2. 1 A pozitív valós számok, mint végtelen tizedestörtek.
1§. . Legyen a pozitív egész szám, vagy a 0 jegy, továbbá
legyenek a jegyek közül valók, kikötve, hogy ne legyen bizonyos indextől kezdve mindegyik jegy . Akkor az
1.1. egyenlet - (1)
alakzatot végtelen tizedestörtnek nevezzük. Az
1.2. egyenlet - (2)
véges tizedestörtek (attól kezdve, amely már nem áll csupa 0-ból) e végtelen tizedestörtú. n. közelítő törtjei, míg
1.3. egyenlet - (3)
a felső közelítő törtjei. (Ha csupa 0-ból áll, akkor az számot jelenti.) A (2)
sorozat monoton növekedő, vagyis
1Elvontabb és talán kevésbbé természetes a valós számoknak akár a Dedekind-, akár a Cantor–Méray-féle klasszikus elmélete. V. ö. R.
Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1892 (5. kiad. 1929), továbbá G. Cantor: Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5 (1872)„p. 123-126 és ugyanattól: Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, u. o. 21 (1883), p. 564-569, végül Ch. Méray Nouveau précis d’Analyse infinitésimale, Paris 1872. Első kiadásunkban még a Cantor–Méray-féle elméletet dolgoztuk ki.
a (3) sorozat viszont monoton fogyó, azaz
Továbbá (2) tagjai mind kisebbek a (3) bármelyik tagjánál:
Bármely pozitív racionális számhoz található egy és csak egy olyan 1. § (1) alatti végtelen tizedestört, amelynek közelítő törtjeire
1.4. egyenlet - (4)
Nevezetesen a 1. § (2) alatti közelítő törtek egymás után meghatározhatók 1. § (4)-nek megfelelőleg: a az a legnagyobb pozitív egész szám, amely még kisebb -nál (ha , akkora helyébe 0 teendő), a
legnagyobb az , ,…, számok közül, amely még kisebb -nál (ha , akkor helyébe 0
teendő), a legnagyobb az , , …, számok közül, amely még kisebb -nál (ha
, akkor helyébe 0 teendő) s így tovább. Itt nem lehet bizonyos indextől kezdve mindegyik jegy 0, mert ha mondjuk
volna, akkor 1. § (4)-ből folyólag a pozitív racionális szám (ha
, akkor maga ) kisebb maradna az számok
mindegyikénél, ami lehetetlen.
1. § (4)-et úgy fejezzük ki, hogy az 1. § (1) végtelen tizedestört a számot ábrázolja, annak végtelen tizedestört alakja, vagy végtelen tizedestört kifejtése, képletben
Más számot természetesen más végtelen tizedestört ábrázol, mert különben 1. § (4) alapján a két szám
különbsége kisebb maradna az számok mindegyikénél, ami lehetetlen.
E végtelen tizedestört előállítására egyszerű osztási eljárás szolgál. Adva lévén a szám, legyen az a legnagyobb egész szám, amely még kisebb -nál, vagyis amelyre
( -ben a megvan -szor és marad ), azután a legnagyobb egész szám, mely még kisebb -nál,
azaz amelyre
( -ban a megvan -szer és marad ), majd a legnagyobb egész szám, amely még kisebb -nál,
vagyis amelyre
s így tovább. Valahányszor a szóbanforgó pozitív egész szám nem létezik, helyette a 0 jegy veendő. Az -edik,
majd az -edik ilyen osztás eredménye
Az utóbbi ilyen egyenlőséget rendre az számokkal szorozva és az elsőhöz
hozzáadva, nyerjük
Mivel itt , eszerint fennállanak a 1. § (4) alatti egyenlőtlenségek. Tehát ez az osztási eljárás éppen a keresett 1. § (1) alatti végtelen tizedestört egész részét és tizedesjegyeit szolgáltatja. Minthogy az , maradékok mindegyike az számok közül való, legföljebb lépés után újra egy előbbi maradék áll elő. Ebből világos, hogy az 1. § (1) végtelen tizedestörtben a jegyek bizonyos helytől kezdve szakaszonként ismétlődnek, a pozitív racionális számot szakaszos végtelen tizedestört ábrázolja:
Ha a szakasz közvetlenül a tizedespont után kezdődik, azaz , nem is szerepel, akkor
tiszta, különben vegyes szakaszos tizedestörtről beszélünk.
Fordítva, minden szakaszos végtelen tizedestört ábrázol valamely pozitív racionális számot. Ezt következőkép láthatjuk be.
