Hálózati folyamatokkal kapcsolatos saját eredmények

A hálózati folyamatokkal kapcsolatos saját kutatásaink a dinamikai rendszerek és reakció-diffúzió egyenletek vizsgálata során szerzett tapasztalatainkra épülnek. Ku-tatásaink kezdetén különböző típusú hálózatokat és folyamatokat leíró kompartment modelleket vizsgáltunk a differenciálegyenletek kvalitatív elméletének eszközeivel.

EzutánSIStípusú járványterjedés esetén a2^N egyenletből álló alapegyenlet-rendszer redukálásának lehetőségeit tanulmányoztuk. A legutóbbi kutatásaink adaptív háló-zatok megértését célozzák meg. Olyan folyamatokat tanulmányozunk, amelyeknél gráf maga is megváltozik a csúcsok állapotától függően. A folyamat során élek szűn-nek meg, illetve jönszűn-nek létre a végpontjaik állapotától függően. Az alábbiakban az e három területen végzett munkánkat foglaljuk össze. Az értekezésben részletesen az alapegyenlet-rendszer redukálásával kapcsolatos eredményeinket mutatjuk be.

Információ és járványterjedés

Amennyiben a gráf pontos szerkezete nem ismert (ez áll fenn általában valós model-lek esetén), akkor a gráf struktúráját valamennyiben magában foglaló, mégis jelentős egyszerűsítéseket tartalmazó modelleket célszerű bevezetni. Ezen modellek esetében az egyszerű járványterjedésnél összetettebb folyamatok is vizsgálhatók. A témával foglalkozó első dolgozatunkban egy olyan közönséges differenciálegyenlet-rendszert vizsgáltunk, amely az úgynevezett preferált kapcsolódással jellemezhető hálózaton történő járványterjedést ír le. Egy ilyen hálózatot olyan véletlen gráffal modellez-nek, amelyben a csúcsok kétféle fokszámúak, nevezetesen vannak sok, illetve kevés szomszéddal rendelkező csúcsok. Ezenkívül a modell megadott paraméterei jellem-zik, hogy a magas illetve alacsony fokszámú csúcsok milyen arányban kötődnek az ugyanolyan, illetve ellenkező típusúakhoz, azaz egy adott típusú (fokszámú) csúcs milyen típusúakhoz való kapcsolódást preferál. A [186] dolgozatban megvizsgáltuk, hogy különböző kapcsolódási preferenciák esetén a differenciálegyenlet-rendszer meg-oldásainak tulajdonságaiból mire lehet következtetni a járvány lefolyását illetően.

Két további dolgozatban [187, 189] olyan differenciálegyenleteket vizsgáltunk, amelyek a járvány terjedésével párhuzamosan a járvánnyal kapcsolatos információ terjedését is modellezik a hálózaton. Ezekben a gráfon a csúcsok kapcsolódását vé-letlenszerűnek tekintjük, a differenciálegyenlet kompartment típusú modellből szár-mazik, mind a fertőző, és az egészséges csúcsok két kompartmentbe sorolhatók, asze-rint, hogy a járvány terjedéséről rendelkeznek-e információval, illetve tájékozatlanok.

Különböző feltételezésekből kiindulva számos differenciálegyenlet-rendszer felírható.

Az egyszerűbb modelleket analitikusan megvizsgálva sikerült az információ és beteg-ségterjedés kapcsolatáról biológiailag is releváns elméleti eredményeket igazolni, és ezekkel a szimulációból kapott eredményeket alátámasztani.

Az alapegyenlet redukciója

Az alapegyenlettel kapcsolatos eredményeink az SIS típusú járványterjedés esetére vonatkoznak. A [188] dolgozatban tetszőleges gráf esetén felírtuk az alapegyenletet, amely az irodalomban addig nem jelent meg. Megmutattuk, hogy a gráf automor-fizmuscsoportjának ismeretében az egyenletrendszer mérete jelentősen csökkenthető

