Várható értékekre vonatkozó egyenletek - SIS dinamika általános gráfon 67

5. SIS dinamika általános gráfon 67

5.4. Várható értékekre vonatkozó egyenletek

S² = {(SSSII),(SSISI),(SISSI),(ISSSI),(SSIIS),(SISIS),(ISSIS), (SIISS),(ISISS),(IISSS)}

nyilvánvalóan kétfélék. Az(SSSII)∈ S² elem pályája alkotja azL₃ osztályt:

{Φ((SSSII)) : Φ∈Aut(C5)}=

{(SSSII),(ISSSI),(SSIIS),(SIISSS),(IISSS)}=L3.

Ezeket az elemeket már az öt forgatás segítségével megkapjuk, a tükrözések nem adnak a pályához újabb elemet. Ez mutatja, hogy a körgráf esetén mi korlátozza az összevonás hatékonyságát. Az S² halmaz további öt eleme alkotja a következő osztályt: L₄ ={(SSISI),(SISSI),(SISIS),(ISSIS), (ISISS)}. Hasonló módon további négy osztályt kapunk, így végül a 2⁵ = 32 egyenletből álló alapegyenlet 8 egyenletre redukálható az összevonás segítségével. Az N = 6 és N = 7 csúcsú körgráf esetén a64, illetve128egyenletből az összevonás után13, illetve18egyenletet kapunk.

Az összevont rendszer méretét úgy kaphatjuk meg, hogy az egyes állapotokra alkalmazzuk az összes automorﬁzmust, és megállapítjuk a kapott osztályok elemszá-mát. Ha a gráf csúcsszáma prímszám, N =p, akkor igazolható, hogy az osztályok száma (2^p⁻¹−1)/p+ 2^(p⁻^1)/2+ 1. Ha a gráf csúcsainak száma nem prím, akkor az összevonással kapott rendszer egyenleteinek száma nem ismert.

5.4. Várható értékekre vonatkozó egyenletek

Ebben a szakaszban a2^N egyenletből álló (5.1) rendszer egyszerűsítésének egy másik módját az ún. mean-ﬁeld típusú, azaz átlagolt egyenletek levezetését tárgyaljuk.

Ezek létjogosultságát többek között az is indokolja, hogy a2^N egyenletből álló teljes rendszer megoldása, az összes lehetséges állapot valószínűségének időbeli változását adná meg, amelyre valójában nincs szükség. Az elsődlegesen érdekes mennyiség az I, illetve S típusú csúcsok számának várható értéke

[I](t) =

jelölést használtuk. A mean-ﬁeld típusú, azaz átlagolt egyenletek első fajtája ezen várható értékekre vonatkozó diﬀerenciálegyenlet.

Ebben az egyenletben, mint látni fogjuk, megjelenik az SI típusú élek számának várható értéke kapott egyenletek másik fajtája az I és S csúcsok számának várható értékén kívül bizonyos típusú élek számának várható értékére vonatkozó diﬀerenciálegyenleteket is

tartalmaz. Az első típusba tartozókat a csúcsok szintjén felírt diﬀerenciálegyenletek-nek nevezzük, a másodikhoz tartozókat pedig párok, vagy élek szintjén felírt egyen-leteknek. Az irodalomban mindkét típusú mean-ﬁeld egyenlet ismert [75, 82, 124], azonban ezeket valószínűségszámítási megfontolásokból vezették le, és általánosan elfogadott volt, hogy csak bizonyos gráf típusok esetén érvényesek, nevezetesen olya-nok esetében, amelyekre az adott valószínűségszámítási érvelés érvényes. A [188, 190]

dolgozatokban megmutattuk, hogy mind a csúcsokra, mind az élekre felírt átlagolt egyenlet tetszőleges gráf esetén érvényes, ugyanis az általános (5.1) alapegyenletből levezethető. A szakasz első részében a csúcsokra vonatkozó, a második részében pedig az élekre vonatkozó átlagolt egyenlet levezetését ismertetjük.

5.4.1. Differenciálegyenlet a csúcsok számának várható értékére Az[I](t), illetve[S](t)várható értékre vonatkozó diﬀerenciálegyenlet levezetése azon alapszik, hogy ezek az egyes állapotok, (5.1) rendszerben szereplő X_j^k(t) valószínű-ségeinek lineáris kombinációi. Az (5.11) képletben szereplő függvényeket deriválva majd az (5.1) diﬀerenciálegyenletet felhasználva az[I](t), illetve [S](t) függvényekre az alábbi diﬀerenciálegyenleteket kapjuk.

