Heterogén fokszámeloszlású gráf

A szimulációval való összehasonlítás is mutatja, hogy a (4.7) differenciálegyenlet elég pontatlan közelítést adhat, hiszen a hálózat szerkezetét nem lehet vele

mo-4.2. JÁRVÁNYTERJEDÉS HÁLÓZATON 59

4.3. ábra. (A 4.7) differenciálegyenlet megoldásának összehasonlítása a Monte-Carlo szimulációval N = 100 csúcsú Erdős-Rényi (bal oldalon), illetve reguláris véletlen gráf (jobb oldalon) ésSIS típusú dinamika esetén,n= 10,τ = 0.5,γ = 1.

dellezni. A legelső pontosabb modell a hálózat fokszámeloszlását veszi figyelembe [101, 119]. Legyen a k fokú csúcsok száma N_k, és a maximális fokszám M. Ekkor nyilvánN₁+N₂+. . .+N_M =N. A modell megadásához szükséges kompartmentek:

S1, S2, . . . , SM, valamint I1, I2. . . , IM, az 1,2, . . . , M fokszámú S, illetve I típusú csúcsok. AkfokúI típusú csúcsok számára az alábbi differenciálegyenletet írták fel a [119] dolgozatban. típusú átmeneteknek felel meg. Az első tag azt fejezi ki, hogy egy Sk osztályban levő csúcs τ kΘ(t) valószínűséggel megfertőződhet, ennek heurisztikus magyarázata ugyanaz, mint ami a (4.7) differenciálegyenlet bevezetésénél szerepelt, ugyanis Θ(t) at időpontban azI típusú csúcsokból kiinduló élek arányát adja meg.

A fenti modell azt tételezi fel, hogy a gráfban a csúcsokat a fokszámuktól füg-getlenül kötjük össze. A modell a hálózat finomabb szerkezetét is figyelembe tudja venni, ha bevezetjük ap(j|k) mennyiséget, amely azt adja meg, hogy a kfokú csú-csok hányad része kötődikjfokú csúcshoz. Ekkor az egyenlet a következő alakot ölti [88].

Megjegyezzük, hogy ha a csúcsokat a fokszámuktól függetlenül kötjük össze, akkor p(j|k) = _h^jN_kiN^j , így visszakapjuk a (4.10) differenciálegyenletet. A fenti modell segít-ségével a [186] dolgozatban azt is vizsgáltuk, hogy ha a gráfban csak kétféle fokszámú csúcs van, akkor ezek egymáshoz való kapcsolódásának mértékétől, melyet aszorta-tivitásnak neveznek, hogyan függenek a járvány terjedésének fontosabb jellemzői.

4.2.3. Effektív fokszám modell

A numerikus szimulációkkal való összehasonlításból kiderült, hogy ha a fokszámelosz-lás meglehetősen heterogén, azaz nagyon széles skálán változik a csúcsok fokszáma, mint például Barabási-Albert véletlen gráf esetén, akkor a (4.11) differenciálegyenlet-rendszer nem ad elég pontos közelítést. Ennek magyarázatára Ball és Neal [11]

kidolgozták az effektív fokszám (effective degree) fogalmát. Ennek segítségével az SIR esetben felírtak egy sokkal jobb közelítést adó, viszont sokkal több egyenlet-ből álló differenciálegyenlet-rendszert. Az SIS típusú járványterjedésre Lindquist és munkatársai írták fel a megfelelő egyenletrendszert [101], amelyet az alábbiakban ismertetünk.

