A "time-map" monotonitása

A monotonitás meghatározásához célszerű a T függvényt meghatározó u(T(c), c)≡0 u(r, c)>0, 0< r < T(c)

implicit egyenletet használni. Az egyenletet differenciálva, aT függvény deriváltjára az alábbi adódik

∂_ru(T(c), c)T^′(c) +∂_cu(T(c), c)≡0. (2.9) AT szélsőértékeinek vizsgálatakor szükség van a második derivált előjelére azokban a pontokban, ahol az első derivált eltűnik. A fenti egyenletet deriválva azt kapjuk, hogyT^′(c) = 0esetén

∂_ru(T(c), c)T^′′(c) +∂_c²u(T(c), c) = 0. (2.10) A (2.9) és (2.10) egyenletekben szereplő c szerinti parciális deriváltakat a variációs egyenletből határozhatjuk meg. A továbbiakban azf függvényről mindig feltételez-zük a kellő simaságot a megfelelő deriváltak létezéséhez. Deriváljuk tehát a (2.3) differenciálegyenletetcszerint. Bevezetve a

h(r, c) =∂_cu(r, c), z(r, c) =∂_c²u(r, c) függvényeket, az alábbi kezdetiérték-feladatokat kapjuk

rh^′′(r, c) + (n−1)h^′(r, c) +rf^′(u(r, c))h(r, c) = 0 (2.11) h(0, c) = 1, h^′(0, c) = 0, (2.12)

rz^′′(r, c) + (n−1)z^′(r, c) +rf^′(u(r, c))z(r, c) +rf^′′(u(r, c))h²(r, c) = 0(2.13) z(0, c) = 0, z^′(0, c) = 0,(2.14) Ezen függvények segítségével a (2.9) és (2.10) egyenletek az alábbi alakba írhatók

u^′(T(c), c)T^′(c) +h(T(c), c) = 0, (2.15) u^′(T(c), c)T^′′(c) +z(T(c), c) = 0, (2.16) ahol az utóbbi csak T^′(c) = 0 esetén áll fenn. Vegyük észre, hogy ezekben az egyen-letekben u^′(T(c), c) < 0, hiszen T(c) az u függvény első zérushelye. Így T^′(c) és T^′′(c) előjelét a h ész függvény előjele határozza meg. Ezen függvények gyökeinek elhelyezkedését a Sturm-féle szeparációs tétel segítségével fogjuk vizsgálni. Ezen té-telek alkalmazásakor szükség lesz a v(·, c) =u^′(·, c) függvényre. Az erre vonatkozó differenciálegyenletet és kezdeti feltételt az u függvényre vonatkozó (2.3) differenci-álegyenletből (pontosabban annakr-rel elosztott alakjából), valamint a (2.7) kezdeti feltételbőlr szerinti deriválással kapjuk

rv^′′(r, c) + (n−1)v^′(r, c) + (rf^′(u(r, c))−n−1

r )v(r, c) = 0 (2.17) v(0, c) = 0, v^′(0, c) = −f(c)

n . (2.18) A deriváltra vonatkozó kezdeti feltételt a (2.3) differenciálegyenletbőlu^′′(0) kifejezé-sével és a L’Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk. Az alábbiakban, ha nem okoz félreértést, akkor az u, h, z, v függvények második változóját nem írjuk ki, tehát például u(r, c) helyett u(r)-et írunk. A továbbiakban alapvető fontosságú lesz az alábbi Lemma [178].

2.1. Lemma. Ha n= 1, akkor ah függvénynek legfeljebb egy gyöke lehet a[0, T(c)]

intervallumban.

Bizonyítás. Az n= 1 esetben a hésv függvényre vonatkozó (2.11) és (2.17) diffe-renciálegyenlet megegyezik. Ezért a Sturm-féle szeparációs tétel szerint a két függ-vény gyökei elválasztják egymást. Ha a h függvénynek lenne két gyöke a [0, T(c)]

intervallumban, akkor a v függvénynek is lenne gyöke, azaz u^′ valahol 0 lenne a (0, T(c)) intervallumban. Ez azonban lehetetlen, ugyanis egyrészt a radiális szim-metriára vonatkozó [62] cikkbeli tételbőlu^′(r)<0is következik mindenr∈(0, T(c)]

esetén, másrészt ez elemien is igazolható, ahogy hamarosan látni fogjuk.

