4. Hálózati folyamatok 49
4.1.1. A csúcsok állapotát leíró dinamikák
Először a járványterjedést leíró dinamikákat ismertetjük, mert ezek ezek képezik sa-ját kutatásaink tárgyát. A Bevezetésben már ismertettük a legegyszerűbb, és igen gyakran vizsgált dinamikát, az SIS típusú járványterjedést. Ez olyan fertőzések modellezésére alkalmas, amelyben a fertőzésen átesett egyedek nem nyernek immu-nitást, így a fertőzött, I típusú egyedek újra fertőzhetők, azaz S típusúak lesznek.
A csúcsok tehát kétféle állapotban, S és I lehetnek. Kétféle átmenet lehetséges:
fertőzés, melynek során egy S csúcs I típusú lesz, ennek rátájakτ, aholkadja meg az S csúcs I típusú szomszédainak számát; valamint gyógyulás, melynek során egy I csúcsS típusú lesz, ennek rátájaγ a szomszédos csúcsok típusától függetlenül.
A leggyakrabban vizsgált járványterjedési dinamika az SIRtípusú, amely olyan fertőzések leírására alkalmas, amelyben a fertőzésen átesett egyedek immunitást nyer-nek. Ez esetben a fertőzött,I típusú egyedek egy újabb osztályba kerülnek, melyetR
49
(recovered) jelöl. A csúcsok tehát háromféle állapotban, S,I ésR lehetnek, melyek között a fenti kétféle átmenet lehetséges, azzal a változtatással, hogy a gyógyulás most I →R átmenetet jelent.
A járványterjedést számos más dinamikával is lehet modellezni, ezek közül csak megemlítünk néhányat. Ha az immunitás nem végleges, akkor szokás az SIRS mo-dellt használni, melynél háromféle állapot van, azonban a fenti átmeneteken kívül az R → S átmenet is megengedett. Ha az egészséges egyedek a betegséget meg-kapva nem lesznek azonnal fertőzöttek, akkor egy újabb osztályt célszerű bevezetni, amelyet E (exposed) jelöl. Ebben az esetben négyféle állapotban lehet egy csúcs:
{S, E, I, R}, és a következő átmenetek fordulhatnak elő: S → E, E → I, I → R.
Ezt a dinamikát nevezik SEIRtípusúnak. Ha a betegség után az egyed nem szerez immunitást, akkor ehelyett az SEIS dinamikával modellezhető a folyamat.
A járványterjedési modellekből kiindulva kezdték meg a híresztelések (rumour) terjedésének modellezését, melynek mára igen kiterjedt irodalma van [77, 104, 110, 151]. Ezek a modellek szociológiai vizsgálatokból indultak ki, melyek során embe-rek egy csoportja által alkotott ismeretségi hálózaton híembe-rek, híresztelések pletykák terjedésének mechanizmusát vizsgálták. Ezek igen fontosak lehetnek a politikai köz-vélemény formálása, vagy a pénzügyi piacok viselkedése szempontjából, ezért számos szociológus és politológus kutatásait motiválták. Mára annak modellezése is nagyon fontossá vált, hogy egy új információt (például egy új márka bevezetését, vagy egy új videót), hogyan lehet az interneten minél hatékonyabban elterjeszteni, melyre ú.n.
gossip (pletyka) algoritmusokat is alkalmaznak [77]. Az SIR betegségterjedéshez hasonlóan az információ terjedés szempontjából is háromféle állapotban lehetnek a csúcsok: tájékozatlanok (ignorants), akik nem ismerik a híresztelést, terjesztők (spreaders), akik ismerik a hírt és terjesztik is, valamint akadályozók (stiflers), akik ismerik a hírt, de nem terjesztik. A továbbiakban ezeket az osztályokat X, Y és Z fogja jelölni. A csúcsok állapota a következőképpen változhat. Egy tájékozatlan csúcs a terjesztő típusú szomszédai számával arányosan maga is terjesztővé válhat, ez tehát egyX→Y átmenet, melynek rátájakτ, aholkadja meg azX csúcsY típusú szomszédainak számát. Egy terjesztő (Y) kétféleképpen változhat akadályozóvá (Z), egyrészt spontán módon γ rátával, amely kifejezi azt, hogy idővel a pletyka egyre kevésbé fontos számára, azaz fokozatosan feledésbe merül; másrészt jprátával, ahol jjelöli azY csúcsY ésZtípusú szomszédainak számát,ppedig adott paraméter. Ez utóbbi átmenet azt fejezi ki, hogy minél többen ismerik a terjesztő szomszédai közül a pletykát, annál kevésbé érdekes a továbbadása. Tehát kétféle átmenet lehetséges:
X →Y, melynek rátájakτ, valamintY →Z, melynek rátájaγ+jp. Megjegyezzük, hogy ez a legegyszerűbb modell, ennek számos általánosítását, illetve finomítását vizsgálták és vizsgálják, például a [110] dolgozatban.