1.2. HÁLÓZATI FOLYAMATOK 9 (akár N lineáris függvénye is lehet, ha a gráfnak elegendően sok automorfizmusa van). Ugyanebben a dolgozatban bebizonyítottuk, hogy tetszőleges gráf esetén az I típusú csúcsok számának várható értéke kielégíti az úgynevezett mean-field differen-ciálegyenletet. A [190] dolgozatban a párok számának várható értékére vonatkozó differenciálegyenleteket is levezettük tetszőleges gráf esetén. Ezeket az eredményeket az értekezés 5.4. szakaszában mutatjuk be. Amennyiben az alapegyenlet redukálható N+ 1egyenletre (például teljes gráf esetén), akkor a redukált rendszerből a várható értékre vonatkozó egyenlet lezárására is levezethetők képletek. Ezzel nem-lineáris, viszont kevés egyenletet tartalmazó rendszert kaphatunk, amely N → ∞ esetén az eredeti egzakt rendszer határátmeneteként adódik. A határátmenet egzakt bizonyí-tását, különböző esetekre a [192, 193, 194] cikkek tartalmazzák. Ezen eredményeket az értekezés 6.1. szakaszában tárgyaljuk.

Adaptív hálózatok

Az adaptív hálózatokkal kapcsolatos munkánk keretében olyan folyamatokat tanul-mányoztunk, amelyeknél az élek létrehozása és megszüntetése a csúcsok állapotától függ. Ez a járványterjedés esetében például azzal motiválható, hogy a fertőzöttekkel a többi csúcs igyekszik megszűntetni a kapcsolatát, és ezzel egyidejűleg új kapcsola-tokat hoz létre. A neurális hálózatok modellezése során is fontos annak vizsgálata, hogy a folyamat során maga a gráf hogyan változik, ennek például az embrionális fejlődés során van hatása az agy kialakulására. Az előző vizsgálatainkhoz hasonlóan a csúcsok kétféle állapotban lehetnek, fertőzött (I) és egészséges (S). Így háromféle él fordulhat elő a gráfban SS, SI ésII típusú. Ezek létrehozására és megszünteté-sére három-három rátát adtunk meg, és felírtunk egy öt-változós differenciálegyenlet rendszert azS ésI típusú csúcsok, valamint a háromféle él számának megváltozásá-ra. A rendszerben két paraméter a csúcsok típusának megváltozásával kapcsolatos, hat paraméter pedig az élek létrehozását és elvágását jellemzi. Ebben a rendszerben számos bifurkáció fordulhat elő. A [191] dolgozatban a differenciálegyenlet megoldá-sait hasonlítottuk össze a Monte-Carlo szimulációból kapott eredményekkel, és azt vizsgáltuk, hogy az élek változását meghatározó dinamikától függően milyen egyezést mutat a kétféle megközelítés. A rendszerben megjelenő bifurkációk elméleti vizsgá-latát a [195] dolgozatban közöltük. Kiderítettük, hogy legfeljebb három egyensúlyi pont lehet, melyek közül az egyik a triviális, ún. fertőzés nélküli egyensúly, melyben az I csúcsok száma nulla. Háromféle bifurkációt találtunk a rendszerben. Az első a fertőzés nélküli egyensúlyban megjelenő transzkritikus bifurkáció, melynek során a triviális egyensúly elveszíti stabilitását, és egy ún. endemikus egyensúly jelenik meg.

A második bifurkáció nyereg-csomó típusú, ennek során két endemikus egyensúly jöhet létre. Végül az egyik endemikus egyensúlyban Hopf-bifurkáció következhet be, amely szuperkritikus típusúnak bizonyul, mivel stabil határciklushoz vezet.

2. fejezet

Reakció-diffúzió egyenletek stacionárius megoldásai

Ebben a fejezetben az egy reakció-diffúzió egyenletre (m= 1) vonatkozó, stacionárius megoldások számával kapcsolatos eredményeinket ismertetjük. LegyenΩ⊂Rⁿsima határú tartomány, a legtöbb esetben ez gömb lesz, és tekintsük a

∆u+f(u) = 0

szemilineáris elliptikus egyenletet azonosan nulla Dirichlet peremfeltétel, azazu|∂Ω= 0 mellett. Vizsgálatunk tárgya a pozitív megoldások száma. A kérdésfelvetés ilyen formában nagyon általános, az irodalomban több ezer publikáció található ezzel kap-csolatosan, melyek különböző tartományok és különböző nemlinearitások esetén tár-gyalják a kérdést. (A Mathematical Reviews keresője az "elliptic positive solution"