5.2. Tétel. Az [I](t) és [S](t) várható értékek teljesítik az alábbi diﬀerenciálegyen-leteket

[S] =˙ γ[I]−τ[SI], (5.13)

[I] =˙ τ[SI]−γ[I]. (5.14)

Bizonyítás: Emlékeztetünk arra, hogyS_k= (1 1 . . .1)jelöli azt az egyesekből álló sormátrixot, melynek c_k oszlopa van. Ezzel a jelöléssel P_c_k

j=1X_j^k =S_kX^k (ittX^k-t oszlopvektornak tekintjük). Ekkor az (5.11) egyenletből

[I](t) = XN

k=0

kS_kX^k, [S](t) = XN

k=0

(N −k)S_kX^k. (5.15) Ezzel a jelöléssel (5.5) a következő alakot ölti,

B_i,i^k =−(S_k+1A^k+1)_i−(S_k₋₁C^k⁻¹)_i,

és mivel B^k diagonális mátrix, azértB^k_i,i= (S_kB^k)_i. Így mindeni= 1, . . . c_k esetén (S_kB^k)_i =−(S_k+1A^k+1)_i−(S_k₋₁C^k⁻¹)_i.

Ezzel a következő egyenletet kapjuk

S_k+1A^k+1+S_kB^k+S_k₋₁C^k⁻¹ = 0, (5.16) amely minden k = 0,1, . . . , N esetén fennáll. Megjegyezzük, hogy A^N+1 és C⁻¹ nulla mátrixok. Deriváljuk az[I](t)függvényt, majd azX^kfüggvények deriváltjának kifejezésére használjuk fel az (5.1) egyenletet. Ekkor a következőt kapjuk.

[I] =˙ XN

k=0

kSkX˙^k= XN

k=0

kSk(A^kX^k⁻¹+B^kX^k+C^kX^k+1) =

5.4. VÁRHATÓ ÉRTÉKEKRE VONATKOZÓ EGYENLETEK 83

diﬀerenciálegyenlethez jutunk. Ezután (5.14) az alábbi Állításból következik. Az [S](t) függvényre vonatkozó diﬀerenciálegyenlet hasonlóan vezethető le, így a bizo-nyítását itt mellőzzük.

2. Ez az állítás azonnal következik az elsőből (5.15) felhasználásával.

3. Az (5.3) egyenlet szerint minden j∈ {1,2, . . . , c_k} esetén

Hangsúlyozzuk, hogy az (5.13)-(5.14) diﬀerenciálegyenlet-rendszer bármely gráf esetén fennáll, azonban mivel nem zárt, azaz tartalmaz egy újabb ismeretlen függ-vényt[SI]-t, azért önmagában nem alkalmas az[I](t), illetve[S](t)függvények meg-határozására. Ennek kiküszöbölésére kétféle megközelítést szoktak alkalmazni. Az egyik megoldást az jelenti, hogy az[SI]értéket valamilyen közelítés segítségével kife-jezik az [S]és[I]értékével. Ezt nevezik az egyenlet lezárásának. Mivel az SI párok számára vonatkozik a lezárás, azért ezt pár lezárásnak (pair closure) nevezik. A másik megoldás az, ha az [SI]függvényt deriválva, erre is levezetünk valamilyen diﬀeren-ciálegyenletet. Az első megközelítéssel kapcsolatos kérdéseket részletesen vizsgáljuk a 6. fejezetben. A másodikról pedig a következő szakaszban lesz szó.

5.4.2. Differenciálegyenlet az élek számának várható értékére

Az (5.13)-(5.14) egyenletekből látható, hogy azS, illetveI típusú csúcsok számának várható értékét megadó diﬀerenciálegyenletben azSIpárok számának várható értéke jelenik meg. Ezért célszerű a párok várható értékére is felírni diﬀerenciálegyenletet.

Ebben az egyenletben a különböző hármasok várható értéke fog megjelenni, ame-lyet intuitívan a következőképpen magyarázhatunk. Például egy (S, S) pár (S, I) típusú párrá válhat, ha ez egyik S csúcs egy harmadik (fertőző) csúcstól megkap-ja a fertőzést. Az ilyen fertőzések gyakorisága természetesen az (S, S, I) hármasok számától függ. A párok és hármasok közötti pontos kapcsolatot az alábbi Tételben fogalmazzuk meg.

5.3. Tétel. Az[S],[I],[SI],[II]és[SS]várható értékek teljesítik az alábbi diﬀerenci-álegyenlet-rendszert.

[S] =˙ γ[I]−τ[SI], (5.17)

[I] =˙ τ[SI]−γ[I], (5.18)

[SI] =˙ γ([II]−[SI]) +τ([SSI]−[ISI]−[SI]), (5.19) [II] =˙ −2γ[II] + 2τ([ISI] + [SI]), (5.20)

[SS] = 2γ[SI˙ ]−2τ[SSI]. (5.21)

A fenti egyenletrendszert először Rand és Keeling vezették be [80, 124] heurisz-tikus valószínűségi érvelés alapján reguláris véletlen gráfra. A [190] dolgozatban megmutattuk, hogy a fenti rendszer tetszőleges gráf esetén fennáll, és az (5.1) alap-egyenletekből levezethető. Az alábbiakban ezt a bizonyítást ismertetjük.