Legyen a kérdéses szakaszos tizedestört
1.5. egyenlet - (5)
Ennek valamely -edik közelítő törtje az
1.6. egyenlet - (6)
jelölés mellett
vagyis
1.7. egyenlet - (7)
Minthogy az jegyű 99…9 szám és a jegyek legfeljebb 9-el egyenlők, azért
tehát 1. § (7)-ből folyólag
Ebből már nyilván következik, hoy általában az
pozitív racionális szám az 1. § (5) alatti végtelen tizedestört közelítő törtjeinél nagyobb, annak felső közelítő törtjeinél viszont nem nagyobb. Ezt megállapodásunk szerint éppen úgy fejezzük ki, hogy az 1. § (5) végtelen tizedestört ezt a pozitív racionális, számot ábrázolja, képletben (az és 1. § (6) alatti értékét be- helyettesítve)
Tiszta szakaszos tizedestört esetén (midőn nem szerepelnek) ugyanígy adódik az
képlet.
Ezek alapján a szakaszos végtelen tizedestörteket a pozitív racionális számok sajátságos más jelének tekinthetjük.
A nem szakaszos végtelen tizedestörteket új számok, az ú. n. pozitív irracionális számok jelének tekintjük, mégpedig különböző ilyen tizedestörteket különböző számok jelének. Ezek a pozitív racionális számokkal együtt a pozitív valós számok.
E tágabb számkörre a nagyobb, ill. kisebb, valamint az összeg és a szorzat fogalmát még meg kell állapítanunk, mert csak így válnak ennek elemei, vagyis a végtelen tizedestörtek, valóban számokká.
Természetesen a definíciónak mind a három fogalom esetében olyannak kell majd lennie, hogy racionális számokra, azaz szakaszos végtelen tizedestörtekre alkalmazva, a régivel aequivalens legyen.
2§. . A nagyobb, ill. kisebb fogalmát a pozitív valós számok körében következőkép definiáljuk: az
számokról azt mondjuk, hogy kisebb, mint , vagy nagyobb, mint , képletben
ha vagy már , vagy pedig
(A jegy minden más jegynél és minden pozitív egész számnál kisebbnek számít.) E definíció pozitív racionális számokra azaz szakaszos végtelen tizedestörtekre alkalmazva, a régivel nyilván aequivalens. A definíció alapján rendre bebizonyítjuk az alábbi tételeket.
tétel. Bármely pozitív valós számra
1.8. egyenlet - (1)
Azaz minden pozitív valós szám nagyobb a közelítő törtjeinél, de nem nagyobb a felső közelítő törtjeinél.
Minthogy u. i. az közelítő tört végtelen tizedestört alakját úgy kapjuk, hogy az utolsó -tól
különböző jegyet (ha , akkor az a-t) eggyel kisebbítjük és utána 9-eket írunk,
evidens az 2. § (1) alatti baloldali egyenlőtlenség. Mivel pedig
1.9. egyenlet - (2)
nyilvánvaló a jobboldali egyenlőtlenség is, lévén bármelyik jegy legfeljebb . tétel. Ha
akkor bizonyos indexre
1.10. egyenlet - (3)
és bizonyos indexre
1.11. egyenlet - (4)
Szóval a kisebb szám a nagyobbnak még egy közelítő törtjénél is kisebb, a nagyobb pedig a kisebbnek még egy feláő közelítő törtjénél is nagyobb.
Ugyanis az
esetben a indexet válasszuk úgy, hogy legyen. Ekkor fennáll 2. § (3), mert
végtelen tizedestört alakjában és változatlanul megmarad, t. i. csak helyébe kerül eggyel kisebb jegy, utána pedig minden helyre . S tekintettel 2. § (2)-re, fennáll 2. § (4) is. Az esetben pedig a
indexet úgy választva, hogy , hasonló okból érvényes 2. § (3), s mivel
azért
tétel. Ha az , , pozitív valós számokra és , akkor . Bizonyítás. Legyen végtelen tizedestört alakban
Ha úgy teljesül, hogy már , akkor, mivel folytán , egyszersmind , tehát
.
Tegyük fel most, hogy és megegyeznek az index előtt, de már . Ha úgy teljesül,
hogy , akkor folytán , tehát . Tegyük fel azonban, hogy és megegyeznek a
index előtt, de már . Ha , akkor és is megegyeznek a index előtt, de mivel
, azért , tehát . Ha pedig , akkor és megegyez- nek az index
előtt, de mivel , azért , s így ismét . Qu. e. d.