Hálózati folyamatok egyik igen fontos típusa az aktivitás terjedése biológiai neu-rális hálózatokon. Neuneu-rális hálózatokat általában az itt bemutatottnál bonyolultabb modellekkel írják le, ugyanis a neuronok állapotát egy folytonos változó, a memb-ránpotenciál jellemzi. Így minden neuronhoz egy közönséges differenciálegyenlet tar-tozik, amely tartalmaz a szomszédos neuronok állapotát jellemző tagokat. Az így kapott csatolt differenciálegyenlet-rendszert nagyon sokan vizsgálták, az eredmények-ről kiváló összefoglalást ad a [38] dolgozat, amely számos hivatkozást tartalmaz. Ez esetben azonban a modell igen összetett lesz, ezért nagyon speciális gráfok esetén
4.1. A MATEMATIKAI MODELL 51 is nehéz elméleti eredményeket levezetni. A gráfstruktúra hatásának vizsgálatához célszerű a dinamikát egyszerűsíteni, hogy a modell kezelhető legyen. A dinamika jelentős egyszerűsítését jelenti a diszkrét állapottér bevezetése, amikor a neuronnak csak véges sok állapotát különböztetjük meg [18, 67, 131]. A legegyszerűbb esetben a neuront két állapotúnak tekintjük, nevezetesen aktív, vagy inaktív lehet. A fo-lyamat pontosabb leírását kapjuk, ha ezekhez hozzáveszünk egy harmadik állapotot is, amelyben a neuron egy ideig nem aktiválható (refractory). Kétállapotú neuro-nokból álló hálózatunk esetében a matematikai modell a következő. Tételezzük fel először, hogy minden neuron a gerjeszthető (excitatory) típusba tartozik. Ekkor a gráf csúcsai kétféle állapotban lehetnek: aktív (E+) és inaktív (E−), melyek között a következő átmenetek jöhetnek létre. Egy aktív neuron inaktívvá válik, ezen fo-lyamat rátáját jelölje α, valamint egy inaktív neuron az aktív szomszédai hatására aktívvá válik. Ezen folyamat rátájaf(iwE+hE), aholiaz aktív szomszédok száma, wE és hE adott konstansok, f pedig a tangens hiperbolikusz, vagy hasonló jellegű függvény. Ez a ráta azt fejezi ki, hogy egyrészt a szomszédoktól függetlenül minden neuronra hat valamilyen külső gerjesztés, melyet a hE paraméter jellemez, másrészt a gerjesztés függ az aktív szomszédok számától (valamilyenwE súllyal megszorozva ezek számát), de a járványterjedéstől eltérően a szomszédok számától nem lineá-risan függ az átmenet rátája, hanem a tangens hiperbolikusz függvényhez hasonló telítődés szerint, tehát nagyon sok aktív szomszéd már nem növeli az átmenet való-színűségét. Ha a hálózat nemcsak gerjeszthető, hanem gátló (inhibitory) neuronokat is tartalmaz, akkor a gráf csúcsai négyféle állapotban lehetnek: E+, E−, I+, I−, az utóbbi kettő jelöli a gátló aktív és inaktív neuronokat. A neuronok állapota aktív és inaktív között változhat, a gerjeszthető (E típusú) neuronok mindvégig gerjeszthe-tők maradnak, hasonlóképpen a gátlók is gátlók maradnak a folyamat során. Tehát négyféle átmenet lehetséges, melyek rátái a következőképpen adhatók meg. A fenti α rátával egy E+ vagy I+ neuron inaktívvá válhat, azaz átkerül az E−, illetve I− osztályba. Egy inaktív neuron aktívvá válásának rátája gerjeszthető neuron (E−) esetében f(iwE−jwI +hE), ahol iaz aktív gerjeszthető (E+) szomszédok száma, j az aktív gátló (I+) szomszédok száma, wE, wI és hE adott konstansok, f pedig a fent említett függvény. Egy inaktív gátló neuron (I−) aktívvá válásának rátája f(iwE −jwI+hI), aholiismét az aktív gerjeszthető (E+) szomszédok száma, j az aktív gátló (I+) szomszédok száma és hI a gátló neuronokra ható külső gerjesztést megadó konstans.
Az alábbiakban összefoglaljuk a fent ismertetett dinamikákat. Az egyes típusok-nál megadjuk a csúcsok lehetséges állapotainak halmazát, a lehetséges átmeneteket, valamint ezek rátáit. A rátán, amint fent definiáltuk, azt értjük, hogy a Poisson-folyamat esetében a kis∆tidő alatt bekövetkező átmenet 1−exp(−λ∆t) valószínű-ségét megadó képletben mennyi aλparaméter értéke.
• SIS járványterjedés
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I}. Átmenetek és rátáik
– S→I,λ=kτ,ka szomszédos I csúcsok száma.
– I →S,λ=γ
• SIR járványterjedés
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. Átmenetek és rátáik
– S →I,λ=kτ,k a szomszédos I csúcsok száma.
– I →R,λ=γ
• Híresztelés terjedése
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X, Y, Z} (tájékozatlan, terjesztő, akadályozó).
Átmenetek és rátáik
– X →Y,λ=kτ,ka szomszédos Y csúcsok száma.
– Y →Z,λ=γ+jp,j a szomszédos Y ésZ csúcsok együttes száma.
• Aktivitás terjedése neuron hálózatban
A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E+, E−, I+, I−}(gerjeszthető ak-tív és inakak-tív, gátló akak-tív és inakak-tív).
Átmenetek és rátáik – E+→E−,λ=α.
– E− →E+, λ=f(iwE −jwI+hE), i, j a szomszédosE+, és I+ csúcsok száma.
– I+ →I−,λ=α.
– I− → I+, λ = f(iwE −jwI +hI), i, j a szomszédos E+, és I+ csúcsok száma.