Tartalom
2. 1 A pozitív valós számok, mint végtelen tizedestörtek. ... 12 3. 2 Áttérés a valós számok összeségére. ... 33 4. 3 Az egyszerű számtani, harmonikus és geometriai közép. ... 37 5. 4 A kör kerülete és területe. ... 41 6. 5 Az összeg, szorzat és hányados folytonossága. Számhalmaz felső és alsó határa. ... 51 7. 6 Monoton sorozatok. ... 54 8. 7 A függvény általános definíciója. ... 76 9. 8 Függvény határértéke. ... 85 10. 9 Függvény folytonossága. ... 95 11. 10 A folytonos függvények alaptulajdonságal. ... 97 12. 11 Számsorozat határértéke. ... 104 13. 12 értékrendszerek tartományai ... 115 14. 13 Többváltozás függvény. Határértéke és folytonossága. ... 123 2. 2. fejezet Differenciálhányados. Határozott és határozatlan integrál. ... 130 1. 1 Differenciálhányados. A differenciálás szabályai. ... 130 2. 2 A differenciálhányados geometriai jelentése. ... 145 3. 3 Magasabbrendű differenciálhányadosok. ... 155 4. 4 Racionális egész függvény gyökeinek multiplicitása. ... 159 5. 5 A lokális és a monoton növekedés tétele. ... 164 6. 6 Konvexitás és konkávitás. ... 171 7. 7 Lokális szélsőérték. Inflexiós pont. ... 183 8. 8 A derivált alaptulajdonságai. Az általános Taylor-formula. ... 186 9. 9 Görbék érintkezése. Simuló kör. ... 203 10. 10 Parciális differenciálhányados ... 213 11. 11 Többváltozós lokális szélsőérték. ... 219 12. 12 Riemann szerint integrálható korlátos függvény. ... 226 13. 13 Korlátos variációjú függvény. ... 242 14. 14 Szorzat és hányados integrálhatósága. ... 249 15. 15 Az integrálszámítás első és második középértéktétele. ... 252 16. 16 Határozatlan integrál. ... 263 17. 17 A Jordan-féle területfogalom. ... 283 3. 3. fejezet Elemi függvények. ... 302 1. 1 A logaritmus és az exponenciális függvény. ... 302 2. 2 A hatvány, mint az alap függvénye. ... 329 3. 3 Trigonometrikus és ciklometrikus függvények. ... 341 4. 4 Logaritmikus derivált. Zárt analitikai kifejezések differenciálása ... 376 5. 5 A L’Hospital-szabály. ... 381 6. 6 Harmadfokú racionális egész függvény. ... 388 7. 7 Maximum-minimum feladatok. ... 400 8. 8 Néhány függvény diszkussziója. ... 410 9. 9 Aszimptota. ... 425 10. 10 Parameteres és polárkoordinátás előállítású görbék. ... 434 11. 11 Hiperbolás függvények. ... 454 12. 12 A Cauchy-féle függvényegyenletek. ... 469 4. 4. fejezet Az integrálszámítás egyes részei. ... 476 1. 1 Alapintegrálok. ... 476 2. 2 Néhány integrál kiszámítása. ... 484 3. 3 Területszámítások. ... 497 4. 4 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. ... 507 5. 5 Improprius integrálok. ... 516 6. 6 Racionális törtfüggvények integrálása. ... 5368. 8 Rektifikálható folytonos görbék a síkban. ... 563 9. 9 Térgörbe ívhosszúsága és érintője. ... 588 10. 10 Forgási test palástjának felszíne. ... 607 11. FÜGGELÉK.A komplex számok. Az algebra alaptétele. ... 619 5. 5. fejezet Végtelen sorok. ... 656 1. 1 Aszimptotikus egyenlőségek. ... 656 2. 2 A Cauchy- és a Toeplitz-féle határértéktétel. ... 660 3. 3 Végtelen sor konvergenciája és divergenciája ... 669 4. 4 Példák hatványsorba fejtésre ... 679 5. 5 Feltételes és abszolút konvergencia ... 695 6. 6 Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia- és divergencia-kritériumok ... 699 7. 7 Abszolút konvergens sor felbontása rész-sorokra ... 718 8. 8 Szummábilis sor ... 722 9. 9 Konvergens sorok szorzása ... 730 10. 10 Hatványsorok ... 737 11. 11 A binomiális sor ... 748 12. 12 Függvénysorozat és függvénysor egyenletes konvergenciája ... 754 13. 13 Példák trigonometrikus sorba fejtésre ... 766 14. 14 Függvénysor tagonkénti differenciálása és integrálása ... 782 15. 15 Az Euler-féle összegképlet ... 796
Előszó az I. kötet 3. kiadásához
Vannak könyvek, mint a „Pólya-Szegő”, a „Hardy-Wright”, vagy amit az olvasó a kezében tart, a „Szász Pál”, amelyekre csak a szerzők nevével hivatkozunk. E legendás alapműveknél a cím megadása teljesen felesleges, mindenki tudja, hogy melyik könyvről van szó. Egy szerzőnek ennél nagyobb elismerés nem is adathatik meg:
az olvasók széles tábora kerül generációkon keresztül személyes ismeretségbe a művével. A jelen könyv ezt az elismerést minden szempontból kiérdemelte.