Bizonyítás:

Az [S]és[I]várható értékekre vonatkozó egyenleteket az előző szakaszban már leve-zettük, most csak a párok várható értékével foglalkozunk. Tekintsük először az(I, I) párokat. Ezek várható értéke

[II] = XN

k=0

NII(S^k)X^k, (5.22)

5.4. VÁRHATÓ ÉRTÉKEKRE VONATKOZÓ EGYENLETEK 85 ahol N_AB(S^k) egy c_k hosszúságú sorvektor, melynek j-edik koordinátája az (A, B) párok számát adja az S_j^k állapotban. Hasonló módon az (A, B, C) hármasok szá-mát az N_ABC(S^k) sorvektor tartalmazza. Az (5.22) egyenletet deriválva az alábbit kapjuk. kom-ponense. A B^k mátrixok diagonálisak, és (5.5) szerint kifejezhetők azA^k+1 ésC^k⁻¹ mátrixokkal, így aj-edik komponens

NII(S_j^k)B_j,j^k =NII(S_j^k) −

AzAésCmátrixok (5.3) és (5.4) deﬁnícióját felhasználva, a fenti kifejezés a következő-képpen írható.

N_II(S_j^k)

−τ N_SI(Sj^k)−kγ

=−τ(N_II(S_j^k)N_SI(S_j^k))−kγN_II(S_j^k).

Ez a komponensenként felírt azonosság vektori alakban a következőt adja.

[II] =˙ (5.23)

k=0

hN_II(S^k+1)A^k+1−τ N_II(S^k)∗N_SI(S^k)−γkN_II(S^k) +N_II(S^k⁻¹)C^k⁻¹i X^k, ahol a ∗művelet vektorok koordinátánkénti szorzását jelenti, azaz például

N_II(S_i^k)∗N_SI(S_i^k) = (N_II(S₁^k)N_SI(S₁^k), ..., N_II(S_c^k_k)N_SI(S_c^k_k)).

Az (5.23) egyenletben az első két tag a fertőzést, a második kettő pedig a gyógyu-lást fejezi ki. Ezek megfelelnek az (5.20) egyenletben szereplő tagoknak. Ugyanis, ha az (5.20) egyenletet átírjuk az

[II] =˙ −2γ

alakba, amelyben az (5.22) jelölést használjuk, akkor az (5.20) egyenlet az alábbi Állításból következik. Ezen Állítást igazolva a Tétel (5.20) egyenletét bizonyítjuk.

Az (5.19) és (5.21) egyenletek igazolása hasonlóan történik, ezeket itt nem részletez-zük.

5.5. Állítás. Az alábbi azonosságok minden t >0 esetén fennállnak.

−2γ XN

k=0

N_II(S^k)X^k(t) = XN

k=0

h−γkN_II(S^k) +N_II(S^k⁻¹)C^k⁻¹i

X^k(t) (5.24)

2τ XN

k=0

hN_ISI(S^k) +N_SI(S^k)i

X^k(t) (5.25)

= XN

k=0

hN_II(S^k+1)A^k+1−τ N_II(S^k)∗N_SI(S^k)i X^k(t).

Bizonyítás:

Az Állítás igazolásához azt fogjuk megmutatni, hogy mindkét egyenlet esetében az X^k(t) tag szorzóját képező c_k hosszúságú vektorok koordinátái az egyenlet két oldalán megegyeznek. Azaz belátjuk, hogy ezen vektorokj-edik koordinátái azonosak minden j= 1,2, . . . c_k esetén. Tehát a következő két azonosságot fogjuk igazolni.

−2γN_II(S_j^k) = −γkN_II(S_j^k) + (N_II(S^k⁻¹)C^k⁻¹)_j, (5.26) 2τ(N_ISI(S_j^k) +N_SI(S_j^k)) = (N_II(S^k+1)A^k+1)_j −τ(N_II(S^k)∗N_SI(S^k))_j.(5.27) A fenti állítások igazolásához fel fogjuk használni aP mátrixra vonatkozó (5.3) és (5.4) azonosságokat, valamint a következő három állítást.