A tételnek folyomána a következő tétel. Ha
akkor van olyan és index, hogy
Vagyis a kisebb számnak van olyan felső közelítő törtje, amely kisebb a nagyobbnak még egy közelítő törtjénél is.
tétel. Ha az és pozitív valós számokra
1.12. egyenlet - (5)
akkor
Tehát az egyetlen pozitív valós szám, amely az 2. § (1) egyenlőtlenségeknek megfelel.
Ugyanis egy az számnál nagyobb vagy kisebb pozitív valós szám a tétel alapján nem
tesz eleget az 2. § (5) egyenlőtlenségek mindegyikének.
Megjegyzendő még, hogy bármely pozitív valós számhoz található nála nagyobb pozitív egész szám. Ugyanis a fenti definíció értelmében
valahányszor .
3§. . A számok bizonyos összeségét általában számhalmaznak nevezzük. Ez állhat véges számú, vagy végtelen sok számból. A benne foglalt számok a halmaz elemei. A halmazt felülről korlátosnak mondjuk, ha van olyan K
szám, hogy a halmaz bármely elemére ; minden ilyen a halmaznak ú. n. felső korlátja.
Tárgyalásunkban alapvető szerepet játszik a következő tétel:
A pozitív valós számok bármely felülről korlátos halmazának felső korlátai között van egy legkisebb. E legkisebb felső korlátot a halmaz felső határának nevezzük.
Ha a halmaz számai között van egy legnagyobb, akkor ez nyilván egyszersmind a felső határ. Amikor legnagyobb szám nincs a halmazban, akkor a felső határ mintegy ennek a pótlására szolgál, de evidenter nem tartozik a halmazhoz.
Például valamely pozitív szám a közelítő törtjei halmazának a felső határa. Először is felső korlát, mert a közelítő törtek mind kisebbek nála (2. § ). De egyszersmind a legkisebb felső korlát, mert ha
akkor bizonyos indexre (2. § )
vagyis már nem felső korlát. Eszerint a közelítő törtjeinek a legkisebb
felső korlátja, azaz a felső határa. A kimondott tételt általánosságban következőkép bizonyítjuk be. Legyen a legkisebb pozitív egész szám, amely még felső korlátja a halmaznak, végtelen tizedestört alakjában
azután a legkisebb nevezőjű pozitív racionális szám (egyjegyű tizedestört), amely még felső korlát, végtelen tizedestört alakban
a legkisebb nevezőjű pozitív racionális szám (kétjegyű tizedestört), amely még felső korlát
s így tovább, általában a legkisebb nevezőjű pozitív racionális szám ( jegyű tizedestört), amely még felső korlát
Vagyis e rendre nevezőjű pozitív racionáliá számokat egymás után úgy határozzuk meg,
hogy felső korlát, de (ha és nem mind ) nem felső
korlát ( ). Nem lehet és mindene jegy , vagyis az számok mindegyike felső
korlát, mert ha a halmaznak valamely száma és ebben , akkor eléggé nagy -re
s még inkább (2. § , )
Nem lehet továbbá csak bizonyos jegytől kezdve minden jegy . Ekkor u. i. volna a halmaznak oly eleme, hogy
s ha ennek oly közelítő törtje, amely nagyobb -nél (2. § ),
egyszersmind (2. § , )
állana. Ez egyenlőtlenségekből azonban folynék, hogy a
pozitív racionális szám az számok mindegyikénél kisebb, ami absurdum. Tehát
bizonyos meghatározott pozitív valós szám (1. §); megmutatjuk, hogy ez a halmaz felső határa.
Először is felső korlát. Ha u. i. a halmaz valamely eleme ennél nagyobb volna, akkor az ennek még egy felső közelítő törtjénél is nagyobb volna (2. § ), ami ellenkezik azzal, hogy a konstrukció szerint minden ilyen felső közelítő tört felső korlát. És egyszersmind a legkisebb felső korlátja a halmaznak. Mert bármely ennél kisebb szám ennek egy közelítő törtjénél is kisebb (2. § ), ami a konstrukció szerint már nem lévén felső korlát, ez a kisebb szám még kevésbbé az (2. § ). Eszerint
valóban a halmaz felső határa.
E tétel a pozitív racionális számok körében általánosságban még nem érvényes. Nevezetesen valamely nem-szakaszos végtelen tizedestört közelítő törtjeinek a pozitív racionális számok körében nincs felső határuk. Ezt a pozitív racionális számok körén belül következőkép láthatjuk be.