Az eddigi modellekben akfokú csúcsokat mindössze két kompartmentre bontot-tuk, S_k jelölte a kfokú csúcsok közül az S típusúak kompartmentjét, I_k, pedig azI típusúakét. Az effektív fokszám modellben akfokú csúcsokat kétszerk+ 1 kompart-mentre bontjuk: S_k,0, S_k−1,1, . . . , S_0,k, valamint I_k,0, I_k−1,1, . . . , I_0,k, ahol S_s,i jelöli azonS típusú csúcsokat, melyekneksdarabS szomszédjuk ésidarabI szomszédjuk van. Ha a csúcsok fokszáma1ésM között van, akkor ezzel P^M

k=1

2(k+ 1) =M(M+ 3) kompartmentet hozunk létre, azaz differenciálrendszerünk ennyi egyenlet-ből fog állni. Megjegyezzük, hogy a kompartmentek nagy száma adhatja az effektív fokszám modell gyenge pontját, ugyanis például Barabási-Albert típusú véletlen gráf esetén könnyen előfordulhatnak magas fokszámú csúcsok, példáulM = 100nem irre-ális, így az egyenletrendszer akár 10000 egyenletből is állhat. AzS_s,ikompartmentből háromféle átmenet lehetséges. Az S csúcs megfertőződésével átkerülhetünk az I_s,i osztályba, melynek rátája τ iS_s,i, hiszen az S csúcsnak i darab fertőző szomszédja van. A második típusú átmenet akkor következik be, ha az S csúcsnak az egyik I típusú szomszédja meggyógyul, azaz átjutunk az Ss+1,i−1 kompartmentbe. Ennek rátája γiS_s,i, hiszen az S csúcsnak i darab fertőző szomszédja van. A harmadik típusú átmenet akkor következik be, ha azS csúcsnak az egyikS típusú szomszédja megfertőződik, azaz átjutunk az Ss−1,i+1 kompartmentbe. Ennek rátáját az alábbi heurisztikus valószínűségi okoskodással kaphatjuk meg. Ez esetben egy SS típusú él egyik végpontja fertőződik meg. Tekintsük először egy tetszőleges SS típusú él egyik végpontját, amely valamely S_j,l kompartmentbe tartozik, ahol j és l értéke 1 és kközött van, ahol k a csúcs fokszáma (így j+l =k), és kértéke 1 és M között van. Ezen S típusú végpontnak l darab fertőző szomszédja van, ezért τ l rátával fertőződik meg, és mivel j darab S szomszédja van, azért megfertőződése esetén az SS élek számaj-vel csökken. Így az SS élek csökkenésének összrátáját úgy kapjuk,

4.2. JÁRVÁNYTERJEDÉS HÁLÓZATON 61 hogy ezt összegezzük az összes S_j,l kompartmentre, amellyel az alábbit kapjuk

τ

Most már csak azt kell meghatároznunk, hogy azSS típusú élek hányad része olyan, amely egySs,i típusú S csúcshoz vezet. Az ilyen élek száma sSs,i, míg az összesSS élek száma

A kettő arányát kell megszoroznunk az SS élek csökkenésének összrátájával, így kapjuk azS_s,i kompartmentből az S_s−1,i+1 kompartmentbe jutás rátáját:

τ GsS_s,i, aholG=

Tehát azSs,ikompartmentből háromféleképpen lehet kijutni, és ezek rátáját megha-tároztuk. Ebbe a kompartmentbe bejutni is háromféleképpen lehet. Az első a csúcs gyógyulásával, azaz az I_s,i kompartmentből, melynek rátája nyilván γI_s,i. A má-sodik bejutási lehetőség egy szomszéd gyógyulásával az Ss−1,i+1 kompartmentből, melynek rátája γ(i+ 1)S_s−1,i+1, mivel az i+ 1 darab fertőző szomszéd bármelyi-ke meggyógyulhat. Végül bejuthatunk egy szomszéd megfertőződésével az S_s+1,i−1 kompartmentből, melynek rátája a fentihez hasonló okoskodással G(s+ 1)Ss+1,i−1, aholGa fenti kifejezés. Mivel azS_s,ikompartmentből háromféleképpen lehet kijutni, és háromféleképpen lehet bejutni is, azért a rá vonatkozó differenciálegyenletben hat tag fog szerepelni. AzIs,i kompartmentbe való be- és kijutást hasonlóképpen lehet megadni, így kapjuk végül az alábbiM(M+ 3)egyenletből álló differenciálegyenlet-rendszert.

