C A P U T P R I M U M .
D efinitiones,
& H ypotheses in Algebramuniuerfam
.
Algebra est scientia, quae ope llterarum alphabeti Yecundum certas regulas inquirit ln quantitates, &
veritates ignotas, easque ex datis quibusdam cognitis infallibiliter eruit , ac determinat. Quid autem veniat quantitatis nomine, Arith. n. 1. dictum est.
a. Quantitates, quemadmodum m Arithmetica lite
ris arabicis i, 2, 3 & c. ita in Algebra minusculis alpha
beti latini lltens solent designari: & cognitae quidem quantitates primoribus alphabeti lltens a , b, c9d ; in
cognitae autem postremis x , y 9 z designantur. Saepe tamen memoriae adjuvandae caussa adhibentur primae literae earum vocum , quae ipsas quantitates significant, e. g. Tempus repraesentari solet litera t, celeritas litera C9 spatium litera s, & c .
SchoU In Arithmetica , quaelibet nata numerica cer
to loco scripta fixam habet significationem : e. g. nota 3 semper tantum tria signifi cat (Arith. 16 . ). At in A lgebra, literarumsignificatio non aeque fixa est, sed eadem litera e. g litera a pro signo cujuscunque quan
titatis utcunque magnae, aut parvae assrnni potest, e. g.
Dentur duo numeri, 3 7 , & 23 cum certo quaestionis sta
tu , e x quibus tertius numerus incognitus , qui satisfa
ciat positae quaestioni, erui debeat: Algebraicus nume
ro 37 literam a9 & numero23 literam b 9 aut aliam sub
stituet.
stituet, tertium vero illum incognitum numerum lite- ra x designabit ; atque cuni literis his per notas sibi re
gulas operationem instituet , quae ipsum in notitiam incogniti ilius numeri deducet. Dentur deinde alii duo numeri, e. g. 342, & 400 cum alio quaestionis sta
tu , ex quibus numeris itidem tertius aliquis numerus incognitus sit eruendus : Algebraicus rursus iisdem li
teris utetur; e. g. numerum 342 litera & numerum 400 litera b ipsi 'designabit , litera vero x tertium illum incognitum.
Schol. Quantitatibus literas substituendo, atque ita juxta regulas algebrae operando difficillimae quaestio
n e s , quas ope numericae Arithmeticae v i x , ac ne v ix quidem enodaveris unquam , admirando compendio, facilitateque solvuntur : profundissimae veritates e te
nebris eruuntur, & in plena luce collocantur. Hinc Algebra egregios omnino habet usus in omnibus iis di
sciplinis , in quibus certae quantitatum species, e. g. nu
meri, lineae, spatia, tempora, celeritates, vires / pon
dera & c. pertractantur; quaslibet enim quantitates li
teris designare , & ad calculum revocare potest: qua
propter etiam Calculus univerfalis nuncupatur. Sed Tiro , priusquam praestantissimos Algebrae fructus deli
b e t, primos calculos algebralcos rite condiscendos ha
bet.
3. Quaelibet quantitas vel est positiva, feu major nihilo , vel est negativa, feu nihilo minor; nt adeo ni
hilum sit^ quasi limes quidam quantitatum positivarum,
& negativarum, e. g. 1 ) Possideat quispiam 10 flore- n o s, nec ulli debeat quidquam : hi 10 floreni relate ad cum possessorem sunt quantitas positiva, seu nihilo ma- jo v , cum possessor lll<* plus habeat, quam nihil. 2) Poisideat quispiam 10 florenos, sed alteri cuipiam tan- tundem debeat: dicetur ls habere nihil, cum omnis illa pecunia, quam poffidet, ab aequali debito veluti ex
stinguatur. 3 ) Possideat quispiam 10 florenos, sed al
teri cuipiam debeat 12 florenos: iste habet quantitatem negativam , feu nihilo minorem duorum florenorum , id est, habet 2 florenos negativos. Tametsi enim omnes suos 10 florenos Creditori suo tradiderit, adhuc eidem debebit 2 florenos; ac proinde minus habet nihilo, ita
ut
ut ad hoc , ut pure nihil habere intelligatur, indigeat adhuc 2 florenis, quibas debitum suum expungat.
4. COROLL. Id , quod desideratur ad hoc, ut is, qui nihilo minus habet , ad eum reponatur statum, in quo pure nihil habeat, est vera quantitas , & non merum ni
hilum. Sic in allato superius exem plo, 2 llll florenl, qui memorato Possessori necessarii essent ad hoc, ut is censeatur habere pure nihil, utique vera quantitas sunt, sed quae quantitas comparate ad eum possessorem ne- gativaiit, non pofitiva. Id ergo, quod negativam quan
titatem appellamus, re vera est quantitas , & non me
rum nihilum; ita ut nonnisi comparate ad certa rerum adjuncta dicatur negativa, Aliqua de quantitate nega
tiva adferentur etiam num. seq. in Scholio.