szavakra mintegy 6500 találatot ad.) Általános tartomány esetén a megoldások szá-mának vizsgálatára topológiai, variációs és monoton módszereket, valamint bifur-kációs technikákat alkalmaznak. A nemlinearitások tekintetében jelentős és gyors fejlődésnek lehetünk tanúi az irodalmat tanulmányozva. Először monotonf függvé-nyek esetén vizsgálták a kérdést, majd a konkáv és konvex függvéfüggvé-nyek után olyanok következtek, melyek egy szakaszon konvexek egy másikon pedig konkávak. Az ered-mények nagyrészt a megoldás létezéséről, illetve egyértelműségéről szólnak. Több megoldás létezésének bizonyítása jóval nehezebb feladat, a megoldások pontos szá-mának eldöntése pedig csak speciális esetekben sikerül. Az általunk kitűzött cél az általános kérdésfelvetésnél annyiban egyszerűbb, hogy gömb tartományon vizsgál-juk a feladatot, viszont szeretnénk a megoldások pontos számát megadni, legalábbis bizonyos nemlinearitások esetén. A továbbiakban tehát a

∆u+f(u) = 0 B_R-ben (2.1)

u = 0 ∂B_R-en (2.2)

peremérték-problémát vizsgáljuk, aholB_R az origó közepű R sugarú gömb.

Gömb tartomány esetén a pozitív megoldásokról ismert, hogy radiálisan szim-metrikusak [62], ezért a feladat az alábbi, közönséges differenciálegyenletre vonatkozó

11

peremérték-feladatra redukálódik.

ru^′′(r) + (n−1)u^′(r) +rf(u(r)) = 0 (2.3) u^′(0) = 0, u(R) = 0. (2.4) Célunk tehát ezen feladat pozitív megoldásainak pontos számát meghatározni. A fejezet felépítése a következő. Először a mi vizsgálatainkhoz kapcsolódó ismert ered-ményeket tárgyaljuk, majd vizsgálatunk eszközével a "time-map" leképezéssel kap-csolatos alapvető definíciókat és tételeket ismertetjük. Ezt követően mutatjuk be a konvex f függvényekre, kvázilineáris egyenlet eseténp-konvex függvényekre, vala-mint szinguláris nemlinearitásokra vonatkozó eredményeinket. Végül a stacionárius megoldások stabilitásáról szóló eredményeinket ismertetjük.

2.1. Irodalmi áttekintés

Az irodalomban a (2.1)-(2.2) peremérték-feladat helyett legtöbbször a

∆u+λf(u) = 0 B₁-ben (2.5)

u = 0 ∂B₁-en (2.6)

problémát vizsgálják, melyben azRhelyett aλa paraméter. Egyszerű változótransz-formáció mutatja, hogy a két feladat az R² =λhelyettesítéssel ekvivalens. Ugyanis, hau megoldása a (2.1)-(2.2) problémának, akkorU(y) =u(√

λy)megoldása a (2.5)-(2.6) feladatnak. Ebben a szakaszban a (2.5)-(2.5)-(2.6) peremérték-feladattal kapcsolatos eredményeket foglaljuk össze. Megjegyezzük, hogy számos dolgozat foglalkozik a fel-adattal más tartományokon, például gyűrű alakú tartományon, vagy teljes téren [95].

Ezeket az eredményeket itt nem ismertetjük.

A vizsgálatok természetesen az f(u) = u lineáris esetből indultak ki, amelynél pontosan akkor létezik pozitív megoldás, ha λ = λ₁, a −∆ operátor sajátértéke.

(Ekkor végtelen sok pozitív megoldás van).

Az első nem-lineáris eredmény az f(u) = u^p függvényre vonatkozott, Pohozaev 1965-ben bebizonyította [122], hogy pontosan akkor létezik pozitív megoldás, ha p < ⁿ⁺²_n−2. A bizonyítás két új gondolaton alapult. Pohozaev egyrészt levezetett egy (később róla elnevezett) azonosságot, melynek radiális megoldásokra vonatkozó alakját, (2.26)-t, később használni fogjuk. Ennek segítségével egyszerűen látható, hogy p ≥ ⁿ⁺²_n−2 esetén nincs megoldás. Másrészt variációs módszer alkalmazásával igazolta, hogyp < ⁿ⁺²_n−2 esetén van pozitív megoldás (amely egy megfelelően választott funkcionál feltételes szélsőértéke), sőt ez egyértelmű is.

