A numerikus szimuláció

sze-replő három paraméter, λ_W, λ_B, γ ismeretében megadható az endemikus egyensúly (vannak fertőzöttek is a populációban, tehát x0 6= 1) létezésének pontos feltétele.

Tetszőlegesnesetén a [64] dolgozatban található hasonló, de nem szükséges és elég-séges feltétel.

4.3. A numerikus szimuláció

SIS típusú betegségterjedés esetén a rendszer állapotere a {0,1}^N halmaz. Jelölje a rendszer t időpontbeli állapotát x(t) ∈ {0,1}^N, ennek k-adik koordinátája x_k(t), melynek értéke 0, ha a k-adik csúcs S típusú, illetve 1, ha I típusú. Jelölje a gráf szomszédsági mátrixát A. Ekkor az Ax(t) vektor azt adja meg, hogy az egyes csú-csoknak hányI szomszédjuk van. Mivel csak azS csúcsok esetében van szükségünk az I típusú szomszédok számára, azért ezt a vektort koordinátánként megszorozzuk az e−x(t) vektorral, ahol e a csupa egyesből álló vektor. A koordinátánként való szorzásra vezessük be a∗ jelölést:

x∗y= (x₁y₁, x₂y₂, . . . , x_Ny_N).

Így az Ax(t)∗(e−x(t)) vektor S csúcsokhoz tartozó koordinátái azt adják meg, hogy az S csúcsoknak hány I típusú szomszédjuk van, azon koordinátái pedig nul-lák, amelyek az x(t) vektorban I csúcsoknak felelnek meg. Mind a fertőzést és a gyógyulást független Poisson-folyamatnak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy egy rövid

∆t idő alatt1−exp(−mτ∆t) annak a valószínűsége, hogy egyS csúcs, melynek m darabI szomszédja van, megfertőződik. Itt aτ számot nevezzük fertőzési rátának.

Hasonlóan, egy rövid ∆t idő alatt 1−exp(−γ∆t) annak a valószínűsége, hogy egy I csúcs meggyógyul. Aγ számot gyógyulási rátának nevezzük. Megjegyezzük, hogy a gyógyulás a szomszédok állapotától, és így a gráftól is független. A Monte-Carlo szimuláció során tehát generálunk egy r ∈ [0,1]^N véletlen számokból álló vektort.

Tekintsük a gráf egy csúcsát, jelölje ennek sorszámátj, és nézzük először azt az ese-tet, amikor ez a csúcs atidőpontban S típusú, azazx_j(t) = 0. At+ ∆tidőpontban ez a csúcsI típusú lesz, azaz megfertőződik, ha

r_j <1−exp (−(Ax(t)∗(e−x(t)))_jτ∆t).

Nézzük most azt az esetet, amikor ez a csúcs atidőpontbanI típusú, azazxj(t) = 1.

At+ ∆tidőpontban ez a csúcsS típusú lesz, azaz meggyógyul, ha r_j <1−exp(−γ∆t).

A ∆tszámot kellően kicsire kell választani ahhoz, hogy a Monte-Carlo szimulációk sokszori megismétlése jól közelítse a Poisson-folyamatot. Ennek numerikus részle-tei nem képezik a dolgozat tárgyát, annyit azonban érdemes megemlíteni, hogy a

∆t megfelelő választását ellenőrizhetjük azzal is, hogy a szimuláció során ∆t idő alatt csak egy csúcsnál történjen változás. Amennyiben a∆telegendően kicsi, akkor használhatjuk az 1−exp(−x) = x lineáris közelítést. Ennek segítségével könnyen

felírható, hogy mi annak feltétele, hogy a j-edik csúcsban változás történjen, neve-zetesen

rj <(Ax(t)∗(e−x(t))τ +x(t)γ)_j∆t.

Legyenv∈ {0,1}^N olyan vektor, amelynek azonjkoordinátáinál van 1, ahol a fenti feltétel fennáll, a többi koordinátája 0. Képlettel megadva

v= 1

2(sign[Ax(t)∗(e−x(t))τ∆t+x(t)γ∆t−r] +e),

ahol asign függvényt egy vektorra koordinátánként alkalmazzuk. Av vektor tehát azt adja meg, hogy a[t, t+ ∆t]időintervallumban mely csúcsoknál történik változás.

