11§. . Ha a és pozitív számokra , akkor és mint kisebbítendő és kivonandó
meghatározza a pozitív számot 7. §
Fordítva, bármely pozitív számot ily módon meghatározottnak tekinthetünk, de végtelen sokféleképpen, amennyiben valamely pozitív seámot és , mint kisebbítendő és kivonandó meghatároz, az
minden pozitív értékénél. Amidőn , tehát a pozitív számok körében nem létezik, a és
, mint kisebbítendő és kivonandó megadása által új számot, esetén a negatív
számot, esetén pedig, a zérus, jelben számot tekintjük meghatározottnak. Ez új számok a pozitív számokkal együtt a valós számok. Eszerint minden pozitív számnak megfelel egy negatív szám, t. i.
az, amelyet valamely pozitív szám mint kisebbítendő és mint kivonandó meghatároz.
A pozitív racionális számok a megfelelő negatív számokkal és a zérussal együtt a racionális számok. Ezek közül
a racionális egész számok, a többiek a racionális törtek. A nem racionális valós számok alkotják az irracionális számok összeségét.
A nagyobb, ill. kisebb, továbbá az összeg és szorzat fogalmát valós számokra természetesen megint úgy kell megállapítanunk, hogy pozitív számokra alkalmazva a definíciók a fentiekkel (2. §. ) megegyezők legyenek.
12§. . A pozitív számok körében nyilván
akkor és csak akkor, ha
Továbbá evidenter
S mivel nyilván vagyis
azért (mindkét oldalhoz -t hozzáadva, azután -et levonva)
Ezek alapján a nagyobb, ill. kisebb, továbbá az összeg és a szorzat fogalmát valós számokra következőkép definiálhatjuk:
Legyen valamely valós szám a és , pedig a és pozitív számok, mint kisebbítendő és kivonandó által meghatározva. Akkor
4A sokszögek területmérését részletesen tárgyalja Kürschák József:Analízis és analitikus geometria, 2. kiad., Budapest 1923, p. 116–122.
azt mondjuk, hogy
ha
az összeg alatt azt a valós számot értjük, amely a és pozitív számok, mínt kisebbítendő és kivonandó által van meghatározva;
az szorzat alatt azt a valós számot értjük, amelyet a és pozitív számok, mint kisebbítendő és kivonandó meghatároznak.
E megállapítások nyilván függetlenek az és valós számok meghatározására szolgáló és , ill. és pozitív számok speciális választásától, a definíciónak tehát van értelme.
-ből folyik (5. §), hogy vagy aszerint, amint pozitív vagy negatív. -nek, ill. -nak pedig folyománya, miszerint bármely valós számra
A pozitív és negatív számok összeadására és szorzására -ből, ill. -ból folynak a következő szabályok:
és
továbbá
Definícióink alapján közvetlenül igazolhatók még a következő alaptények, amelyeket pozitív számokra (2., 5., 6. §) már bebizonyítottunk:
továbbá
A minus-jel használatát kiterjesztve, megállapodunk abban, hogy ha pozitív szám, akkor
továbbá
legyen. E jelölés mellett -ből folyik, hogy
, ill. -ból pedig tüstént következik, miszerint bármely valós számra
13§. . A zérussal való osztást kizárva, az osztás a valós számok körében is mindig elvégezhető egyértelmű művelet. Vagyis ha tetszőleges valós szám és , akkor a
egyenletnek egy és csak egy megoldása van. T. i. két különböző megoldás nem lehet, mert ha
akkor (12. §) aszerint, amint , tehát ezek egyike különbözik -tól. És külön véve
a kölünböző eseteket midőn és egyike negatív ( és -vel pozitív számokat jelölve
amiről szorzással közVetlenül meggyőződhetünk. Ha , akkor a esetén egyáltalában nincs
megoldás, esetén pedig bármely valós szám megoldás, tekintve, hogy .
Viszont új alapvető tulajdonsága a valós számok körének a pozitív számok körével szemben, hogy a kivonás is mindig elvégezhető egyértelmű művelet. Nevezetesen az és bármely valós értékénél az
egyenletnek egyetlen megoldása (amelynek jele )
Valóban (12. §)
és két különböző megoldás nincs, mert ha , akkor (12. §), tehát mind a kettő nem
lehet -val egyenlő.