Pohozaev ezen eredménye nagy hatással volt a későbbi vizsgálatokra. Joseph és Lundgren 1973-ban azf(u) = (1 +u)^pesetet vizsgálták [78]. Kiderült, hogyp= ⁿ⁺²_n−2 esetén itt is jelentősen megváltozik a megoldások száma. Míg a kritikus érték alatt pontosan kettő megoldás van, haλegy adott érték alatt van, és nincs megoldás ezen érték feletti λesetén, addig p > ⁿ⁺²_n−2 esetén olyanλ értékek is vannak, amelyeknél végtelen sok pozitív megoldás van. A megoldások pontos számát fázissík analízissel tudták meghatározni, az egyenletet autonóm két-változós rendszerré transzformálva.

A későbbi intenzív kutatásokat Brezis és Nirenberg 1983-as cikke [28] indította el. Ebben foglalkoztak először az f(u) = u^p +u^q esettel, elsősorban akkor, amikor

2.1. IRODALMI ÁTTEKINTÉS 13 p = ⁿ⁺²_n−2 és 1 ≤q < ⁿ⁺²_n−2. A q = 1 esetben igazolták, hogy a megoldás létezésének feltételen ≥4 esetén λ < λ₁, n = 3esetén pedig λ ∈(λ₁/4, λ₁). A q > 1 esetben megmutatták, hogy bármely pozitívλválasztása mellett létezik megoldás, han≥4, vagyn= 3 és 3< q <5 (ekkor a kritikus kitevő ⁿ⁺²_n−2 = 5). Az n= 3 és 1< q ≤3 esetben megmutatták, hogy csak bizonyosλértékek felett van megoldás.

Brezis és Nirenberg ezen cikke nyomán sokan vizsgálták a megoldások pontos számát. Míg Brezis és Nirenberg általános tartományon tanulmányozták a kérdést, addig a megoldások pontos számával kapcsolatos eredmények elsősorban a gömb tartomány és radiális megoldások esetére vonatkoztak. Atkinson és Peletier 1986-ban megmutatták [8], hogy az előbb említett p = 5, n = 3 és 1 < q ≤ 3 esetben gömbön létezik legalább két pozitív megoldás, haλbizonyos érték felett van. Ezután az eredmény után intenzív kutatás indult meg azzal a céllal, hogy kiderítsék, melyn és1≤q < p < ⁿ⁺²_n−2 értékek mellett lesz azf(u) =u^p+u^qesetben a pozitív megoldás egyértelmű.

A q = 1 esetben az egyértelműséget különböző módszerekkel egymástól függet-lenül többen is bebizonyították: Zhang [153], illetve Kwong és Li [97] 1992-ben, Srikanth [138] 1993-ban, valamint Adimurthi és Yadava [1] (kvázilineáris egyenlet-re is) 1994-ben. Ezekben a dolgozatokban az egyértelműséget p = ⁿ⁺²_n−2 esetén is igazolták.

Ha q > 1, akkor láttuk, hogy p = ⁿ⁺²_n−2 esetén lehet két megoldás is, azonban a p < ⁿ⁺²_n−2 esetben csak egyértelműségi eredmények vannak. Az első, korai ered-mény Ni és Nussbaum nevéhez fűződik [114]. Már 1985-ban bebizonyították, hogy 1 ≤ q < p < _n−ⁿ₂ esetén a megoldás egyértelmű. Zhang 1995-ben [154] azt mutat-ta meg, hogy n(p−1) ≤ 2(q + 1) esetén egyértelmű a megoldás. Végül Erbe és Tang 1997-ben [54] bebizonyították, hogy p−1 ≤q < p < ⁿ⁺²_n−2 esetén a megoldás egyértelmű. Ez utóbbi eredményből az is következik, hogy ha n≥6, akkor a teljes vizsgált tartományban, azaz1≤q < p < ⁿ⁺²_n−2 esetén egyértelmű a megoldás, ugyan-is n ≥6 esetén ⁿ⁺²_n−2 ≤2, így p−1 ≤ q automatikusan teljesül. A három dolgozat [54, 114, 154] eredményét érdemes a (p, q) paraméter síkon összehasonlítani, amint a 2.1. ábrán látható az n = 3 esetben. Az 1 ≤ q < p < ⁿ⁺²_n−2 háromszögben a megadott szakaszoktól balra eső részben igazolták a fenti dolgozatok szerzői az egy-értelműséget. Mint láttuk, n≥6 esetén az egész háromszögben egyértelműség van, azonban 2 < n < 6 esetén a háromszög bizonyos részein a megoldások száma nem ismert. Numerikus vizsgálataink azt mutatják, hogy az egyértelműség nem is igaz a háromszög jobboldali éle mellett.