A változást megadó vektor pedige−2x(t), ugyanis ebben a vektorban azScsúcsoknál +1, az I csúcsoknál pedig−1szerepel. Így ∆t idő elteltével az állapotvektor

x(t+ ∆t) =x(t) +v∗(e−2x(t)) (4.20) lesz. A Monte-Carlo szimuláció algoritmusa tehát a következő. Megadunk egy kez-deti x(0) állapotot, illetve egy M lépésszámot, és a fenti képlettel meghatározzuk a ∆t,2∆t, . . . M∆t időpontokban az állapotvektort. A szimulációt kellően sokszor megismételve, és az eredmények átlagát véve a folyamat jó közelítését kapjuk.

Ha véletlen gráfon zajló folyamatot modellezünk, akkor az algoritmus valamivel bonyolultabb. Ekkor ugyanis sem a gráf szomszédsági mátrixa, A, sem a kezdeti állapotvektor x(0) nem rögzített. A szomszédsági mátrix helyett mátrixok egy A halmaza adott, ez adja meg, hogy milyen típusú véletlen gráfról van szó. A szimulá-ció ekkor a következőképpen zajlik. Véletlenszerűen választunk egy A∈ Amátrixot (általában egyenletes eloszlás szerint, vagy generálunk egy gráfot az A halmazból), majd generálunk egy véletlen kezdeti állapotot, szintén valamilyen előírt halmazból (legtöbbször azt írjuk elő, hogy hány egyes legyen benne). Ezután a (4.20) képlet alapján kiszámítjuk az állapotvektort a ∆t,2∆t, . . . M∆t időpontokban. Ezt meg-ismételjük kellően sokszor, de minden esetben új A ∈ A mátrixot és x(0) kezdeti állapotot generálunk.

A numerikus szimulációval kapott eredményeket különböző gráfok esetében a 4.2.

és 4.3. ábrákon láthatjuk.

5. fejezet

SIS dinamika általános gráfon

Tekintsünk ismét egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráfot, szomszédsági mátrixát jelöljeG∈ {0,1}^N2, azazg_ij = 1, amennyiben aziésjcsúcs össze vannak kötve, egyébként pedig g_ij = 0. A hálózaton SIS típusú járványterjedést fogunk vizsgálni, azaz a gráf csúcsai kétféle állapotban, fertőző (I), illetve egészséges (S), lehetnek. A gráf egy csúcsának állapota kétféleképpen változhat: egyI típusú csúcs adott valószínűséggel meggyógyul, azaz S típusú lesz, illetve egy S típusú csúcsot azI típusú szomszédai valamilyen valószínűséggel megfertőznek és maga is I típusú lesz. A gráf összes lehetséges állapotainak 2^N elemű halmaza alkotja az állapotte-ret, melyen a fenti átmenetek egy Markov-láncot határoznak meg. A fertőzési rátát szokásos módon τ, a gyógyulási rátát pedig γ fogja jelölni. A következő alfejezet-ben ezen Markov-lánc alapegyenletét fogjuk felírni tetszőleges gráf esetén. A gráf tetszőleges voltát azért hangsúlyozzuk, mert az irodalomban, Sharkey más megköze-lítést alkalmazó dolgozatait kivéve [132, 133], csak speciális gráfok esetén írták fel az alapegyenletet, tetszőleges gráfra az alapegyenletet a [188] dolgozatban adtuk meg.

5.1. Alapegyenletek

Egy adott időpontban minden csúcs egészséges(S)vagy fertőző(I), ezért a rendszer állapota egyN hosszúságú vektorral adható meg, melynek minden elemeS vagyI. Így a Markov-lánc állapottere azS ={S, I}^N vagy S ={0,1}^N, 2^N elemet tartal-mazó halmaz. A rendszer dinamikáját az átmenet mátrix határozza meg, amely azt adja meg, hogy az egyes állapotokból milyen valószínűséggel jut a rendszer egységnyi idő alatt egy másik állapotba. A folyamatot folytonos idejűnek tekintve az átmenet mátrix segítségével felírható az alapegyenlet, amely egy lineáris differenciálegyenlet-rendszer az egyes állapotok valószínűségeire. Ennek felírásához először célszerű a2^N elemet tartalmazó állapotteret a következő N + 1 részhalmazra felbontani. Legyen S⁰ az az állapot, amelyben minden csúcs S típusú, azaz S⁰ = (S, S, . . . , S). Je-lölje S^k azon állapotok halmazát, amelyekben k darab I típusú csúcs van. Az S^k részhalmazban tehát ^N_k