5. Positiva quantitas designatur signo -f- praefixo negativa autem signo — praefixo. Quum aliqua litera positivam quantitatem designans solitaria ponitur, non praefigitur ipsi signum -4-, sed istud subintelligitur: pa
riter, quum pluresiiterae interpositis signis conjungun
tur , primae literae. si ea positivam quantitatem designet, nullum solet praefigi signum , sed ei signum -4- subin- telligitur esse praefixum. A t negativae quantitati sig
num — semper expresse praefigitur, e. g. Sit tam a, quam b quantitas positiva ; hoc modo scribendae erunt:
u-+-&. Si a suerit quantitas positiva, b negativa; sic easdem scribes : a — b. Scilicet utroque casu positivae quantitati u , quia primum ln serie locum obtinet, nul
lum signum praefigitur, sed praefixum esse intelligitur signum Quod si autem utraque fuerit quantitas negativa ; hoc modo scribuntur : — a — b. Porro ejusmodi signa , ut jam ln Arithmetica ( 4 ) indicatum est, hoc modo enunclantur: a - \ - b, a plus b ; a—b, a minus b , & c.
Schol. Natura quantitatis positivae, & negativae so
let etiam exemplo motus progressivi declarari, e. g.
Si
motum tuum versus orientem referas; passus, quos versus orientem facis, positivi sunt, quia versus orien
tem re ipsa progrederis: at si volens versus orientem progredi, versus occasum regrediaris ; regressus in oc
casum comparate ad motum versus orientem factum negativus est. lmmo quascunque duas quantitates di
recte
46
recte oppofitas inter fe conferamus, e. g. lucrum &
damnum, incrementum & decrementum , motum sur
sum, & motum deorsum &m semper una quantitas rela
te ad alteram sibi oppositam quantitas n eg a iva e st;
e. g. damnum respectu lucri, decrementum respectu in
crementi, motus deorsum respectu motus sursum, &
vicissim. Unde etiam ii signum -4- significet lucrum, incrementum, motum sursum & c . signum — designa
bit damnum , decrementum, motum deorsum & c . Si autem lignum -+- postrema haec denotet, signum — pri
ora illa designabit. una signo — interjecto jungatur alteri, significatur, eam quantitatem, cui lignum illud praefixum est, ab simt, perspicuum est, quantitatem positivam adjuncta aequali negativa reddi aequalem nihilo, e. g. a — a 9 vel 4 — 4 aequantur nihilo. Hinc si duae inaequales quantitates , quarum altera positiva sit, altera negativa, conjungantur ; minor e majore semper tantum destruit, quanta est ipsa minor. Sic 6 — 4 = 2 ; 8 — 3 = 5.
9. Signum multiplicationis est crux decussata X * aut puctum inter factores interjectum, e. g. 2 X 3*
v el 2. 3 designat 2 multiplicari per 3, estque = 6. Est etiam lignum multiplicationis, si factores absque ullo interjecto signo conjungantur, e. g. a b significat a multiplicatum per b; 2 a significat a multiplicatum per 2. Usitatissimum divijionisTignum est, li indicetur per modum fvaWonis, ld e st, si dividendus subducatur linea,
&
& infra lineam scribatur divisior, e. g. Si quantitatis a per quantitatem b divisio indicanda est, scribitur sic:
a
& enuntiatur s ic : a divisum per b. Deinde divisionis signum sunt etiam duo puncta ( : ) interjecta inter di
videndum, & divisorem. Sic ( a -b ) divijum per ( c — d ) nonnunquam sic exprimitur, : ( c—d).
10. Signum > indicat quantitatem anteriorem esse majorem posteriore; at lignum < significat, anterio
rem quantitatem posteriore minorem esse. Hinc a > &
significat, quantitatem a esse majorem quantitate b; afc 2 < 3 indicat, numerum 2 numero 3 esse minorem.
1 1 . Signum 00 est signum quantitatis infinitae.
Hinc a = 00 significat, quantitatem a esse infinitam.
Signum autem o , seu Zerus est signum nihili; ita ut e. g. 3 — 3 = o tantumdem significet, ac, 3 minus 3 aequari nihilo.
12. Quantitas dividitur in com plexam , & lncom- plexam. Quantitas complexa, seu polynomia constat e pluribus quantitatibus signo •+< vel — junctis, e. g.
ab Hh 2£ — d est quantitas complexa. Quantitas incom- plexa, seu monomia est, quae non constat e pluribus quantitatibus ligno -4- vel — conjunctis, e. g. a est quantitas incom p le x a , item ab c,ve\ 3 a b & c. Porro in quantitate complexa quantitates illae, quae signo 4^
v e l — conjunguntur, ejusdem quantitatis compioxae termini nuncupantur : ut adeo totidem terminis cou.stec quantitas com plexa, quot in ea reperiuntur quanfcita- tes signo ■ +- vel — conjunctae. Sic quantitas comp!lexa ab 4 - 2C— d tribus terminis constat: primus eli a b 9 alter - f- 2 c , tertius— d. Quantitas complexa dunbus terminis constans vocatur binomia, tribus terminis con
stans trinomia, & sic porro.