A 0 < q < 1 esetet is többen vizsgálták a megoldások száma szempontjából.

Ouyang és Shi 1999-ben igazolták [116], hogy n ≥ 4 és 1 < p < _n−ⁿ₂ esetén egy bizonyosλérték alatt két megoldás van, felette pedig nincs megoldás. Yadava [149]

megmutatta, hogy ez az állításn= 3esetén és valamivel bővebb(p, q)tartományban is igaz. Ez a tartomány azonban még nem fedte le a0< q <1< p≤ ⁿ⁺²_n−2 téglalapot.

Végül Tang 2003-ban igazolta, hogy az állítás fennáll a teljes téglalapban [141].

A 0 < q < p < 1 háromszögben található p és q értékekre az f(u) = u^p +u^q függvény szublineáris, ezért minden λ esetén pontosan egy pozitív megoldása van a (2.5)-(2.6) peremérték-feladatnak, általános tartomány esetén is [29].

A szuperkritikus (p > ⁿ⁺²_n−2) tartomány nagy részében nem ismert a megoldások

0 1 2 3 4 5 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Ni, Nussbaum

Zhang

Erbe, Tang n=3

p q

2.1. ábra. A (2.5)-(2.6) peremérték-feladat megoldásának egyértelműségef(u) =u^p+ u^q ésn= 3esetén. A [54, 114, 154] dolgozatokban adott feltételek összehasonlítása.

Az egyértelműség az 1≤q < p < ⁿ⁺²_n−2 háromszögben a megadott szakaszoktól balra eső részben teljesül. Azn= 3esetben a kritikus érték ⁿ⁺²_n−2 = 5, és a [114] dolgozatban szereplő határ _nⁿ₋₂ = 3.

pontos száma. Mindössze annyit mondhatunk, hogy ha p > q > ⁿ⁺²_n−2, akkor a Pohozaev-azonosságból egyszerűen következik, hogy nincs megoldás.

A fenti összefoglalást azf(u) =u^p+u^qfüggvény esetére végeztük el, azonban az említett dolgozatok nagy része általánosabb f függvényekre vonatkozik. Pohozaev [122] dolgozata után többen vizsgálták a konvexf függvény esetét. Mint láttuk, már az f(u) = (1 +u)^p esetében is rendkívül bonyolult lehet a bifurkációs diagram, ezért konvex esetben csak az n = 1 esetben lehet teljes leírást adni. Laetsch dolgozatai [98, 99] és Schaaf [130] könyve nyomán megadtuk a bifurkációs diagrammok teljes osztályozását konvex f és n = 1 esetén [178]. A konvex esethez képest konkáv f függvényekre teljesebb leírás adható több dimenziós tartományok esetén is. Erről számos eredményt olvashatunk Castro és munkatársai dolgozataiban [34, 35, 36]. A konvex-konkáv típusú nemlinearitások (amikor f egy szakaszon konvex, egy mási-kon pedig mási-konkáv) vizsgálata Ambrosetti, Brezis és Cerami cikkével kezdődött [5].

Ebben az esetben elsősorban az f(u) = u^p −u^q, f(u) = u^p +u^q (q < 1), illetve f(u) =u(u−b)(c−u) függvények adják a vizsgálatok motivációját. Ezekkel számos szerző foglalkozott [54, 90, 91, 115, 116, 147, 155]. Kiemelendő Ouyang és Shi [116]

dolgozata, melyben bizonyos kiegészítő feltételeket teljesítő konvex-konkáv típusú nemlinearitások esetén megadják a bifurkációs diagrammok teljes osztályozását.