állapot van. Végül jelölje S^N a csupa I csúcsból álló álla-potot, azazS^N = (I, I, . . . , I). AzS^krészhalmaz elemeit jelöljeS1^k,S2^k, . . . ,Sc^kk, ahol c_k = ^N_k

. Az Sj^k állapotban az l-edik csúcs típusát jelölje Sj^k(l), tehát Sj^k(l) = S, vagySj^k(l) =I. Amint fent említettük, a rendszer állapota kétféleképpen változhat.

67

• Fertőzés: Egy S csúcs I típusú lesz, ami Sj^k → Si^k+1 típusú átmenet, ahol j és iolyanok, hogy ∃l, amelyre Sj^k(l) =S, S_i^k+1(l) = I, és Sj^k(m) =S_i^k+1(m)

∀ m6=l. Továbbá∃ r6=l, amelyreSj^k(r) =I ésg_lr= 1(azaz van(S, I)típusú él azl ésr csúcs között).

• Gyógyulás: EgyI csúcs S típusú lesz, amiSj^k → S_i^k−1 típusú átmenet, ahol j és iolyanok, hogy ∃l, amelyre Sj^k(l) =I,Si^k−1(l) =S, és Sj^k(m) =Si^k−1(m)

∀ m 6= l. Ez azt jelenti, hogy az S_j^k és S_i^k−1 állapotok csak egy csúcsnál, nevezetesen az l-edik csúcsnál különböznek.

A folyamatot egy folytonos idejű Markov-lánccal fogjuk leírni. Jelölje X_j^k(t) annak valószínűségét, hogy atidőpontban a rendszer azSj^kállapotban van. Legyen

X^k(t) = (X₁^k(t), X₂^k(t), . . . , X_c^k_k(t))

a k beteget tartalmazó állapotok valószínűségeit tartalmazó c_k-dimenziós vektor, k = 0,1, . . . , N. A fenti átmenetek az X_j^k(t) függvényekre egy lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszert határoznak meg, ezt fogjuk alapegyenlet-nek, vagy master egyenletnek nevezni. Mivel az átmenetek során a fertőző csúcsok száma legfeljebb eggyel változhat, azért az alapegyenlet az alábbi blokk-tridiagonális alakba írható.

X˙^k=A^kX^k−1+B^kX^k+C^kX^k+1, k= 0,1, . . . , N, (5.1) ahol A⁰ ésC^N zérus mátrixok. A fenti egyenlet mátrix alakja

X˙ =P X, ahol

P =











B⁰ C⁰ 0 0 0 0

A¹ B¹ C¹ 0 0 0 0 A² B² C² 0 0 0 0 A³ B³ C³ 0 ... ... · · · ...

0 0 · · · A^N B^N









 .

Megjegyezzük, hogy az irodalomban gyakran a P mátrix transzponáltját használ-ják, ez esetben X nem oszlop, hanem sorvektor, mi azonban a differenciálegyenlet-rendszerek hagyományainak megfelelően a változók oszlopvektoros jelölését fogjuk használni.

AzA^k mátrixok írják le a fertőzés, aC^kmátrixok pedig a gyógyulás folyamatát.

A hálózat szerkezete azA^kmátrixokban tükröződik. Ezen mátrixok elemeit az alábbi módon lehet meghatározni. Jelölje A^k_i,j az A^k mátrix i-edik soránakj-edik elemét.

