
portionales , seu stare hanc proportionem : A : c ZZ d z B . ifiud autem lic ostendo. Evidens fignum bonae
pro-h 4
por-i68
Eortionis geometricae est , si utraque ejus ratio eundem abeat exponentem ( 16 2) ; atqui utraque hujus pro
portionis ratio eundem habet exponentem ; nam hlc exponentes sunt — & ~ ( 1 4 7 ) , quos esse aequales ste declaro. Assumamus factum antecedentium proportio
nis A : r = rf: B. quod factum est A d. Quoniam est ex hypothesi A B = rrf, utrumque dividendo per ldem
AB cd
factum A d , est--- = ---(1 19 ): ergo reducendo fra-»
Ad Ad
B r
ctionts ad simpliciores expressiones (45) est — = —
d A ,
Hoc est, dicti exponentes sunt aequales.
170. CoRoLL. I. Itaque si 1) sit C T = e t; stat C : e r i : T . Scilicet prioris quantitatis factores C & T pro extremis proportionis assumendo, alterius vero fa
ctores c & t pro mediis. 2) Si sit a b c = d 2 ; stabit, a : d — di b c. Nempe prior quantitas potest resolvi in factores a &bc, pro extremis proportionis assiimendos ; alterius autem quantitatis factores sunt d & d . 3) Si sit a b = r ; esta : c = 1 : b. Scilicet prioris quantitatis fa
ctores sunt a <k b , posterioris autem sunt c & 1.
1 7 L CoRoLL. II. Evidens signum est bonae pro
portionis , li factum extremorum Iit aequale facto me
diorum. Ponamus enim, il fieri potest, non stare hanc proportionem, a : d ~ c : b , tametsi sit ab ~ cd. E a proportio non stabit , uti ponitur: at simul stare debet;
nam aequalium quantitatum a & & cd factores sunt reci
proce proportionales, hoc est , in proportionem a : d Z Z c: b ordinari possunt (16 9 ) : ergo proportio illa stabit 9
& simul non stabit, quod absurdum est.
172. TH EO REM A X V III. S i in proportione geo
metrica tain antecedens, quam confequens unius ejusdem- que rationis per idem multiplicetur, aut dividatur; pro
portio non turbatur• Sic si lit a : b ~ c ; d ; primae ra
tio-tionis terminos per idem tn multiplicando , aut dividen*
a b
d o, stabit am: bm ~ e : d 9 vel — : — ~ c: d.
m m
De m o n s t k. Ratio quaecunque a : b non mutatur si ejus tam antecedens, quam conlequens per idem mul
tiplicetur , aut dividatur ( 1 5 1 ) 2 ergo ratio illa, quem
admodum ante, ita etiam post multiplicationem, aut divisionem est ~ c : d. Adeoque veritas theorematis manifesta est.
17 3 . CoRoLL. Quemadmodum una ratio , ita etiam altera 'multiplicari, aut dividi per quamcunque quanti
tatem potest manente proportione; modo unius ejus- demque rationis termini per eandem uterque quantitatem multiplicentur, aut dividantur. Sic si stat, a : b ~ c : d ; licebit prioris rationis terminos per quamcunque quan
titatem m, posterioris autem terminos per quamcun
que n multiplicare , vel dividere, aut unius terminos multiplicare , alterius autem dividere manente propor
tione. Hoc est, stabunt hae proportiones; am:bm —
a b e d e d
en: dn ; — : — ~ — : — a m : b m ~ — : — & c . Nam
m m n n; n n
nulla id genus multiplicatio, aut divisio mutat sive prio
rem , sive posteriorem rationem ( 15 1) .
Schol. Nunc recensitas proportiones stare, hoc quo
que modo deprehendes. Quoniam ponitur stare a : b
—
c:d
9est a d ~bc
(165). Quo n otato, si iu recensitis proportionibus extremos inter f e , & medios inter fe multiplicaveris, facile deprehendes ubique factum extremorum esse aequale facto mediorum : quod evi
dens signum est bonae proportionis ( 17 1) .
174. TH EO R EM A X IX . 'S i in quapiam proportio- ne uterque antecedens, vel uterque con/equens per idem multiplicetur, aut dividatur; proportio illa non mutatur.
e. g. Cum sit 2 : 8 ~ 6 : 24 ; licebit 1) antecedentes per
De m o n s t r. Quaevis proportio repraesentari poteft hac form ula, a : a m ~ b : b/n (16 3 ) : atgul ln hac for- mula per dictas multiplicationes, aut divisiones propor
tionem non turbarl clarum est ; semper enim manet fa
ctum extremorum aequale facto mediorum. Sic si 1) antecedentes per idem c multiplicentur, ut sit ac : am = bcibm; erit ambc = acbm. Si 2) consequentes mul
tiplicentur per e, ut litu : amc = b: bmc, rursus erit ubmc z=L amcb. Si 3) antecedentes multiplicentur per c9 am consequentes autem dividantur per rf, ut sit ac:
bm acbm ambc
ttr bc: ^ 7 erltque denique ^ ^ & c.
