58§. . Valamely
1.159. egyenlet - (1)
végtelen számsorozatot olyan függvénynek tekinthetünk (42. §), amelynek értelmezési tartományát az
számok alkotják. Ennélfogva a függvény helyen vett véges határértéke fogalmának megfelelően (45. §) a számsorozat véges határértékének fogalmát következőkép definiáljuk:
Valamely
végtelen számsorozatról azt mondjuk, hogy a „határértéke” a véges számérték, vagy a véges értékhez
„tart”, képletben
ha adatván akármilyen kicsiny pozitív szám, ehhez mindig található oly tag a sorozatban, amelytől kezdve valamennyi tag megközelíti a értéket -nál kisebb hibával, azaz
Láttuk (29. §), hogy monoton növekedő korlátos sorozat felső határa, ill. monoton fogyó korlátos sorozat alsó határa ilyen értelemben a sorozat határértéke. Ez a legegyszerűbb esete a véges határérték létezésének.
A függvény , helyen vett végtelen határértéke fogalmának megfelelően az
sorozatról azt mondjuk, hogy a határértéke , vagy -hez tart, képletben
ha adatván akármilyen nagy pozitív szám, ehhez mindig található oly tag a sorozatban, amelytől kezdve valamennyi tag nagyobb -nél, vagyis
Ha az 58. § (1) sorozat olyan, hogy , akkor azt mondjuk, hogy a határértéke , képletben
Ez tehát azt jelenti, hogy adatván akármilyen nagy pozitív szám, bizonyos indextől kezdve
A helyen vett véges határérték létezésének kritériumát (49. §) arra az esetre alkalmazva, midőn a
függvény értelmezési tartományát az számok alkotják, nyerjük a számsorozat véges határértéke
létezésének következő szükséges és elegendő feltételét:
Valamely
számsorozatnak akkor és csak akkor van véges határértéke, ha adatván akármilyen kis pozitív szám, ehhez található oly index, amelytől kezdve bármely két tag különbségének abszolút értéke kisebb -nál, vagyis
1.160. egyenlet - (2)
Ez az ú. n. Cauchy-féle konvergencia-principium.14
A 58. § (2) alatti tulajdonságot úgy fejezzük ki, hogy az 58. § (1) sorozat „konvergens”. E terminológiával élve, a fenti tétel azt mondja, hogy a véges határértékű sorozatok osztálya azonos a konvergens sorozatok osztályával.
59§. . A fenti definícióknak (akár véges, akár végtelen határértékről van szó) közvetlen folyományai a következő tételek:
Ha valamely
sorozatnak van határértéke, akkor azt bárhogyan „átrendezvén” egy
sorozattá (ahol is tehát az indexek tetszőleges sorrendben), az átrendezett sorozatnak ugyanaz a határértéke.
Ha az
sorozatban , akkor abból kiválasztva valamely
részsorozatot (ahol is tehát ), ebben is . Legyen az
és
14 V. ö. Cauchy i. m. (29. old.) Oeuvres II série t. III, p. 116.
sorozatok mindegyikének ugyanaz a határértéke. Akkor az ezek „egyesítésével” keletkező
sorozatnak is van határértéke és ez .
Továbbá az összeg, szorzat és hányados folytonosságára vonatkozó tételekből (26., 27. §) nyilván következik, hogy ha az
valamint a
sorozatnak véges határértéke van, mégpedig
akkor
1.161. egyenlet - (1)
1.162. egyenlet - (2)
s esetén (mikor is bizonyos -től )
1.163. egyenlet - (3)
Ez utóbbi tételek különben speciális esetei a függvény-határértékre vonatkozó megfelelő tételeknek (45. § (1), (2), (3)).
Az tétel akárhány tag, akárhány tényező esetére is érvényes (26. § (4), (5)). De e tételek (épúgy, mint általában a függvény határértékre vonatkozóak) csak meghatározott számú tag, illetve tényező esetére
vonatkoznak. A tétel pl. nem alkalmazható az sorozat határértékének megállapítására, mert a
tényezők száma , ami nem állandó. E szorzat nem is az 1, hanem folytán
(40. § (3*)) a határértékhez tart, bár a tényezők mindegyike .