A^k_j,i6= 0 ⇒ C_i,j^k⁻¹6= 0, (5.28)

cXk−1

i=1

A^k_j,i = τ N_II(Sj^k), (5.29)

N_ISI(S_j^k) = 1 τ²

c_k−1

i=1

A^k+1_i,j (A^k+1_i,j −τ). (5.30) Az alábbiakban először e három állítást igazoljuk. Az (5.28) állításhoz emlékezte-tünk arra, hogy az (5.28) képletbenA^k_j,iadja azS_i^k⁻¹állapotból azSj^kállapotba való átmenet rátáját. Mivel A^k_j,i6= 0, azért ez az átmenet létrejöhet, így ez a két állapot pontosan egy helyen különbözik egymástól, jelölje ezt l. Ezzel tehát S_j^k(l) = I és Si^k⁻¹(l) = S, ami egyben azt is jelenti, hogy az ellenkező folyamat is, azaz az S_j^k állapotból az S_i^k⁻¹ állapotba történő átmenet is megvalósulhat, hiszen ez azt fejezi ki, hogy azl-edik csúcsban levő fertőző egyed meggyógyul. Ennek az ellenkező

5.4. VÁRHATÓ ÉRTÉKEKRE VONATKOZÓ EGYENLETEK 87 irányú átmenetnek a rátáját jelöltükC_i,j^k -val, és mivel beláttuk, hogy ez a folyamat is megvalósulhat, azért ennek rátája nem nulla, amit igazolni akartunk.

Az (5.29) állítás igazolásához vegyük észre, hogy (5.29) adja az Sj^k állapotba fertőzéssel való bejutás összrátáját. Ez azt jelenti, hogy azSj^kállapotban akfertőzött közül bármelyiket kiválasztva, található olyan S_i^k⁻¹ állapot, amely csak egy helyen, jelölje ezt ismétl, tér el azSj^k állapottól, azaz Sj^k(l) = I ésSi^k⁻¹(l) =S. Az l-edik csúcsban levőS csúcs megfertőződésének rátájaqτ, ahol q az adott S csúcs fertőző szomszédainak száma. Amennyiben ez a fertőzés bekövetkezik, akkor az(I, I)típusú élek számaq-val növekszik meg. Ha számba vesszük az összes olyan fertőzést, amely azSj^k állapothoz vezet, akkor ezen átmenet rátáinak összegeτ N_II(Sj^k), amely éppen a kívánt (5.29) képletet bizonyítja.

Az (5.30) állítás bizonyításához tekintsünk egyS típusú csúcsot, legyen ez ismét az l-edik, melynek q darabI szomszédja van. Ekkor ezen csúcshoz tartozó (I, S, I) hármasok száma q(q −1). Mivel A^k+1_i,j adja az S_j^k állapotból az S_i^k+1 állapotba (fertőzéssel) történő átmenet rátáját, azértA^k+1_i,j /τ =q, amennyiben a fenti átmenet során éppen az előbb említettl-edik csúcs fertőződik meg. Így az(I, S, I) hármasok száma

q(q−1) = 1

τ²A^k+1_i,j (A^k+1_i,j −τ).

Ennek segítségével az összes (I, S, I) hármasok számát megadhatjuk, ha a fentit összegezzük ac_k₋₁ lehetséges Sj^k→ Si^k+1 átmenetre, mellyel az (5.30) képletet kap-juk.

A fenti gondolatmenethez hasonlóan meghatározhatjuk, hogy egy Sj^k állapotból Si^k+1 állapotba fertőzéssel történő átmenet során, valamint egy Si^k⁻¹ állapotból Sj^k

állapotba szintén fertőzéssel történő átmenet során hogyan változik az (I, I) párok száma. Ekkor a következő azonosságokat kapjuk

NII(S_i^k+1) = NII(Sj^k) +2

τA^k+1_i,j , (5.31) N_II(S_i^k⁻¹) = N_II(Sj^k)−2

τA^k_j,i. (5.32)

Ezek tehát csak akkor állnak fenn, ha az Sj^k → Si^k+1, illetve Sj^k → Si^k+1 átmene-tek megvalósulhatnak. Ehhez fenn kell álljon, hogy ezen állapotok között csak egy csúcsban lehet különbség, azaz, például a második azonosság esetében létezik olyanl, melyreSj^k⁻¹(l) =S,Si^k(l) =I, ésSj^k⁻¹(m) =Si^k(m)mindenm6=lesetén. Továbbá léteznie kell olyanr 6=l számnak, melyre S_j^k⁻¹(r) =I és g_lr = 1 (azaz az l-edik és r-edik csúcs között egy(S, I) él van, amely a fertőzést lehetővé teszi).

A fenti azonosságok felhasználásával most térjünk rá (5.26) bizonyítására.

Az első rész (5.26) alapján a következő módon alakítható át.

