29§. . Végtelen tizedestört közelítő törtjeinek sorozatát monoton növekedőnek, a felső közelítő törtek sorozatát pedig monoton fogyónak mondottuk 1. § Általában valamely valós számokból álló
1.69. egyenlet - (1)
végtelen számsorozatot monoton növekedőnek mondunk, ha
1.70. egyenlet - (2)
viszont
1.71. egyenlet - (3)
1.72. egyenlet - (4)
Ha 29. § (2), ill. 29. § (4) alatt minden -re az egyenlőtlenség áll fenn, akkor szigorúan monoton növekedő, ill.
szigorúan monoton fogyó sorozatról beszélünk.
Amennyiben az 29. § (1) monoton növekedő sorozat felülről korlátos, vagyis van olyan szám, amelyre
a sorozatban foglalt számok halmazának van bizonyos felső határa 28. § E szám a sorozat legkisebb felső korlátja lévén, bármely pozitív mellett van olyan tag a sorozatban, amelyre
Mivel a sorozat monoton növekedő, ez a fortiori fennáll az utáni tagokra, tehát
Eszerint az 29. § (1) monoton növekedő sorozat felső határa a következő tulajdonságú: adatván akármilyen kicsiny pozitív szám, az 29. § (1) sorozat tagjai bizonyos tagtól kezdve megközelítik a értéket -nál kisebb hibával. E tulajdonságot úgy fejezzük ki, hogy az 29. § (1) monoton növekedő korlátos sorozat a felső határhoz „tart”, képletben
1.73. egyenlet - (5)
(olv. tart -hoz). Másszóval azt mondjuk, hogy a felső határ a sorozatnak „határértéke” vagy
„limese”, képletben
1.74. egyenlet - (6)
A felső határon kívül más számnak nyilván nincs meg ez a tulajdonsága. Ha a nyomaték kedvéért fel akarjuk tüntetni, hogy a „határátmenet” az indexre vonatkozik, akkor (5), ill. (5*)-ot részletesebben így írjuk:
Ha a 29. § (3) monoton fogyó sorozat alulról korlátos, azaz van olyan szám, amelyre
akkor a sorozat alsó határának (28. §) hasonló tulajdonsága van, csakhogy 29. § (3) tagjai felülről közelítik meg a értéket. Vagyis adatván akármilyen kis pozitív szám, bizonyos tagtól kezdve
Ezt ismét úgy fejezzük ki, hogy a 29. § (3) monoton fogyó korlátos sorozat a alsó határhoz tart, vagy a sorozatnak határértéke (limese), képletben
vagy
Nyilvánvaló, hogy megint az egyetlen szám, amely ezzel a tulajdonsággal bír. A mondottak értelmében valamely pozitív valós szám a végtelen tizedestört alakja közelítő törtjeinek és felső közelítő törtjeinek közös határértéke, lévén ezeknek felső, ill. alsó határa (3., 8. §) Minthogy egy jegyű közelítő tört és a megfelelő felső közelítő tört különbsége , azért a hiba, amivel ezek a határértéküket megközelítik, kisebb -nél. A következő §-okban bemutatunk még néhány példát monoton növekedő, ill. fogyó sorozat határértékére.
30§. . Tekintsük a
1.75. egyenlet - (1)
sorozatot, amelyben az -edik tag
1.76. egyenlet - (2)
Megmutatjuk, hogy ez szigorúan monoton növekedő.
30. § (2)-re tekintettel nyilván
1.77. egyenlet - (3)
Ha már tudjuk, hogy , akkor 30. § (3) alapján egyszersmind . Az első két tagra
közvetlenül látható, hogy , tehát teljes indukcióval valóban minden -re
De az 30. § (1) sorozat felülről korlátos is, mert 30. § (3)-ból
Ezekből folyólag az 30. § (1) sorozat bizonyos határértékhez tart 29. § Ezt könnyen meg is határozhatjuk.
Legyen u. i.
