1.53. egyenlet - (2)
A szóbanforgó egyenlőtlenséget az pozitív számokra alkalmazva
vagyis (2) alapján
Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha
azaz
vagyis midőn a parallelepipedon kocka. Eszerint, ha a felszínű kocka, pedig egy ugyanakkora felszínű más derékszögű parallelepipedon köbtártalma, akkor
amit bizonyítani akartunk.
5. 4 A kör kerülete és területe.
19§. . A kör kerületének bizonyos egyenesdarabra, mint egységre vonatkozó mérőszámát a felső határ fogalmával (3. §) definiáljuk.
Osszuk a körvonalat (7. ábra) a osztópontokkal olyan részre, amelyek mind kisebbek egy félkörnél; a részek lehetnek egyenlők, de nem kell egyenlőknek lenniök. Mindegyik rész két végpontját egy-egy húrral összekötve, a körbe beírt sokszög keletkezik. Ennek minden szögpontjában meghúzva a
kör érintőjét, a beírt sokszögnek megfelelő körülírt sokszöget nyerjük.
7. ábra.
A beírt sokszögek kerülete felülről korlátos. Ugyanis válasszunk valamely konvex sokszöget, amely a kört magában foglalja (ilyen pl. bármely körülírt sokszög is); ez a fortiori tartalmazza bármelyik beírt
sokszöget, tehát kerülete annak kerületénél mindig nagyobb.6 Ennélfogva az összes beírt sokszögek kerületei halmazának van bizonyos felső határa 3. § A kör kerülete alatt a beírt sokszögek kerületének ezt a felső határát értjük. Minthogy bármely beírt sokszöghöz található nála nagyobb kerületű ilyen sokszög (pl. egy új szögpont beiktatásával), azért világos, hogy a kör kerülete nagyobb bármelyik beírt sokszög kerületénél.
A kerület fenti definícióját alátámasztja még a következő tétel: a beírt sokszög kerülete tetszőleges pontossággal megközelíti a kör kerületét, ha az oldalai elég kicsinyek.
Ennek bebizonyítására először kimutatjuk, hogy ha egy az sugarú és kerületű körbe beírt sokszög legnagyobb oldala , akkor
1.54. egyenlet - (1)
ahol e beírt, pedig a megfelelő körülírt sokszög kerülete.
Messék u. i. a kör középpontját a körülírt sokszög szögpontjaival összekötő egyenesek a
beírt sokszög oldalait rendre az pontokban (7. ábra). Ez
egyenesek az oldalakat rendre merőlegesen felezik. Minthogy
6 Lásd p1. J. Hadamard: Leons de Géornétrie élémeritaire I, 9 éd. p. 28–29.
1.55. egyenlet - (2)
De az derékszögű háromszögben
azaz
1.56. egyenlet - (3)
Mivel , és így az egyenlőtlenségből az feltevés alapján
19. § (3)-ból
Ennélfogva
1.57. egyenlet - (4)
s így 19. § (2) mellett még inkább áll 19. § (1).
Vegyük tekintetbe még, hogy bármelyik körülírt sokszöghöz található nála kisebb kerületű ilyen sokszög (pl.
egy új érintő beiktatásával) s ezek mind nagyobb kerületűek bármelyik beírt sokszögnél. Ebből nyilván következik, hogy a beírt sokszögek kerületének felső határa (a legkisebb felső korlátja) kisebb bármelyik körülírt sokszög kerületénél. Tehát
1.58. egyenlet - (5)
és 19. § (1) alapján még inkább
1.59. egyenlet - (6)
Ebből látható, hogy adatván akármilyen kis pozitív szám, eléggé kis mellett (vagyis elég kis oldalakkal bíró beírt sokszögre)
Ezt akartuk bebizonyítani.
Különben 19. § (1) és 19. § (5)-ből 19. § (6)-hoz hasonlóan
tehát a indexkorulirt sokszog@körülírt sokszögkörülírt sokszög kerülete is tetszőleges pontossággal megközelíti a kör kerületét, ha a megfelelő beírt sokszög oldalai eléggé kicsínyek. Ebből 19. § (5)-re tekintettel egyszersmind következik, hogy a kör kerülete a körülírt sokszögek kerületének alsó határa 8. §
20§. . Megmutatjuk most, hogy a kör kerülete arányos a kör sugarával.