175. TH EO REM A X X . Poteft inverti proportio, quin mutetur; id est , poffunt ex extremis fieri medii, &
ex mediis extremi. e. g* Si sit a : b — c : d ; erit b : a = dic. Jtem pote/i alternari proportio , quin mutetur; id est, poffunt medii manentibus extremis permutari, ita ut ex primo confemente fiat secundus antecedens, & vtcif- fim. e. g. Si lit a :b = c : d ; erit a : c — b :d : Deni- que possunt manentibus mediis permutari extrem i, ita ut J i si ta : b = c : d, debeat effeetiamd : b — c: a.
DEMONSTR. In omnibus his permutationibus fa
ctum extremorum manet aequale facto mediorum, at
que adeo proportio perseverat ( 1 7 1 ) . Quaevis enim proportio repraesentari poteft per a : am = b : b m (16 3 ):
jam vero si 1 ) invertendo fiat am: a = b m : b 9 erit abm trzamb; si
2)
alternando siat <*:& = am: bm, est rur- fus abm = bam; si denique 3) extremos permutando siat hm: am— b: a 9 erit bma = amb ( Arith. 43)•176. TH EO REM A X X I. In qualibet proportione. summa vel differentia terminorum primos rationis itafe habet ad primum antecedentem, vel confequentem, uti fe habet summa, vel differentia terminorum Jecundce
ratio-is ad secundum antecedentem , vel confequentem. Hoc e s t , si ftat haec proportio : - - - d : b = c : d ;
S t a b u n t e t ia m h a e :
1 ) Addendo: a + J : a = c -+-d : c.
V e l: a + b : b = £ -i- d : d:
flO Subtrahendo: * — 6 : a = * — d : c . V e l: a — b : b — c — d : d . De m o n s t r. Nam in omnibus his permutationibus factum extremorum manet aequale facto mediorum, ac proinde proportio non mutatur ( 1 7 1 ) Quaevis enim Jroportio repraesentari potest per azamzrzb: bm (16 3).
am vero si 1 ) fiat addendo a-4- atn & + bm : b9 v el a -\-am : am — b m: bm\ aut
2)
si fiat subtrahendo, a — am : a — b — b bm : b, vel a — am : am — b — bm : bm , semper factum mediorum est aequale facto e x tremorum, ut periclitanti patebit. Semper ergo vera est proportio ( 17 1) .177. C0R0LL. Itaque si stat a : bz=zc : d i stabit etiam rnixtirn a-{ -b : a - - b = c ~ t - d : c — d. Nam e x modo demonstraris stant hae duae proportiones :
a - \ ~ b : a — c-*-dzc9
& , a — b : a = c — d : e.
E rgo alternando (175) stabunt hae quoque:
a + b : c-t-d = a:<
& a — b : c — dz=za: c.
Jam vero duae rationes uni tertiae aequales utique inter fequoque aequari debent ( 1 0 1 ) : est ergo a-{-b: c-\- d
Schol. Atque haec de transformationibus cujusvis proportionis feorlimconfideratae; sequentia theoremata
COXfc»
continebunt transformationes ex plurium proportio
num comparatione oriundas.
179. THEOREM A X X III. S i duarum, vel plurium proportionum antecedentes inter fe , & confequentes inter fe multiplicentur ; facta erunt proportionalia. Hoc est :
Sl iit a : b = e : d 9 . . & • : f P— : hJ erit etiam, ae: b f — cg\ ah.
De m o n s t r. Nam in proportione, quae ex ejusmodi multiplicatione enascitur, femper factum extremorum est aequale facto mediorum. Sic in assumpto exemplo esse aedh=bfcg9 sic ostendo. Cutn ex nypothesi fit x ) a : b ^ = c : d 9 2 )e : f — g : h ; erit 1 ) a d ~ b c 9 & 2) e h — f g (165). Itaque aequalia per aequalia multipli
cando, est quoque ad X *h = bc X>fg (119 ) ; seu est Medii = b fcg.