Legyen nem-szakaszos végtelen tizedestört s a közelítő törtjeinek valamely racionális felső
korlátja szakaszos végtelen tizedestört alakjában (1. §) . Minthogy e két végtelen tizedestör
különböző, azért vagy már , vagy pedig bizonyos indexre
. Első esetben , mert különben mellett valamely
jegyig haladva
így még inkább (2. § )
volna a feltevéssel ellentétben. A második esetben , mert különben mellett az jegyen túl
valamely jegyig haladva
tehát még inkább (2. § , )
állana, ismét ellentétben a feltevéssel. Mármost az első esetben evidenter
a második esetben pedig
tehát még inkább (1. §)
Vagyis a racionális felső korlátnál kisebb , ill. pozitív racionális szám is felső korlátja az közelítő törtjeinek. Tehát a közelítő törtek racionális felső korlátai között nincs legkisebb, ezeknek nincs racionális felső határuk.
4§. . Definiáljuk most az összeg és a szorzat fogalmát a pozitív valós számok körében. Legyen két pozitív valós szám
1.13. egyenlet - (1)
amelyeknek közelítő törtjei
1.14. egyenlet - (2)
illetve
1.15. egyenlet - (3)
Akkor az összeg alatt az számok felső határát, az szorzat alatt pedig az számok
felső határát értjük. Mivel az valamint a közelítő törteknek van racionális felső korlátjuk (az , ill.
végtelen tizedestörtnek bármely felső közelítő törtje (1. §)), azért az és számok is felülről
korlátosak, tehát felső határuk létezik 3. § Minthogy , esetén és
, azért egyben az , az számok felső határa.
E definíció jogosult, mert amint most megmutatjuk, racionális számokra alkalmazva a régi értelemben vett összeget, ill. szorzatot adja.
Tegyük fel tehát, hogy és pozitív racionális számok. Ki kell mutatnunk, miszerint a régi
értelemben vett és az ill. számok felső határa. Minthogy
azért
vagyis az , az számoknak felső korlátja. Adassék valamely pozitív racionális
szám, amely kisebb a , és számoknál. Minthogy az , a közelítő törtek felső határa (3.
§), bizonyos és indexre
tehát
Továbbá bizonyos indexre
s mivel
folytán
bizonyos indexre
tehát
Eszerint az , ill. felső korlát a legkisebb az ill. számok racionális felső korlátai között. Ebből azonban már következik, hogy ezeknél kisebb irracionális felső korlátja sincsen e
számhalmazoknak. Mert ha pl. volna az -nál kisebb irracionális felső korlátja az számoknak,
akkor annak egy az -nál szintén kisebb felső közelítő törtje (2. § ) ezeknek ugyancsak felső korlátja volna, ami pedig racionális lévén, az előbbiek szerint az -nál nem lehet kisebb. Hasonlóan következik, hogy az számoknak sincs -nál kisebb irracionális felső korlátjuk. Ezzel a fenti definíció jogosultságát igazoltuk.
Ha az 4. § (1) alatti számok összege végtelen tizedestört alakjában
1.16. egyenlet - (4)
akkor a definícióból folyólag a 4. § (2), ill. 4. § (3) alatti közelítő törtekre rögzített mellett
hacsak és eléggé nagy. Ekkor tehát (1. §) az összeg végtelen tizedestört alakja az -edik decimális jegyig megegyezik az összeg 4. § (4) alatt felírt kifejezésével. Hasonlókép, ha végtelen tizedestörtbe fejtve
rögzített mellett kifejtése ezzel az -edik jegyig egyezik, ha és eléggé nagy.
Megmutatjuk még, hogy az mint szorzó az általánosabb számkörben is hatástalan, vagyis mindig
Minthogy végtelen tizedestört alakjában
azt kell megmutatnunk, miszerint az számok felső határa . Ezek kisebbek -nál, mert
Tehát e számoknak felső korlátja. Kisebb felső korlátjuk azonban nincsen. Mert amennyiben , az -nak van olyan közelítő törtje, amely nagyobb az -nek egy a felső közelítő törtjénél (2. § ), tehát ha
is felső korlát volna, akkor
következőleg
állana. De másrészt
tehát így
maradna bármely és -re, ami lehetetlen.
5§. . Megmutatjuk, hogy az egyenlőtlenségre vonatkozólag érvényesek a következő műveleti szabályok:
Ha , akkor
1.17. egyenlet - (1)
és
1.18. egyenlet - (2)
bármely pozitív számra.
