53§. . A továbbiakban szükségünk lesz a zárt számközön folytonos függvényeknek három alaptulajdonságára.
Ezek egyikét fejezi ki a következő tétel:
Ha az zárt számközben folytonos függvény és viszont vagy fordítva, akkor és között van legalább egy olyan hely, ahol
( Bolzano 12 tétele.) Bizonyítás. Legyen például
Vegyük az intervallum felezőpontját. Ha , akkor a tétel be van bizonyítva. Ellenkező
esetben és közül az egyik olyan, hogy az elején a függvény pozitív, a végén negatív. (Ha , akkor , ha pedig , akkor ez a félintervallum.) Legyen ez a félintervallum , tehát
Vegyük most az intervallum felezőpontját. Ha , akkor a tétel be van bizonyítva.
Ellenkező esetben egyik fele, mondjuk olyan, hogy
Ezt folytatva, vagy találunk egyszer egy olyan felezőpontot, ahol a függvényérték s akkor a tétel be van bizonyítva, vagy pedig sohasem lesz a felezőpontban a függvény . Utóbbi esetben az
intervallum-sorozathoz jutunk. Minthogy ez intervallumok mindegyike tartalmazza a reá következőt, vagyis ú.
n. „egymásba skatulyázott” intervallumokkal állunk szemben, azért
viszont
tehát a és véges határértékek léteznek 29. § Mivel pedig
a két hatérték nyilván megegyezik, mondjuk
1.145. egyenlet - (1)
és mindenesetre
12 B. Bolzano: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen j e zwei Werth’en, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege, Prag 1817, Ostwald’s Klassiker No 153, p. 31.
A konstrukció szerint
1.146. egyenlet - (2)
Ennélfogva lehetetlen, mert ekkor a helyen való folytonosság következtében (50.§) nyilván -hez eléggé közel eső helyeken is volna, tehát (1)-re tekintettel bizonyos indextől kezdve
állana, ellentétben (2)-vel. Hasonlókép is lehetetlen, mert ekkor ugyanazon okból bizonyos indextől kezdve volna, ami (2)-vel ellenkezik. Tehát az (1) alatti helyen . Miután az intervallum
és végpontján a függvény nem , szükségkép belső helye az intervallumnak. Qu. e. d.
E tételből következik ez az általánosabb tétel:
Ha az zárt számközben folytonos függvény s a számérték és közé esik, akkor és között valamely helyen
1.147. egyenlet - (3)
Legyen u. i. például
Tekintsük az
függvényt. Ez szintén folytonos az zárt intervallumban és
Az előbbi tétel értelmében tehát az intervallum belsejében van olyan hely, amelyre
vagyis amelyen 53. § (3) érvényes.
Megjegyzendő, hogy ha a függvény nem is folytonos, azért bírhat ezzel a tulajdonsággal.
Legyen pl. a intervallumban következőkép értelmezve:
(33. ábra). Nyilvánvaló, hogy e függvény a számközben minden a és közé eső értéket fölvesz, egyszer és csak egyszer, de a , és helyeken discontinuus.
33. ábra.
Értelmezzük most -et minden valós -re a következőképpen:
E függvény nyilván minden valós értéket fölvesz egyszer és csak egyszer, de mindenütt discontinuus, kivéve az helyet, ahol folytonos.
54§. . Bolzano tételéből folyólag (53. §) valós együtthatós páratlan fokú egyenletnek mindig van legalább egy valós gyöke.
Legyen u. i. az egyenlet többtagúja
ahol valós számok és páratlan. Tudjuk (45. §), ekkor
Ennélfogva az pozitív számot elég nagyra választva
De folytonos (50. §), s így Bolzano tétele értelmében és között van legalább egy olyan hely, amelyen
E valós szám tehát az egyenletnek gyöke.
