Az SIS dinamikához tartozó alapegyenlet összevonása a gráf

Tekintsük ismét az (5.1) lineáris rendszert, amelyben aP mátrix blokk-tridiagonális struktúrájú. Erre a rendszerre fogjuk most alkalmazni az összevonás előző szakaszban ismertetett általános módszerét, kihasználva a mátrix blokk-tridiagonális struktúrá-ját. Induljunk ki a fázistér speciális felépítéséből. Az előző szakaszban a fázistér általánosan az{1,2, . . . , n}halmaz volt. AzSIS dinamika ésN csúcsú gráf esetén a fázistér2^N elemű, azonban az{1,2, . . . ,2^N}halmaz helyett tekintsük az 5.1 szakasz elején bevezetett S halmazt fázistérnek. Ugyanis ezt a halmazt azI csúcsok száma szerint elő lehet állítani S = ∪S^k alakban, amely felbontást célszerű az összevonás során is megőrizni, azért, hogy az összevonás után is meg lehessen határozni az I típusú csúcsok számának várható értékét. Ugyanis egy tetszőleges összevonás során előfordulhat, hogy olyan mértékű az információvesztés, ami az összevonást haszon-talanná teszi. Például a triviális összevonás esetén, amikor a T mátrix egy csupa egyesből álló sorvektor, az összevonással kapottB mátrix1×1méretű nulla mátrix, ugyanis a P mátrix minden oszlopa zéró összegű. Így az összevont rendszerből csak azt lehet megtudni, hogy minden időpontban az állapotok valószínűségeinek összege egy, azonban például az I típusú csúcsok számának várható értéke nem határozható meg belőle. Mivel számunkra ennek meghatározása az egyik cél, azért a továbbiak-ban csak olyan összevonásokat tekintünk megengedettnek, amelyek megőrzik az I típusú csúcsok számát. Ez azt jelenti, hogy a partíciót csak úgy lehet megválasztani, hogy egy osztályba csak olyan állapotok kerülhetnek, amelyekben azI csúcsok száma azonos. Ezt fejezi ki a következő definíció.

5.2. Definíció. Az (5.1) lineáris rendszer (illetve a megfelelő Markov-lánc) összevon-ható, ha az S fázistérnek van olyan {L1, L2, . . . , Lm} partíciója, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.

1. Bármelyl számhoz létezik olyan k, amelyreL_l⊂ S^k.

2. Bármelyj, l∈ {1,2, . . . , m} számokhoz van olyanQ_jl, amelyre Q_jl= X

i∈Lj

Pir, ∀r ∈L_l, (5.7)

azaz a fenti összeg nem függ r választásától, amennyiben r∈L_l. Az m×m méretűQ mátrixot nevezzük aP összevonásának.

5.2. AZ ALAPEGYENLETEK EGYSZERŰSÍTÉSE ÖSSZEVONÁSSAL 75 Megjegyezzük, hogy a Definíció első részében az eredeti rendszer fázisterének az S halmazt tekintjük, a második részben viszont a fázisteret az{1,2, . . . ,2^N}halmazzal azonosítjuk. Ezen kettősség elkerülése érdekében célszerű a partíció osztályaira az alábbi jelölést használni. Azokat az osztályokat, amelyek az S^k részhalmazai jelölje L^k₁, L^k₂, . . . , L^k_l

k. Ekkor fenn kell állnia annak, hogy S^k = L^k₁ ∪L^k₂ ∪. . .∪L^k_l

k, és a partícióban az összes osztályok számam=l₀+l₁+. . .+l_N. Érdemes megemlíteni, hogy mindig fennáll l₀ = l_N = 1, mivel S⁰ és S^N részhalmazok egy eleműek. Az osztályok ezen új jelölésével a Definíció első része automatikusan teljesül, a második rész pedig azA^k és C^k mátrixok segítségével az alábbi módon fejezhető ki.

5.1. Lemma. Az (5.1) lineáris rendszer összevonható, ha mindenk∈ {0,1,2, . . . , N} esetén megadható azS^k halmaz olyan L^k₁, L^k₂, . . . , L^k_lk partíciója, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal.

Bármely p ∈ {1,2, . . . , l_k−1} és r ∈ {1,2, . . . , l_k} esetén létezik olyan A^k_rp szám, amelyre

A^k_rp = X

Si^k∈L^k_r

A^k_ij, ∀ S^k_j⁻¹ ∈L^k_p⁻¹, (5.8) azaz a fenti összeg független j-től, amennyiben Sj^k−1∈L^k_p⁻¹.

Bármely p ∈ {1,2, . . . , l_k+1} és r ∈ {1,2, . . . , l_k} esetén létezik olyan C^k_rp szám, amelyre

C^k_rp = X

S^ki∈L^k_r

C_ij^k, ∀ S^k+1j ∈L^k+1_p , (5.9)

azaz a fenti összeg független j-től, amennyiben S_j^k+1∈L^k+1_p .

Bizonyítás: Amint fent említettük, csak azt kell igazolni, hogy az 5.2. Definíció második feltétele teljesül. Tekintsünk két tetszőleges osztályt, legyenek ezekL_j ésL_l. Az osztályok új jelölése szerint létezik olyank∈ {0,1,2, . . . , N}ésr∈ {1,2, . . . , l_k}, hogyL_j =L^k_r, valamint létezik olyan h∈ {0,1,2, . . . , N} és p∈ {1,2, . . . , l_h}, hogy L_l=L^h_p. Az (5.1) egyenletben szereplőP mátrix blokk-tridiagonális szerkezete miatt a következő négy esetet érdemes külön-külön kezelni: h = k−1,h =k, h =k+ 1 vagy h értéke ettől eltérő. Ugyanis, tekintve a lehetséges átmeneteket, amelyekkel a rendszer egy S^k halmazhoz tartozó állapotba juthat, nyilvánvaló, hogy az S^k−1 halmazhoz tartozó állapotokból kerülhet ide fertőzéssel, azS^k+1 halmazhoz tartozó állapotokból pedig gyógyulással. A többi S^l halmazból, azaz l ∈ {0,1,2, . . . , N} \ {k−1, k+ 1}esetén nem juthat ide.