(N_II(S^k⁻¹)C^k⁻¹)j =γ(k−2)N_II(S_j^k) (5.33) A baloldal (5.32) segítségével így írható

cXk−1

i=1

(N_II(S_j^k)−2

τA^k_j,i)C_i,j^k⁻¹=

cXk−1

i=1

N_II(S_j^k)C_i,j^k⁻¹− 2 τ

cXk−1

i=1

A^k_j,iC_i,j^k⁻¹.

Az (5.28) egyenletből következik, hogyA^knem nulla elemei aC^k⁻¹nem zérus elemeit szorozzák. Mivel aC^k⁻¹minden nem nulla elemeγ-val egyenlő, azértA^kminden nem nulla eleme γ-val szorzódik. Az (5.33) egyenlet baloldalának további átalakításához felhasználjuk a következőket. Az A^k mátrix j-edik sorának összege N_II(S_j^k), amely nem függ az összegzési indextől, i-től, valamint (5.4) szerintPck−1

i=1 C_i,j^k⁻¹ =kγ,j-től függetlenül. Ezekkel az (5.33) egyenlet baloldala így írható:

C_k−1

i=1

(N_II(S_j^k)C_i,j^k⁻¹−2γN_II(S_j^k)) =kγN_II(S_j^k)−2γN_II(S_j^k) =γ(k−2)N_II(S_j^k), amely az Állítás első részét, (5.26)-t bizonyítja.

A második rész igazolásához az (5.27) azonosságot fogjuk bizonyítani. Ehhez in-duljunk kiN_II(S_i^k+1)képletéből az (5.31) egyenletben. Szorozzuk meg az egyenletet A^k+1_i,j -vel, ekkor

N_II(S_i^k+1)A^k+1_i,j =N_II(S^k_j)A^k+1_i,j + 2

τ(A^k+1_i,j )². (5.34) A fentiek szerint (5.31) csak akkor áll fenn, ha A^k+1_i,j 6= 0. Azonban A^k_i,j = 0 ese-tén (5.34) nyilván igaz lesz. Ezért az (5.34) egyenletet minden i-re összegezhetjük, amellyel a következőt kapjuk. amely a következőképpen alakítható át, hogy (5.27) baloldalát megkapjuk:

(N_II(S^k+1)A^k+1)_j −τ(N_II(S^k)∗N_SI(S^k))_j = 2 τ

cXk+1

i=1

(A^k+1_i,j )². (5.35) Végül (5.30) és (5.3) felhasználásával (5.35) az alábbit adja:

(N_II(S^k+1)A^k+1)_j − τ(N_II(S^k)∗N_SI(S^k))_j = 2τ 1

Ezzel az állítás második részét igazoltuk.

6. fejezet

Közelítő diﬀerenciálegyenletek

Az előző fejezetben láttuk, hogy SIS dinamika esetén tetszőleges gráfon történő betegségterjedés leírható a 2^N diﬀerenciálegyenletből álló alapegyenlet-rendszerrel.

Megjegyezzük, hogy más két állapotú dinamika esetén (azaz olyannál, amelynél a csúcsok kétféle állapotban lehetnek) hasonlóan felírható az alapegyenlet. Az egyen-letek nagy száma miatt természetesen egyszerűbb modellek bevezetése szükséges.

Láttuk, hogy a gráf automorﬁzmusainak ismeretében a rendszer redukálható, kü-lönösen egyszerű struktúrájú gráfok esetében, az összevonás segítségével. Ekkor is azonban mégO(N^k)egyenletből álló diﬀerenciálegyenlet-rendszert kapunk. Az 5.4.1.

szakaszban megmutattuk, hogy a betegek számának várható értékére tetszőleges gráf esetén fennáll az

[I] =˙ τ[SI]−γ[I]

diﬀerenciálegyenlet, amely azonban tartalmazza azSI típusú élek számának várható értékét is. Mivel ez szintén ismeretlen, azért a fenti egyenlet önmagában nem al-kalmas az [I] meghatározására. Az egyenlet lezárásának nevezik az olyan közelítő képleteket, amelyek azSI típusú élek számának várható értékét valamilyen módon összefüggésbe hozzákI értékével. A 4.2.1. szakaszban ilyenre mutattunk példát ho-mogén fokszámeloszlású gráf esetén. Ekkor a csúcsok fokszámátn-nel jelölve, az SI élek számára az _Nⁿ₋₁(N −I(t))I(t) közelítést szokás alkalmazni, melyre 4.2.1. sza-kaszban kombinatorikus érvelésen alapuló heurisztikus magyarázatot adtunk. Ezzel a közelítéssel azI˜közelítő függvényre az

I˙˜=τ n

N −1I˜(N −I)˜ −γI˜ (6.1) diﬀerenciálegyenletet kapjuk. A közelítés jóságát az irodalomban általában a Monte-Carlo szimulációval való összehasonlítással szokták vizsgálni. A 4.2.1. szakaszban a 4.1. ábrán mutattuk meg, hogy teljes gráf esetén a fenti közelítés jó egyezést mutat a Monte-Carlo szimulációval. Körgráf esetén az egyezés sokkal rosszabb, amit a 4.2.

