2. Stacionárius megoldások 11
2.3. A megoldások száma konvex f esetén
a 2.13. Állítás (a) része fennáll n≥ 1 esetén is a szubkritikus esetben. Ezt fogal-mazzuk meg a következő Állításban.
2.15. Állítás. Tegyük fel, hogy f(u) > 0, ha u > 0, valamint létezik és véges a
ulim→∞
f(u)
up határérték, ha 1< p <2∗, ahol 2∗ = n+2n−2, ha n >2, és2∗=∞, ha n≤2.
Ekkor létezik olyan c0>0, melyre (c0,∞)⊂D(T) és lim
+∞T = 0.
2.3. A megoldások száma konvex f esetén
Ebben a szakaszban a konvexf függvényeket fogjuk osztályozni a "time-map" alak-ja szerint, azaz meghatározzuk, hogy R függvényében hány pozitív megoldása van a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának. Az n= 1esetben teljes osztályozást tudunk adni, azaz bármely konvexf függvény esetén meg tudjuk adni a pozitív megoldások pontos számát. Az n > 1 esetben is számos ismert eredményt kapunk meg egysze-rűbb bizonyítással, ekkor azonban az osztályozás nem teljes. Mutatni fogunk olyan eseteket, amelyeknél a megoldások pontos számának kérdése még nyitott probléma.
Az ebben a szakaszban szereplő eredmények nagyrészt a [178] dolgozatban jelentek meg.
A "time-map" alakját, amint a fejezet elején már említettük, három fontos tulaj-donság jellemzi: az értelmezési tartomány, a monotonitás, és a határértékek. Amint látni fogjuk az osztályozás alapját a határértékek adják, amelyeket f(0) előjele, va-lamintf végtelenbeli viselkedése határoz meg a 2.11. és 2.13. Állítás szerint.
Osztályozásunk első szintjét f végtelenbeli viselkedése adja. Eszerint háromféle függvényt különböztetünk meg:
• aszimptotikusan szuperlineáris ( lim
u→+∞ f(u)
u = +∞),
• aszimptotikusan lineáris ( lim
u→+∞ f(u)
u ∈(0,+∞)) és
• aszimptotikusan szublineáris ( lim
u→+∞ f(u)
u ≤0).
Megjegyezzük, hogy f konvexitása miatt f(u)u monoton nagy u esetén, ezért a
u→lim+∞ f(u)
u határérték létezik.
Kezdjük vizsgálatainkat a legegyszerűbb, azaz a szublineáris esettel. Ekkor a konvexitás miatt f csökkenő, így csak az f(0) > 0 eset érdekes számunkra, hiszen különben f negatív, így a 2.6. Állítás miatt a (2.1)-(2.2) feladatnak nincs pozitív megoldása. Azf tehát egy pozitív értékből indul és csökken. Legyen az első gyöke α, amennyiben nincs gyöke, akkor legyen α = ∞. A 2.10. Állítás szerint ekkor D(T) = (0, α). A 2.11. Állítás szerintlim0T = 0, a 2.12., vagyα=∞ esetén a 2.14.
Állítás szerint pediglimαT =∞. Végül a 2.5. Állítás szerint T szigorúan monoton növő. ÍgyT értékkészlete a(0,∞) intervallum, és minden értéket pontosan egyszer vesz fel. Ezzel a következő Tételt igazoltuk.
2.1. Tétel. Legyenf konvex, aszimptotikusan szublineáris függvény, melyre f(0)>
0. Ekkor bármely R >0 esetén a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának pontosan egy megoldása van.
Aszimptotikusan szuperlineáris és lineárisf esetén a teljes osztályozás csakn= 1 esetén ismert. Az osztályozásf(0)előjele szerint történik. Az ezzel kapcsolatos ered-ményeinket foglalja össze a következő két tétel [178]. A tételek részben általánosít-hatók az n >1 esetre is, ezek az eredmények is a [178] dolgozatban olvashatók.
2.2. Tétel. Legyen n = 1, f : [0,∞) → R, f ∈ C2 szigorúan konvex függvény, melyre lim
u→+∞ f(u)
u = +∞.
(i) Ha f(u) > 0 (u ∈ [0,∞)), akkor létezik olyan Rsup > 0, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának R < Rsup esetén két megoldása, R=Rsup esetén egy megoldása van, R > Rsup pedig nincs megoldása.
(ii) Ha f(0) > 0 és az f függvénynek van gyöke a (0,∞) intervallumban, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának két megoldása van mindenR >0esetén.
(iii) Ha f(0) = 0 és f′(0) > 0, akkor létezik olyan Rsup > 0, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van R < Rsup esetén, és nincs megol-dása, ha R≥Rsup.
(iv) Ha f(0) = 0 és f′(0) ≤ 0, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van minden R >0 esetén.
(v) Ha f(0) < 0, akkor létezik olyan Rsup > 0, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van R≤Rsup esetén, és nincs megoldása, ha R >
Rsup.
Bizonyítás. Mindegyik esetben a T grafikonjának alakját határozzuk meg, en-nek segítségével eldönthető, hogy R különböző értékei esetén hány megoldása van a T(c) =R egyenletnek.
(i) A 2.11. és 2.13. Állítás szerint lim0T = lim+∞T = 0. Így a T függvénynek van egy maximuma, amely a 2.4. Állítás miatt az egyetlen szélsőértéke. Tehát T növekszik nullától valamely Rsup >0 számig, utána pedig csökken nulláig.
A T grafikonjának alakját a 2.2. ábra (a) részén láthatjuk.
