C A P U T P R I M U M .
D e Ratione tam A rithm etica, quam Geom etrica
;
item de Proportione Arithm etica.
143* R atio est habitudo quaedam duarum quantita
tum ad fe invicem comparatarum. Compa
rantur autem duae quantitates inter fe , ut innotefeat, au, & quantum altera excedat alteram, vel quoties una in alia contineatur. Hinc duplex est ratio: nempe alia est arithmetica, geometrica alia. Ratio arithmetica est habitudo duarum quantitatum quoad differentiam; ita ut ea differentia, quae obtinetur unam quanritatem ab altera subtrahendo, indicet earundem quantitatum ratio
nem
nem arithmeticam. Sic rationem arithmeticam nume
rorum 8 & xo, indicat eorundem differentia = 2.
144. Ratio geometricaest habitudo duarum quanti
tatum quoad quotitatem; ita ut is quotus, qul obtine
tur unam quantitatem dividendo per alteram, indicet rationem geometricam earundem quantitatum, e g. Si quaeratur ratio geometrica numerorum 2 & 6 ; divide 6 per 2, & quotus 3 indicabit, numerum 6 esse triplum numeri 2, ac proinde 2 esse tertiam partem numeri 6:
2 i
vel vero divide 2per6, & quotus — = — indicabit,
6 3
numerum 2 esse tertiam partem numeri 6, ac proinde hunc esse illius triplum. Unde patet, duarum quarum
piam quantitatum a& brationem geometricam perinde innotescere, sive aper b, sive bper adividatur.
145. Quantitates, quae ad se invicem comparantur, tam in Arithmetica, quam geometrica ratione vocantur termini : scribantur autem in eodem uterque ordine, interjefctis inter ipsos duobus punctis, e. g. 2 :6 ; id quod in ratione arithmetica sic enuntiatur: 2 differt es 6; in geometrica autem sic: 2 Ce habet ad6. Prior ter
minus vocatur antecedens; posterior confequens. Sic in ratione 2 : 6 . antecedensest 2, emjequensautem 6*
146. PROBLEMA XXXVII. Construere formulam generalem, quoe reprcejhitat quamcunque rationem arith
meticam.
REsoLUT. Cujusvis rationis arithmeticae antece
dens potest appellari a, disserentia d. Jam consequens vel erit major antecedente , vel minor ; quippe hujus
modi comparationes nonnisi inter aequales quantita
tes institui solent. Si fuerit major; constabit ex ante
cedente addita differentia, adeoque erit = a d : sin autem minor fuerit ; constabit ex antecedente dempta disserentia , ac proinde erit — a — d. Ergo quaevis ratio arithmetica bene repraesentatur hac formula : a : a h- d 9id est $ vel hac : a : a -\ -d f vel hac : a : a — d.
Schol. Tametsi quaelibet ratio arithmetica seorsim considerata bene repraesentetur hac formula a : a-+- d ;
nihl-i
6
qnihilominus st duae rationes arithmeticae antecedenti
bus, & differentiis discrepantes comparentur inter se, non bene repraesentatur utraque per eandem formulam:
sed st una repraesentetur per dictam formulam, altera, quemadmodum alium habet antecedentem , & differen
tiam, ita per formulam aliis literis constantem reprae
sentanda erit. e. g. Antecedens alterius rationis dica
tur/;, differentia c : eam rationem rite repraesentabit formula, b : b-f- c. Quodli tamen eadem fuerit utrius-que rationis differentia : litera d in utraque formula re
tinenda erit, ita ut rationem primam formula a : fl-f- d9 alteram formula b : b H- d repraesentet.
147. Quotus ille, qui duarum quarumpiam quanti
tatum rationem geometricam exprimit (144), vocatur
expon en s rationis geometricae. Jam aliqui pro exp o-
nente sumunt eum quotum , qui acquiritur anteceden
tem dividendo per consequentem ; alii autem eum, qui nascitur ex divisione consequentis per antecedentem.
Uterque quotus perinde exprimit rationem geometri
cam duarum quantitatum ad se invicem comparatarum, viFm. 144 vidimus: consequenter perinde est, live eum quotum assumas pro exponente rationis geometricae, qui nascitur ex divisione antecedentis per consequen
tem. sive eum, quem dat consequens per antecedentem divisus, At li alterutrum semel elegeris, eundem de
inceps modum constanter retineas, oportet. Nos con- stanter pro exponente eum quotum habebimus, qui ex divisione consequentis per antecedentem enascitur. Sic in ratione 2 : 6 , nobis exponens est = — = 3.
2
148. Quaelibet quantitas adicitur eo majore in ra
tione esse comparate ad aliam quampiam quantitatem b9 quo eadem quantitas a comparate ad b major fuerit.