A továbbiakban mind a négy esetre külön megmutatjuk, hogy fennáll az össze-vonás definíciójában szereplő (5.7) egyenlet. A h =k−1 esetben aP mátrix azon része, amely az (5.7) egyenletben szereplő indexekhez tartozik az A^k mátrix része, ezért az (5.7) egyenlet ekvivalens az (5.8) egyenlettel. Ah=k+ 1esetben aP mát-rix azon része, amely az (5.7) egyenletben szereplő indexekhez tartozik aC^k mátrix része, ezért az (5.7) egyenlet ekvivalens az (5.9) egyenlettel. A h =k esetben a P mátrix azon része, amely az (5.7) egyenletben szereplő indexekhez tartozik aB^k mát-rix része, ezért az (5.7) egyenlet ekvivalens a következővel. Bármelyp∈ {1,2, . . . , l_k}

ésr ∈ {1,2, . . . , lk} számhoz van olyanB^k_rp, amelyre B^k_rp= X

Si^k∈L^k_r

B_ij^k, ∀ Sj^k ∈L^k_p. (5.10) Az utóbbi egyenletet az (5.8) és (5.9) egyenletekből kapjuk, az (5.16) felhasználá-sával, azaz figyelembe véve, hogy a P mátrix oszlopainak összege zérus. Végül, ha h 6=k−1, h6=k és h6=k+ 1, akkor aP mátrix azon része, amely az (5.7) egyen-letben szereplő indexekhez tartozik, csak nullákat tartalmaz, így (5.7) nyilvánvalóan fennáll.

Fő eredményünk bizonyítása előtt emlékeztetünk a gráf automorfizmus és a gráf automorfizmuscsoportjának definíciójára.

5.3. Definíció. Legyen G = G(V, E) egy gráf, melynek csúcshalmazát V(G), él-halmazát E(G) jelöli. Egy Φ : V(G) → V(G) bijekciót a gráf automorfizmusának nevezünk, haxy∈E(G)pontosan akkor áll fenn, haΦ(x)Φ(y)∈E(G). A gráf összes automorfizmusainak halmazát a kompozícióval, mint művelettel ellátva, a gráf auto-morfizmuscsoportjának nevezzük, ésAut(G)-vel jelöljük ([150]).

Esetünkben a gráf csúcsai színezettek, azazS vagy I típusúak lehetnek. A gráf automorfizmusnak a színezést is meg kell őriznie, azaz bármelyx, y∈V(G)esetén az x és Φ(x) csúcsnak, illetve azy ésΦ(y) csúcsnak ugyanolyan típusúnak kell lennie.

Azt mondjuk, hogy a Φ automorfizmus az S_i^k állapotot az S_j^k állapotba viszi, ha Si^k(l) = Sj^k(Φ(l)) minden l ∈ {1,2, . . . , N} esetén. Most meg tudjuk fogalmazni fő eredményünket, amely a gráf automorfizmuscsoportját összeköti a Markov-lánc összevonhatóságával.

5.1. Tétel. Vezessük be az S állapottérben az alábbi ekvivalenciarelációt. Az Si^k és Sj^k állapotok ekvivalensek, ha a gráfnak van olyan automorfizmusa, amely az egyiket a másikba viszi. Ezen ekvivalenciareláció osztályai az (5.1) rendszer összevonását adják.

Bizonyítás: Használjuk az osztályok jelölésére az 5.1. Lemmában bevezetett jelö-léseket. Megmutatjuk, hogy fennáll az (5.8) egyenlet. Az (5.9) egyenlet bizonyítása teljesen hasonló, ezért annak részleteit mellőzzük. Legyenek k ∈ {0,1,2, . . . , N}, p ∈ {1,2, . . . , l_k−1} és r ∈ {1,2, . . . , l_k} tetszőleges számok. Legyen Si^k1 ∈ L^k_r, Sj^k1⁻¹ ∈ L^k_p⁻¹, valamint legyen z = A^k_i1j1 6= 0. Ez azt jelenti, hogy az Si^k1 és Sj^k1⁻¹

állapotok csak egy csúcsban különböznek egymástól, jelölje ezt a csúcsotu, és legyen Si^k1(u) =I,S_j^k₁⁻¹(u) =S. Továbbá (5.2) szerint, az S_j^k₁⁻¹ állapotban azon I típusú csúcsok száma, amelyek össze vannak kötve azucsúccsal, egyenlőz/τ-val (lásd azA mátrix definícióját). Tekintsük most az L^k_p⁻¹ osztály egy másik elemét, azaz legyen Sj^k2⁻¹ ∈ L^k_p⁻¹. Ekkor van a gráfnak olyan automorfizmusa, amely az Sj^k1⁻¹ állapo-tot az Sj^k2⁻¹ állapotba viszi. Ezt az automorfizmust az Si^k1 állapotra alkalmazva az Si^k2 ∈L^k_r állapotot kapjuk. Ez azt jelenti, hogy azSi^k2 ésSj^k2⁻¹ állapotok ugyanolyan viszonyban vannak egymással, mint azSi^k1ésSj^k1⁻¹állapotok. Ezért fennállA^k_i2j2 =z.

5.3. ÖSSZEVONÁS KÜLÖNBÖZŐ TÍPUSÚ GRÁFOKON 77