1. 1 Differenciálhányados. A differenciálás szabályai.
75§. . Legyen az egyváltozós függvény az hely bizonyos környezetében értelmezve. Az helyről
áttérve valamely más helyre, a függvény megváltozása, vagy növekménye . Ennek a független
változó növekményéhez való viszonya, azaz
2.1. egyenlet - (1)
ú. n. különbségi hányados, vagy differenciahányados. Utóbbi geometriai jelentése az görbe és
abszcisszájú és pontjain átmenő szelő iránytangense (40. ábra). Ez szintén az függvénye, amely az
hely szóbanforgó környezetében az helyeken értelmezve van.
40. ábra.
Az esetben, midőn az 75. § (1) alatti különbségi hányadosnak az helyen van véges határértéke, azaz
2.2. egyenlet - (2)
létezik és véges, az függvényt az helyen „differenciálhatónak” vagy „deriválhatónak” mondjuk és e határértéket a függvény helyen vett „differenciálhányadosának” vagy „deriváltjának” nevezzük. Vagyis (46.
§) részletesen kifejezve, az a helyen való differenciálhatóság fogalmát következőkép állapítjuk meg:
az függvényről azt mondjuk, hogy az a helyen differenciálható és differenciálhányadosa a véges számérték, ha akármilyen kis pozitív számhoz található oly pozitív , amely mellett
valahányszor
A differenciálhányados mintegy annak a jellemzésére szolgál, hogy a függvény az illető helyen milyen gyorsan változik. Azt mondjuk, hogy a differenciálhányados a függvény változásának a „sebessége” az illetd helyen.
Képzelhető, miszerint ennek kiszámítása, az ú. n. differenciálás vagy deriválás elsőrendű fontosságú a függvény vizsgálata szempontjából, amint az alábbiak majd igazolják is.
Az függvény differenciálhányadosa szintén függvény, amelynek értelmezési tartományát azok az
helyek alkotják, amelyeken differenciálható. E függvény jelölésére rendre az
vagy rövidebben
symbolumok szolgálnak. (Az elsőt Lagrange, a másodikat Newton, a harmadikat Leibniz vezette be.) Az utóbbit még így is szoktuk írni:
mikor is mint a differenciálás műveleti jele szerepel. Az első jelöléssel az helyen vett differenciálhányados a fenti definíció értelmében
2.3. egyenlet - (2*)
Az független változó növekményét -szel, az függvény megfelelő növekményét -nal jelölve, az helyen vett differenciálhányados a harmadik jelölésben
2.4. egyenlet - (2**)
Ha elsőfokú racionális egész függvény, azaz
akkor nyilván , vagyis
és így egyszersmind
tehát ekkor a differenciálhányados állandó, mégpedig a függvényt ábrázoló egyenes iránytangense. Ha a
függvény állandó, vagyis az egyenes párhuzamos az tengellyel, akkor a differenciálhányados . A
mondottak szerint az függvény deriváltja
Keressük most az függvény differenciálhányadosát valamely helyen.
Az helyről áttérve egy más helyre, a különbségi hányados
Minthogy az helyen rendre az határértékkel bírnak 26. § (5), azért
itt a jobboldal mind az tagjának határértéke tehát e különbségi hányados határértéke (46. § (1*))
Eszerint az helyen differenciálható és differenciálhányadosa . Tehát az függvény mindenütt differenciálható, nevezetesen
2.5. egyenlet - (3)
Az ( ) függvény is minden helyen, tehát egész értelmezési tartományában
differenciálható. Ugyanis az helyről áttérve -re, a különbségi hányados
erről pedig látható, hogy az helyen vett határértéke (46. § (2*), (1*), (3))
Tehát deriváltja bármely helyen
2.6. egyenlet - (4)
76§. . Ha az helyen differenciálható, akkor ott szükségképpen folytonos. Ugyanis a függvény növekménye
s mivel és a feltevés szerint 75. § (2*)
létezik és véges, azért 46. § (2)
Ez éppen azt jelenti, hogy az helyen folytonos 50. §
Azonban a differenciálhatóság csak az illető helyen vonja maga után a folytonosságot. Lehetséges, hogy a függvény egy helyen differenciálható, minden más helyen pedig nem is folytonos. Például értelmezzük az függvényt így:
Ez esetben a helyről valamely helyre áttérve, a különbségi hányados
Világos tehát, hogy
azaz a helyen van differenciálhányados, mégpedig
Bármely helyen azonban a függvény nem is folytonos. Legyen u. i. például racionális. Akkor bármily közel válasszuk is -hez a helyet (ilyen példának okáért ha eléggé nagy), a megfelelő függvényérték nem közelíti meg tetszőlegesen az helyhez tartozó értéket. Hasonló az okoskodás, ha irracionális.