Ez a szám adja meg azS_j^k−1 állapotból azS_i^kállapotba történő átmenet rátáját. Az S^k−1 osztálynak c_k−1, azS^k osztálynak pedig c_k eleme van, ezért az A^k mátrixnak c_k sora és c_k−1 oszlopa van. Az A^k_i,j elem pontosan akkor nem nulla, ha az Sj^k−1

és Si^k állapotok csak egy csúcsban térnek el egymástól, legyen ez az l-edik csúcs, és

5.1. ALAPEGYENLETEK 69 fennáll Sj^k−1(l) = S,Si^k(l) =I, valamint Sj^k−1(m) = Si^k(m) minden m 6= l esetén.

Továbbá léteznie kell olyanr 6=l számnak, amelyreS_j^k−1(r) =I ésg_lr = 1(azaz az l-edik ésr-edik csúcsot egy (S, I) él köti össze). Ebben az esetben

A^k_i,j =τ·#{r ∈ {1,2, . . . , N}:Sj^k−1(r) =I, g_lr= 1}. (5.2) Az A^k mátrix felépítésének szemléltetéséhez tekintsünk egy S_j^k−1 állapotot, és vá-lasszunk egy olyanl indexet, melyreS_j^k−1(l) =S, azaz azl csúcs S típusú. Ezután gyűjtsük össze azon i∈ {1,2, . . . , c_k} indexeket, melyekre az S_j^k−1 és Si^k állapotok csak az l csúcsnál különböznek, azazSi^k(l) =I ésS_j^k−1(m) =Si^k(m) minden m6=l esetén. Jelölje q azon csúcsok számát, melyek az S_j^k−1 állapotban I típusúak, és össze vannak kötve azl csúccsal, ami S típusú. Ekkor A^k_i,j =τ q. Megismételve ezt az eljárást minden olyanl ∈ {1,2, . . . , N} számra, melyre Sj^k−1(l) = S, észrevehet-jük, hogy azS_j^k−1 állapotban az(S, I) élek számátτ-val megszorozva, az A^k mátrix j-edik oszlopának összegét kapjuk. Tehát minden j∈ {1,2, . . . , c_k−1} esetén fennáll

ck

X

i=1

A^k_i,j =τ N_SI(Sj^k−1), (5.3) aholN_SI(Sj^k−1) jelöli azSj^k−1 állapotban az(S, I) élek számát.

JelöljeC_i,j^k aC^kmátrixi-edik soránakj-edik elemét. Ez a szám adja meg azS_j^k+1 állapotból azS_i^k állapotba történő átmenet rátáját. AzS^k+1osztálynakc_k+1, azS^k osztálynak pedigc_k eleme van, ezért aC^k mátrixnakc_k sora ésc_k+1 oszlopa van. A C_i,j^k elem pontosan akkor nem nulla, ha az S_j^k+1 ésSi^k állapotok csak egy csúcsban térnek el egymástól, legyen ez az l-edik csúcs, és fennáll Sj^k+1(l) = I, Si^k(l) = S, valamint Sj^k+1(m) =Si^k(m) minden m 6=l esetén. Ebben az esetben C_i,j^k = γ. Az Sj^k+1 állapotban a gráfnakk+ 1darabI típusú csúcsa van, ezért aC^kmátrix j-edik oszlopában összesen k+ 1 elem van, amelyek egyenlőek γ-val, a többi elem pedig nulla. Így bármelyj∈ {1,2, . . . , c_k+1} esetén fennáll

ck

X

i=1

C_i,j^k =γ(k+ 1). (5.4)

A B^k mátrixok diagonálisak c_k darab sorral és oszloppal. Ugyanis a B^k mátrix elemei azSi^k → Sj^k típusú átmenetek rátáit adják meg, ezek viszont csak abban az esetben nem nullák, hai=j. AB^kmátrix átlójában szereplő elemeket az határozza meg, hogy a P mátrix minden oszlopában az elemek összege nulla. Így az átló elemeire a következőt kapjuk

B_i,i^k =−

cXk+1

j=1

A^k+1_j,i −

cXk−1

j=1

C_j,i^k−1. (5.5)

Érdemes azN = 3 csúccsal rendelkező teljes gráf (háromszög gráf) esetén felírni az alapegyenletet. Ekkor az állapottérnek 2³ eleme van, amelyeket a fenti módon

négy osztályba sorolhatunk be az I típusú csúcsok száma szerint. Ebben az esetben

Az egyes részmátrixokat a fenti szabályok alapján elkészítve az alábbiakat kapjuk.