Az alábbi tétel a konvergens sorozatoknak nevezetes egyszerű alosztályát ismerteti. Ha az
1.164. egyenlet - (4)
sorozat tagjai közti
1.165. egyenlet - (5)
különbségek váltakozó előjelűek és abszolút értékben monoton fogyólag -hoz tartanak, akkor e sorozat konvergens. ( Leibniz tétele. 15)
Bizonyítás. Legyen az 59. § (5) alatti különbségek közül az első pl. pozitív, mikor is a feltevés szerint
Minthogy e különbségek továbbá abszolút értékben monoton fogynak, nyilvánvaló, miszerint
és
(36. ábra). Tehát monoton fogyó, viszont monoton növekedő, alulról, ill. felülről korlátos
sorozat s így mindegyiknek van véges határértéke 29. § De a feltevésből ( ) értelmében következik, hogy , tehát (1) és (2) felhasználásával
a két sorozatnak ugyanaz a határértéke van. Ebből szerint következik, hogy az ezek egyesítésével keletkező eqref(59,4) sorozat is ugyanahhoz a határértékhez tart, tehát konvergens. Qu. e. d.
36. ábra.
Ebbe a sorozat-osztályba tartozik valamely közönséges végtelen lánctört közelítő törtjeinek sorozata 33. § 60§. . Tekintsünk valamely véges A határértékhez tartó
számsorozatot.
Lehetséges, hogy véges számú kivétellel a sorozat minden tagja egyenlő -val. Megmutatjuk, hogy e triviális esetet kizárva, lényegében a sorozat szigorúan monoton sorozatokból származtatható átrendezéssel és sorozatok egyesítésével. Bebizonyítjuk u. i. az alábbi tételeket. Ha a A-hoz konvergáló
1.166. egyenlet - (1)
sorozatban a tagok egymástól különbözők és kisebbek -nál, akkor a sorozat átrendezhető monoton növekedővé.
(1)-ben csak véges számú oly tag van, amely -nél kisebb. U. i. a tagok -nál kisebbek lévén,
folytán véges számú kivétellel minden tag és közé esik s így nagyobb -nél. E véges számú tagot és -et vegyük ki (1)-ből és írjuk fel őket növekedő sorrendben; az utolsó lesz . Az (1)-ből megmaradó sorozat szintén -hoz tart (59. §. ) s ennek tagjai már mind nagyobbak -nél és annál inkább a többi már kivett tagnál. E sorozatban is csak véges számú tag van, amely az elsőnél kisebb. Ezeket és az első tagot vegyük ki a sorozatból és írjuk őket növekedő sorrendben az előbb felírtak után. Akkor az így megtoldott véges sorozat még mindig növekedő. Ez eljárást vég nélkül folytathatjuk. Az (1)-ből már kivett tagok mindenkor kisebbek a
15V. ö. A. Pringsheim: Nombres irrationels et notion de limite, Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées t. I, vol. 1, fasc. 1–2, p. 240.
még nem kivetteknél. Ennélfogva ez eljárásnál (1) bármely tagja egyszer sorrakerül, mert amint látjuk, csak véges számú nála kisebb tag van. Ily módon tehát oly sorozatát alkotunk, amelynek minden tagja (1)-ből való s melyben (1)-nek minden tagja előfordul egyszer és csak egyszer. E sorozat tehát (1)-nek egy átrendezése. De ez a konstrukciója folytán monoton növekedő. Ha a -hoz konvergáló
1.167. egyenlet - (2)
sorozatban a tagok egymástól különbözők és nagyobbak -nál, akkor a sorozat átrendezhető monoton csökkenővé. Ez az előbbihez hasonlóan bizonyítható be. Ha a -hoz konvergáló
1.168. egyenlet - (3)
sorozatban a tagok egymástól és -tól különbözők és végtelen sok -nál kisebb valamint végtelen sok -nál nagyobb tag van, akkor a sorozat átrendezhető így:
ahol monoton növekedő, pedig monoton csökkenő sorozat.
Ugyanis (3)-nak -nál kisebb tagjai annak egy részsorozatát teszik, amely tehát (59. §) szintén -hoz tart. Ez a fentebbiek szerint átrendezhető egy monoton növekedő
sorozattá. Hasonlóan, az -nál nagyobb tagok is -hoz konvergáló sorozatot alkotnak, amely az előbbi tétel szerint átrendezhető egy monoton fogyó
sorozattá. Mármost 60. § (3)-nak kívánt átrendezése. Legyen a -hoz tartó
1.169. egyenlet - (4)
sorozatban végtelen sok -tól különböző tag. Akkor 60. § (S) lényegében olyan, mint vagy az 60. § (1) vagy a 60. § (2) vagy pedig a 60. § (3) sorozat, nevezetesen egy ilyen sorozattól legfeljebb annyiban különbözik, hogy fellép benne még
végtelen sok A-val egyenlő tag,
az eredeti tagok közül végtelen sok többször is, de mindegyik véges számban, véges számú tetszőleges tag.