A Lemmát a [178] dolgozatban bizonyítottuk ilyen egyszerű formában, ugyanis ennek segítségével konvex nemlinearitás esetén teljes leírás adható a megoldások pon-tos számáról. A későbbi vizsgálatokban alapvető szerepet játszik az alábbi feltétel, melynek az irodalomban "disconjugacy" feltétel a neve:

A hfüggvénynek legfeljebb egy gyöke lehet a [0, T(c)]intervallumban. (2.19) A Lemma szerint, ez bármely f függvény esetén teljesül, ha n= 1. Azonban n >1 esetén csak bizonyos függvényekre igaz. Amint ez közvetve már ismert volt, a (2.19)

2.2. A "TIME-MAP" MÓDSZER 17 feltétel nem igaz például azf(u) = (1+u)^p függvény, ésp > ⁿ⁺²_n−2 esetén [78], valamint az f(u) =u⁵+u² függvény és n= 3 esetén [8]. A feltétel teljesülésének bizonyítása a legtöbb esetben meglehetősen nehéz. Azonban mivel kulcsszerepet játszik a megol-dások pontos számának meghatározásában, azért számos speciális esetben igazolták n >1 esetén is. Az f(u) =u^p+λu^q függvény esetében különböző p és q értékekre a 2.1. szakaszban felsorolt dolgozatok mindegyikében, ahol egyértelműséget igazol-nak, bebizonyítják a (2.19) feltételt. Az f(u) =u^p−λu függvény esetében Kwong [96] és McLeod [108] igazolták a feltétel teljesülését.

Nézzük meg most, hogy a T deriváltjaira vonatkozó fenti képletek a Sturm-féle szeparációs tétel segítségével hogyan használhatók aT monotonitásának eldöntésére.

A Sturm-féle szeparációs tétel közvetlen alkalmazása helyett, az annak bizonyításá-ban használt alábbi azonosságot fogjuk használni. Legyenek u₁, u₂ : [r₁, r₂] → R kétszer folytonosan differenciálható függvények. Ekkor

Z r2

r1

(rⁿ⁻¹u^′₁(r))^′u2(r)−(rⁿ⁻¹u^′₂(r))^′u1(r)dr = (2.20) rⁿ₂⁻¹(u^′₁(r2)u2(r2)−u1(r2)u^′₂(r2)) +rⁿ₁⁻¹(u1(r1)u^′₂(r1)−u^′₁(r1)u2(r1)).

2.1. Állítás. Tegyük fel, hogy teljesül a (2.19) feltétel és f szuperlineáris, azaz uf^′(u)−f(u) > 0 minden u > 0 esetén, (vagy másszóval ^f(u)_u szigorúan monoton növő). Ekkor fennáll T^′<0.

Bizonyítás. Az ués hfüggvényekre (2.3) és (2.11) alapján fennállnak az

(rⁿ⁻¹u^′)^′+rⁿ⁻¹f(u) = 0, (rⁿ⁻¹h^′)^′+rⁿ⁻¹f^′(u)h= 0 (2.21) differenciálegyenletek. Szorozzuk meg az első egyenleteth-val, a másodikat pedig u-val, vonjuk ki egymásból a kettőt, majd integráljunk a[0, T(c)]intervallumon. Ekkor a (2.20) azonosságot alkalmazvar₁= 0,r₂ =T(c),u₁ =u,u₂ =h esetén

Z T(c)

0

rⁿ⁻¹h(r) u(r)f^′(u(r))−f(u(r))

dr= (T(c))ⁿ⁻¹u^′(T(c))h(T(c)).

Ebből következik, hogy ahfüggvénynek van gyöke a[0, T(c)]intervallumban, ugyan-is, ha nem lenne ott gyöke, akkor a baloldal pozitív, a jobboldal pedig negatív lenne.