B⁰ = 0

Itt például azA²mátrix első oszlopának elemei(τ τ 0)az alábbi átmenetek rátáit adják: SSI →SII,SSI→ISI ésSSI →IIS. Az első két átmenet esetében azért szerepelτ, mert azSSIállapotban a második, illetve az első,Stípusú csúcsnak egyI típusú szomszédja van. A harmadik átmenet nem valósulhat meg, mert a két állapot között több, mint egy helyen van különbség. Az (5.1) lineáris differenciálegyenlet-rendszer az alábbi alakba írható

X˙⁰ = B⁰X⁰+C⁰X¹,

X˙¹ = A¹X⁰+B¹X¹+C¹X², X˙² = A²X¹+B²X²+C²X³, X˙³ = A³X²+B³X³.

5.2. AZ ALAPEGYENLETEK EGYSZERŰSÍTÉSE ÖSSZEVONÁSSAL 71 Az X¹ ésX² vektorokhoz tartozó egyenleteket koordinátánként kiírva, és szemléle-tesebb jelölésekre áttérve az alapegyenlet a következő alakot ölti.

X˙_SSS = γ(X_SSI+X_SIS+X_ISS), Az átmenet mátrix tehát a következő

P = A három csúcsú teljes gráfhoz hasonlóan tetszőleges gráf esetén elkészíthető az SIS típusú dinamikát leíró Markov-lánc alapegyenlete. Készítettünk egy MATLAB programot, amely a gráf szomszédsági mátrixából kiindulva előállítja a P átmenet mátrixot. Fontos megjegyezni, hogy ez csak kisebb gráfok esetén használható, hiszen például egy N = 20csúcsú gráf esetén aP mátrix már2²⁰ méretű.

Mivel a feladat könnyen kezelhetetlen méretűvé válhat, azért a továbbiakban azt mutatjuk meg, hogy bizonyos gráfok esetén az exponenciális méretű feladat polino-miális méretűvé tehető.

5.2. Az alapegyenletek egyszerűsítése összevonással

Megfelelő tulajdonságú, nagyméretű lineáris közönséges differenciálegyenlet-rendsze-rekből úgynevezett összevonással (lumping) előállítható olyan kisebb méretű lineá-ris rendszer, amelynek megoldása az eredeti nagyméretű rendszer megoldásairól is szolgáltat információt. A továbbiakban megmutatjuk, hogy ez alkalmazható az alap-egyenletre, amennyiben a gráf automorfizmus csoportja kellően nagy. Látni fogjuk, hogy ilyen gráfoknál az egyenletek száma2^N-ről akárO(N)-re, vagyO(N^k)-ra csök-kenthető. Ezeket az eredményeinket a [188] dolgozatunk tartalmazza. A módszer lényegét célszerű először egy kisméretű gráfon megmutatni.

5.2.1. Összevonás három csúcsú teljes gráf esetén

Három csúccsal rendelkező teljes gráf esetén a P mátrixot az (5.6) egyenlet adja, melynek segítségével felírhatók az alapegyenletek az X⁰, X¹, X², X³ függvényekre.

Az összevonás lényege az alábbi új függvények bevezetése:

x⁰ =X⁰, x¹ =X₁¹+X₂¹+X₃¹, x²=X₁²+X₂²+X₃², x³ =X³.

Adjuk össze az X₁¹, X₂¹, X₃¹ változókra vonatkozó differenciálegyenleteket, illetve az X₁², X₂², X₃²változókra vonatkozó differenciálegyenleteket. Ekkor az imént bevezetett x⁰, x¹, x², x³ függvényekre az alábbi 4-változós lineáris differenciálegyenlet-rendszert kapjuk

˙

x⁰ = γx¹,

˙

x¹ = 2γx²−(2τ+γ)x¹,

˙

x² = 3γx³+ 2τ x¹−2(τ +γ)x²,

˙

x³ = 2τ x²−3γx³.

Az összevonással kapott rendszer x˙ =Qx alakba írható, ahol

Q=







0 γ 0 0

0 −2τ −γ 2γ 0

0 2τ −2(τ +γ) 3γ

0 0 2τ −3γ





.