Legyenek az , , számok végtelen tizedestört alakjának jegyű közelítő törtjei rendre
s a megfelelő felső közelítő törtek
Minthogy a feltevés szerint , azért bizonyos és indexre (2. § )
1.19. egyenlet - (3)
De a index oly nagyra választható, hogy
tehát
1.20. egyenlet - (4)
Minthogy azonban az , az számok felső határa (4. §), és az számoknak mindenesetre felső korlátja (1. §), a felső határ fogalmából folyólag (3. §)
Ennélfogva (4) mellett annál inkább fennáll az (1) egyenlőtlenség (2. § ).
A 5. § (2) egyenlőtlenség bebizonyítására válasszuk az és indexeket ismét 5. § (3)-nak megfelelően. A indexet pedig válasszuk rögzített mellett oly nagyra, hogy és
legyen. Ebből, minthogy , folyik
1.21. egyenlet - (5)
Ennek alapján az előbbihez hasonló okoskodással adódik 5. § (2):
6§. . Az összeadás, ill. a szorzás kommutatív törvénye, hogy t. i.
1.22. egyenlet - (1)
evidens a definícióból (4. §), lévén ez a pozitív racionális számok körébenérvényes. Az asszociatív törvényt, amely szerint
1.23. egyenlet - (2)
illetve
1.24. egyenlet - (3)
valamint a szorzás disztributív törvényét, amelynek értelmében
1.25. egyenlet - (4)
a következő segédtétel alapján fogjuk bebizonyítani:
Ha bizonyos pozitív valós számok felső határa , bizonyos pozitív valós számoké pedig , akkor az , ill. számok felső határa , ill. .
Először is , ill. felső korlátja az , ill. számoknak. Ugyanis az -ek, az -ok
felső határa lévén, mindenesetre
Alkalmazva az 5. § tételét és az 6. § (1) kommutatív törvényt, ezekből
illetve
tehát (2. § )
Továbbá , ill. egyszersmind a legkisebb felső korlát. Ennek belátására legyenek végtelen tizedestört alakjának közelítő törtjei
az végtelen tizedestört alakjának közelítő törtjei pedig
Ha mármost
van olyan és , ill. és index, hogy
1.26. egyenlet - (5)
lévén a , a számok felső határa 4. § De az -ek, az -ok felső határa lévén,
és folytán van olyan és , hogy
1.27. egyenlet - (6)
valamint és folytán van oly és , hogy
1.28. egyenlet - (7)
(6), ill. (7)-ből az (5. §) tétele és az (1) kommutatív törvény alkalmazásával következik (2. § ), hogy
tehát 6. § (5) mellett még inkább
Látjuk, már nem felső korlátja az , nem felső korlátja az számoknak. Tehát , ill.
valóban a legkisebb felső korlát, azaz a felső határ Ezzel a segédtételt bebizonyítottuk.
Áttérve a 6. § (2), 6. § (3) és 6. § (4) törvények bebizonyítására, legyenek az , , számok végtelen
tizedestört alakjának -jegyű közelítő törtjei rendre . A pozitív racionális
számok körében érvényes az asszociatív törvény, tehát bármely , , indexre
valamint
Mivel az összeg és a szorzat definíciója szerint (4. §) az , az felső határa, továbbá a felső határa (3. §), a segédtétel értelmében e képletekben a baloldalon álló kifejezések rendre
az , felső határral bírnak. Minthogy pedig ugyancsak a definíció szerint a
, a felső határa, továbbá az felső határa, ismét a segédtétel értelmében a jobboldali
kifejezések felső határa viszont , ill. . E képletekből tehát rendre következik 6. § (2), 6.
§ (3). Minthogy még az felső határa, a segédtétel szerint az felső
határa. Ez nyilván az felső határa is, mert és mellett , és s így
De racionális számokra érvényes a szorzás disztributív törvénye, tehát
S mivel a jobboldali kifejezés felső határa a segédtétel értelmében , e képletből folyik 6. § (4).
7§. . Ha , akkor van egy és csak egy pozitív valós szám, amelyre
1.29. egyenlet - (1)
Vagyis a pozitív valós számok körében a kivonás elvégezhető egyértelmű művelet, ha a kisebbítendő nagyobb, mint a kivonandó.