A fenti rendszer közelítésének pontosságát a [101] dolgozatban vizsgálták egy kon-figurációs modellel létrehozott véletlen gráfon, melyben a fokszámeloszlást előírták, és a maximális fokszámM = 10volt. Kiderült, hogy míg a (4.10) rendszer viszony-lag gyenge közelítést ad, addig a (4.12)-(4.13) rendszer megoldása meglehetősen jól közelíti a Monte-Carlo szimulációból kapott eredményeket.

4.2.4. Momentum lezárással felírt modellek

A különböző kompartment modellek vizsgálatának egyik tanulsága az, hogy a kom-partmentek számát növelve egyre pontosabb közelítését kapjuk a Monte-Carlo szimu-lációból kapott eredményeknek, ráadásul egyre több véletlen gráf típus esetén jók a modellek, azonban a növekvő méretű differenciálegyenlet-rendszerek kezelése is egyre nehézkesebb. A továbbiakban olyan rendszereket mutatunk, amelyek csak néhány egyenletből állnak, mégis gráfok széles skálájára jó közelítést adnak. Térjünk vissza a kiindulási (4.6) differenciálegyenlethez. Az 5.4.1. szakaszban megmutatjuk, hogy az I típusú csúcsok számának várható értékére tetszőleges gráf esetén fennáll az

[I] =˙ τ[SI]−γ[I]

differenciálegyenlet, ahol [SI] az SI típusú élek számának várható értékét jelenti.

Mivel ez szintén ismeretlen, azért a fenti egyenlet önmagában nem alkalmas az [I]

meghatározására. Az eddigi kompartment modellek azt célozták meg, hogy az SI típusú élek számának várható értékét valamilyen módon összefüggésbe hozzuk I ér-tékével. Most azonban egy egészen más megközelítést mutatunk, nevezetesen azt, amikor az [SI] függvényre is felírunk differenciálegyenletet. Az 5.4.2. szakaszban megmutatjuk, hogy tetszőleges gráf esetén fennáll az

[I] =˙ τ[SI]−γ[I], (4.14)

[SI] =˙ γ([II]−[SI]) +τ([SSI]−[ISI]−[SI]), (4.15) [II] =˙ −2γ[II] + 2τ([ISI] + [SI]), (4.16)

[SS] = 2γ[SI˙ ]−2τ[SSI] (4.17)

differenciálegyenlet-rendszer, ahol [SSI], illetve [ISI]az ilyen típusú hármasok vár-ható értékét jelöli. Ez az egyenletrendszer továbbra sem zárt, azonban heurisztikus valószínűségi okoskodással a fenti hármasok várható értékére levezethető közelítő képlet, amely csak a párok várható értékét használja. Az ilyen képleteket nevezik momentum lezárási formuláknak (moment closure). A legegyszerűbb típus, amely reguláris véletlen gráf esetén igen jó eredményt ad, a következő okoskodáson alapszik [80, 105, 124, 144]. Legyen ismét n egy csúcs átlagos fokszáma, és tételezzük fel, hogy a gráf homogén fokszámeloszlású, azaz minden csúcs foka az n-hez közel van.

Az [SSI]várható érték kiszámításához tekintsünk egy S csúcsot és határozzuk meg, hogy az n szomszédja közül átlagosan hány I és hány S típusú van. AzS csúcsok száma átlagosan [S], így ezekből összesen n[S]él indul ki. Az SI típusú élek átla-gos száma [SI], így egy véletlenszerűen választott S csúcsból kiinduló él [SI]/n[S]

valószínűséggel vezet egy I csúcshoz. Így egy S csúcsból kiinduló n él közül átlago-san n[SI]/n[S] = [SI]/[S] darabSI típusú. Hasonló érveléssel, a maradék n−1 él [SS]/n[S]arányú része vezet egy másik S csúcshoz. Tehát az olyanSSI hármasok száma, melyek középső S csúcsa egy adott rögzítettS csúcs az