AQmátrix elemeit az A^k,B^k ésC^kmátrixok oszlopösszegeiből kapjuk. Ha például az x¹→ x² átmenetet tekintjük, akkor azx²-re vonatkozó differenciálegyenletben a 2τ x¹ tagot az

A² =





τ τ 0 τ 0 τ 0 τ τ





mátrix oszlopösszegeiből kapjuk. Esetünkben, és mint később látni fogjuk, az álta-lános esetben is, az összevonás feltétele az, hogy az A² mátrix minden oszlopának összege ugyanannyi legyen. Az összevonás során az eredeti 8 változós rendszerből egy 4 változós rendszert kaptunk, ami nyilván információvesztéssel jár, azonban az alkal-mazás szempontjából fontos mennyiség, nevezetesen az egészséges és fertőző csúcsok számának várható értéke [S](t)és[I](t) a 4-változós rendszerből is meghatározható, hiszen

[I](t) =x¹(t) + 2x²(t) + 3x³(t), [S](t) = 3x⁰(t) + 2x¹(t) +x²(t).

A továbbiakban ezt az egyszerű gondolatmenetet általánosítjuk tetszőleges gráf-ra. Mielőtt azonban ezt megtennénk, ismertetjük az összevonás módszerét általános lineáris differenciálegyenlet esetén.

5.2. AZ ALAPEGYENLETEK EGYSZERŰSÍTÉSE ÖSSZEVONÁSSAL 73 5.2.2. Lineáris differenciálegyenletek összevonása

Legyen A egy tetszőleges n×n méretű mátrix, és tekintsük az X˙ = AX lineáris differenciálegyenlet-rendszert.

5.1. Definíció. Az X˙ =AX lineáris rendszert összevonhatónak nevezzük, ha meg-adható az{1,2, . . . , n}halmaz olyan{L₁, L₂, . . . , L_m}partíciója, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal. Az {1,2, . . . , m} halmaz bármely j és l eleméhez van olyanB_jl szám, melyre

B_jl= X

i∈Lj

A_ir,∀r ∈L_l,

azaz a fenti összeg nem függ r választásától, amennyiben r ∈ L_l. Az m×m-es B mátrixot nevezzük az A mátrix összevonásának, és azY˙ =BY lineáris differenciál-egyenletet az eredetiX˙ =AX rendszer összevonásának.

A rendszer összevonhatóságát jellemzi az alábbi Állítás.

5.1. Állítás. Ha aB mátrix azAösszevonásával keletkezett, akkor megadható olyan m×n méretű T mátrix, melyre T A=BT.

Bizonyítás: Definiáljuk a T mátrixot a következőképpen. Ha i∈L_j, akkor legyen T_ji = 1, a T többi eleme pedig legyen nulla. Ekkor a T A mátrix j-edik sorának r-edik eleme

(T A)_jr= Xn

i=1

T_jiA_ir= X

i∈Lj

A_ir =B_jl, aholl olyan index, amelyrer ∈L_l.

A BT mátrix j-edik soránakr-edik eleme (BT)_jr=

Xm

k=1

B_jkT_kr=B_jl,

ahollolyan index, amelyrer∈L_l, feltéve, hogyT minden oszlopában pontosan egy helyen szerepel 1, a többi elem 0. Ez utóbbi tény egyszerűen következik abból, hogy {L₁, L₂, . . . , L_m} egy partíció.

A mátrix összevonhatósága a következő módon vonja maga után a differenciálegyen-let-rendszer összevonhatóságát.

5.2. Állítás. LegyenB azn×nméretűAmátrix összevonásával keletkezettm×m-es mátrix, és legyenT az a mátrix, amelyre fennáll T A=BT. A T mátrix segítségével vezessük be az eredeti X vektor m dimenziós összevonását a következőképpen: Y = T X. Ekkor a t7→Y(t) függvény teljesíti azY˙ =BY lineáris differenciálegyenletet.

Bizonyítás: AzY függvényt deriválva, és felhasználva, hogyXteljesíti azX˙ =AX lineáris rendszert

Y˙ =TX˙ =T AX=BT X=BY.

