45§. . Az függvény az nagy értékénél (43. §, 026. ábra) közelítőleg -gyel egyenlő, pontosan kifejezve tetszőleges pontossággal megközelíti az értéket, ha eléggé nagy. Ez nyilvánvaló abból, hogy e függvényre (amint a 026. ábráról leolvasható)
pedig tetszőleges kicsiny, hacsak eléggé nagy. E tényt úgy fejezzük ki, hogy „határértéke” az helyen , képletben
vagy
Minthogy
azért egyben tetszőleges pontossággal megközelíti az értéket, ha eléggé nagy abszolút értékű negatív
szám, miért is azt mondjuk, hogy határértéke az helyen , képletben
vagy
Általában valamely függvényről azt mondjuk, hogy az helyen a „határértéke” a véges
számérték, képletben
vagy
ha akármilyen kis pozitív számhoz található oly , hogy
Hasonló az helyen vett véges határérték definíciója.
Ha akármilyen nagy pozitív számhoz található oly , hogy
akkor azt mondjuk, hogy határértéke az helyen , képletben vagy
Hasonló értelme van a
képleteknek.
s és véges számértékek, akkor
1.129. egyenlet - (1)
1.130. egyenlet - (2)
és esetén
1.131. egyenlet - (3)
(1) ill. (2)-ből teljes indukcióval rögtön következik, hogy ha
s véges számértékek, akkor
1.132. egyenlet - (1*)
és
1.133. egyenlet - (2*)
Ugyanezek érvényesek evidenter az helyen vett véges határértékre vonatkozólag. E tételek alapján tüstént meghatározhatjuk valamely
1.134. egyenlet - (4)
racionális függvény határértékét az vagy helyen.
Ugyanis mellett – amint a vagy helyen vett határérték vizsgálatánál nyilván feltehetjük –
e függvény
1.135. egyenlet - (5)
Minthogy pedig nyilván
a fenti tételekből következik, hogy
Ennélfogva, ha az 45. § (5) jobboldalán álló első tényező határértéke véges, a 45. § (2) tétel értelmében a baloldal is ugyanezzel a határértékkel bír. Ez nyilván igaz még akkor is, ha a jobboldali első tényező a Vagy határértékhez tart. E tényező
s ebből látható, hogy a határértéke esetén , esetén . Miután
az helyen vett határérték esetén evidenter vagy aszerint, amint pozitív
vagy negatív. Az helyen vett határértéket illetőleg ez esetben páros mellett nyilván
ugyanazok, páratlan mellett ellenben fordítottak a viszonyok. Látjuk, a (4) racionális függvénynek akár
az , akár az helyen van (véges vagy végtelen) határértéke, mégpedig
vagyis a határérték megállapításánál a számlálóból és a nevezöből csak a legmagasabb fokú tagok jönnek tekintetbe. A mondottak értelmében esetén a határérték
esetén pedig
Ha , az helyen vett határérték a fentiek alapján
és ugyanez vagy a fordított érvényes az helyen vett határértékre aszerint, amint páros vagy
páratlan.
Például
Speciálisan valamely racionális egész függvény határértéke a helyen
Megmutatjuk most, hogy ha az függvény valamely intervallumban monoton növekedő vagy fogyó, de felülről, resp. alulról korlátos, akkor létezik és véges. Legyen u. i. p1. monoton növekedő, de felülről korlátos. Akkor van véges felső határa (28. §) Adatván akármilyen kis pozitív
szám, van olyan hely, hogy . Minthogy monoton növekedő, a fortiori
Eszerint a fenti definíció értelmében
Hasonló tétel érvényes az helyen vett határértékre vonatkozólag.
46§. . Legyen oly függvény, amely egy hely bizonyos környezetében (15. §) minden helyen értelmezve van. Magán az helyen nem kell értelmezve lennie. Ilyen p1. az függvény az hely környezetében 43. § Lehetséges, hogy tetszőleges pontossággal megközelít valamely értéket, ha az helyet az -hoz eléggé közel választjuk, mint ahogy az említett függvény nyilván megközelíti az értéket. Ilyenkor azt mondjuk, hogy határértéke az helyen . Részletesebben kifejezve, a végesben fekvő helyen vett véges határérték definíciója a következő:
Az függvényről azt mondjuk, hogy a végesben fekvő helyen vett határértéke a véges számérték, képletben
vagy
ha akármilyen kis pozitív számhoz található oly pozitív szám, hogy
valahányszor
32. ábra.
Az függvénynek (32. ábra) az helyen nincs határértéke, e hely akármilyen kis környezetében nyilván 0 és -1 között ingadozik. Ez leolvasható a 025. ábráról is, tekintve, hogy e függvény
vagyis az
görbe és abszcisszájú pontjait összekötő egyenes iránytangense. Az összeg, szorzat és hányados helyen vett határértékére vonatkozó tételekhez hasonlóan (45. §) a végesben vett határértékre is nyilván érvényesek (26., 27. §) a következő tételek:
Ha
s és véges számértékek, akkor
1.136. egyenlet - (1)
1.137. egyenlet - (2)
és esetén
1.138. egyenlet - (3)
46. § (1), ill. 46. § (2)-ből teljes indukcióval rögtön következik, hogy ha
s véges számértékek, akkor
1.139. egyenlet - (1*)
és
1.140. egyenlet - (2*)
A , ill. , mint végesben vett határérték következőkép értelmeztetik:
Azt mondjuk, hogy az függvénynek az helyen vett határértéke , resp. képletben
vagy
ha akármilyen nagy pozitív számhoz található oly pozitív , hogy
valahányszor
Például páros kitevő mellett
47§. . Ha a végesben fekvő helyen vett határérték definíciójában csak az helytől jobbra, vagy csak a tőle balra eső helyekre szorítkozunk, akkor a jobboldali, ill. baloldali határértéket értelmezzük. Eszerint (46.