(ii) A 2.8. Állítás szerint D(T) két részintervallumból áll, legyenek ezek (0, α) és (β,∞). A 2.11., 2.12. és 2.13. Állításból következik, hogylim0T = lim+∞T = 0 és limα−T = limβ+T = +∞. A 2.4. Állítás miatt T-nek nem lehet szél-sőértéke, így szigorúan monoton mindkét részintervallumon. TehátT minden pozitív értéket kétszer vesz fel. AT grafikonjának alakját a 2.2. ábra (b) része mutatja.
(iii) A 2.10., 2.11. és 2.13. Állítás miattD(T) = (0,∞), valamint fennálllim+∞T = 0éslim0T =Rsup, aholRsup>0a linearizált egyenlet,u′′+f′(0)u= 0, meg-oldásának első gyöke. Az 2.1. Állításból következően T szigorúan csökken,
2.3. A MEGOLDÁSOK SZÁMA KONVEXF ESETÉN 23
2.2. ábra. A (2.1)-(2.2) peremérték-problémához tartozó T leképezés grafikonjának alakja a 2.2. Tételben felsorolt eseteknek megfelelően.
ezért a (0, Rsup) intervallumban minden értéket pontosan egyszer vesz fel. A T grafikonjának alakját a 2.2. ábra (c) részén láthatjuk.
(iv) Haf′(0) = 0, akkor a 2.8. és 2.11. Állítások szerintD(T) = (0,∞)áslim0T = +∞. Ha f′(0)<0, akkor a 2.8. és 2.12. Állítások szerint létezik olyanβ >0, hogyD(T) = (β,∞)éslimβ+T = +∞. Mindkét esetben fennálllim+∞T = 0.
Az 2.1. Állításból következően T szigorúan csökken nulláig. A T grafikonját a 2.2. ábra (d) részén folytonos vonal mutatja.
(v) A 2.8. Állítás szerintD(T) = [β,∞)valamilyenβ >0esetén. Mivellim+∞T = 0, azért ismét az 2.1. Állításból következőenT szigorúan csökken nulláig. AT grafikonját a 2.2. ábra (d) részén szaggatott vonal mutatja.
Tekintsük végül az aszimptotikusan lineáris esetet. Ekkor az előző Tételhez ké-pest a lényeges változás, hogy lim+∞T = R∞ a 2.13. Állításból következően. A fenti Tétel bizonyításának kis módosításával az alábbit kapjuk.
2.3. Tétel. Legyen n = 1, f : [0,∞) → R, f ∈ C2 szigorúan konvex függvény, (2.1)-(2.2) peremérték-problémának R ≤ R∞ és R = Rsup esetén egy megoldása, és R∞ < R < Rsup esetén két megoldása van, R > Rsup esetén pedig nincs megoldása.
(ii) Ha f(0)>0 és f-nek van gyöke a (0,∞) intervallumban, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van R ≤ R∞, és két megoldása van R > R∞ esetén.
(iii) Ha f(0) = 0 és f′(0) >0, akkor létezik olyan Rsup> R∞, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának nincs megoldása, ha R≤R∞, egy megoldása van, ha R∞< R < Rsup, és nincs megoldása, haR ≥Rsup.
(iv) Ha f(0) = 0 és f′(0) ≤ 0, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának nincs megoldása R≤R∞ esetén, és egy megoldása van R > R∞ esetén.
(v) Ha f(0) < 0, akkor létezik olyan Rsup > R∞, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának nincs megoldása, ha R≤R∞, egy megoldása van, ha R∞< R≤ Rsup, és nincs megoldása, haR > Rsup.
2.4. Kvázilineáris egyenlet megoldásainak pontos száma
Az előző szakaszban ismertetett, konvex nemlinearitásra vonatkozó eredményeinket a [182] dolgozatban általánosítottuk kvázilineáris egyenletre ésp-konvex nemlineari-tásra. Tekintsük a következő peremérték-feladatot.
(|u′|p−2u′)′+f(u) = 0 (2.27)
u(−R) =u(R) = 0, (2.28)
ahol p ≥ 2 és f a [0,∞) intervallumon értelmezett C1 függvény, amely az alábbi értelembenp-konvex.
2.1. Definíció. Legyenp≥2, és tegyük fel, hogy azf ∈C1[0,∞)függvénynek van abszolút minimuma. Az f függvényt (szigorúan)p-konvexnek nevezzük, ha bármely α∈[0,∞) minimumpont esetén a
k(u) := f′(u)
|u−α|p−2 (u∈[0,∞), u6=α) függvény (szigorúan) növő.
Megjegyezzük, hogyp= 2esetén visszakapjuk a szokásos konvexitást, másrésztp >2 esetén a p-konvexitásból következik a konvexitás.
Célunk a (2.27)-(2.28) peremérték-feladat pozitív megoldásai pontos számának meghatározása. Ehhez ismét a megfelelő kezdetiérték-feladatból indulunk ki. Tech-nikai nehézséget jelent, hogy a megoldások az u(r0) =c, u′(r0) = 0 kezdeti feltétel mellett általában nem egyértelműek, azonban igazolható, hogyf(c)6= 0esetén egy-értelműség van, f(c) = 0 esetén pedig a konstans megoldáson kívül pontosan egy lokálisan növő, és egy lokálisan fogyó megoldás van. Így bevezethető a time-map, és ennek segítségével megadható a peremérték-feladat megoldásainak pontos száma.
A [182] dolgozatban részletesen vizsgáltuk a time-map értelmezési tartományát, ha-tárértékeit és monotonitását. Megjegyezzük, hogy a határérték kiszámításánál a π szerepét a
πp = 2 Z 1
0
1
√p
1−tpdt = 2π psinπp
2.4. KVÁZILINEÁRIS EGYENLET MEGOLDÁSAINAK SZÁMA 25