ábra mutat. Azonban véletlen gráfok esetén sokkal jobb eredményt kapunk, amit a 4.3. ábrán szemléltettünk.

Természetes kérdés, hogy a közelítés pontosságára az alapegyenletből, a szimu-láció felhasználása nélkül tudunk-e becslést adni. Azaz például igazolható-e, hogy valamilyen határátmenet során a (6.1) egyenlet pontossá válik? A jelen fejezetben erre a kérdésre adunk választ.

Amint fent említettük, a (6.1) közelítés csak homogén fokszámeloszlású gráf ese-tén lesz alkalmazható. Három példán vizsgáltuk a szimulációval való összehasonlí-tást, a teljes gráfon, a körgráfon és homogén véletlen gráfon. A körgráf esetén nem kaptunk jó egyezést, a véletlen gráf esetén pedig egyelőre nem ismert az alapegyenlet az irodalomban, így csak a teljes gráf esetén van remény a közelítés pontosságának egzakt becslésére. A teljes gráf esetén az alapegyenletek az alábbiN + 1egyenletre redukálhatók az összevonás segítségével:

p_k=a_k₋₁p_k₋₁−(a_k+c_k)p_k+c_k+1p_k+1, k= 0, . . . , N, (6.2) ahol p_k(t)annak valószínűsége, hogy a tidőpontban k fertőzött csúcs van, és

a_k=τ k(N −k), c_k =γk. (6.3)

Ha kezdetbenmdarab fertőző csúcs van a teljes gráfban, akkor a fenti diﬀerenciálegyen-let-rendszert a

p_m(0) = 1, p_k(0) = 0, k6=m (6.4) kezdeti feltétellel kell megoldani. A fertőző csúcsok számának várható értékének kö-zelítésére felírt (6.1) egyenletben teljes gráf eseténn=N−1, így az x(t) = ˜I(t)/N skálázott új változóra, amely a fertőzött csúcsok arányát adja meg, a diﬀerenciál-egyenlet

x=βx(1−x)−γx, (6.5)

ahol β = τ N. Itt feltételezzük, hogy β független N értékétől, és τ = β/N az N értékével változik, ugyanis csak ebben az esetben várható, hogy N → ∞ esetén nemtriviális határátmenetet kapunk. A fertőzött csúcsok arányának várható értéke a (6.2) egyenlet megoldása után az

[I](t)

N =

k=0

Np_k(t) (6.6)

képletből kapható meg. A közelítés pontosságáról az alábbi Tétel igazolható.

6.1. Tétel. Legyen x a (6.5) egyenlet megoldása az x(0) = m/N kezdeti feltétel mellett, valamint legyen[I](t)a fenti képlet szerinti várható érték, melybenp_k a (6.2) megoldása a (6.4) kezdeti feltétellel. Ekkor mindent₀ >0 számhoz van olyanK >0, melyre fennáll

x(t)− [I](t) N

≤ K

N, t∈[0, t₀].

Ebben a fejezetben áttekintjük azokat a módszereket, amellyel a fenti Tétel, illetve az ilyen típusú általánosabb állítások igazolhatók.

6.1. AZ ALAPEGYENLET KÖZELÍTŐ DIFFERENCIÁLEGYENLETEI 91

6.1. Az alapegyenlet közelítő diﬀerenciálegyenletei

Induljunk ki a (6.2) lineáris rendszerből, melyet úgy tekinthetünk, mint a{0,1, . . . , N} állapotterű Markov-folyamat alapegyenletét, melybenp_k(t)jelöli ak-adik állapot va-lószínűségét at időpontban. A folyamatról mindössze annyit teszünk fel, hogy a k-adik állapotból csak ak+1-edik, vagyk−1-edik állapotba mehet át. Ilyen folyamatra példa a fent említettSIS típusú fertőzés terjedése teljes gráfon, de homogén véletlen gráfon is alkalmazható közelítésként ez az alapegyenlet. Természetesen számos más folyamat is ilyen típusú alapegyenletre vezet, a [191] dolgozatban egy adaptív há-lózatban az aktivált élek számának leírása használtunk ilyen típusú egyenletet. Az egyenletrendszert megoldva az

várható értéket szeretnénk meghatározni. Célunk egy olyan (6.5) típusú közelítő diﬀerenciálegyenlet levezetése, amelyből a fenti várható értékre közelítést kaphatunk a (6.2) alapegyenlet megoldása nélkül, valamint a közelítés pontosságára is becslést tudunk igazolni.