2.2. A "time-map" módszer

Ebben a szakaszban bemutatjuk vizsgálataink legfontosabb eszközét az ú.n. célba-lövéses, vagy "time-map" módszert. A módszer lényege, hogy a (2.3) differenciál-egyenletet először a (2.4) peremfeltétel helyett az

u(0) =c, u^′(0) = 0 (2.7)

2.2. A "TIME-MAP" MÓDSZER 15 kezdeti feltétellel tekintjük. Az egyenlet az r = 0 pontban adott kezdeti feltétel mellett szinguláris, így a hagyományos egzisztencia és unicitás tétel nem alkalmaz-ható. Azonban annak bizonyításához hasonlóan igazolható, hogy a fenti kezdeti feltétel mellett létezik egyetlen C² megoldás u(·, c) bármely c > 0 esetén [137]. Ez-után a peremérték-probléma megoldását az ú.n. célbalövéses módszerrel keressük (shooting), azaz a cértékét változtatjuk mindaddig, amíg olyan megoldást kapunk, amelynek első gyöke aR pontban van. Ehhez definiáljuk az alábbi leképezést (time-map).

T(c) = min{r >0 :u(r, c) = 0} ; D(T) ={c >0 :∃r >0u(r, c) = 0}. (2.8) A (2.3)-(2.4) peremérték-probléma pozitív megoldásainak száma tehát egyenlő a T(c) =R egyenlet c-re kapott megoldásainak számával. Ennek meghatározásához a T leképezés alábbi tulajdonságaira van szükség:

• T értelmezési tartománya;

• T határértéke az értelmezési tartomány határpontjaiban;

• T monotonitása az értelmezési tartomány részintervallumaiban.

A következő szakaszokban a time-map fenti három tulajdonságának általános vizsgálatával foglalkozunk.

2.2.1. A "time-map" monotonitása

A monotonitás meghatározásához célszerű a T függvényt meghatározó u(T(c), c)≡0 u(r, c)>0, 0< r < T(c)

implicit egyenletet használni. Az egyenletet differenciálva, aT függvény deriváltjára az alábbi adódik

∂_ru(T(c), c)T^′(c) +∂_cu(T(c), c)≡0. (2.9) AT szélsőértékeinek vizsgálatakor szükség van a második derivált előjelére azokban a pontokban, ahol az első derivált eltűnik. A fenti egyenletet deriválva azt kapjuk, hogyT^′(c) = 0esetén

∂_ru(T(c), c)T^′′(c) +∂_c²u(T(c), c) = 0. (2.10) A (2.9) és (2.10) egyenletekben szereplő c szerinti parciális deriváltakat a variációs egyenletből határozhatjuk meg. A továbbiakban azf függvényről mindig feltételez-zük a kellő simaságot a megfelelő deriváltak létezéséhez. Deriváljuk tehát a (2.3) differenciálegyenletetcszerint. Bevezetve a

h(r, c) =∂_cu(r, c), z(r, c) =∂_c²u(r, c) függvényeket, az alábbi kezdetiérték-feladatokat kapjuk

rh^′′(r, c) + (n−1)h^′(r, c) +rf^′(u(r, c))h(r, c) = 0 (2.11) h(0, c) = 1, h^′(0, c) = 0, (2.12)

rz^′′(r, c) + (n−1)z^′(r, c) +rf^′(u(r, c))z(r, c) +rf^′′(u(r, c))h²(r, c) = 0(2.13) z(0, c) = 0, z^′(0, c) = 0,(2.14) Ezen függvények segítségével a (2.9) és (2.10) egyenletek az alábbi alakba írhatók

u^′(T(c), c)T^′(c) +h(T(c), c) = 0, (2.15) u^′(T(c), c)T^′′(c) +z(T(c), c) = 0, (2.16) ahol az utóbbi csak T^′(c) = 0 esetén áll fenn. Vegyük észre, hogy ezekben az egyen-letekben u^′(T(c), c) < 0, hiszen T(c) az u függvény első zérushelye. Így T^′(c) és T^′′(c) előjelét a h ész függvény előjele határozza meg. Ezen függvények gyökeinek elhelyezkedését a Sturm-féle szeparációs tétel segítségével fogjuk vizsgálni. Ezen té-telek alkalmazásakor szükség lesz a v(·, c) =u^′(·, c) függvényre. Az erre vonatkozó differenciálegyenletet és kezdeti feltételt az u függvényre vonatkozó (2.3) differenci-álegyenletből (pontosabban annakr-rel elosztott alakjából), valamint a (2.7) kezdeti feltételbőlr szerinti deriválással kapjuk

rv^′′(r, c) + (n−1)v^′(r, c) + (rf^′(u(r, c))−n−1

r )v(r, c) = 0 (2.17) v(0, c) = 0, v^′(0, c) = −f(c)

n . (2.18) A deriváltra vonatkozó kezdeti feltételt a (2.3) differenciálegyenletbőlu^′′(0) kifejezé-sével és a L’Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk. Az alábbiakban, ha nem okoz félreértést, akkor az u, h, z, v függvények második változóját nem írjuk ki, tehát például u(r, c) helyett u(r)-et írunk. A továbbiakban alapvető fontosságú lesz az alábbi Lemma [178].