§) a jobboldali véges határérték definíciója a következő:
Az függvényről azt mondjuk, hogy az helyen a jobboldali határértéke a véges számérték, képletben
vagy
ha akármilyen kis pozitív számhoz található oly pozitív hogy
valahányszor
Hasonlókép definiáltatik az helyen vett baloldali véges határérték. Ezek rövid jele , ill. / .
A 025. ábráról látható pl., miszerint
a 026. ábráról leolvashatjuk, hogy
A 032. ábráról látjuk, miszerint
Ha az a helynek bizonyos jobboldali környezete belsejében monoton fogyó, ill. növekedő, de felülről, resp. alulról korlátos, akkor az helyen van véges jobboldali határértéke. Ez hasonlóan látható be, mint a helyen vett határértékre vonatkozó megfelelő tétel 45. §
Hasonlókép, ha az a helynek bizonyos baloldali környezete belsejében monoton fogyó, ill.
növekedő, de alulról, resp. felülről korlátos, akkor az helyen van véges baloldali határértéke. Evidens, hogy ha az a helyen vett jobb- és baloldali határérték ugyanaz a szám, akkor ez a függvény a helyhez tartozó határértéke, és fordítva.
A -nek és -nek, mint jobboldali határértéknek definíciója a következő:
Az függvényről azt mondjuk, hogy az helyen a jobboldali határértéke , resp. , képletben
vagy
ha akármilyen nagy pozitív számhoz található oly pozitív , hogy
valahányszor
Hasonlóan definiáltatik a , ill. , mint baloldali határérték.
Például (31 b. ábra)
Nyilvánvaló, hogy
függvény helyen vett határértéke is , resp. , és fordítva.
48§. . Az alábbiakban szükségünk lesz a következő nevezetes segédtételre: Bármely Bármely
végtelen számsorozatból kiválaszthatunk egy monoton
„részsorozatot”.
Bizonyítás Tegyük fel először, hogy a sorozat tagjai között nincs legnagyobb. Választván valamely tagot, ez után kell lenni nagyobb tagnak, mert különben közül a legnagyobb egyszersmind az egész sorozat legnagyobb tagja volna. Legyen egy ilyen, utáni nagyobb tag Ez után is kell lenni nagyobb tagnak, mert különben legnagyobbika a sorozat legnagyobb tagja volna. E kiválasztás vég nélkül folytatható s oly részsorozatot eredményez, amely konstrukciója szerint szigorúan monoton növekedő:
Ha a sorozat tagjai között van legnagyobb, de el lehet hagyni véges számú tagot úgy, hogy a megmaradók között már nincs legnagyobb, akkor az előbbiek szerint e megmaradó sorozatból kiválaszthatunk egy monoton növekedő részsorozatot s ez nyilván az eredeti sorozatnak is részsorozata.
Hátra van még az az eset, midőn bárhogyan hagyva el véges számú tagot a sorozatból, a megmaradók között mindig van legnagyobb. Ekkor nyilván az eredeti sorozatnak is van legnagyobb tagja, és bármelyik tag után következők között is van legnagyobb. Legyen mármost a sorozat legnagyobb tagja (ha több van ilyen, akkor azok bármelyike), az utána következők legnagyobbika s így tovább. Akkor az
részsorozat monoton fogyó, mert a konstrukció szerint
Ezzel a fenti segédtételt bebizonyítottuk.
49§. . A függvény helyen vett véges határértéke létezését illetőleg megmutatjuk, miszerint
az függvénynek az helyen akkor és csak akkor van véges határértéke, ha akármilyen kis pozitív számhoz található oly pozitív , hogy
1.141. egyenlet - (1)
A feltétel elegendő voltát bebizonyítandó, tegyük fel, hogy minden pozitív -hoz található ily . Tekintsük a függvény értelmezési tartományába eső számoknak egy szigorúan monoton növekedő
sorozatát, amelyben
A megfelelő függvényértékek
sorozatából a megelőző §-ban bebizonyított segédtétel értelmében kiválasztható valamely monoton
részsorozat. Ez a föltevés alapján evidenter korlátos. Ennélfogva van véges határértéke (29. §), mondjuk
1.142. egyenlet - (2)
Adassék mármost akármilyen szám. Ha és nagyobbak bizonyos -nál, akkor egyrészt (2)
értelmében
másrészt a föltevés szerint
Ezekből folyólag
Minthogy bármely pozitív -hoz található ilyen , ez éppen azt jelenti (45. §), hogy
1.143. egyenlet - (3)
Ezzel megmutattuk, hogy a feltétel elegendő.
A feltétel azonban szükséges is. Mert ha a 49. § (3) alatti véges határérték létezik, akkor bármely pozitív e számhoz található oly , hogy
tehát
valahányszor
s ezekből folyik (1).
Hasonló kritériuma van a helyen vett véges határérték létezésének.
Ugyanígy bizonyítható be a véges jobboldali határérték létezésének kritériuma:
az függvénynek az helyen akkor és csak akkor van véges jobboldali határértéke, ha akármilyen kicsiny pozitív e számhoz található oly pozitív , hogy
valahányszor