Az y₁ várható értékre az alábbi egyszerű Lemmát felhasználva kaphatunk diﬀe-renciálegyenletet.

függvényt, melyben ap_k függvényeket a (6.2) egyenletrendszer határozza meg. Tegyük fel továbbá, hogy a_N = 0 és c₀ = 0. Ekkor fennáll

Az y1 várható érték deriváltjának meghatározásához alkalmazzuk a Lemmát az r_k=k/N sorozatra. Ekkor

Ebből azy₁ függvényre akkor kaphatunk diﬀerenciálegyenletet, ha a jobboldalt is si-kerül azy₁segítségével kifejezni. A legegyszerűbb esetben, amikora_késc_klineárisan függk-tól, ez közvetlenül megkapható. Legyen ugyanisa_k=Ak(k= 0,1, . . . , N−1) ésc_k =Ck, ekkor a fenti képletből

y₁= (A−C)y₁,

azaz a várható érték ezen egyszerű lineáris diﬀerenciálegyenlet megoldásából közvet-lenül megkapható a (6.2) alapegyenlet megoldása nélkül. A fent tárgyalt (6.3) esetben az együtthatók nemlinearitása miatt ilyen módon nem kapunk diﬀerenciálegyenletet y1-re. A τ =β/N feltételezéssel az y1 deriváltjára az

összefüggést kapjuk, ahol F(x) =βx(1−x)−γx. Ebből formálisan úgy kaphatunk diﬀerenciálegyenletet az y₁ függvényre, ha feltételezzük, hogy az F függvény alkal-mazása és a várható érték képzése egymással felcserélhető. Ekkor ugyanis a jobbaldal F(y₁)lenne, amely éppen a (6.5) egyenletet adja.

A (6.3) általánosításaként tekintsük a sokak által vizsgált, lásd például [20, 55, 93], úgynevezett sűrűségfüggő (density dependent) esetet. Ekkor a (6.2) egyenletek-ben szereplő a_k és c_k egy A és C függvény segítségével a következő módon adható meg:

Ha formálisan ismét feltételezzük, hogy az F = A−C függvény alkalmazása és a várható érték képzése egymással felcserélhető akkor a jobbaldal F(y1) lesz. Így a sűrűségfüggő esetben az

x=A(x)−C(x) (6.9)

közelítő diﬀerenciálegyenletet kapjuk. A közelítés pontosságát tehát az|x−y1| elté-rés adja. A sűrűségfüggő esetben igazolható, hogy ez az eltéelté-rés nullához tartN → ∞ esetén, sőt, amint a 6.1. Tételben, az ott tárgyalt speciális esetre megfogalmaztuk, az eltérés 1/N nagyságrendű. Az eltérés nullához tartását először Kurtz [93] igazol-ta a hetvenes évek elején valószínűségszámítási és operátor félcsoportokat használó

6.2. KÖZELÍTÉS ELSŐRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETTEL 93 módszerekkel. Ezt később absztrakt keretbe foglalták martingál elmélet felhasználá-sával [55]. Ezen bizonyítás lényegét a 6.3. szakaszban fogjuk ismertetni. Diekmann és Heesterbeek [47] monográﬁájában az alapegyenletből N → ∞ esetén egy elsőren-dű parciális diﬀerenciálegyenletet származtatnak, amelyből heurisztikusan levezetik a (6.9) közelítő diﬀerenciálegyenletet. Ezen levezetés szigorú bizonyítását a [188] dol-gozatban közöltük, itt pedig a 6.2. szakaszban fogjuk ismertetni. Ez a bizonyítás a Kurtz féle valószínűségszámítási bizonyításhoz hasonlóan mély tételek alkalmazására épül, mint látni fogjuk. A 6.4. szakaszban "elemi" bizonyítást adunk a tételre. Ez a bizonyítás csak a közönséges diﬀerenciálegyenletek elméletének alapvető eszközeit igényli, és a nemcsak pontonkénti, hanem egyenletes konvergenciát ad, hibabecsléssel együtt. A bizonyítás alapvetően új gondolata az összes momentumokra (nemcsak a várható értékre, mint első momentumra) felírt végtelen sok egyenletből álló közönsé-ges diﬀerenciálegyenlet-rendszer bevezetése és alkalmazása becslések levezetésére. Az itt ismertetendő bizonyítás a [193] dolgozatban jelent meg. A momentumokra kapott végtelen rendszer vizsgálatának módszerét a (6.3) együtthatóknál általánosabb (6.2) alakú alapegyenlet esetére is kiterjesztettük Kato [79] és Banasiak [13] eredményeire alapozva. Az ezzel kapcsolatos eredményeket, melyeket a [192] dolgozatban publi-káltunk, szintén a 6.4. szakaszban ismertetjük. A közelítés pontosságára vonatkozó eredményeinket a [192] dolgozatban egységes keretbe foglaltuk, és új bizonyítást is adtunk a Tételre, amely most csak az operátorfélcsoportok elméletének alapvető ál-lításait használja, és (6.2) alakú alapegyenletek széles skálájára alkalmazható. Az egyik legfontosabb eredmény, hogy a sűrűségfüggési megszorító feltétel enyhíthető, ugyanis az állítást igazoltuk az úgynevezett aszimptotikusan sűrűségfüggő esetre is.