1.78. egyenlet - (4)
Ez azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíti az értéket, ha eléggé nagy. Ennélfogva az
összeg és a szorzat folytonossága alapján 26. § (3) az , az értéket tetszőlegesen
megközelíti, ha -et elég nagyra választjuk. Tehát 30. § (3) következik, miszerint
Ez egyenletből pedig
(Az egyenlet negatív gyöke nem jön tekintetbe, mert a 30. § (4) határérték mindenesetre pozitív, lévén az számok felső határa.) Ezek szerint az 30. § (1) sorozatban
növekedőleg.
31§. . Megmutatjuk most, hogy ha , az
sorozatban
1.79. egyenlet - (1)
növekedőleg, viszont
1.80. egyenlet - (2)
fogyólag.
16. ábra.
Nyilvánvaló, hogy folyvást növekedik, de -nél kisebb marad, viszont folyvást csökken, de -nél nagyobb marad (16. ábra). En-nélfogva (29. §) úgy , mint , létezik. Mivel azonban a sorozat konstrukciójából folyólag
világos, hogy a két határérték ugyanaz a szám:
1.81. egyenlet - (3)
E határértéket most már következőkép határozhatjuk meg. A szerkesztés szerint
s ezeket összeadva
honnan
Ebből (3)-ra tekintettel az összeg folytonossága alapján (26. §) következik, hogy
tehát
amint (1) és (2) alatt állítottuk.
32§. . Legyen és képezzük a következő számpárokat:
Itt az és harmonikus közepe, viszont ezek számtani közepe 16. § (2), 16. § (2). Minthogy a
harmonikus közép kisebb a számtani középnél (17. §), nyilvánvaló, hogy
szigorúan monoton növekedő, viszont
szigorúan monoton fogyó sorozat, az elsőnek bármelyik felső, a másodiknak bármelyik alsó korlátja, továbbá
1.82. egyenlet - (1)
Mivel pedig
tehát és geometriai közepe ao bo, és a geometriai közép kisebb a számtani, viszont nagyobb a harmonikus középnél, azért
1.83. egyenlet - (2)
De (1)-ből folyólag
tehát (2)-ből nyilván következik (29. §), hogy e sorozatok közös határértéke:
33§. . Tegyük fel, hogy az a pozitív egész szám a pozitív egész számmal nem osztható és alkalmazzuk ezékre az euklidesi algoritmust. Az a számot -vel osztva, legyen a hányados , a maradék , -t -lal osztva a hányados , a maradék , -t -gyel osztva legyen a hányados , a maradék s igy tovább. Egyszer be kell következnie a maradék esetének, mert különben
a pozitív egész számoknak szigorúan monoton fogyó végtelen sorozata volna, ami lehetetlen. Ha a maradék
az -edik osztásnál következik be, akkor
Ez egyenletekből
az pozitív racionális tört ú. n. lánctört alakja. Itt egész szám, pozitív egész számok. Ha
valamely negatív racionális törtben foglalt legnagyobb racionális egész szám , tehát a tört , ahol az -nél kisebb pozitív racionális szám, akkor a számot a
lánctört alakban írva, nyerjük az előbbihez hasonló lánctört alakot, ahol azonban most negatív egész szám.
Legyen most valamely irracionális szám. Jelöljük az -ben foglalt legnagyobb racionális egész számot -lal, az pozitív irracionális szám reciprok értékében foglalt legnagyobb pozitív egész számot -gyel, az pozitív irracionális szám reciprokjábán foglalt legnagyobb pozitív egész számot -vel s így tovább. Eszerint
Ez vég nélkül folytatódik, mert mindig -nél kisebb pozitív irracionális szám. Megmutatjuk, hogy a
1.84. egyenlet - (5)
racionális számok sorozatában
1.85. egyenlet - (6)
növekedőleg, viszont
1.86. egyenlet - (7)
fogyólag.
Először is világos, hogy az 33. § (1) alatti számok váltakozva nagyobbak és kisebbek -nél:
1.87. egyenlet - (8)
Ezek kiszámítása rekurzíve történhet. Legyen u. i.
