Hálózatok típusai

Ebben a szakaszban ismertetjük a leggyakrabban vizsgált gráf típusokat, amelyeken hálózati folyamatokat tanulmányoznak. Mivel a dolgozat tárgyát differenciálegyen-letek képezik, azért a jelen szakaszban természetesen nem célunk a különböző gráf típusok kimerítő tárgyalása, mindössze a további vizsgálatainkhoz szükséges gráfok-kal kapcsolatos ismereteket szeretnénk összefoglalni.

A hálózati folyamatok vizsgálatának első lépése minden esetben a teljes gráf vizsgálata, amely lényegében azt jelenti, hogy a hálózatnak nincs szerepe, hiszen minden csúcs hatással van minden más csúcsra. Ebben az esetben a folyamatot közönséges differenciálegyenlettel jól lehet közelíteni, ha gráf csúcsszáma elegendően nagy. A modell változói az x_k(t) függvények, amelyek az a_k típusú (k= 1,2, . . . m) csúcsok számát adják meg atidőpontban. Ezekre a függvényekre az átmeneti ráták ismeretében egyszerű kompartment modellt lehet felírni. AzSIS dinamika esetében például a differenciálegyenletek a következő alakot öltik: x˙_S = γx_I−τ x_Sx_I, x˙_I =

−γxI+τ xSxI [27, 44]. (MivelxS(t) +xI(t) =N, a csúcsok száma, azért valójában egy egyenlet elegendő a folyamat leírásához.)

4.1. A MATEMATIKAI MODELL 53 A legegyszerűbb hálózat, amelynél már a folyamat térbelisége is szerepet kap a rács. Nagyszámú csúccsal rendelkező gráfok esetében ekkor a folyamat paraboli-kus parciális differenciálegyenlettel közelíthető. A járványterjedés esetében reakció-diffúzió egyenletekkel írható le a folyamat. Ekkor a modell változói a helytől és időtől függő u_k(t, x) függvények, amelyek az a_k típusú (k= 1,2, . . . m) csúcsok sűrűségét adják meg a t időpontban és az x helyen. Az SIS dinamika esetében például az I típusú csúcsok számát megadó reakció-diffúzió egyenlet a következő alakba írható:

∂_tu_I =D∆u_I +τ u_I(1−u_I)−γu_I. Ilyen típusú járványterjedési modelleket sokan vizsgáltak, bonyolultabb dinamika esetén is [30, 47].

Társadalmi hálózatokon zajló folyamatok, mint például a hírek terjedése, vagy a járványterjedés, szempontjából fontosak az olyan gráfok, amelyek kisebb teljes grá-fokból épülnek fel. Ezeket gyakran háztartás szerkezetű gráfoknak nevezik, mivel a kisméretű teljes gráfok háztartásokat reprezentálnak, amelyek valamilyen módon összeköttetésben állnak egymással. A járványterjedés modellezésénél használt kü-lönböző háztartás hálózatokat a következő szakaszban részletesen fogjuk ismertet-ni [9, 10, 12, 64, 72, 74, 127]. A legtöbb esetben közönséges differenciálegyenlet-rendszerekkel modellezhetők ezek a folyamatok, ugyanis két szintű teljes keveredést tételeznek fel, egyrészt a háztartásokon belül, másrészt a háztartások között.

A valóságban vizsgált hálózatok esetében a legritkább esetben lehet a hálózatot megadó gráfot pontosan megadni, egyrészt a csúcsok és élek nagy száma, másrészt a kapcsolatokról való ismeret szegényessége miatt. Ezért a hálózat modellezésének kézenfekvő útja a véletlen gráfok használata, amely lényegében azt jelenti, hogy a hálózatot nem egy gráffal adjuk meg, hanem gráfok egy halmazával, amelyből a folya-mat egy realizációja során véletlenszerűen választunk egy gráfot. A véletlen gráfok hatalmas irodalommal rendelkeznek, és számos kérdést vetettek fel. Itt csak néhány fontosabb típust ismertetünk, és utalunk az alapvető monográfiákra [22, 25, 112]. Az egyes típusok ismertetésénél alapvetően a [25] könyv 1. fejezetére támaszkodunk.

Véletlen gráfokat matematikai szempontból először Erdős és Rényi, valamint tő-lük függetlenül Gilbert vizsgáltak 1959-ben [53, 63]. Adott n és m pozitív egész esetén a G(n, m) Erdős-Rényi véletlen gráf egy véletlenszerűen választott gráf az összes olyan gráfok halmazából, amelyeknek n csúcsa és m éle van. (Feltételezve, hogy a véletlenszerű választásnál minden gráfot azonos valószínűséggel választhat-juk.) Megjegyezzük, hogy a Gilbert féle definícióban nem az élek száma, hanem az egyes élek létrehozásának valószínűsége,padott. Egyszerűen látható, hogymésp kö-zött fennáll ap= _n(n^2m

−1) összefüggés. Az Erdős-Rényi véletlen gráf fokszámeloszlása binomiális, amelyet nagy csúcsszám esetén Poisson-eloszlással közelíthetünk. Erdős és Rényi világhírű eredménye a gráf legnagyobb komponense méretével kapcsolatos fázisátmenet felfedezése. Nevezetesen, p=c/n esetén, ha c <1 akkor a legnagyobb komponens O(logn) méretű, míg c >1 esetén O(n) méretű. Az Erdős-Rényi vélet-len gráf, c >1 esetén rendelkezik a valóságos hálózatok "kis-világ" tulajdonságával, nevezetesen az átlagos úthossz két csúcs között (a legrövidebb utak átlagos hossza bármely két csúcsra kiszámítva) jóval kisebb a csúcsok számánál. Igazolható, hogy ez O(logn) nagyságrendű, amely népszerűen kifejezi azt, hogy két tetszőleges sze-mély összeköthető ismerősök legfeljebb öt hosszúságú láncolatával, amelyet először Karinthy Frigyes fogalmazott meg 1929-ben a Minden másképpen van című tárca-gyűjteményének "Láncszemek" című fejezetében [43].