[SI]

[S](n−1)[SS]

n[S]

képlettel adható meg. Mivel minden S csúcsra ennyiSSI hármas illeszkedik, azért az SSI hármasok várható értékét a fenti képletet [S]-sel megszorozva kapjuk, azaz

4.2. JÁRVÁNYTERJEDÉS HÁLÓZATON 63 az alábbi formulával közelíthetjük:

[SSI]≃ n−1 n

[SS][SI] [S] .

Hasonló módon azISI hármasok várható értékére az alábbi képletet kapjuk [ISI]≃ n−1

n

[SI]² [S] ,

felhasználva, hogy[IS] = [SI]. Ezeket a közelítő képleteket a (4.14)-(4.17) differenci-álegyenlet-rendszerbe helyettesítve kapjuk a legegyszerűbb momentum lezárással fel-írt modellt.

A fenti levezetés meglehetősen heurisztikusnak tűnhet, ezért célszerű a differen-ciálegyenletekből kapott [I](t) várható értéket a Monte-Carlo szimulációból kapott értékkel összehasonlítani. Tekintsünk egy konfigurációs modellel előállított reguláris véletlen gráfot, melyben minden csúcs fokan= 10. EgyN = 100csúcsú gráfon1000 szimuláció átlagát mutatja a 4.4. ábra. Láthatjuk, hogy a differenciálegyenletekből kapott[I](t) várható érték igen jó közelítést ad.

0 1 2 3 4 5

0 10 20 30 40 50 60 70 80

t

I(t) ^simulationpair approximation

4.4. ábra. (A 4.14)-(4.17) differenciálegyenlet-rendszer megoldásának összehasonlítá-sa a Monte-Carlo szimulációvalN = 100csúcsú reguláris véletlen gráf esetén,n= 10, τ = 0.5,γ = 1.

Ezt az ábrát érdemes összehasonlítani a 4.3. ábrával, amelyen ugyanezen szimu-láció eredményét a (4.7) differenciálegyenlet megoldásával közelítettük. A két ábra összehasonlítása mutatja, hogy a hármasok szintjén történő lezárás sokkal jobb kö-zelítést ad, mint a párok szintjén történő lezárás. Természetes módon vetődik fel a magasabb szinten történő lezárás gondolata. A [73] dolgozatban felírták a négyesek szintjén történő lezárást, és összehasonlították a Monte-Carlo szimulációval. Termé-szetesen az így kapott differenciálegyenlet-rendszer jobb közelítést adott, azonban a javulás már nem volt olyan jelentős, mint a párokról hármasokra való áttérés.

Bár a fenti lezárás igen jó közelítést ad reguláris véletlen gráf esetén, ha ettől eltérő, de még mindig homogén fokszámeloszlású gráfot veszünk, akkor a közelítés

meglehetősen pontatlan lehet [190]. Ez például akkor látható, ha a gráfban jelentős klaszterezettség van [31]. Ennek mérésére szolgál a klaszterezettségi együttható φ, amely azt adja meg, hogy a gráfban található összes hármasok hányad része három-szög. A fenti heurisztikus érvelést módosítva Keeling a következő lezárást vezette be egy általánosABC hármas várható értékének közelítésére [80]

[ABC]≃ n−1

Ez φ = 0 esetén visszaadja a fenti lezárásokat. A fenti képletet szintén a (4.14)-(4.17) differenciálegyenlet-rendszerbe helyettesítve kapunk egy jobb közelítő modellt.

Ennek pontosságát ismét a Monte-Carlo szimulációval való összehasonlítás mutatja.

Ilyen összehasonlításokat különböző klaszterezettség esetén többek között a [190]

dolgozatban vizsgáltunk.