Hogy egy olyan sorozatot, mint az (1), (2) vagy (3), így kibővítve ismét -hoz tartó sorozatot kapunk, az triviális (58. §). Most be kell bizonyítanunk ennek a megfordítását. Először is töröljük -ben az -val egyenlő tagokat. Minthogy a feltevés szerint végtelen sok -tól különböző tag van, ily módon visszamarad 60.
§ (S)-ből valamely
1.170. egyenlet - (5)
sorozat, amelynek tagjai már -tó] különbözők, s melyben (59. §) . Ebben minden tag csak véges
számú helyen léphet fel. Ugyanis vegyük pl. az -at, és legyen . Mivel , azért ez
pozitív számhoz találunk oly tagot -ben, amelytől kezdve valamennyi tag megközelíti -t -nál kisebb hibával, amelytől kezdve tehát minden tag különbözik -tól. Mármost minden tagját egy helyen, ahol fellép, tartsuk meg, a többi helyről pedig töröljük. Így -ből oly
1.171. egyenlet - (6)
sorozat marad vissza, amelynek tagjai egymástól és -tól különbözők s melyben szintén . Ez
sorozatra három eset lehetséges:
1. végtelen sok tag kisebb -nál és véges számú nagyobb -nál, 2. végtelen sok tag nagyobb -nál és véges számú kisebb -nál, 3. végtelen sok tag kisebb -nál és végtelen sok tag nagyobb -nál.
Az 1. esetben hagyjuk el a véges számú -nál nagyobb tagot, a 2. esetben a véges számú -nál kisebb tagot, a 3. esetben pedig tartsuk meg a sorozatot változatlanul. Legyen az így kapott sorozat
1.172. egyenlet - (7)
Ebben is és az 1. esetben a sorozat olyan, mint (1), a 2. esetben mint (2), a 3. esetben pedig olyan mint (3). Világos továbbá, hogy az -től legfeljebb annyiban különbözik, hogy ki van bővítve az ,
és alatt felsorolt tagokkal. A tétel tehát be van bizonyítva.
61§. . Legyenek a nem-negatív számokból álló
számcsoportok úgy választva, hogy bármelyik csoport számtani közepe a következőnek a legnagyobb száma, vagyis
1.173. egyenlet - (1)
Bebizonyítjuk, hogy e számcsoportok bizonyos számhoz tartanak:
1.174. egyenlet - (2)
(1)-ből folyólag (16. §)
azaz e számcsoportok legnagyobb számainak sorozata monoton fogyó. E sorozatnak a alsó korlátja, minthogy tagjai nem-negatívok. Ennélfogva e sorozat fogyólag bizonyos véges határértékhez tart (29. §), mondjuk
1.175. egyenlet - (3)
A sorozat fogyó lévén, nem nagyobb a tagok bármelyikénél, azaz 60. § (1)-re tekintettel
ami mellett méginkább áll
1.176. egyenlet - (4)
Ha mármost adatik valamely szám, 61. § (3) értelmében bizonyos -tól kezdve
tehát 61. § (4) alapján
Ezzel 61. § (2)-t bebizonyítottuk.
62§. . A határérték definiciója szerint (58. §) az
sorozatról azt mondjuk, hogy a határértéke zérus, képletben
ha akármilyen kis pozitív -hoz található oly tag a sorozatban, amelytől kezdve valamennyi tag abszolút értéke kisebb -nál, azaz
Az ilyen sorozatot zérus-sorozatnak nevezzük.
Nyilvánvaló, hogy aequivalens azzal, hogy , és azt jelenti, miszerint
.
Minthogy esetén fogyólag 41. § (3), azért nyilván általában
1.177. egyenlet - (1)
Másik nevezetes alaptény a következő: a q bármely értékénél
1.178. egyenlet - (2)
A bizonyításnál feltehetjük, hogy pozitív. Ha , akkor az állítás triviális, mert ez esetben
esetén azonban (41. § (1)), tehát ekkor a bebizonyítandó tétel azt az érdekes tényt fejezi
ki, hogy erősebben tart -hez, mint . Ez következőkép látható be.
és a tényezők kisebbek -nél, azért
1.179. egyenlet - (3)
Mivel itt választása folytán
azért (1) értelmében
tehát a (3) alatti becslésből folyik (2).