14§. . Az és valós számokat ( esetén) csak előjelben különbözőknek vagy ellentetten egyenlőknek mondjuk. A kettő közül a pozitív e számok ú. n. abszolút értéke, jelben . A abszolút értéke alatt a -t értjük. Ezek szerint valamely a valós szám abszolút értéke
E definíció értelmében
Ez észrevételt valamely összeg mindegyik tagjára alkalmazva és az egyenlőtlenségeket
összeadva, nyerjük, hogy
Ennélfogva
vagyis összeg abszolút értéke kisebb vagy legföljebb akkora, mint a tagok abszolút értékeinek összege. Az egyenlőség nyilván csak akkor áll fenn, ha a tagok között különböző előjelűek nincsenek.
Minthogy
a fenti tétel értelmében
vagyis
Következőleg
tehát kéttagú összeg abszolút értéke nagyobb vagy legalább akkora, mint a tagok abszolút értékei különbségének abszolút értéke. Az egyenlőség itt nyilván csak akkor áll fenn, ha a tagok különböző előjelűek.
A valós számok szorzásának szabályából (12. §) nyilván folyik, hogy
vagyis szorzat abszolút értéke egyenlő a tényezők abszolút értékeinek szorzatával.
Hasonlókép hányados abszolút értéke egyenlő a, számláló és nevező abszolút értékének hányadosával:
15§. . Valamely egyenes pontjai és a valós számok között kölcsönösen egyértelmű vonatkozás létesíthető.
3. ábra.
Először is az egyenes valamely szabadon választott pontjához a számot, egy másik tetszésszerinti pontjához pedig az számot rendeljük (3. ábra); az pontot kezdőpontnak, -t egységpontnak nevezzük.
Az egyenesen lehetséges két különböző értelmű haladás közül azt, amelynél előbb következik, mint , a pozitív értelmű haladásnak tekintjük, a másik a negatív értelmű haladás. Mármost az egyenesdarabot hosszegységnek választva, az egyenes egy az -tól különböző pontjához azt az valós számot rendeljük, amelynek abszolút értéke az egyenesdarab pozitív mérőszáma és amely pozitív, vagy negatív aszerint, amint az -tól a pozitív vagy a negatív értelmű haladás irányába esik. Ily módon az egyenes minden pontjához tartozik egy meghatározott valós szám, s minden valós szám az egyenesnek nyilván egy és csak egy pontjához tartozik, tekintettel az egyenesdarabok méréséről mondottakra 10. § Ezzel tehát az egyenes pontjai és a valós számok között valóban kölcsönösen egyértelmű vonatkozást létesítettünk.
A használt egyenest számegyenesnek nevezzük. Ennek pontjairól azt mondjuk, hogy a valós számokat ábrázolják.
Ez ábrázolás révén a geometriai kifejezésmódot magukra a valós számokra is átvisszük. Így valamely valós
számot pontnak vagy helynek is mondunk. Ha , az vagy
egyenlőtlenségnek megfelelő pontok az helynek sugarú környezetét alkotják. Ha csak az
egyenlőtlenséggel jellemzett pontokra szorítkozunk, akkor az hely jobboldali környezetéről
beszélünk, viszont az helynek baloldali környezetét jellemzi.
Midőn , az egyenlőtlenségnek megfelelő valós számok összeségét zárt számköznek vagy
zárt intervallumnak nevezzük, jele: . Ezt a számegyenesen egyenesdarab ábrázolja (4. ábra), amelynek hossza . Az és számokat a számköz alsó, ill. felső végpontjának mondjuk, az
egyenlőtlenségnek megfelelő helyek a számköz belső helyei. Ez utóbbiak a nyílt számközt alkotják;
ha az , ill. helyet is hozzászámítjuk, akkor felülről, ill. alulról nyilt számközről beszélünk. Az számnál nem kisebb számok összeségét (5. ábra) oly számköznek tekintjük, amelynek felső végpontja a plusz végtelen, jelben . Hasonlókép a számnál nem nagyobb számok összesége (6. ábra) oly számköz,
amelynek alsó végpontja a mínusz végtelen, jelben . E végtelen számközöket így jelöljük: ill.
. A valós számok összeségét a számköznek is nevezzük.
4. ábra.
5. ábra.
6. ábra.