55§. . Megmutatjuk, miszerint valamely
1.148. egyenlet - (1)
egyenletnek, amelyben nem-negatívok, de nem is mind zérusok, azaz
1.149. egyenlet - (2)
egy és csak egy pozitív gyöke van s és között , a hely után . Ugyanis az 55. § (1) egyenlet többtagúja
1.150. egyenlet - (3)
alakban írható, ahol
55. § (2)-re tekintettel nyilvánvaló, hogy e függvény a intervallumban szigorúan monoton növekedő, továbbá
tehát a pozitív számot eléggé kicsinyre választva
1.151. egyenlet - (4)
Mármost 55. § (4)-ből folyólag Bolzano-tétele értelmében (53. §) és között van oly hely, amelyre
. Ebből a monotonitás folytán következik, hogy a számközben a hely előtt ,
utána . Ennélfogva 55. § (3)-ra tekintettel egyszersmind , s és között , a
hely után , amit meg kellett mutatnunk.
56§. . Bolzano tétele mellett (53. §) a zárt számközben folytonos függvények jelzett másik alaptulajdonsága a következő tételben nyer kifejezést:
Ha az zárt intervallumban folytonos, akkor annak a belsejében vagy a határán található oly , valamint oly hely, hogy a függvénynek legnagyobb, a legkisebb értéke az egész számközben, vagyis
( Weierstrass-tétele.13)
Minthogy a függvény értékkészlete általában végtelen sok számból áll, egyáltalán nem magától értetődő az állítás, amely szerint az értékkészletben van legnagyobb és legkisebb szám. Ez csak akkor nyilvánvaló, ha a függvény véges számú monoton szakaszból áll.
A tételt bebizonyítandó, felezzük az intervallumot. Nyilvánvaló, miszerint a két fél közül legalább az
egyik, mondjuk olyan, hogy a neki megfelelő értékkészletet az egy helyén felvett függvényérték
sem szárnyalja túl. Ez egyik fele, mondjuk hasonlókép olyan, hogy a neki megfelelő
értékkészletet az egy helyén felvett függvényérték sem szárnyalja túl. És így tovább, az egyik
13 Weierstrass e tételt egyetemi előadásaiban bizonyította be. V. ö. Mathematische Werke VII. p. 59.
végtelen sorozatához jutunk:
Legyen (mint az 53. §-ban)
1.152. egyenlet - (1)
mikor is
1.153. egyenlet - (2)
Megmutatjuk, hogy a legnagyobb függvényérték az egész intervallumban, vagyis ennél nagyobb
értéket a függvény -ben nem vesz fel.
Tekintsük -nek valamely tetszőleges helyét. A konstrukció értelmében nem nagyobb az
-ben felvett függvényértékek mindegyikénél, tehát ebben van oly , hely, hogy
Hasonlóképen -ben van oly hely, hogy
s így tovább. Az így nyert
helyeknek megfelelő függvényértékek tehát monoton növekedő sorozatot alkotnak:
1.154. egyenlet - (3)
Ebben
1.155. egyenlet - (4)
Ugyanis a hely 56. § (2) szerint -hez tartozván, e helyen folytonos, tehát tetszőleges pontossággal megközelíti az értéket, ha a helyhez eléggé közel van, ez pedig 56. § (1) alapján bizonyos -től kezdve bekövetkezik, lévén
Mármost 56. § (3) és 56. § (4)-ből folyólag
Minthogy ez -nek bármely helyére fennáll, azért valóban a legnagyobb függvényérték az
-hez tartozó értékkészletben.
Alkalmazzuk most a tételnek eddig bebizonyított részét a függvényre. Ha ez az -beli legnagyobb értékét az helyen veszi fel, akkor nyilván legkisebb értéke ez intervallumban. Ezzel a tételt teljesen bebizonyítottuk.
E tételből folyik a következő:
Ha az számköz belsejében folytonos és
akkor és között van olyan hely, ahol a legkisebb értékét veszi fel az belsejében.