Most kap szerepet a (2.19) feltétel, ugyanis ekkor a 2.1. Lemma miatt ah függvény-nek nem lehet több gyöke, teháth(T(c))<0. Ebből viszont (2.15) szerint következik T^′(c)<0.

2.2. Állítás. Legyenn≥1, és tegyük fel, hogyf szublineáris, azazuf^′(u)−f(u)<0 mindenu >0 esetén, (vagy másszóval ^f(u)_u szigorúan monoton fogyó). Ekkor fennáll T^′>0.

Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy ah függvénynek nincs gyöke a [0, T(c)] interval-lumban. Ugyanis tegyük fel, hogyh(r^∗) = 0 ésr^∗ a h első gyöke, (ezérth^′(r^∗)<0).

Szorozzuk meg a (2.21) első egyenletét h-val, a másodikat pedig u-val, vonjuk ki

egymásból a kettőt, majd integráljunk a [0, r^∗] intervallumon. Ekkor a (2.20) azo-nosságot alkalmazva r₁ = 0,r₂ =r^∗,u₁=h,u₂ =u esetén

Z r^∗

0

rⁿ⁻¹h(r) f(u(r))−u(r)f^′(u(r))

dr = (r^∗)ⁿ⁻¹u(r^∗)h^′(r^∗).

Ekkor a baloldal pozitív, a jobboldal pedig negatív, amely azt igazolja, hogy a h függvénynek nincs gyöke a[0, T(c)]intervallumban. Így teháth(T(c))>0, melyből (2.15) szerint következik T^′(c)>0.

Megjegyezzük, hogy a szuperlinearitás és a szublinearitás a függvény konvexitá-sával függ össze, hiszen az l(u) = uf^′(u)−f(u) függvényre l^′(u) = uf^′′(u). Ezért f^′′ > 0 és f(0) ≤ 0 esetén, l(0) ≥ 0 és l^′(u) > 0, így uf^′(u)−f(u) = l(u) > 0, amennyiben u > 0. Hasonlóan f^′′ <0 és f(0)≥0 esetén, l(0)≤0 ésl^′(u)<0, így uf^′(u)−f(u) = l(u) <0, amennyiben u > 0. Tehát az alábbi egyszerű Állítás áll fenn.

2.3. Állítás. Haf^′′>0ésf(0)≤0, akkorf szuperlineáris. Haf^′′<0ésf(0)≥0, akkor f szublineáris.

AT függvény monotonitásának vizsgálata után térjünk rá most szélsőértékeinek vizsgálatára.

2.4. Állítás. Tegyük fel, hogy a (2.19) feltétel teljesül és f^′′ > 0. Ekkor T^′(c) = 0 esetén fennáll T^′′(c)<0, azazT szélsőértéke csak maximum lehet.

Bizonyítás. A T^′(c) = 0 feltételből (2.15) szerint következik h(T(c)) = 0. Így a (2.19) feltétel miatt h(r) > 0 a [0, T(c)) intervallumban. Végezzük el a h és z függvény Sturm-féle összehasonlítását. Ezekre a függvényekre (2.11) és (2.13) alapján fennállnak a

(rⁿ⁻¹h^′)^′+rⁿ⁻¹f^′(u)h= 0, (rⁿ⁻¹z^′)^′+rⁿ⁻¹(f^′(u)z+f^′′(u)h²) = 0 (2.22) differenciálegyenletek. Szorozzuk meg az első egyenletetz-vel, a másodikat pedig h-val, vonjuk ki egymásból a kettőt, majd integráljunk a[0, T(c)]intervallumon. Ekkor a (2.20) azonosságot alkalmazva r1 = 0,r2 =T(c),u1 =h,u2 =z esetén

Z T(c)

0

rⁿ⁻¹h³(r)f^′′(u(r))dr = (T(c))ⁿ⁻¹h^′(T(c))z(T(c)).

Mivel a baloldal pozitív ésh^′(T(c))<0(hiszenT(c)ahelső gyöke), azértz(T(c))<

0, melyből (2.16) szerint következik T^′′(c)<0.

Teljesen hasonlóan igazolható az alábbi.