4.2.5. Háztartás típusú modellek

A járványterjedés gyakran bizonyos csoportokon belül sokkal erősebb, míg a különbö-ző csoportok között kevésbé meghatározó. Humán betegségek esetén ilyen csoportra természetes példa egy munkahelyi közösség vagy egy család. Ezen jelenséget széles-körben vizsgálták és vizsgálják az úgynevezett háztartás típusú hálózatok (networks with household structure) segítségével [9, 10, 12, 64, 72, 74, 127]. Álljon a hálózat m háztartásból, melyekben a legegyszerűbb esetben azonos számú, n, egyén van, azaz összesen N =mn elemű a hálózat. Az egy háztartáson belüli (within) fertőzés rátáját jelöljeλ_W, két különböző háztartásban levő egyed közötti (between) fertőzés rátáját pedig λ_B. A folyamat leírásához kétféleképpen lehet választani a kompart-menteket. Az első leírásban vezessük be az yi(t) függvényeket, amelyek az i-edik háztartásban a fertőzött egyedek arányát adják meg a t időpontban. Ezekre SIS típusú fertőzés esetén az alábbi differenciálegyenlet-rendszer írható fel [10]

˙

yi=λWyi(1−yi) + λB

m−1(1−yi)X

j6=i

yj−γyi, i= 1,2, . . . m. (4.18) Ebben az első tag a háztartáson belüli fertőzést, a második a háztartások közötti fertőzést, a harmadik pedig a gyógyulást fejezi ki.

A folyamat másik modelljében jelöljex_k(t)azon háztartások arányát, amelyekben k fertőzött egyén van at időpontban. Ezekre az alábbi rendszer írható fel

˙

(Ak= 0és k=nértékekre az egyenlet a nem megfelelő indexű tagok elhagyásával értelemszerűen módosul.) A differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak viselkedését

4.3. A NUMERIKUS SZIMULÁCIÓ 65 a [10] dolgozatban vizsgálták részletesen n = 2 esetén. Ekkor az egyenletben sze-replő három paraméter, λ_W, λ_B, γ ismeretében megadható az endemikus egyensúly (vannak fertőzöttek is a populációban, tehát x0 6= 1) létezésének pontos feltétele.

Tetszőlegesnesetén a [64] dolgozatban található hasonló, de nem szükséges és elég-séges feltétel.

4.3. A numerikus szimuláció

SIS típusú betegségterjedés esetén a rendszer állapotere a {0,1}^N halmaz. Jelölje a rendszer t időpontbeli állapotát x(t) ∈ {0,1}^N, ennek k-adik koordinátája x_k(t), melynek értéke 0, ha a k-adik csúcs S típusú, illetve 1, ha I típusú. Jelölje a gráf szomszédsági mátrixát A. Ekkor az Ax(t) vektor azt adja meg, hogy az egyes csú-csoknak hányI szomszédjuk van. Mivel csak azS csúcsok esetében van szükségünk az I típusú szomszédok számára, azért ezt a vektort koordinátánként megszorozzuk az e−x(t) vektorral, ahol e a csupa egyesből álló vektor. A koordinátánként való szorzásra vezessük be a∗ jelölést:

x∗y= (x₁y₁, x₂y₂, . . . , x_Ny_N).

Így az Ax(t)∗(e−x(t)) vektor S csúcsokhoz tartozó koordinátái azt adják meg, hogy az S csúcsoknak hány I típusú szomszédjuk van, azon koordinátái pedig nul-lák, amelyek az x(t) vektorban I csúcsoknak felelnek meg. Mind a fertőzést és a gyógyulást független Poisson-folyamatnak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy egy rövid

∆t idő alatt1−exp(−mτ∆t) annak a valószínűsége, hogy egyS csúcs, melynek m darabI szomszédja van, megfertőződik. Itt aτ számot nevezzük fertőzési rátának.