Szász Pál monumentális műve a harmincas évek elején íródott, nem sokkal azután, hogy a klasszikus analízis alapfogalmai és alapvető tételei a mai formájukban véglegesen kikristályosodtak. Ez a könyv tartalmazza mindazt, amit a „calculusról” egy mérnöknek, matematikusnak, fizikusnak vagy tanárnak tudnia kell. Azonban a cím „A differenciálszámítás és integrálszámítás elemei” nem teljesen fedi a tartalmat, ugyanis itt sokkal többről van szó, nevezetesen a könyv tartalmazza a differenciálgeometria, a valós függvénytan és a topológia elemeit is.
De mi indokolja, hogy az 1951-ben megjelent 2. kiadás ötven év után változatlan formában megjelenjen? Ez a kérdés ma különösen aktuális, hiszen a számítógépek nem csak mindennapi életünket, de oktatási módszereinket és oktatásunk tartalmát is jelentősen megváltoztatják. A computer-algebrai programcsomagok minimális programozási technikák elsajátítása után valóban mentesítenek bennünket bizonyos kifejezések egyszerűsítése, deriváltak ill. integrálok kiszámítása, vagy görbék megszerkesztése ill. diszkutálása alól. Nem véletlen, hogy napjainkban a „calculus reform” néven jegyzett mozgalom egyre hangosabban hallatja hangját. Azonban a számítógépek segítsége nem pótolhatja a fogalmak és alapvető tételek elsajátítását. Nem csak arról van szó, hogy pl. egy háromszor iterált logaritmus függvény menete a fellépő számok kozmikus mérete miatt valószínűleg soha nem lesz a gépen megfigyelhető, hanem arról, hogy a hihetetlenül hatékony analízisbeli módszerek alkalmazása vagy továbbfejlesztése csak az elődök gondolatainak és módszereinek megismerése révén lehetséges. Szász Pál könyve ebből a szempontból egyedülálló mű. Rendkívül alapos, szemléletes és kimerítő tárgyalását adja a klasszikus analízis valamennyi fejezetének. Ha egy tétel vagy módszer szerepel, akkor rögtön ott van mellette az, hogy azt hogyan lehet tovább vinni, vagy hogy az eredményt miért nem lehet javítani. Kitűnő példák sorát tárgyalja a fizika, geometria és földrajz területéről. Eredeti munkákra való hivatkozásai és tudománytörténeti megjegyzései pótolhatatlanok. Nagyon gyakran találhatunk benne olyan klasszikus eredményeket ill. példákat, amelyeket más, a témából írott újabb művek már elfeledtek.
Hangsúlyozom, hogy a felépítés és tárgyalási mód modern. Nyelvezete itt-ott archaikus, de ez egyáltalán nem zavaró, sőt „ízes” stílusa élvezetes. Ma már nem használjuk az értékrendszer (= szám n-es), hiperbólás függvény (= hiperbolikus függvény), radicantus (= gyök alatti mennyiség) ill. egyenlőtlen konvergencia (= nem egyenletes konvergencia) kifejezéseket, ill. a mai matematikában a tartomány fogalma mást jelent (ezt a szerző az euklideszi tér tetszőleges részhalmazának megnevezésére használja). A könyvben kb. ennyi az eltérés a ma használatos terminológiától.
Többször lehet hallani, hogy Szász Pál könyve alaposságával és hatalmas anyagával nem alkalmas arra, hogy belőle oktassunk. Valóban, inkább kézikönyvként, referenciamunkaként ajánlatos a használata. Meggyőződésem azonban, hogy a saját példám általános érvényű: bár tanulni a „Szász Pálból” sok időt vesz igénybe, megtanulni az analízist csak ebből lehet. Szeged, 2000 május 10. Totik Vilmos
ELŐSZÓ
Szívesen teszek eleget Szász Pál óhajának, hogy műve második kiadása elébe is néhány sort helyezzek.
Az elsőhöz írt előszavam végén mondom: „Én úgy vélem, hogy Szász Pál e minden ízében átgondolt, alaposságot matematikai eleganciával egyesítő könyve irodalmunk igazi nyeresége, és összes főiskoláink matematikai hallgatóságának, de a magánúton tanulóknak is, bizonyára hasznára és örömére fog szolgálni.”
Ezt a reménységet Szász Pál analízise az elmúlt tizenhat esztendő alatt fényesen beváltotta. Könyve a magánúton tanulóknak, az összes főiskolák különböző kategóriájú matematikai hallgatóinak, de, hozzátehetjük, a szakadatlan fejlődésben lévő, klasszikus irányzatú matematikai analízis kutatóinak is valóban nélkülözhetetlen segédeszközévé vált.
A könyvre szükség volt, jól oldotta meg kitűzött feladatát, el is fogyott hamar rosan első kiadása. Mármost előttünk van a második, amely az első terjedelmét körülbelül annak 40 százalékával felülmulja.
Az új kiadás, amellett, hogy az analízis és alkalmazott analízis tanulásához elengedhetetlenül szükséges alapismereteket tartalmazza, gazdag tárháza az érdeke-sebbnél érdekesebb, újabb és legújabb analízisbeli tényeknek. Ezek jól áttekinthető rendszerbe vannak foglalva, és nagy előadásbeli művészettel megírva. Nem egy problémakör ebben az „analízis”-ben nyeri első feldolgozását, és mélyen meg vagyok győződve arról, hogy Szász Pál művének ez az újabb kiadása is, bármely országban meleg fogadtatásra találna. A körülbelül 1300 oldalnyi mű oly igazi és magasrangú tudományos munka terméke, hogy szerzőjét most, amikor az a magyar közönség elé kerül, mély megelégedés töltheti el.
Fejér Lipót
Budapest, 1951. november 20.