Különben (2) nyilván speciális esete a következő általános tételnek:
Ha az
sorozathoz található olyan pozitív szám, hogy bizonyos indextől kezdve
1.180. egyenlet - (4)
akkor
1.181. egyenlet - (5)
Bizonyítás. A (4) alatti feltevés szerint
általában
De esetén folytán 62. § (1) szerint s így ez egyenlőtlenségből következik,
hogy
zérus-sorozat, vagyis fennáll 62. § (5) Qu. e. d.
E tételből következik például, hogy akármilyen nagy pozitív egész kitevő mellett
1.182. egyenlet - (6)
Ugyanis 59. § (2)
miután , tehát és között valamely számot választva, bizonyos indextől kezdve e
hányados abszolút értékben kisebb -nél.
63§. . A függvény és a számsorozat határértékének definíciójából (45., 46., 58. §) nyilván folyik, hogy ha az
függvénynek bizonyos helyen (amely vagy is lehet) van véges vagy végtelen
határértéke, akkor bárhogyan választván valamely -hoz tartó
1.183. egyenlet - (1)
sorozatot, amelynek tagjai mind különböznek -tól (amennyiben a véges), a megfelelő
1.184. egyenlet - (2)
sorozat -hoz tart. Nevezetes és fontos, hogy e tétel meg is fordítható:
Ha bárhogyan választva az -hoz tartó 63. § (1) sorozatot (kikötve, hogy amennyiben véges, a tagok -tól különbözők legyenek) a megfelelő 63. § (2) sorozatnak mindig van véges vagy végtelen határértéke, akkor
mindig ugyanaz a érték (esetleg vagy ), az függvénynek az helyen van határértéke, nevezetesen
1.185. egyenlet - (3)
Bizonyítás. Legyen
és
két sorozat, amelyekben
Akkor az
sorozat szintén -hoz tart (59. §. ) és tagjai -tól különbözők. Tehát a föltevés szerint az
sorozatnak van határértéke, mondjuk ). Ennélfogva (59. §. ) a belőle kiválasztott
és
részsorozatoknak szintén a határértékük. Ezzel -et bebizonyítottuk.
A állítást indirekt úton bizonyítjuk be. Szorítkozhatunk arra az esetre, midőn és véges, mert a többi lehetséges eset hasonlókép tárgyalható.
Adassék akármilyen kicsiny pozitív 63. § (3)-mal ellentétben tegyük fel, miszerint akármilyen kicsinynek választva is a pozitív számot, mindig van olyan hely, hogy
Ennek értelmében, kiindulva egy tetszőlegesen kiválasztott -ból, található olyan
sorozat, hogy
összefoglalva
1.186. egyenlet - (4)
Minthogy , azért a (4) alatti második egyenlőtlenségből folyólag . De ennek ellenére a 36. §
(4) alatt írt első egyenlőtlenség alapján tart -hoz, ami a már bebizonyított állítással ellenkezik. Kell
tehát, hogy a számot eléggé kicsinynek választva, legyen, hacsak . Bármely
pozitív -hoz található ilyen , tehát valóban fennáll (3) Qu. e. d.
Ezekből kitűnik, miszerint a számsorozat határértékének fogalma nemcsak megfelel a függvényhatárérték fogalmának, hanem az utóbbi az előbbire vissza is vezethető.
64§. . Megmutatjuk, hogy ha az
1.187. egyenlet - (1)
végtelen számsorozat felülről korlátos és nem tart -hez, akkor van egy meghatározott szám, amely a következő tulajdonságú: bármely pozitív mellett -nál nagyobb tag végtelen sok, -nál nagyobb tag viszont csak véges számú van a sorozatban.
A föltevés szerint van olyan és szám, hogy -nál nagyobb tag végtelen sok, -nál nagyobb tag pedig csak véges számú van az 64. § (1) sorozatban. Felezve az intervallumot, egyik fele, mondjuk hasonló tulajdonságú. Nevezetesen ilyen -nak az első vagy a második fele aszerint, amint az
számnál nagyobb tag véges számú, vagy végtelen sok van. Az intervallum egyik fele, mondjuk ismét hasonló tulajdonságú s így tovább. Ezt folytatva, az
intervallum-sorozathoz jutunk, ahol is -nél nagyobb tag végtelen sok, -nél nagyobb tag ellenben csak véges számú van az 64. § (1) sorozatban. Legyen (mint az 53. §-ban)
E szám a mondott tulajdonságú. Minthogy u. i. , azért bármely pozitív mellett bizonyos -től
kezdve , s mivel -nél nagyobb tag végtelen sok van 64. § (1)-ben, annál inkább áll ez
-ra. Minthogy továbbá , azért bizonyos -től kezdve , s mivel -nél nagyobb tag
csak véges számú van, a fortiori áll ez -ra. És ez -en kívül más számnak nincs meg a szóbanforgó
tulajdonsága. Mert ha , akkor az pozitív számra , tehát -nál
nagyobb tag csak véges számú van a sorozatban, ha pedig , akkor az számra
s így -nál nagyobb tag végtelen sok van.