1.88. egyenlet - (9)
ahol és relatív törzsszámok és . Kimutatjuk, hogy az 33. § (5) alatti számlálóra és
nevezőre
1.89. egyenlet - (10)
ha még
1.90. egyenlet - (11)
33. § (6) és 33. § (7) mindenesetre definiálnak bizonyos és egész számokat s nyilván
. Meg kell mutatnunk, hogy ezekre 33. § (5) érvényes s és relatív törzsszámok.
Alkossuk a
kifejezéseket. 33. § (7)-re tekintettel
helyébe -et téve, 33. § (6) alapján
Itt helyébe -et téve, hasonlóan
s így tovább. Látjuk, hogy
1.91. egyenlet - (12)
Ebben téve, 33. § (6) alapján 33. § (1)-re tekintettel éppen 33. § (5)-öt nyerjük. Ki kell még mutatnunk,
hogy és relatív törzsszámok. 33. § (6)-ból
s minthogy 33. § (7)-re tekintettel
teljes indukcióval adódik
1.92. egyenlet - (13)
Ebből pedig következik, hogy és bármely közös osztója a számnak is osztója, vagyis és relatív törzsszámok. Ezek szerint az 33. § (1) alatti számok sorozata
ahol a számlálók és a nevezők a 33. § (6) és 33. § (7) alatt definiált számok.
Minthogy 33. § (9)-ből folyólag
s 33. § (6) és 33. § (7) alapján folyvást növekedő pozitív egész számok, látható, hogy e különbség váltakozva negatív és pozitív, abszolút értéke fogyólag -hoz tart. Ebből 33. § (4)-re tekintettel nyilván következik a 33. § (2) és 33. § (3) alatti állítás.
E tételt úgy fejezzük ki, hogy az irracionális szám végtelen lánctört alakban vagy végtelen lánctörtbe fejtve
1.93. egyenlet - (14)
Az 33. § (1) alatti racionális törtek e végtelen lánctört ú. n. közelítő törtjei.Fordítva, minden ilyen végtelen lánctört, amelyben racionális egész szám és pozitív egész számok, bizonyos irracionális szám lánctört alakja. U. i. a fentebbiek szerint az 33. § (1) alatti közelítő törtek sorozatában váltakozva negatív és pozitív, abszolút értéke fogyólag -hoz tart s ebből következik (29. §), hogy a közelítő törtek sorozatának a közelítő törtek sorozatával közös határértéke van (17. ábra). Ez szám irracionális, mert az -ben foglalt legnagyobb egész szám, a többlet reciprok-értékében foglalt legnagyobb egész szám s ez vég nélkül folytatódik, racionális szám esetén pedig e sorozat véget érne. Ebből azt is látjuk, hogy a
közelítő törtek határértéke egyértelműen meghatározza a számokat, tehát minden
irracionális számnak csak egy 33. § (10) alatti lánctört alakja van. Megmutatjuk most, hogy a 33. § (10) alatti lánctört közelítő törtjei mindinkább közelednek -hez.
17. ábra.
Ugyanis a számok jelentése szerint
tehát 33. § (8) alkalmazásával
s ennélfogva 33. § (9) alapján
következőleg
1.94. egyenlet - (15)
Megmutatjuk, hogy itt a nevező az -nel folyvást növekedik. T. i. az -ben foglalt legnagyobb egész szám lévén, fennáll
amiből folytán
vagy 33. § (6)-ra tekintettel
De folytán
tehát az előbbi mellett még inkább áll
Ebből látható, hogy folyvást növekedik. Minthogy nyilván maga is növekedik (
esetén ), azért a kettő szorzata, vagyis a 33. § (11) jobboldalán álló nevező, szintén növekedik.
Azonban 33. § (5) értelmében a közelítő tört, tehát ezzel kimutattuk, hogy az
növekedésével folyvást csökken, ami állításunkat igazolja. Kimutatjuk még, hogy a 33. § (10) alatti lánctört közelítő törtje az irracionális számnak legjobb közelítését nyajtja, amely -nél nem nagyobb nevezőjű törttel egyáltalában lehetséges. Vagyis, ha valamely racionális tört közelebb van
-hez, mint , akkor .