A lineáris rendszer összevonásához tehát a fázistér egy 5.1. Definíciónak megfelelő partícióját kell megadni. A partíció ismeretében egyszerűen előállítható a T mát-rix, majd annak segítségével az összevont rendszerB mátrixa. Azonban a megfelelő partíció meghatározása általánosságban igen nehéz feladat. A következő szakasz-ban visszatérünk az SIS típusú dinamikával tetszőleges gráfra felírt alapegyenlet P mátrixának összevonhatóságához. Ekkor tehát egy tetszőlegesAmátrix összevonása helyett a speciális szerkezetű P mátrix összevonásáról lesz szó. Megmutatjuk, hogy a megfelelő partíció hogyan állítható elő a gráf automorfizmuscsoportjának ismere-tében.

5.2.3. Az SIS dinamikához tartozó alapegyenlet összevonása a gráf automorfizmusainak segítségével

Tekintsük ismét az (5.1) lineáris rendszert, amelyben aP mátrix blokk-tridiagonális struktúrájú. Erre a rendszerre fogjuk most alkalmazni az összevonás előző szakaszban ismertetett általános módszerét, kihasználva a mátrix blokk-tridiagonális struktúrá-ját. Induljunk ki a fázistér speciális felépítéséből. Az előző szakaszban a fázistér általánosan az{1,2, . . . , n}halmaz volt. AzSIS dinamika ésN csúcsú gráf esetén a fázistér2^N elemű, azonban az{1,2, . . . ,2^N}halmaz helyett tekintsük az 5.1 szakasz elején bevezetett S halmazt fázistérnek. Ugyanis ezt a halmazt azI csúcsok száma szerint elő lehet állítani S = ∪S^k alakban, amely felbontást célszerű az összevonás során is megőrizni, azért, hogy az összevonás után is meg lehessen határozni az I típusú csúcsok számának várható értékét. Ugyanis egy tetszőleges összevonás során előfordulhat, hogy olyan mértékű az információvesztés, ami az összevonást haszon-talanná teszi. Például a triviális összevonás esetén, amikor a T mátrix egy csupa egyesből álló sorvektor, az összevonással kapottB mátrix1×1méretű nulla mátrix, ugyanis a P mátrix minden oszlopa zéró összegű. Így az összevont rendszerből csak azt lehet megtudni, hogy minden időpontban az állapotok valószínűségeinek összege egy, azonban például az I típusú csúcsok számának várható értéke nem határozható meg belőle. Mivel számunkra ennek meghatározása az egyik cél, azért a továbbiak-ban csak olyan összevonásokat tekintünk megengedettnek, amelyek megőrzik az I típusú csúcsok számát. Ez azt jelenti, hogy a partíciót csak úgy lehet megválasztani, hogy egy osztályba csak olyan állapotok kerülhetnek, amelyekben azI csúcsok száma azonos. Ezt fejezi ki a következő definíció.

5.2. Definíció. Az (5.1) lineáris rendszer (illetve a megfelelő Markov-lánc) összevon-ható, ha az S fázistérnek van olyan {L1, L2, . . . , Lm} partíciója, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal.

1. Bármelyl számhoz létezik olyan k, amelyreL_l⊂ S^k.

2. Bármelyj, l∈ {1,2, . . . , m} számokhoz van olyanQ_jl, amelyre Q_jl= X

i∈Lj

Pir, ∀r ∈L_l, (5.7)

azaz a fenti összeg nem függ r választásától, amennyiben r∈L_l. Az m×m méretűQ mátrixot nevezzük aP összevonásának.

5.2. AZ ALAPEGYENLETEK EGYSZERŰSÍTÉSE ÖSSZEVONÁSSAL 75 Megjegyezzük, hogy a Definíció első részében az eredeti rendszer fázisterének az S halmazt tekintjük, a második részben viszont a fázisteret az{1,2, . . . ,2^N}halmazzal azonosítjuk. Ezen kettősség elkerülése érdekében célszerű a partíció osztályaira az alábbi jelölést használni. Azokat az osztályokat, amelyek az S^k részhalmazai jelölje L^k₁, L^k₂, . . . , L^k_l

k. Ekkor fenn kell állnia annak, hogy S^k = L^k₁ ∪L^k₂ ∪. . .∪L^k_l

k, és a partícióban az összes osztályok számam=l₀+l₁+. . .+l_N. Érdemes megemlíteni, hogy mindig fennáll l₀ = l_N = 1, mivel S⁰ és S^N részhalmazok egy eleműek. Az osztályok ezen új jelölésével a Definíció első része automatikusan teljesül, a második rész pedig azA^k és C^k mátrixok segítségével az alábbi módon fejezhető ki.