8. ábra.
Tekintsünk u. i. két koncentrikus kört (8. ábra). Az egyikbe beírt sokszög szögpontjait a közös középpontból a másik körre vetítve, oly sokszöget nyerünk, amelyn másik körbe van írva és az előbbi sokszöghöz hasonló. Ily módon a második körbe írt minden sokszöget megkapunk egyszer és csak egyszer. Ha a sugarak és , akkor két egymásnak megfelelő sokszög és kerületére a hasonlóság miatt
Ennek alapján nyilvánvaló, hogy ha az sugarú kör kerülete vagyis a felső határa (19. §), akkor a
szám a felső határa, tehát az sugarú kör kerülete, amit bizonyítani akartunk. Eszerint a kerületnek az átmérőhöz való viszonya minden körre ugyanaz, ezt a számot -vel jelöljük.7 Ennek értelmében az sugarú kör kerülete
7 A szám irracionális. Ezt szigorúan először Legendre bízonyította be, kiegészítvén Lambertnek még hézagos bebizonyítását. Lásd A. M.
Legendre: Éléments de Géométrie› Note IV., Paris 1994.
Minthogy a beírt szabályos hatszög kerülete , a körülírt szabályos négyszögé pedig , azért 19. § (5), honnan a számra a
becslés adódik.
21§. . Valamely körív ívhosszúsága a kör kerületéhez hasonlóan (19. §) definiálható. Az adott körívet (9. ábra) részekre osztjuk, amelyek mindegyike kisebb a félkörnél. Egy-egy rész két végpontját húrral
összekötve, az ívbe beírt nyilt sokszög keletkezik. A részek végpontjaiban húzott
érintők alkotta nyilt sokszög a megfelelő körülírt sokszög. A körív ívhosszúsága alatt a beírt
sokszögek hosszának felső határát értjük.
9. ábra.
Ugyanúgy, mint a teljes körnél (19. §), bebizonyítható, hogy ha egy az sugarú és ívhosszáságú körívbe beírt sokszög legnagyobb oldala , akkor
ahol a beírt, a megfelelő körülírt sokszög hossza. Most is
s ezekből látható, hogy a beírt sokszög hossza alulról, a megfelelő körülírté pedig felülről tetszőleges pontossággal megközelíti a körív ívhosszát, ha a beírt sokszög oldalai elég kicsinyek. Ebből egyszersmind következik, hogy az ívhossz a körülírt sokszögek hosszának alsó határa.
22§. . A mérésnek az a két követelménye, hogy kongruens idomoknak egyenlő mérőszámuk legyen és az egész mérőszáma egyenlő legyen a részek mérőszámainak összegével (v. ö. 10. §), a körívek előbb definiált mérésénél
teljesül: Az első követelés teljesülése nyilvánvaló, a másodiké pedig következőkép látható be. Osszuk az körívet a ponttal két részre (10. ábra). Legyen ívhossza , -é pedig , az egész ívé .
Írjunk -be valamely , -be hosszúságú sokszöget. Minthogy , , azért
Eszerint az -be írt minden olyan sokszög hossza, amelynél maga is szögpont, kisebb -nél.
10. ábra.
11. ábra.
Ez azonban igaz az -be beírt olyan sokszögre is, amelynek nem szögpontja, mert ha -t is szögpontnak vesszük, ezzel a sokszög hossza nyilván nagyobbodik (11. ábra). Tehát az -be beírt sokszögek hosszának mindenesetre felső korlátja. Ennél kisebb felső korlát azonban nincsen. Ugyanis
(feltéve, hogy és ) az -be beírhatunk oly , -be pedig oly hosszúságú sokszöget,
hogy
lévén , ill. a beírt sokszögek hosszának felső határa. Ezekből
s mivel egy az egész -be beírt sokszög hossza, ezzel kimutattuk, hogy már nem
felső korlátja az -be beírt sokszögek hosszának. Ezek értelmében az -be beírt sokszögek hosszának legkisebb felső korlátja vagyis a felső határa, tehát valóban
Ebből nyilván következik, hogy ugyanazon vagy egyenlő sugarú körökön nagyobb ívnak nagyobb ívhossza van.