Ugyanis az előbbiekből folyólag mindenesetre az és közelítő törtek közé esik, ha
tehát p1. páratlan, akkor
Ebből következik, hogy
vagyis 33. § (9)-re tekintettel (mivel most páratlan)
1.95. egyenlet - (16)
tehát
1.96. egyenlet - (17)
Minthogy azonban , , , és egész számok, azért szintén egész szám. De
33. § (12) alapján pozitívnak is kell lennie, lévén és pozitív. Tehát
s így 33. § (13)-ból
amint állítottuk.
34§. . Irracionális szám lánctörtbe fejtésére két példát mutatunk be.
Először is fejtsük lánctörtbe a irracionális számot (9. §) Minthogy , azért
1.97. egyenlet - (1)
tehát most (33. §)
Ennélfogva 33. § (1)-ből
tehát
következőleg
s így tovább. Látjuk, jelen esetben
vagyis végtelen lánctört alakban
1.98. egyenlet - (2)
Ez eredményt geometriailag úgy interpretálhatjuk, hogy valamely derékszögű egyenlőszárú háromszög
befogója az átfogóban foglaltatik egyszer, a maradék -ben kétszer, a
maradék -ben kétszer, s így tovább, amint a 18. ábráról látható is. A 33. § (2) lánctört végtelen voltából is következik (33. §), hogy irracionális szám ((9. §), a derékszögű egyenlöszárú háromszög átfogója és befogója összemérhetetlenek (incommensurabilisek).
18. ábra.
A 33. § (2) alatti kifejtés alapján közelítő értékét könnyen meg is határozhatjuk. A közelítő törtek 33. § (5), 33. § (6), 33. § (7)
s minthogy 33. § (9)
azért felülről, pedig alulról tízezred pontossággal megközelíti a számot. Mivel
ezek szerint négy tizedesig pontosan
34. § (2)-höz hasonlóan adódik, hogy általában bármely pozitív egész -re
Második példakép fejtsük lánctörtbe az egységnyi sugarú körbe írt szabályos tízszög oldalának mérőszámát. Minthogy
azért
1.99. egyenlet - (3)
tehát ez esetben
Ennélfogva 34. § (3)-ból
tehát
következőleg
s így tovább. Látjuk, most
azaz
1.100. egyenlet - (4)
19. ábra.
Ez eredmény geometriailag azt jelenti (19. ábra), hogy a kör sugara a beírt szabályos tízszög oldalában
-szor foglaltatik (nagyobb nála), a maradék, vagyis maga az -ben egyszer foglaltatik,
hasonlókép a maradék az -ben egyszer s így tovább. A 34. § (4) lánctört végtelen volta is mutatja, hogy irracionális szám (9. §), a szabályos tízszög oldala a kör sugarával incommensurabilis.
A 34. § (4) lánctört közelítő törtjei
s minthogy 33. § (9)
azért felülről, alulról század pontossággal megközelíti értékét. Mivel
ezek értelmében két tizedesig pontosan
35§. . Tegyük fel most, hogy az
1.101. egyenlet - (1)
monoton növekedő sorozat felülről nem korlátos, vagyis nincs felső korlátja. Ez azt jelenti, hogy akármilyen nagy pozitív számhoz található olyan tag a sorozatban, amelyre
Mivel a sorozat monoton növekedő, ez annál inkább áll az utáni tagokra, tehát -től kezdve
Látjuk, ha valamely monoton növekedő 35. § (1) sorozat felülről nem korlátos, akkor adatván akármilyen nagy pozitív szám, bizonyos tagtól kezdve valamennyi tag nagyobb -nél. Ezt úgy fejezzük ki, hogy a monoton növekedő felülről nem korlátos 35. § (1) sorozat „plusz végtelenhez tart” vagy „a határértéke (limese) plusz végtelen”, képletben
Ha a
1.102. egyenlet - (2)
monoton fogyó sorozat alulról nem korlátos, azaz nincs alsó korlátja, akkor adatván akármilyen nagy pozitív szám, bizonyos tagtól kezdve
Ezt úgy fejezzük ki, hogy ekkor a 35. § (2) sorozat „mínusz végtelenhez tart” vagy „a határértéke minusz végtelen”, képletben
Ez nyilván aequivalens azzal, hogy a
monoton növekedő sorozat -hez tart:
36§. . Nevezetes elemi tény, hogy az
1.103. egyenlet - (1)
monoton növekedő sorozat felülről nem korlátos, vagyis (35. §)
1.104. egyenlet - (2)
Ez első pillanatra annál meglepőbb, mert a növekmény, amit az -edik tag az előtte állóval szemben mutat, azaz , folyvást kisebbedik és -hoz tart. A bebizonyítást8 arra az egyszerűészrevételre alapítjuk, hogy
1.105. egyenlet - (3)