A valóságos hálózatok vizsgálata során kiderült, hogy a "kis-világ" tulajdonság mellett fontos szerepe van a hálózat klaszterezettségének, amelynek legegyszerűbb jellemzője a klaszterezettségi együttható. Ez azt adja meg, hogy egy csúcs szomszé-dai között milyen valószínűséggel van él. Az Erdős-Rényi véletlen gráf klaszterezett-ségi együtthatója 1/n nagyságrendű, míg a valóságos hálózatoké általában sokkal nagyobb, melyet népszerűen úgy lehet kifejezni, hogy a barátom barátja nagy való-színűséggel nekem is barátom. Felmerült tehát az igény olyan véletlen gráfok beve-zetésére, amelyek a "kis-világ" tulajdonság mellett viszonylag nagy klaszterezettségi együtthatóval rendelkeznek. Ez vezetett a kilencvenes évek végén a Watts-Strogatz modell definiálásához [148]. A modell egy n csúcsú körgráfból indul ki, amelynek minden csúcsát összekötjük a legközelebbi k szomszédjával (a mellette levő két csú-csot is beleszámítva). Ezután egy β ∈[0,1] paramétert választva, végighaladunk a gráf csúcsain és az egyes csúcsokból a nagyobb indexű csúcsba futó éleket (egymás-tól függetlenül)β valószínűséggel megszüntetjük. Végül egy megszüntetett él helyett az adott csúcsból egy véletlenszerűen választott csúcsba egy új élet hozzáveszünk a gráfhoz. Az algoritmus így egy olyan gráfot hoz létre, amelynek nk/2 csúcsa van (a k számot párosnak kell választani). A β paraméter értékét változtatva olyan gráfo-kat kaphatunk, amelyek interpolációt jelentenek a β = 0 esethez tartozó reguláris gráf és a β = 1 esethez tartozó Erdős-Rényi véletlen gráf között. A β = 0 esetben nagy a klaszterezettség, de nincs "kis-világ" tulajdonság, míg aβ= 1 esetben éppen fordítva, kicsi a klaszterezettség, viszont fennáll a "kis-világ" tulajdonság. Watts és Strogatz megmutatták, hogyβ értéke megválasztható olyan módon, hogy viszonylag nagy a klaszterezettség mellett a "kis-világ" tulajdonság is teljesüljön.

A Watts-Strogatz modellben kapott véletlen gráf jobban hasonlít a valóságos há-lózatokra, mint az Erdős-Rényi véletlen gráf, azonban egy lényeges szempontból, a fokszámeloszlást tekintve lényegesen eltér azoktól. Egy gráf fokszámeloszlása p(k) azt adja meg, hogy a csúcsok hányad részénekka fokszáma. Mind az Erdős-Rényi és a Watts-Strogatz véletlen gráf esetében p(k) értéke exponenciálisan csökken, ahogy k növekszik. Azaz nagyon kis valószínűséggel fordulnak elő ezekben a véletlen grá-fokban magas fokú csúcsok. A valóságos hálózatokban, azonban a magas fokszámú csúcsok meglehetősen tipikusak. Számos különböző hálózatot megvizsgálva kiderült, hogy a fokszámeloszlás nagykértékekre hatványfüggvényel adható meg, azaz nagyk esetén p(k)≈ck^−γ valamilyen γ esetén (amely tipikusan 2 és 3 közötti értéket vesz fel a vizsgált hálózatokban). A különböző hálózatok vizsgálatával kapott eredmé-nyekről kiváló összefoglalást olvashatunk Albert és Barabási cikkében [2]. Barabási és Albert a [14] dolgozatban bevezettek egy preferált kapcsolódással létrehozott vé-letlen gráf modellt, amelyben a fokszámeloszlás nagy kértékekre hatványfüggvényel adható meg. Barabási és Albert valójában nem a véletlen gráfot definiálták, hanem egy algoritmust adtak, amely egy gráfot hoz létre a következőképpen. Egy kis gráf-ból kiindulva csúcsok egyenkénti hozzávételével konstruálják meg azncsúcsú gráfot.

Egy új csúcs hozzávételekor mindig adott számú él indul ki belőle, amelyekkel a már meglevő csúcsokhoz olyan módon kötődik, hogy minél nagyobb fokszámú egy csúcs, annál nagyobb valószínűséggel kötődik hozzá. A [14] dolgozatban az algoritmus nincs teljes matematikai szigorúsággal megadva, a véletlen gráf pontos definícióját, azaz az LCD modellt (linearized chord diagrams), Bollobás és Riordan adták meg a [26]

dolgozatban. Megjegyezzük, hogy a fokszámeloszlás tekintetében a Barabási-Albert

4.2. JÁRVÁNYTERJEDÉS HÁLÓZATON 55