Továbbá könnyen belátható ennek alapján, hogy az ívhossz arányos (adott sugár mellett) a középponti szöggel.
23§. . Az ívhossz definíciójának folyománya, hogy ugyanazon középponti szög mellett á körív hossza arányos a sugárral (v. ö. 20. §). Eszerint (az ívhosszat -sel, a sugarat -rel jelölve) ugyanazon középponti szög esetén állandó; ezt a szög abszolút vagy analitikus mérőszámának nevezzük. Ez nyilván a szögnek arra a szögre, mint egységre vonatkozó mérőszáma, amelynél az ív egyenlő a sugárral. E szögegység neve: radiáns.
Az szög abszolút mérőszámát így jelöljük: (olv. arcus ). Minthogy a félkör kerülete (20., 22.
§), a 180-fokos szög abszolút mérőszáma , s ebből folyólag
vagyis
Például a szögeknek abszolút mérőszámai rendre
A Cantor-féle folytonossági axióma (10. §) alapján könnyen belátható, hogy bármely pozitív számhoz található olyan szög, amelynek abszolút mérőszáma -szel egyenlő. (Ha , a szög a teljes körülforgásnál nagyobb forgással áll elő.)
24§. . Legyen (12. ábra) valamely középpontú körívbe beírt nyilt sokszög , a
megfelelő körülírt sokszög és
Az körszektor (körcikk) területe alatt mindenesetre oly számot kell értenünk, amelyre
1.60. egyenlet - (1)
bárhogyan osszuk is fel az ívet a pontokkal. Megmutatjuk, hogy ilyen szám egy és
csakis egy van.
12. ábra.
Jelöljük a kör sugarát -rel és legyen . Messék az egyenesek a oldalakat az pontokban.
Akkor
s mivel a beírt sokszög hossza kisebb az ív hosszúságánál vagyis (23. §)
még inkább
1.61. egyenlet - (2)
Minthogy pedig a körülírt sokszög hossza az ívénél nagyobb, azaz
azért
1.62. egyenlet - (3)
24. § (2) és 24. § (3)-at összefoglalva
Látjuk, a
1.63. egyenlet - (4)
érték megfelel az 24. § (1) alatti követelésnek. Más ilyen szám azonban nincsen. Mert ha a beírt sokszög legnagyobb oldala
akkor
s minthogy mint a teljes körnél 19. § (4) mellett
még inkább
következőleg akármilyen kis pozitív -ra
ha a maximális oldal eléggé kicsiny.
Ezek szerint az sugarú középponti szögű körszektor területe nem lehet más, mint a 24. § (4) alatti érték (ha területegységül az egységnyi oldalú négyzet területét választjuk). Így definiálva a körszektor területét, nyilvánvaló, hogy kongruens körszektorok egyenlő területűek és két egyenlő sugarú körszektor összetételének területe egyenlő a részek területének összegével, lévén a körív hossza hasonló tulajdonságú 22. §
A fentebbiekhez hasonlóan látható be, hogy az sugarú kör területe nem lehet más, mint .
13. ábra.
25§. . Mivel valamely derékszögű koordinátarendszerben az
egyenletű körből az
1.64. egyenlet - (1)
ellipszis lesz annál az affin transformatiónál, amely a sík minden pontját ugyanakkora abszcisszájúés -szor akkora ordinátájú pontba viszi át (13. ábra), ez 25. § (1) ellipszis területe nem lehet más, mint a kör területének b/a-szorosa, vagyis a
1.65. egyenlet - (2)
érték. Ha u. i. egy a körbe beírt sokszög területe , a megfelelő körülírté pedig , e sokszögek az affin transformatiónál rendre , területű sokszögekbe mennek át, amelyek az ellipszisbe, ill. a köré vannak írva, s így az ellipszis területének e két terület közé kell esnie:
De ugyanezen korlátok közé esik a 25. § (2) alatti érték, mert 24. § S mivel e korlátok különbsége , ami a -vel együtt tetszőleges kicsiny, ha a körbe írt sokszög oldalai elég kicsinyek, következik, hogy az ellipszis területének a 25. § (2) alatti értékkel egyenlőnek kell lennie. Eszerint az
és féltengelyekkel bíró ellipszis területe nem lehet más, mint .