8 V. ö. A. L. Cauchy i. m. (29. old.), t. III, p. 117.
Ez valóban igaz, mert a baloldali összegnek számú tagja van, amelyek közül a legkisebb , tehát az összeg
nagyobb, mint .
(3) alkalmazásával mármost mellett a (2) alatti összeg
1.106. egyenlet - (4)
minthogy az egyes zárójelekben állóösszegek mind nagyobbak -nél. Ha pedig akármilyen nagy pozitív szám, nyilván
ha eléggé nagyra van választva, tehát ekkor 36. § (4) alapján még inkább
Ezzel 36. § (2)-t bebizonyítottuk.
E tételt így is szokás kifejezni: az
harmonikus sor „divergens”.
36. § (2)-ből következik, hogy egyszersmind
1.107. egyenlet - (5)
Ugyanis ez összeg tagjai rendre nagyobbak az számoknál s így
1.108. egyenlet - (6)
E becslés alapján 36. § (2)-ből valóban folyik 36. § (5).
36. § (5) szerint az
sor is divergens.
37§. . Az előbbi § (1) sorozatának további fontos tulajdonsága, hogy ha a tagjait rendre elosztjuk az számokkal, a nyert sorozat már szigorúan monoton fogyó és -hoz tart. Vagyis fennáll a következő tétel: az
1.109. egyenlet - (1)
sorozat szigorúan monoton fogyó, és zérushoz tart:
Bizonyítás. Legyen
1.110. egyenlet - (2)
Akkor
s mivel
innen
Eszerint 37. § (1) valóban szigorúan monoton fogyó sorozat. Mivel pedig -nek megfelelőleg nyilván
tehát
azért adatván akármilyen kis pozitív szám, mellett
Az 37. § (1) alatti monoton fogyó sorozatnak tehát nincs pozitív alsó korlátja s így alsó határa , vagyis fennáll 37. § (2).
38§. . A 36. § (5) alatti tételének alkalmazásával megmutatjuk még, hogy az
szigorúan monoton fogyó sorozatban
1.111. egyenlet - (1)
Ez aequivalens azzal, hogy
1.112. egyenlet - (1*)
Az állítást utóbbi alakjában következőkép láthatjuk be. Nyilván
1.113. egyenlet - (2)
De általában, ha pozitív számok, akkor
mert a baloldalon a szorzást elvégezve, a nyert összeg tartalmazza a jobboldalon álló tagokat s ezeken kívül még csupa pozitív tagot. Ezt alkalmazva, 38. § (2)-ből
Ebből pedig a 36. § (5) tétele alapján nyilván folyik 38. § (1*).
39§. . Megmutatjuk most, hogy
1.114. egyenlet - (1)
szigorúan monoton fogyólag.
A monotonitásra vonatkozó állítás speciális esete a következő tételnek:
Legyenek pozitív számok, és tegyük fel, hogy az
sorozat szigorúan monoton fogyó. Akkor az
sorozat is szigorúan monoton fogyó.
E tételt így láthatjuk be. A feltevés alapján
Ez egyenlőtlenségeket összeadva
Mindkét oldalhoz hozzáadva az
szorzatot
honnan
Ha speciálisan
akkor az
sorozat nyilván szigorúan monoton fogyó, tehát a fenti tétel értelmében az 39. § (1) alatti sorozat is ilyen.