2.1. Lemma. Ha n= 1, akkor ah függvénynek legfeljebb egy gyöke lehet a[0, T(c)]

intervallumban.

Bizonyítás. Az n= 1 esetben a hésv függvényre vonatkozó (2.11) és (2.17) diffe-renciálegyenlet megegyezik. Ezért a Sturm-féle szeparációs tétel szerint a két függ-vény gyökei elválasztják egymást. Ha a h függvénynek lenne két gyöke a [0, T(c)]

intervallumban, akkor a v függvénynek is lenne gyöke, azaz u^′ valahol 0 lenne a (0, T(c)) intervallumban. Ez azonban lehetetlen, ugyanis egyrészt a radiális szim-metriára vonatkozó [62] cikkbeli tételbőlu^′(r)<0is következik mindenr∈(0, T(c)]

esetén, másrészt ez elemien is igazolható, ahogy hamarosan látni fogjuk.

A Lemmát a [178] dolgozatban bizonyítottuk ilyen egyszerű formában, ugyanis ennek segítségével konvex nemlinearitás esetén teljes leírás adható a megoldások pon-tos számáról. A későbbi vizsgálatokban alapvető szerepet játszik az alábbi feltétel, melynek az irodalomban "disconjugacy" feltétel a neve:

A hfüggvénynek legfeljebb egy gyöke lehet a [0, T(c)]intervallumban. (2.19) A Lemma szerint, ez bármely f függvény esetén teljesül, ha n= 1. Azonban n >1 esetén csak bizonyos függvényekre igaz. Amint ez közvetve már ismert volt, a (2.19)

2.2. A "TIME-MAP" MÓDSZER 17 feltétel nem igaz például azf(u) = (1+u)^p függvény, ésp > ⁿ⁺²_n−2 esetén [78], valamint az f(u) =u⁵+u² függvény és n= 3 esetén [8]. A feltétel teljesülésének bizonyítása a legtöbb esetben meglehetősen nehéz. Azonban mivel kulcsszerepet játszik a megol-dások pontos számának meghatározásában, azért számos speciális esetben igazolták n >1 esetén is. Az f(u) =u^p+λu^q függvény esetében különböző p és q értékekre a 2.1. szakaszban felsorolt dolgozatok mindegyikében, ahol egyértelműséget igazol-nak, bebizonyítják a (2.19) feltételt. Az f(u) =u^p−λu függvény esetében Kwong [96] és McLeod [108] igazolták a feltétel teljesülését.

Nézzük meg most, hogy a T deriváltjaira vonatkozó fenti képletek a Sturm-féle szeparációs tétel segítségével hogyan használhatók aT monotonitásának eldöntésére.

A Sturm-féle szeparációs tétel közvetlen alkalmazása helyett, az annak bizonyításá-ban használt alábbi azonosságot fogjuk használni. Legyenek u₁, u₂ : [r₁, r₂] → R kétszer folytonosan differenciálható függvények. Ekkor

Z r2

r1

(rⁿ⁻¹u^′₁(r))^′u2(r)−(rⁿ⁻¹u^′₂(r))^′u1(r)dr = (2.20) rⁿ₂⁻¹(u^′₁(r2)u2(r2)−u1(r2)u^′₂(r2)) +rⁿ₁⁻¹(u1(r1)u^′₂(r1)−u^′₁(r1)u2(r1)).

2.1. Állítás. Tegyük fel, hogy teljesül a (2.19) feltétel és f szuperlineáris, azaz uf^′(u)−f(u) > 0 minden u > 0 esetén, (vagy másszóval ^f(u)_u szigorúan monoton növő). Ekkor fennáll T^′<0.