Az szám e tulajdonságát úgy fejezzük ki, hogy az 64. § (1) sorozat „felső határértéke” vagy „limes superiorja”, képletben
Ha a sorozat felülről nem korlátos, akkor ez azt jelenti, hogy bármely valós számnál végtelen sok nagyobb tag van a sorozatban. Ez esetben azt mondjuk, hogy az 64. § (1) sorozat felső határértéke , képletben
Ha pedig , akkor nyilván bármely valós számnál csak véges számú nagyobb tag van a sorozatban.
Ekkor azt mondjuk, hogy az 64. § (1) sorozat felső határértéke , képletben
Általában valamely végtelen számsorozat „torlódási helyének” nevezzük az olyan számot, amelynek bármely kis környezetében végtelen sok tagja van a sorozatnak. Az felső határérték, amennyiben véges, nyilván torlódási hely a sorozatra nézve.
A szám akkor és csak akkor torlódási helye az
1.188. egyenlet - (2)
sorozatnak, ha ennek van olyan
1.189. egyenlet - (3)
részsorozata, amely -hez tart:
1.190. egyenlet - (4)
A feltétel mindenesetre elegendő, mert ha 64. § (4) fennáll, akkor adatván , bizonyos -től kezdve , tehát 64. § (3)-nak s így 64. § (2)-nek is végtelen sok tagja van a
számközben.
A feltétel szükséges voltát így láthatjuk be. Ha az 64. § (1) sorozatnak torlódási helye, akkor a
számközben van a sorozatnak valamely tagja. A intervallumban okvetlenül van egy -en
túl levő tagja a sorozatnak, mert különben csak véges számú tag esnék ebbe a számközbe. Hasonló okból a számközben van a sorozatnak egy -n túl levő tagja s így tovább. Vagyis (2)-ből kiválasztható oly (3) rész-sorozat, amelyre
E részsorozatra tehát fennáll (4).
E tétel alapján nyilvánvaló, hogy a számsorozat felső határértéke (ha véges) úgy jellemezhető, mint a legnagyobb érték, amelyhez a sorozatnak valamely részsorozata konvergál.
Ha a sorozat felső határértéke , akkor ez nyilván azt jelenti, hogy valamely részsorozata -hez tart.
Amennyiben a felső határérték , bármely részsorozat -hez tart (59. §. ), mert ezt teszi maga az egész sorozat.
Minthogy korlátos számsorozat felső határértéke mindenesetre véges, tehát torlódási hely, a fenti tételnek folyománya, miszerint korlátos sorozatból mindig kiválasztható egy konvergens részsorozat. Ez különben következik már a 48. §-ban bebizonyított segédtételből is, tekintettel arra, hogy korlátos monoton sorozat mindig konvergens 29. §
A számsorozat alsó határértéke vagy limes inferiorja a felső határértéknek análogonja. Nevezetesen az
végtelen számsorozatról azt mondjuk hogy az „alsó határértéke” vagy „limes inferiorja” a céges számérték, képletben
ha bármely pozitív mellett -nál kisebb tag végtelen sok, viszont -nál kisebb tag csak véges számú van a sorozatban. Ez mindig létezik és egyetlen, ha a sorozat alulról korlátos és nem tart -hez. Ha a sorozat alulról nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy az alsó határértéke . Midőn a sorozat -hez tart, az alsó határértéke per definitionem Különben a felső határértékkel kifejezve, nyilván
Ebből következik, miszerint a számsorozat alsó határértéke (ha véges) úgy jellemezhető, mint a legkisebb érték, amelyhez a sorozatnak valamely részsorozata konvergál. Ha az alsó határérték , akkor ez azt jelenti, hogy a sorozat valamely részsorozata -hez tart. Amennyiben az alsó határérték , bármely részsorozat
-hez tart, minthogy ezt teszi maga az egész sorozat.
Nyilvánvaló, hogy a számsorozat alsó határértéke akkor és csak akkor esik össze a felső határértékkel, ha a sorozatnak van véges vagy végtelen határértéke.