2.5. Állítás. Tegyük fel, hogy a (2.19) feltétel teljesül és f^′′ < 0. Ekkor T^′(c) = 0 esetén fennáll T^′′(c)>0, azazT szélsőértéke csak minimum lehet.

Ezen állítások lehetővé teszik, hogy n= 1 esetén teljes leírást adjunk konvex és konkáv f esetén a megoldások számáról. Ehhez azonban még szükség van aT értel-mezési tartományának és határértékeinek meghatározására. Ezekkel foglalkozunk a következő szakaszokban.

2.2. A "TIME-MAP" MÓDSZER 19 2.2.2. A "time-map" értelmezési tartománya

Az értelmezési tartomány meghatározásához célszerű bevezetni az n = 1 esethez tartozó Hamilton- függvényt

H(r) := u^′(r)²

2 +F(u(r)), (2.23)

ahol F(u) := R_u

0 f. Az n > 1 esetben ez Ljapunov-függvényként szolgál, ugyanis H^′(r) =−ⁿ⁻_r¹u^′2(r)≤0. Könnyen látható, hogy amennyiben az ufüggvénynek van gyöke, akkoru^′(r) <0 minden r ∈(0, R]esetén, ahol R jelöli az első gyököt. Ilyen esetben tehát fenn kell állnia azu^′′(0)<0 egyenlőtlenségnek, amelyből f(u(0))>0 következik. Ezzel a következőt igazoltuk.

2.6. Állítás. Ha c∈D(T), akkor f(c)>0.

Könnyen kaphatunk ennél jobb feltételt is a Ljapunov függvény segítségével. Ugyanis c∈D(T) esetén bármely d∈(0, c) számhoz van olyan r >0, melyre u(r) =d. Így

F(d) =F(u(r)) =H(r)−u^′(r)²

2 < H(r)≤H(0) =F(c), amely az alábbit bizonyítja.

2.7. Állítás. Ha c∈D(T), akkor F(c)> F(d) minden d∈(0, c) számra.

Az értelmezési tartományra tehát fennáll

D(T)⊂ {c >0 : F(c)> F(d) ∀ d∈(0, c) ésf(c)6= 0}=:Pf. (2.24) Az n= 1 esetben pontosan megadható az értelmezési tartomány.

2.8. Állítás. Ha n= 1, akkor D(T) =Pf.

A differenciálegyenlet (2.21) képletbeli alakját integrálva

−rⁿ⁻¹u^′(r) = Z r

0

ρⁿ⁻¹f(u(ρ))dρ. (2.25) Ha f pozitív, akkor létezik olyan r₁ > 0 és K > 0, hogy minden r > r₁ esetén u^′(r) ≤ −_r^n−1K . Ezért ha n ≤ 2, akkor u nem lehet minden r > 0 esetén pozitív, valahol eléri a nullát. Így az alábbit igazoltuk

2.9. Állítás. Legyen n≤2. Ekkor, ha f(u)>0 minden u∈(0,+∞) esetén, akkor D(T) = (0,+∞), azaz ekkor is teljesül D(T) =Pf.

Magasabb dimenzió eseténf pozitivitásából nem következik, hogy D(T) =Pf. Erre a legegyszerűbb példa az f(u) = u^p függvény p ≥ (n+ 2)/(n−2) esetén. Ekkor ugyanis D(T) = ∅ és Pf = (0,+∞). Az előbbi bizonyítása az alábbi Pohozaev-azonosságon alapul [122].

rⁿu^′2(r) + 2rⁿF(u(r)) + (n−2)rⁿ⁻¹u(r)u^′(r) = (2.26) Zr

0

sⁿ⁻¹[2nF(u(s))−(n−2)u(s)f(u(s))]ds.

Ugyanisp≥(n+2)/(n−2)esetén a jobboldal nem pozitív, míg, ha azufüggvénynek lenne gyöke, akkor ott a baloldal pozitív lenne.