Schol. Dum dicto modo antecedentes inter fe , &
consequentes inter se multiplicantur ; rationes componi
& nova proportio compositis rationibus oriri dicitur»
i8o. TH EO REM A X X IV . S i cujuspiam proportio
nis antecedentes per alterius antecedentes ipsis correspon- dentes, confequentes autem per confequentes dividantur ;
f
uoti erunt proportionales. loc est;Demotcstr. Nam in proportione, quam quoti illi constituunt, est semper factum extremorum aequale fa
cto mediorum : ergo (17 1) . Sic ln assumpto exemplo ad bc
esse — = — fic ostendo. Cum e x hypothesi fit 1 ) eh f g 9
M i b = : c : d9 & 2) e : f = g : h } est 1) ad — bc9 & 2) eh = f g (165)- Itaque aequalia per aequalia dividendo.
I8i. TH EO REM A X X V , Sint duce proportiones, qiics duas terminos sibi communes habeant : una harum proportionum sub/cribatur alteri; tum termini utrique proportioni communes diffiis duabus linealis conjungem- tur, ut a subjelfis exemplis videre esi. gfam 1 ) si linea illa fuerint aequidistantes, feu paralella, Jimulque situm obliquum habuerint; reliqui quauior termini eruvtt ex ae
quo ordinato, feu direne proportionales 9 ita ut residui duo termini proportionis unius sint in 'nova proportione meri antecedentes, alterius autem proportionis refidui duo termini sint meri confeqimites.
2) S i linece ilice fuerint aequidistantes, feu parallelocf simulque fitum erefihim habuerit, ftd tamen ita, ut vel fo
tos antecedentes, vel solos confequentes comwffiant; refi
dui termini ritrfus erunt ex aequo ordinato proportiona
les;
3) S i diEtce linece fuerint quidem parallelce9 situque erecto 9 fed vel solos extremos terminos, vel solos medios connexiierint; reliqui termini erunt ex aequo perturbato, feu reciproce proportionales, ita, ut residui duo termini proportionis unius sint in nova proportione extremi; duo autem residui termini proportionis alterius effe debeant medii, aut vicissim.
4) Denique si linece ilice f uerint convergentes , five fursum, sive deorsum ; reliqui termini pariter e x aequo perturbato proportionales erunt, e. g.
Si
*74 Elementa
S i f i t « r = < :
\ /
= : g ;
e r it f» : / = g : Db m o s t k.
ima partis.
S i e n im e s ta : =
c
i/ /
b \ f — : u tr a m q u e p r o p o r t io n e m a lt e r n a n d o , prima abit
in h a n c , t
: d.
a lte r a a u te m in b a n c , : = : g ( 1 7 5 ) . I t a q u e r a tio n e s
a :c& f:g
f u n t u n i tertiaeb
a eq u a les, a c p r o in d e esta : c
= / : g , & a lte r n a n d o e st 0 : / =S i f i t
a : b
2 = :& f : l = g : h ; De m o n s t r. 2
partis
utramque alternando, prima est, : : altera vero, f : g ~ b ' . d.
E f t ergo a : e=r / : g ( 10 1) , & alternando a \ f — c : g.
De m o n s t r. 3f ia partis. Si fit =
- 1 , l
& a : / = g : tned. & extr. multipl. est imprimis est de
inde ad — f g : est ergo bc — f g ( 10 1) ; atque hinc b : f = g : c (169).
De m o n st r. 4 t a partis.Si fit : =
\ /
/ : a — ; med. & extr. multipl. est in prima, ad — b c , & in secunda est f g = ad. Eft ergo bc = fg f io i ) , & hinc
b
: f — g : c C 169).Schol. Veritatem theorematis juverit in unmeris quoque intueri. 1 ) Cum fit 2 ; 4 = 3 : 6 ,
& 4 : 8 = 6 J i a } est ex sequo ordinato, a : 8 r s 3 : 12 .
3)
182. TH EO R EM A X X V I. S i fuerint quotcunqui rationes cequales; erit summa omnium antecedentium ad summam omnium confequentinm, ut quiscunque antece- dens ad fuum confequentem. e. g. Sl lit a : b = c : d=
# : / ; erit a - H c b-4- d •+•/==.a : b.
De m o n s t r. Sl plures rationes inter fe aequales fin t; eundem omnes habebunt exponentem f 14 9 ) : itaque id genus rationes repraesentari possunt his formulis ge
neralibus :
a : am b : bm
c: cm & c . (15 0 . Sch, ).
Jam vero in his formulis summa antecedentium ad sum
mam consequentium est: ut quiscunque antecedens ad suum consequentem, seu a b -4-c : am -*~bm cm est e. g. = a : am. Factum enim extremorum femper
fore aequale facto mediorum , periclitanti patebit*
Veritas ergo theorematis generatim patet*