Természetesen a differenciálhatóság sokkal többet jelent a folytonosságnál.
Így pl. az
függvény a helyen folytonos (minthogy itteni értékét éppen a határértékével (46. §) vettük egyenlőnek), de nem differenciálható. Ugyanis a helyről áttérve -re, a különbségi hányados
ennek pedig a helyen nincs határértéke (46. §).
77§. . Ha az függvény valamely helyen nem differenciálható, akkor ez azt jelenti (75. §), hogy az
függvénynek e helyen nincs véges határértéke. Ez legegyszerűbben úgy következhetik be, hogy a jobb- és baloldali határérték külön-külön létezik, de a kettő egymástól különböző. Ezeket az függvény helyen vett jobb-, ill. baloldali differenciálhányadosának nevezzük.
Például értelmezzük az függvényt így:
Ennek diagrammáját úgy kapjuk, hogy vesszük az parabolának azt az ágát, amelyen és ezt
még kiegészítjük az tengelyre vonatkozó tükörképével (41. ábra). Miután deriváltja az helyen
nyilvánvaló, miszerint e helyen függvényünk jobboldali deriváltja , a baloldali .
41. ábra.
Ha a különbségi hányados határértéke vagy , akkor azt mondjuk, hogy az illető helyen a függvény differenciálhányadosa , ill. , bár a függvény ekkor a szó eredeti értelmében nem differenciálható.
Amennyiben a különbségi hányadosnak a jobb-, ill. baloldali határértéke vagy akkor vagy jobb-, ill. baloldali differenciálhányadásról beszélünk a szóbanforgó helyen. Például
differenciálhányadosa az helyen , mert a különbségi hányados határértéke
Az függvénynek (43. §, 026. ábra) az helyen a jobboldali differenciálhányadosa nyilván megegyezik e helyen vett deriváltjával vagyis 75. § (4), a baloldali evidenter .
78§. . A differenciálhányados fogalmából folynak a differenciálás következő formális törvényei:
Ha valamely helyen differenciálható függvény és állandó, akkor ott
2.7. egyenlet - (1)
Ha és valamely helyen differenciálható függvények, akkor ott
2.8. egyenlet - (2)
Ugyanis ez helyről áttérve egy más helyre, különbségi hányadosa nyilván az különbségi
hányadosának -szerese, az összegé pedig az és függvények
differencia-hányadosainak összege, tehát ugyanez érvényes a határértékekre 46. § (1), (2), azaz a megfelelő deriváltakra 75.
§ Ez (1) és (2) képletekből teljes indukcióval következik, miszerint általánosabban
2.9. egyenlet - (3)
hacsak a szóbanforgó helyen differenciálhatók.
Minthogy pozitív egész kitevőre (75. § (3)), általában valamely racionális egész függvény deriváltja 78. § (3) értelmében
tehát eggyel alacsonyabb fokú racionális egész függvény.
79§. . A szorzat és a hányados alapvető differenciálási szabályát a következő tétel fejezi ki:
Ha u és v valamely helyen differenciálható függvények, akkor ugyanott ezek szorzata is differenciálható, nevezetesen
2.10. egyenlet - (1)
amennyiben az illető helyen , az hányados ott ugyancsak differenciálható, mégpedig
2.11. egyenlet - (2)
Legyen u. i.
és a szóbanforgó hely . Erről áttérve valamely más helyre, a két függvény szorzatának különbségi hányadosa
2.12. egyenlet - (3)
Mivel a feltevés szerint és az a helyen differenciálhatók, azért (75.§)
2.13. egyenlet - (4)
Továbbá az helyen szükségkép folytonos lévén (76. §), egyszersmind
2.14. egyenlet - (5)
Ennélfogva (3)-ból a 46. § (1) és (2) képletei alapján következik, hogy
Eszerint az helyen (1) valóban fennáll.
Amennyiben , az a hely bizonyos környezetében , lévén az helyen folytonos. Tehát az
környezetben értelmezve van. Ennek különbségi hányadosa
s ebből (4) és (5) alapján folyik
Látjuk, az függvény az helyen differenciálható, mégpedig itt
2.15. egyenlet - (6)
Ennélfogva a már bebizonyított 79. § (1) alatti szabályt az szorzatra alkalmazva
amivel a 79. § (2) szabályt is igazoltuk.ű