5.1. Lemma. Az (5.1) lineáris rendszer összevonható, ha mindenk∈ {0,1,2, . . . , N} esetén megadható azS^k halmaz olyan L^k₁, L^k₂, . . . , L^k_lk partíciója, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal.

Bármely p ∈ {1,2, . . . , l_k−1} és r ∈ {1,2, . . . , l_k} esetén létezik olyan A^k_rp szám, amelyre

A^k_rp = X

Si^k∈L^k_r

A^k_ij, ∀ S^k_j⁻¹ ∈L^k_p⁻¹, (5.8) azaz a fenti összeg független j-től, amennyiben Sj^k−1∈L^k_p⁻¹.

Bármely p ∈ {1,2, . . . , l_k+1} és r ∈ {1,2, . . . , l_k} esetén létezik olyan C^k_rp szám, amelyre

C^k_rp = X

S^ki∈L^k_r

C_ij^k, ∀ S^k+1j ∈L^k+1_p , (5.9)

azaz a fenti összeg független j-től, amennyiben S_j^k+1∈L^k+1_p .

Bizonyítás: Amint fent említettük, csak azt kell igazolni, hogy az 5.2. Definíció második feltétele teljesül. Tekintsünk két tetszőleges osztályt, legyenek ezekL_j ésL_l. Az osztályok új jelölése szerint létezik olyank∈ {0,1,2, . . . , N}ésr∈ {1,2, . . . , l_k}, hogyL_j =L^k_r, valamint létezik olyan h∈ {0,1,2, . . . , N} és p∈ {1,2, . . . , l_h}, hogy L_l=L^h_p. Az (5.1) egyenletben szereplőP mátrix blokk-tridiagonális szerkezete miatt a következő négy esetet érdemes külön-külön kezelni: h = k−1,h =k, h =k+ 1 vagy h értéke ettől eltérő. Ugyanis, tekintve a lehetséges átmeneteket, amelyekkel a rendszer egy S^k halmazhoz tartozó állapotba juthat, nyilvánvaló, hogy az S^k−1 halmazhoz tartozó állapotokból kerülhet ide fertőzéssel, azS^k+1 halmazhoz tartozó állapotokból pedig gyógyulással. A többi S^l halmazból, azaz l ∈ {0,1,2, . . . , N} \ {k−1, k+ 1}esetén nem juthat ide.

A továbbiakban mind a négy esetre külön megmutatjuk, hogy fennáll az össze-vonás definíciójában szereplő (5.7) egyenlet. A h =k−1 esetben aP mátrix azon része, amely az (5.7) egyenletben szereplő indexekhez tartozik az A^k mátrix része, ezért az (5.7) egyenlet ekvivalens az (5.8) egyenlettel. Ah=k+ 1esetben aP mát-rix azon része, amely az (5.7) egyenletben szereplő indexekhez tartozik aC^k mátrix része, ezért az (5.7) egyenlet ekvivalens az (5.9) egyenlettel. A h =k esetben a P mátrix azon része, amely az (5.7) egyenletben szereplő indexekhez tartozik aB^k mát-rix része, ezért az (5.7) egyenlet ekvivalens a következővel. Bármelyp∈ {1,2, . . . , l_k}

ésr ∈ {1,2, . . . , lk} számhoz van olyanB^k_rp, amelyre B^k_rp= X

Si^k∈L^k_r

B_ij^k, ∀ Sj^k ∈L^k_p. (5.10) Az utóbbi egyenletet az (5.8) és (5.9) egyenletekből kapjuk, az (5.16) felhasználá-sával, azaz figyelembe véve, hogy a P mátrix oszlopainak összege zérus. Végül, ha

B_ij^k, ∀ Sj^k ∈L^k_p. (5.10) Az utóbbi egyenletet az (5.8) és (5.9) egyenletekből kapjuk, az (5.16) felhasználá-sával, azaz figyelembe véve, hogy a P mátrix oszlopainak összege zérus. Végül, ha

In document Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben Simon L. Péter (Pldal 69-0)