Legyen mármost
Akkor
1.115. egyenlet - (2)
De
tehát 39. § (2)-ből
1.116. egyenlet - (3)
Mivel pedig nyilván
39. § (3)-ból
1.117. egyenlet - (4)
Eszerint az 39. § (1) alatti sorozatnak alsó korlátja. De egyszersmind a legnagyobb alsó korlát, mert bármily kis pozitív szám is , eléggé nagy -re 36. § (2)
s ekkor 39. § (4) alapján
Tehát a sorozatnak alsó határa, vagyis fennáll 39. § (1).
40§. . Legyen pozitív szám és tekintsük az
1.118. egyenlet - (1)
számsorozatot. Ebben minden tag pozitív és a megelőzőnek q-szorosa. Tehát esetén e sorozat szigorúan monoton növekedő, esetén viszont szigorúan monoton fogyó. Képezzük most az 40. § (1) sorozat két-két egymásra következő tagja közti differenciákat:
1.119. egyenlet - (2)
E sorozat 40. § (1)-ből úgy keletkezik, hogy a tagokat rendre megszorozzuk -gyel. Ebben tehát szintén minden tag a megelőzőnek -szorosa. Ha tehát vagyis , 40. § (2) tagjai is pozitívok és
folyvást növekednek, ha pedig , mikor is , a tagok mind negatívok és abszolút értékük
folyvást csökken s így maguk a tagok ismét növekednek. Szóval 40. § (2) szigorúan monoton növekedő sorozat (20. ábra).
20. ábra. a.
20. ábra. b.
A mondottakból következik, hogy ha pozitív szám, akkor
1.120. egyenlet - (3)
Ugyanis vagyis az 40. § (1) sorozat első és -edik tagja közti különbség nyilván egyenlő a 40. §
(2) alatti első differencia összegével, azaz
1.121. egyenlet - (4)
S mivel itt a jobboldalon álló tagúösszeg legkisebb tagja a fentebbiek szerint , innen folyik 40. § (3).
A helyébe -t téve, a 40. § (3) tételt így is kifejezhetjük: ha és , akkor
1.122. egyenlet - (3*)
A 40. § (3), ill. 40. § (3*) alatti egyenlőtlenséget Bernoulli-féle egyenlőtlenségnek fogjuk nevezni.9 A 40. § (4)
képlet nyilván mindig érvényes, bármilyen szám is a . Ha , akkor -gyel végigosztva adódik
1.123. egyenlet - (5)
ami a véges geometriai sor ismert összegképlete.
41§. . A Bernoulli-féle egyenlőtlenségnek folyománya a következő fontos elemi tétel: Ha , akkor az
szigorúan monoton növekedő sorozatban
1.124. egyenlet - (1)
Ugyanis a Bernoulli-féle egyenlőtlenség szerint 33. § (3)
1.125. egyenlet - (2)
s mivel , a pozitív szám megadása után
ha eléggé nagy, t. i. ha már
De ekkor 41. § (2) alapján még inkább
(21 a. ábra), amivel (1)-et bebizonyítottuk. Első pillanatra meglepő, hogy a tétel igaz, bármily kevéssel legyen is nagyobb az -nél.
9V. ö. Jakob Bernoulli: Über unendliche Reihen (1685–1704), Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 171, p. 5, IV.
21. ábra. a.
21. ábra. b.
E tételből folyik a következő: ha , akkor az
szigorúan monoton fogyó sorozatban
1.126. egyenlet - (3)
Ugyanis a feltevés szerint , tehát az előbbi tétel értelmében az pozitív szám megadása után
ha eléggé nagy, innen pedig
(21 b. ábra).
Ugyancsak a Bernoulli-féle egyenlőtlenségnek folyománya, hogy ha pozitív szám, akkor
1.127. egyenlet - (4)
fogyólag, vagy növekedőleg aszerint, amint vagy . Tegyük fel u. i. először, hogy . Akkor
1.128. egyenlet - (5)
és itt folyvást csökken, mert miután következtében az -edik hatványokra
. Alkalmazva a Bernoulli-féle egyenlőtlenséget, innen
tehát
Ebből folyólag nyilván , amivel 41. § (5)-re tekintettel 41. § (4) be van bizonyítva az esetre.
Legyen most . Akkor , tehát az előbbiek szerint
fogyólag, tehát (27. §) növekedőleg.