Ezen eredményeket a 6.5. szakaszban ismertetjük.

6.2. Közelítés elsőrendű parciális diﬀerenciálegyenlettel

Ebben a szakaszban visszatérünk ahhoz az esethez, amikor a (6.2) egyenletben az együtthatókat (6.3) alakban adjuk meg. (Ez az SIS típusú fertőzés teljes gráfon történő terjedésének alapegyenlete.) Ebben az esetben a közelítő egyenlet (6.5), és a fertőzött csúcsok számának várható értékét a (6.6) képlet adja. A közelítés pon-tosságának becslésére egy elsőrendű parciális diﬀerenciálegyenletet vezetünk be a következő egyszerű ötlet alapján. Nagy N esetén a p_k(t) diszkrét eloszlást közelít-sük egy ρ(t, z) sűrűségfüggvénnyel, melyben az új z ∈ [0,1] változót a z = k/N képlet kapcsolja össze a diszkrét eloszlással. Ezzel a p˙_k(t), p_k(t), p_k₋₁(t) ésp_k+1(t) formálisan rendre a következőkkel helyettesíthető: ∂tρ(t, z),ρ(t, z),ρ(t, z−1/N) és ρ(t, z+ 1/N). Ezen helyettesítésekkel a (6.2) rendszerk-adik egyenletéből az alábbi egyenletet kapjuk.

∂tρ(t, z) = (N z+ 1)γρ(t, z+ 1/N) + (N z−1)(N−N z+ 1)ρ(t, z−1/N)β/N− (N z(N−N z)β/N+N zγ)ρ(t, z).

Íjuk be ebbe a

ρ(t, z+ 1/N) =ρ(t, z) +∂_zρ(t, z)/N, ρ(t, z−1/N) =ρ(t, z)−∂_zρ(t, z)/N,

közelítéseket, majd hagyjuk el az 1/N és 1/N² nagyságrendű tagokat. Egyszerű átalakítások után a ρ függvényre az alábbi elsőrendű parciális diﬀerenciálegyenletet kapjuk.

∂_tρ=zγ∂_zρ+ (2z−1)βρ−z(1−z)β∂_zρ+γρ.

Ez a g(z) =γz−βz(1−z) függvény bevezetésével a

∂tρ=∂z(gρ) (6.10)

egyenlethez vezet.

Egy ilyen típusú egyenlet megoldásához meg kell adnunk egy

ρ(0, z) =ρ₀(z) (6.11)

típusú kezdeti feltételt. A változók közötti z =k/N formális kapcsolat miatt (6.4) alapján az alábbi kezdeti feltétel megadása kézenfekvő.

ρ₀(z) = 1, ha m

N < z < m+ 1

N , ésρ₀(z) = 0 egyébként.

Végül azt kell megadnunk, hogy a fertőző csúcsok számának várható értékét hogyan lehet megadni a parciális diﬀerenciálegyenlet segítségével. Ha az [I](t)/N várha-tó értéket deﬁniáló (6.6) képletben p_k(t) helyére ρ(t, z)-t írunk, akkor az összeget formálisan integrállal helyettesíthetjük, ugyanis a

N integrál közelítő összege. Mivel R1

0 ρ₀(z)dz = 1/N, azért az alábbi i^∗ függvény te-kinthető az[I](t)/N várható érték közelítésének

i^∗(t) = R₁

0 zρ(t, z)dz R1

0 ρ0(z)dz . (6.12)

A 6.1. Tétel igazolásához azt fogjuk megmutatni, hogy azi^∗(t)közel vanx(t)-hez és[I](t)/N-hez is. Az előbbi igazolásához azx(t)és i^∗(t)explicit előállítását fogjuk használni. A (6.5) egyenlet megoldása

x(t) = B(t)x₀ β−γ−A(t)x₀, alakban adható meg, ahol x0 =x(0) a kezdeti feltétel és

In document Bifurkációk komplex rendszerek diﬀerenciálegyenleteiben Simon L. Péter (Pldal 85-0)