Sic 1) numerus 3 comparate ad 6 est ln majori ratione, quam comparate ad 9 : nam 3 comparate ad 6 est * pars, & comparate ad 9 est tantum | pars. 2) Nume
rus S est ln majori ratione comparate ad 2 , quam com
parate ad 4 i quippe est quadruplus numeri
2,
& numeri
meri 4 est tantum duplus. 3) Numerus 12 est in ma
jori ratione comparate ad 4, quam iit 6 comparate ad 3 ; nam 12 est triplus numeri 4. & 6 est tantum duplus nu- meri 3 & c. Unde si pro exponente rationis geometri
cae (u ti nos constanter facturi sumu s ) is quotus assu
matur, qui nascitur divisione consequentis per antece
dentem ; eo majori in ratione est antecedens ad con
sequentem , quo minor fuerit exponens rationis, & con
tra. Sic si assumamus rationes 2 : 4, & 3 : 9 ; expo
nens prioris rationis est 2, posterioris est 3 : est aucem prioris rationis antecedens in majore ratione comparate ad suum consequentem , quam sit antecedens posterio
ris ad consequentem suum. Contrarium obtinet si con
sideretur ratio consequentis ad antecedentem: nam e.
g. in assumptis rationibus 2 : 4 & 3 : 9, quemadmodum prioris exponens minor est exponente posterioris , ita consequens prioris in minori ratione est comparate ad filum antecedentem, ac sit consequens posterioris ad antecedentem suum.
149. CoRoLL» Quoniam exponens indicat, quauta- narn sit geometrica ratio duarum quarumpiam quanti
tatum ; duas id genus rationes, quarum idem est ex ponens, aequales esse oportet: & vicissim , si duae quae
piam rationes sint aequales; eundem utraque exponen
tem habeat, est necesse. e. g. Rationes 2 : 4 & 3 : 6, eo ipso quod eundem habeant exponentem (nempe 2), sunt inter se aequales; & quoniam sunt aequales , diver
sos habere exponentes omnino non possunt.
150. PRO BLEM A X X X V III. Confiruere formulam generalem, quos reprcefentet quamcunque rationem geo- metricam.
R E S O L U T . Cujusvis rationis geometricae antece
dens potest appellari a, exponens m: quibus positis consequens erit am. Cum enim exponens rationis no
bis sit is quotus , qui oritur divisione consequentis per antecedentem (14 7 ) ; reapse consequens rationis est di- videndus, antecedens divisior* & exponens quotus: at
qui divi for in quotum ductus semper est aequalis dividen
do ( Arith. 55. ) ; quodii ergo antecedens rationis dica-
Horvath Mathesis. I. tur
i 6 z
t u r fl, exponens m9 consequens ejusdem rationis est aes am. Igitur quaevis ratio geometrica bene repraesenta
tur hac form ula: a: am.
Schol. Tametsi quaelibet ratio geometrica feoriim considerata bene repraesentetur per a : am ; nihilominus si duae rationes geometricae antecedentibus » exponen- tlbusque discrepantes repraesentandae sint; duae dlvpr- fae formulae sunt assumendae, non secus, ac de ratione arithmetica n. 146. Schol. locuti fuerimus. Nempe si una id genus rationum repraesentetur per a : am ; alte
rius antecedens dicatur exponens w, atque ita altera illa ratio repraesentetur per b : bn. Quodli tamen idem fuerit utrobique exponens-, Utera m in utraque formula retinenda erit, ita ut primam rationem formula a : amf alteram formula b : bm repraesentet,
1 5 1 . TH EO REM A X IV . S i rationis cuiusvis geome~
tricae tam antecedens, quam confequens per idem multipli- eetur, aut dividatur; ratio non mutatur• quamdiu eundem retinet exponentem (149). Veritas ergo theorematis manifesta est.
Schol. Si cujuspiam rationis termini fuerint fractio
nes quaecunque ; tollentur compendio fractiones illae, si numerator antecedentis per denominatorem conse
quentis , & numerator consequentis per denominato
rem
152. Duae rationes aequales proportionem constituunt, ut adeo proportio nihil aliud iit, quam aequalitas dua
rum rationum. Unde etiam duae rationes proportio
nem constituentes signo = lplis interjecto jungi solent.
Porro quemadmodum ratio, ita etiam propnrtio alia est arithmetica, geometrica alia. Scilicet duae rationes arith
meticae aequales, seu eadem differentia gaudentes con
stituunt proportionem arithmeticam ; duae auteni geo
metricae rationes aequales, seu eundem exponentem ha
bentes (159 ) efficiunt proportionem geometricam. e. g, 3 : 5 = 7 : 9 est proportio arithmetica, & sic enuncia- t u r : $ differt a 5 sicut 7 0 9 ; at e . g . 2 : 4 = 3 : 6 , est pro
portio geometrica, & lic cnunciatur 2 a Je habet ad 4, Jtcut$ ad 6.