Ugyanis legyen . A feltevés alapján elég kis mellett az , valamint a
számközökben . Ekkor nyilván . Az
zárt intervallumban a feltevés szerint folytonos lévén, ebben Weierstrass tétele értelmében van legkisebb
értéke, mondjuk . Minthogy előtt és után
azért a legkisebb függvényérték az egész számközre vonatkozólag.
Hasonlókép, ha az számköz belsejében folytonos és
akkor és között van olyan hely, ahol a legnagyobb értékét veszi fel az belsejében.
E tételek nyilván érvényesek az esetben is, midőn az számköz végtelen.
Ugyanígy látható be, miszerint általában ha az számközön belül folytonos és ennek végein van jobb-, ill. baloldali véges vagy végtelen határértéke, továbbá belsejében valahol e határértékek mindegyikénél nagyobb, ill. kisebb értéket vesz fel, akkor és között valamely , resp. helyen a legnagyobb, ill. a legkisebb értékét veszi fel e számköz belsejében. (A határérték itt minden számnál
nagyobbnak, a minden számnál kisebbnek számít.)
57§. . Az alábbi tétel a zárt számközön folytonos függvények harmadik alaptulajdonságát fejezi ki. Ha az zárt számközben folytonos függvény, akkor bármely pozitív számhoz található oly pozitív , hogy
valahányszor és az intervallüm két olyan helye, amelyekre
A folytonosság definíciójára tekintettel (50. §), a feltevés szerint az megadása után a számköz minden egyes helyéhez tartozik külön-külön ilyen . Tételünk azt állítja, hogy egyszersmind van egy közös , amely az helytől független. A tételt röviden így fejezzük ki: zárt számközben folytonos függvény abban egyszersmind egyenletesen folytonos. Ennek bebizonyítása végett először megmutatjuk, miszerint adatván az e szám, az számköz véges számú részre bontható úgy, hogy ha és egy ilyen részintervallumnak két helye (34. ábra), akkor
34. ábra.
Akkor az intervallum két fele közül legalább az egyiket szintén nem lehet így felosztani, mert ha mindkettőt lehetne, akkor nyilván is fel volna osztható ilyen módon. Legyen -nek ez a fele . Ennek egyik fele ismét nem osztható fel a jelzett módon; legyen ez , és így tovább. Ez eljárás vég nélkül folytatható s az egymásba skatulyázott intervallumok végtelen sorozatát szolgáltatja:
Legyen (mint az 53. §-ban)
1.156. egyenlet - (1)
mikor is
1.157. egyenlet - (2)
Mivel 57. § (2)-re tekintettel a feltevés szerint a helyen folytonos, a pozitív szám megválaszthatóúgy, hogy
hacsak és e helynek környezetébe esnek (ha esetleg , akkor csak a jobboldali
, ha pedig , akkor csak a baloldali környezet jön tekintetbe). E két
egyenlőtlenségből folyólag
1.158. egyenlet - (3)
Minthogy 57. § (1) alapján az számköz bizonyos -től kezdve a helynek ebbe a környezetébe esik,
bármely két és helyére érvényes. Ez ellenkezik azzal, hogy a konstrtikció szerint a
jelzett módon nem osztható fel. Ellentmondásra jutván, kell, hogy így felosztható legyen. Az egyenletes
folytonosság ebből most már tüstént következik. Adatván ugyanis , osszuk fel az számközt véges
számú részre úgy, hogy valahányszor és egy ilyen rész két helye. Legyen e részek
legkisebbikének hossza . Megmutatjuk, hogy ez a kívánt közös szám.
35. ábra.
Mert ha , akkor és vagy egy és ugyanazon részintervallumba esnek, vagy ha nem, akkor mindenesetre két szomszédosba (35. ábra). Az első esetben
A második esetben pedig a két szomszédos rész közös végpontját -val jelölve
tehát ismét
Ezt kellett bebizonyítanunk.