Bizonyítás. Az ués hfüggvényekre (2.3) és (2.11) alapján fennállnak az

(rⁿ⁻¹u^′)^′+rⁿ⁻¹f(u) = 0, (rⁿ⁻¹h^′)^′+rⁿ⁻¹f^′(u)h= 0 (2.21) differenciálegyenletek. Szorozzuk meg az első egyenleteth-val, a másodikat pedig u-val, vonjuk ki egymásból a kettőt, majd integráljunk a[0, T(c)]intervallumon. Ekkor a (2.20) azonosságot alkalmazvar₁= 0,r₂ =T(c),u₁ =u,u₂ =h esetén

Z T(c)

0

rⁿ⁻¹h(r) u(r)f^′(u(r))−f(u(r))

dr= (T(c))ⁿ⁻¹u^′(T(c))h(T(c)).

Ebből következik, hogy ahfüggvénynek van gyöke a[0, T(c)]intervallumban, ugyan-is, ha nem lenne ott gyöke, akkor a baloldal pozitív, a jobboldal pedig negatív lenne.

Most kap szerepet a (2.19) feltétel, ugyanis ekkor a 2.1. Lemma miatt ah függvény-nek nem lehet több gyöke, teháth(T(c))<0. Ebből viszont (2.15) szerint következik T^′(c)<0.

2.2. Állítás. Legyenn≥1, és tegyük fel, hogyf szublineáris, azazuf^′(u)−f(u)<0 mindenu >0 esetén, (vagy másszóval ^f(u)_u szigorúan monoton fogyó). Ekkor fennáll T^′>0.

Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy ah függvénynek nincs gyöke a [0, T(c)] interval-lumban. Ugyanis tegyük fel, hogyh(r^∗) = 0 ésr^∗ a h első gyöke, (ezérth^′(r^∗)<0).

Szorozzuk meg a (2.21) első egyenletét h-val, a másodikat pedig u-val, vonjuk ki

egymásból a kettőt, majd integráljunk a [0, r^∗] intervallumon. Ekkor a (2.20) azo-nosságot alkalmazva r₁ = 0,r₂ =r^∗,u₁=h,u₂ =u esetén

Z r^∗

0

rⁿ⁻¹h(r) f(u(r))−u(r)f^′(u(r))

dr = (r^∗)ⁿ⁻¹u(r^∗)h^′(r^∗).

Ekkor a baloldal pozitív, a jobboldal pedig negatív, amely azt igazolja, hogy a h függvénynek nincs gyöke a[0, T(c)]intervallumban. Így teháth(T(c))>0, melyből (2.15) szerint következik T^′(c)>0.

Megjegyezzük, hogy a szuperlinearitás és a szublinearitás a függvény konvexitá-sával függ össze, hiszen az l(u) = uf^′(u)−f(u) függvényre l^′(u) = uf^′′(u). Ezért f^′′ > 0 és f(0) ≤ 0 esetén, l(0) ≥ 0 és l^′(u) > 0, így uf^′(u)−f(u) = l(u) > 0, amennyiben u > 0. Hasonlóan f^′′ <0 és f(0)≥0 esetén, l(0)≤0 ésl^′(u)<0, így uf^′(u)−f(u) = l(u) <0, amennyiben u > 0. Tehát az alábbi egyszerű Állítás áll fenn.

2.3. Állítás. Haf^′′>0ésf(0)≤0, akkorf szuperlineáris. Haf^′′<0ésf(0)≥0, akkor f szublineáris.

AT függvény monotonitásának vizsgálata után térjünk rá most szélsőértékeinek vizsgálatára.

2.4. Állítás. Tegyük fel, hogy a (2.19) feltétel teljesül és f^′′ > 0. Ekkor T^′(c) = 0 esetén fennáll T^′′(c)<0, azazT szélsőértéke csak maximum lehet.

Bizonyítás. A T^′(c) = 0 feltételből (2.15) szerint következik h(T(c)) = 0. Így a (2.19) feltétel miatt h(r) > 0 a [0, T(c)) intervallumban. Végezzük el a h és z függvény Sturm-féle összehasonlítását. Ezekre a függvényekre (2.11) és (2.13) alapján

Bizonyítás. A T^′(c) = 0 feltételből (2.15) szerint következik h(T(c)) = 0. Így a (2.19) feltétel miatt h(r) > 0 a [0, T(c)) intervallumban. Végezzük el a h és z függvény Sturm-féle összehasonlítását. Ezekre a függvényekre (2.11) és (2.13) alapján

In document Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben Simon L. Péter (Pldal 12-0)