15 3 CoRoLL. Omnis ergo proportio quatuor habet terminos, duos nimirum antecedentes, & duos conse-Sluentes, e. g* ln hac proportione 2 : 4 = 3 6, 2 & 3
unt antecedentes, 4 & 6 consequentes.
154. In qualibet proportione, tam arithmetica, quam geometrica primus terminus, & quartus simul vocantur txtrem i; secundus autem & tertius medii nuncupantur, e. g ln hac proportione, 2 : 4 = 3 : 6 , 2 & 6 sunt ex- tremi, 4 & 3 medii.
155. Quaelibet proportio (siVe sit arithmetica, sive geometrica) vel est continua, vel diftreta. Illa pro
portio vocatur continua, in qua primus consequens est idem cum secundo antecedente ; & terminus ille, qui ita repetitur, medius proportionalis dici solet, e. g. Haec proportio arithmetica 3 2 5 = 5 : 7 est continua, estque m ea terminus 5 medius proportionalis. Quodsi autem consequens primus non lit idem cum antecedente se
cundo ; proportio vocatur di fer ita 9 ut haec geometrica, 3 : 4 = 3 : 6.
l 6 *
156. PROBLEMA X X X IX . formulam
generalem, q u a r e p r a f e n t e t quamlibet proportionem arith-metuam.
REsoLUT. Quaevis ratio arithmetica una bene re
praesentatur hae formula, a : a -4- d, & altera huic aequa
lis hac, b: b-i- d (146, ejusqueift/io/.): eum ergo duae rationes aequales constituant proportionem (15 2 ); quae
vis proportio arithmetica bene repraesentatur hac for
mula, a : a -4- d = .b : b -h d ; id est, vel hac, a : a -\-d x b : b -+-d, vel hac. a : a — d — b:b — d.
15 7. CoHoLL. Quoniam in proportione continua, consequens primae rationis est antecedens rationis secu ndae (155) 3 ln formula generali a : a -t- d = b : b - f-d, fiquidem de continua proportione arithmetica fit ser
mo, est b ~ a - h d . Quem proinde valorem loco b sub
stituendo , formula generalis quamlibet continuam pro
portionem arithmeticam repraesentans est haec, a : a -d — a - \ - -d : a ^ - 2 -d .
SchoL Ceterum, quamvis lstud ita se habeat; prior tamen illa formula generalis omnem proportionem arithmeticam, etiam quae reapse continua est, rite re
praesentat : hoc uro notato, quod in ea, si de continua proportione spectarim fit sermo, fit&-4-d — b.
158. TH EO REM A X V . In quavis proportione arith
metica furntna extremorum (154) aquatur furnrnce me
diorum.
De m o n s t r. Quaevis arithmetica proportio reprae- fentari potest hac formula, a : a d z = b : b -f- d (156 ,
& 15 7 SchoL): atqui in hac formula p atetT summam extremorum este aequalem summae mediorum; in hac
•nimest a-\~b-{-d — a-\- d-+-b. Ergo ln quavis pro
portione arithmetica & c.
T59* PROBLEM A X L . Datis tribus terminis invenire quartum arithmetice proportionalem•
REsoLUT. Si dentur tres termini a, b, c, & quaera
tur quartus x, stabit haec proportio arithmetica 9 a:bz=:
c:x;
i
c.: x ; erit ergo u -f- x — b-^-c (185). ac proinde erit x — b -4- c — a. Hoc est, st secundus & tertius termi
nus ln unam summam cogantur, & ab ea summa sub- trahatur terminus primus , residuum erit ipse quaesitus terminus quartus, e. g. Si dentur tres hl termini, 2 ,5 , 0, & quaeratur quartus x ; erit x = 5 -f- 9 — 2 = 12 . E t sane stabit haec arithmetica proportio, 2 : 5 = 9 : 12 $ nam utrobique eadem est differentia, nimirum 3.
160. CoRoLL. Atque hinc facile jam intelligitur, quomodo inveniendus iit datis duobus terminis tertius, aut inter duos datos medius arithmetice proportionalis.
Scilicet ii 1 ) datis duobus terminis a & b quaeratur ter
tius x ; stabit haec continua proportio, a: 0 = : x erit ergo a »4- x = 2 b (158)* adeoque erit * = %b —
a
• Hinc si e. g. situ = 3 , b = 5 ; erit a: = 7 .Si 2) inter datos" duos terminos e. g. lnter 2 & 8 quaeratur medius arithmetice proportionalis x ; stabit haec continua proportio arithmetica, 2 : x = x : 8 ; erit
2-1-8 ergo 2-4-8 = 2 * (15^)9 ac proinde erit x = = 5.