Hasonlóan, egy rövid ∆t idő alatt 1−exp(−γ∆t) annak a valószínűsége, hogy egy I csúcs meggyógyul. Aγ számot gyógyulási rátának nevezzük. Megjegyezzük, hogy a gyógyulás a szomszédok állapotától, és így a gráftól is független. A Monte-Carlo szimuláció során tehát generálunk egy r ∈ [0,1]^N véletlen számokból álló vektort.

Tekintsük a gráf egy csúcsát, jelölje ennek sorszámátj, és nézzük először azt az ese-tet, amikor ez a csúcs atidőpontban S típusú, azazx_j(t) = 0. At+ ∆tidőpontban ez a csúcsI típusú lesz, azaz megfertőződik, ha

r_j <1−exp (−(Ax(t)∗(e−x(t)))_jτ∆t).

Nézzük most azt az esetet, amikor ez a csúcs atidőpontbanI típusú, azazxj(t) = 1.

At+ ∆tidőpontban ez a csúcsS típusú lesz, azaz meggyógyul, ha r_j <1−exp(−γ∆t).

A ∆tszámot kellően kicsire kell választani ahhoz, hogy a Monte-Carlo szimulációk sokszori megismétlése jól közelítse a Poisson-folyamatot. Ennek numerikus részle-tei nem képezik a dolgozat tárgyát, annyit azonban érdemes megemlíteni, hogy a

∆t megfelelő választását ellenőrizhetjük azzal is, hogy a szimuláció során ∆t idő alatt csak egy csúcsnál történjen változás. Amennyiben a∆telegendően kicsi, akkor használhatjuk az 1−exp(−x) = x lineáris közelítést. Ennek segítségével könnyen

felírható, hogy mi annak feltétele, hogy a j-edik csúcsban változás történjen, neve-zetesen

rj <(Ax(t)∗(e−x(t))τ +x(t)γ)_j∆t.

Legyenv∈ {0,1}^N olyan vektor, amelynek azonjkoordinátáinál van 1, ahol a fenti feltétel fennáll, a többi koordinátája 0. Képlettel megadva

v= 1

2(sign[Ax(t)∗(e−x(t))τ∆t+x(t)γ∆t−r] +e),

ahol asign függvényt egy vektorra koordinátánként alkalmazzuk. Av vektor tehát azt adja meg, hogy a[t, t+ ∆t]időintervallumban mely csúcsoknál történik változás.

A változást megadó vektor pedige−2x(t), ugyanis ebben a vektorban azScsúcsoknál +1, az I csúcsoknál pedig−1szerepel. Így ∆t idő elteltével az állapotvektor

x(t+ ∆t) =x(t) +v∗(e−2x(t)) (4.20) lesz. A Monte-Carlo szimuláció algoritmusa tehát a következő. Megadunk egy kez-deti x(0) állapotot, illetve egy M lépésszámot, és a fenti képlettel meghatározzuk a ∆t,2∆t, . . . M∆t időpontokban az állapotvektort. A szimulációt kellően sokszor megismételve, és az eredmények átlagát véve a folyamat jó közelítését kapjuk.

Ha véletlen gráfon zajló folyamatot modellezünk, akkor az algoritmus valamivel bonyolultabb. Ekkor ugyanis sem a gráf szomszédsági mátrixa, A, sem a kezdeti állapotvektor x(0) nem rögzített. A szomszédsági mátrix helyett mátrixok egy A halmaza adott, ez adja meg, hogy milyen típusú véletlen gráfról van szó. A szimulá-ció ekkor a következőképpen zajlik. Véletlenszerűen választunk egy A∈ Amátrixot (általában egyenletes eloszlás szerint, vagy generálunk egy gráfot az A halmazból), majd generálunk egy véletlen kezdeti állapotot, szintén valamilyen előírt halmazból (legtöbbször azt írjuk elő, hogy hány egyes legyen benne). Ezután a (4.20) képlet alapján kiszámítjuk az állapotvektort a ∆t,2∆t, . . . M∆t időpontokban. Ezt meg-ismételjük kellően sokszor, de minden esetben új A ∈ A mátrixot és x(0) kezdeti állapotot generálunk.