13 . In Algebra literis numeri quoque saepissime? ad
junguntur. Istud autem tripliciter fieri potest. Nempe vel 1) inter literas & numeros interjicitur signum -f*
v e l — , ut in hac quantitate com plexa, 3 5 vel 2) numeri praefiguntur literis signo vel — non interjecto, ut 3 a b ; vel denique 3) numeri literis a dextris sursum‘ versus adduntur, ut in hac quantita
te : a
14. Numeri literis non interjecto figno »4- vel — praefixi vocantur earum coefficentes , afsiciuntque totum terminum, cui praefiguntur, ac indicant, quoties ter- minus ille cum suo figno positus fit. Sic 3 ab signifi
cat terminum a b ter esse positum ; hoc est, 3 ab est = ah*)-ab-{-ab. Unde patet, expressionem per coeffi- cientes esse methodum compendiariam scribendi eos
dem terminos aliquoties cum suo signo positos. Quod si autem cuipiam termino nullus praefigatur coefficiens;
illic unitas praefixa intelligitur: quod evenit tu n c, quum terminus cum suo ligno semel tantum positus est.
Sic loco 1 ab solet omissa unitate scribi a b.
15. Numeri, qui literis a dextris sursum versus ad- fcribuntur, vocantur earundem literarum exponentes. Jam exponens indicat, eam literam, cui ipse a dextris adscriptus est, toties esse multiplicatione positam, quot ipse exponens unitates ln se continet. Sic a* signifi
cat, quantitatem a ter esse multiplicatione positam.
Probe autem advertendum est, quid sit , aliquam quan
titatem aliquoties esse multeplicatione positam. Nimi
rum quantitas a bis multiplicatione polita, seu a1 est = a x a ; eadem quantitas ter multiplicatione polita, seu a* est = a X ci X 0; quater multiplicatione posita, seu a* est = a X ol X a X af & sic porro. Consequenter tunc* aliqua quantitas ponitur bis multiplicatione, quum semel per se ipsam multiplicatur; tunc ponitur ter mul
tiplicatione , quum bis per se ipsam multiplicatur, & sic porro. Unde patet, exponentes non esse confunden solam literam e indicat bis esse multiplicatione politam.
Contraria est coefjmentium natura, uti num. praec.ex
posuimus. Denique sicubi desit exponens, illic unitas intelligitur esse exponens, e. g, Est a — a\m
Schol. 1. Interdum pro exponentibus adhibentur li- terae minusculae loco numerorum, e. g. am significat,
quan-quantitatem a toties esse multiplicatione positam, quot in quantitate m unitates continentur. Nonnunquam pro exponentibus adhibentur literae numeris permistae j e. g. am —3 •
Schcl. 2. Valot term ini, quantitatem complexam constituentis, in Algebra prorsus non pendet a lo c o , quem is terminus comparate ad reliquos terminos oc
cupat. Hinc valor quantitatis complexae non mutatur, quo demuin cunque ordine scribantur termini eandem componentes, e. g. Est a b *+• c — d = e a b d
= a b — d - t - c = c«=— d~i~a b & c.
t6. Quantitates monomiae , seu termini dividuntur In hom ogeneos, & heterogeneos. Duo termini tunc diduntur liotnogenei, quum iisdem accurate literis con
stant, & quidem ita, ut eadem litera eundfcm habeat iu utroque termino exponentem ; neque tamen officiet hom ogeneifatl, si termini illi diversa ii^na (ibi praefixa, aut diversos coefficientes habuerint. E x adverso duo termini sunt heterogenei, si non iisdem accurate literis constent, aut si aliqua lite;a alium in uno , alium inal- tero termino exponentem habeat; sive deinde termini illi iisdem gaudeant signis, & coefficientibus, sive di
versis. Sic 1 ) abcz & cibc1 sunt termini homngenel*
quia iisdem accurate literis constant, & quaelibet litera eundem habet exponentem in uno termino , quem ha
bet in altero. 2) Eandem ob caussam homogenei sunt termini 2 a z b & — ^ b , tametsi diversis signis, & co
efficientibus gaudeant. At 3) termini abe & ac hete
rogenei sunt; quia prior terminus habet aliquam lite- ram, scilicet c, qua terminus alter caret, ac proinde non constat uterque terminus iisdem accurate literis.
4) Pariter heterogenei sunt termini abc, & az b c; quia tametsi uterque iisdem constet literis, attamen litera a non habet eundem exponentem in uno termino , quem habet in altero* 5) Potiori jute heterogenei sunt ter
mini abe7- , & az t f ; quia neque constant iisdem accu
rate literis , neque habent eosdem exponentes li- terae a & c iu uno term ino, quos
habent in altero»