Ennek a kimutatására legyenek A, ill. B végtelen tizedestört alakjának jegyű közelítő törtjei ill. a
megfelelő felső közelítő törtek , . folytán valamely és indexre
(2. § ), tehát , mellett még inkább 1. § Megmutatjuk, hogy 7. § (1)
egyetlen megoldása
1.30. egyenlet - (2)
Ez egyben felső határa, mert , esetén 1. §
Minthogy a közelítő törtek felső határa (3. §), a 6. § segédtétele értelmében az
számok felső határa. E felső határ azonban -val egyenlő. Először is ezeknek felső korlátja, mert
De egyben a legkisebb felső korlát. T. i. ha , akkor végtelen tizedes-tört alakjának van oly felső közelítő törtje, amely kisebb az végtelen tizedestört alakja egy közelítő törtjénél (2. § ). Ha tehát
is felső korlátja volna az számoknak, akkor minden -re
állana s így a két szélső szám különbsége
maradna, ami lehetetlen. Eszerint az számok felső határa, vagyis a 7. § (2) alatti szám 7.
§ (1)-nek valóban megoldása. Más megoldás nincs, mert ha , akkor 5. § Ezt a
számot az és különbségének nevezzük, képletben
Az osztás a pozitív valós számok körében mindig elvégezhető egyértelmű művelet, vagyis ha és pozitív számok, mindig van egy és csak egy pozitív valós szám, amelyre
1.31. egyenlet - (3)
Ugyanis megtartva az előbbi jelöléseket, kimutatjuk, hogy 7. § (3) egyetlen megoldása
1.32. egyenlet - (4)
Ez egyben felső határa, mert , esetén 1. §
A 6. § segédtétele szerint az számok felső határa. Megmutatjuk, hogy ez -val egyenlő. Először
is folytán
tehát e számoknak mindenesetre felső korlátja. Ennél kisebb felső korlát azonban nincsen. Ha t. i.
is felső korlát volna, akkor a fentebbiekhez hasonlóan az és pozitív racionális számokat úgy választhatnók,
hogy minden -re
állana. S mivel itt a két szélső szám különbsége rögzített mellett
következnék, miszerint
marad, ami absurdum. Tehát a legkisebb felső korlátja, azaz a felső határa az számoknak, s így a 7. §
(4) alatti szám 7. § (3)-nak valóban megoldása. Más megoldás nincs, mert ha , akkor 5.
§ Ezt a számot és hányadosának nevezzük, képletben
A 2. § végén kimondott tételből következik, hogy az és pozitív valós számokhoz mindig található olyan pozitív egész szám, amelyre
Ugyanis az idézett tétel értelmében úgy választható, hogy s ebből a fenti egyenlőtlenség folyik 5. § (2).
ki a pozitív valós számokra, hogy a pozitív racionális számok körében megszokott alaptények ez általánosabb számkörben is érvényben maradtak. A többi megszokott műveleti szabály e néhány ténynek egyszerű következménye, ezek tehát a pozitív valós számokra szintén érvényesek.
Az általánosabb számkör a régivel szemben azt az alapvető új sajátságot mutatja, hogy felülről korlátos halmaznak mindig van felső határa 3. § Ez u. i. a pozitív racionális számok körében – mint láttuk – általánosságban még nem érvényes.
A felső határ létezésére vonatkozó tételből most már folyik a következő:
Ha a pozitív számok valamely halmazának van pozitív alsó korlátja, akkor ez alsó korlátok között van egy legnagyobb. Ezt a legnagyobb alsó korlátot a halmaz alsó határának nevezzük.
E tétel így látható be. Az alsó korlátok halmaza felülről korlátos, nevezetesen ennek az eredeti halmaz bármely eleme felső korlátja. Legyen az alsó korlátok halmazának felső határa 3. § Ez maga is alsó korlát, mert ha az eredeti halmaz valamely eleme volna, akkor a felső határ fogalma szerint volna -nál nagyobb alsó korlát, ami ellentmondás. És -nél nagyobb alsó-korlát nincsen, minthogy ezeknek éppen a felső határa.
Eszerint az eredeti halmaz legnagyobb alsó korlátja.
Ha a halmaz számai között van egy legkisebb, akkor az alsó határ ezzel nyilván összeesik. Amikor legkisebb szám nincs a halmazban, az alsó határ mintegy ezt pótolja, de evidenter nem tartozik a halmazhoz.
Ha a halmaz számai között van egy legkisebb, akkor az alsó határ ezzel nyilván összeesik. Amikor legkisebb szám nincs a halmazban, az alsó határ mintegy ezt pótolja, de evidenter nem tartozik a halmazhoz.