A numerikus szimulációval kapott eredményeket különböző gráfok esetében a 4.2.

és 4.3. ábrákon láthatjuk.

5. fejezet

SIS dinamika általános gráfon

Tekintsünk ismét egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráfot, szomszédsági mátrixát jelöljeG∈ {0,1}^N2, azazg_ij = 1, amennyiben aziésjcsúcs össze vannak kötve, egyébként pedig g_ij = 0. A hálózaton SIS típusú járványterjedést fogunk vizsgálni, azaz a gráf csúcsai kétféle állapotban, fertőző (I), illetve egészséges (S), lehetnek. A gráf egy csúcsának állapota kétféleképpen változhat: egyI típusú csúcs adott valószínűséggel meggyógyul, azaz S típusú lesz, illetve egy S típusú csúcsot azI típusú szomszédai valamilyen valószínűséggel megfertőznek és maga is I típusú lesz. A gráf összes lehetséges állapotainak 2^N elemű halmaza alkotja az állapotte-ret, melyen a fenti átmenetek egy Markov-láncot határoznak meg. A fertőzési rátát szokásos módon τ, a gyógyulási rátát pedig γ fogja jelölni. A következő alfejezet-ben ezen Markov-lánc alapegyenletét fogjuk felírni tetszőleges gráf esetén. A gráf tetszőleges voltát azért hangsúlyozzuk, mert az irodalomban, Sharkey más megköze-lítést alkalmazó dolgozatait kivéve [132, 133], csak speciális gráfok esetén írták fel az alapegyenletet, tetszőleges gráfra az alapegyenletet a [188] dolgozatban adtuk meg.

5.1. Alapegyenletek

Egy adott időpontban minden csúcs egészséges(S)vagy fertőző(I), ezért a rendszer állapota egyN hosszúságú vektorral adható meg, melynek minden elemeS vagyI. Így a Markov-lánc állapottere azS ={S, I}^N vagy S ={0,1}^N, 2^N elemet tartal-mazó halmaz. A rendszer dinamikáját az átmenet mátrix határozza meg, amely azt adja meg, hogy az egyes állapotokból milyen valószínűséggel jut a rendszer egységnyi idő alatt egy másik állapotba. A folyamatot folytonos idejűnek tekintve az átmenet mátrix segítségével felírható az alapegyenlet, amely egy lineáris differenciálegyenlet-rendszer az egyes állapotok valószínűségeire. Ennek felírásához először célszerű a2^N elemet tartalmazó állapotteret a következő N + 1 részhalmazra felbontani. Legyen S⁰ az az állapot, amelyben minden csúcs S típusú, azaz S⁰ = (S, S, . . . , S). Je-lölje S^k azon állapotok halmazát, amelyekben k darab I típusú csúcs van. Az S^k részhalmazban tehát ^N_k

állapot van. Végül jelölje S^N a csupa I csúcsból álló álla-potot, azazS^N = (I, I, . . . , I). AzS^krészhalmaz elemeit jelöljeS1^k,S2^k, . . . ,Sc^kk, ahol c_k = ^N_k

. Az Sj^k állapotban az l-edik csúcs típusát jelölje Sj^k(l), tehát Sj^k(l) = S, vagySj^k(l) =I. Amint fent említettük, a rendszer állapota kétféleképpen változhat.

67

• Fertőzés: Egy S csúcs I típusú lesz, ami Sj^k → Si^k+1 típusú átmenet, ahol j és iolyanok, hogy ∃l, amelyre Sj^k(l) =S, S_i^k+1(l) = I, és Sj^k(m) =S_i^k+1(m)

∀ m6=l. Továbbá∃ r6=l, amelyreSj^k(r) =I ésg_lr= 1(azaz van(S, I)típusú él azl ésr csúcs között).

• Gyógyulás: EgyI csúcs S típusú lesz, amiSj^k → S_i^k−1 típusú átmenet, ahol j és iolyanok, hogy ∃l, amelyre Sj^k(l) =I,Si^k−1(l) =S, és Sj^k(m) =Si^k−1(m)

∀ m 6= l. Ez azt jelenti, hogy az S_j^k és S_i^k−1 állapotok csak egy csúcsnál, nevezetesen az l-edik csúcsnál különböznek.

A folyamatot egy folytonos idejű Markov-lánccal fogjuk leírni. Jelölje X_j^k(t) annak valószínűségét, hogy atidőpontban a rendszer azSj^kállapotban van. Legyen

X^k(t) = (X₁^k(t), X₂^k(t), . . . , X_c^k_k(t))

a k beteget tartalmazó állapotok valószínűségeit tartalmazó c_k-dimenziós vektor, k = 0,1, . . . , N. A fenti átmenetek az X_j^k(t) függvényekre egy lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszert határoznak meg, ezt fogjuk alapegyenlet-nek, vagy master egyenletnek nevezni. Mivel az átmenetek során a fertőző csúcsok száma legfeljebb eggyel változhat, azért az alapegyenlet az alábbi blokk-tridiagonális alakba írható.

X˙^k=A^kX^k−1+B^kX^k+C^kX^k+1, k= 0,1, . . . , N, (5.1) ahol A⁰ ésC^N zérus mátrixok. A fenti egyenlet mátrix alakja

X˙ =P X, ahol

P =











B⁰ C⁰ 0 0 0 0

A¹ B¹ C¹ 0 0 0 0 A² B² C² 0 0 0 0 A³ B³ C³ 0 ... ... · · · ...

0 0 · · · A^N B^N









 .

Megjegyezzük, hogy az irodalomban gyakran a P mátrix transzponáltját használ-ják, ez esetben X nem oszlop, hanem sorvektor, mi azonban a differenciálegyenlet-rendszerek hagyományainak megfelelően a változók oszlopvektoros jelölését fogjuk használni.

AzA^k mátrixok írják le a fertőzés, aC^kmátrixok pedig a gyógyulás folyamatát.

A hálózat szerkezete azA^kmátrixokban tükröződik. Ezen mátrixok elemeit az alábbi módon lehet meghatározni. Jelölje A^k_i,j az A^k mátrix i-edik soránakj-edik elemét.

Ez a szám adja meg azS_j^k−1 állapotból azS_i^kállapotba történő átmenet rátáját. Az S^k−1 osztálynak c_k−1, azS^k osztálynak pedig c_k eleme van, ezért az A^k mátrixnak c_k sora és c_k−1 oszlopa van. Az A^k_i,j elem pontosan akkor nem nulla, ha az Sj^k−1

és Si^k állapotok csak egy csúcsban térnek el egymástól, legyen ez az l-edik csúcs, és

5.1. ALAPEGYENLETEK 69 fennáll Sj^k−1(l) = S,Si^k(l) =I, valamint Sj^k−1(m) = Si^k(m) minden m 6= l esetén.

Továbbá léteznie kell olyanr 6=l számnak, amelyreS_j^k−1(r) =I ésg_lr = 1(azaz az l-edik ésr-edik csúcsot egy (S, I) él köti össze). Ebben az esetben

A^k_i,j =τ·#{r ∈ {1,2, . . . , N}:Sj^k−1(r) =I, g_lr= 1}. (5.2) Az A^k mátrix felépítésének szemléltetéséhez tekintsünk egy S_j^k−1 állapotot, és

A^k_i,j =τ·#{r ∈ {1,2, . . . , N}:Sj^k−1(r) =I, g_lr= 1}. (5.2) Az A^k mátrix felépítésének szemléltetéséhez tekintsünk egy S_j^k−1 állapotot, és

In document Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben Simon L. Péter (Pldal 62-0)