Apkitevőre vonatkozó feltétel éppen a kritikus Szoboljev-kitevőt adja. Pohozsa-ev variációs módszerrel bebizonyította, hogyp <(n+2)/(n−2)esetén van megoldása a peremérték-problémának, akkor D(T) = Pf. Ha azonban az f függvényre fenn-áll f(0) > 0, akkor a (2.25) képlet segítségével, ha pedig az f függvényre lineáris alsó becslés adható, akkor a megfelelő lineáris egyenlettel való Sturm összehason-lítás segítségével megmutatható, hogy a megoldások elérik a nullát, azaz fennáll a következő.

2.10. Állítás. Legyen n ≥ 1, α ∈ (0,+∞]. Ha f > 0 a (0, α) intervallumban és lim inf

u→0 f(u)

u >0, akkor (0, α) ⊂D(T). Következésképpen, haf(α) = 0, akkor (0, α) maximális részintervalluma D(T)-nek.

2.2.3. A "time-map" határértékei az értelmezési tartomány határ-pontjaiban

Az alábbi állításokat a T határértékeiről a [178] dolgozatban bizonyítottuk. A bizo-nyításokat itt nem közöljük. A következő Állítást ismét Sturm típusú összehasonlí-tással lehet igazolni.

2.11. Állítás. Legyenn≥1, és 0∈∂D(T).

(a) Ha f(0)>0, akkor lim

0 T = 0.

(b) Ha f(0) = 0 és f^′(0)>0, akkor lim

0 T ∈(0,+∞).

(c) Ha f(0) = 0 és f^′(0) = 0, akkor lim

0 T = +∞.

2.12. Állítás. Legyenn≥1, és legyen c >0 a ∂D(T)\D(T) halmaz eleme. Ekkor limc T = +∞.

Az alábbi állítás bizonyításában fontos szerepet játszik azn= 1feltétel, ugyanis ebben az esetben aT függvény integrál előállítását kell használni.

2.13. Állítás. Legyenn= 1, és +∞ ∈∂D(T).

(a) Ha lim

u→+∞ f(u)

u = +∞, akkor lim

+∞T = 0.

(b) Ha lim

u→+∞ f(u)

u =L∈(0,+∞), akkor lim

+∞T = ^π

2√ L. (c) Ha lim

u→+∞ f(u)

u = 0, akkor lim

+∞T = +∞.

2.14. Állítás. A 2.13. Állítás (c) része fennálln≥1 esetén is.

2.3. A MEGOLDÁSOK SZÁMA KONVEXF ESETÉN 21 A [183] dolgozatban igazoltuk a Pohozsaev-egyenlőtlenség felhasználásával, hogy a 2.13. Állítás (a) része fennáll n≥ 1 esetén is a szubkritikus esetben. Ezt fogal-mazzuk meg a következő Állításban.

2.15. Állítás. Tegyük fel, hogy f(u) > 0, ha u > 0, valamint létezik és véges a

ulim→∞

f(u)

u^p határérték, ha 1< p <2^∗, ahol 2^∗ = ⁿ⁺²_n−2, ha n >2, és2^∗=∞, ha n≤2.

Ekkor létezik olyan c₀>0, melyre (c₀,∞)⊂D(T) és lim

+∞T = 0.

2.3. A megoldások száma konvex f esetén

Ebben a szakaszban a konvexf függvényeket fogjuk osztályozni a "time-map" alak-ja szerint, azaz meghatározzuk, hogy R függvényében hány pozitív megoldása van a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának. Az n= 1esetben teljes osztályozást tudunk adni, azaz bármely konvexf függvény esetén meg tudjuk adni a pozitív megoldások pontos számát. Az n > 1 esetben is számos ismert eredményt kapunk meg egysze-rűbb bizonyítással, ekkor azonban az osztályozás nem teljes. Mutatni fogunk olyan eseteket, amelyeknél a megoldások pontos számának kérdése még nyitott probléma.

Az ebben a szakaszban szereplő eredmények nagyrészt a [178] dolgozatban jelentek meg.

A "time-map" alakját, amint a fejezet elején már említettük, három fontos tulaj-donság jellemzi: az értelmezési tartomány, a monotonitás, és a határértékek. Amint látni fogjuk az osztályozás alapját a határértékek adják, amelyeket f(0) előjele, va-lamintf végtelenbeli viselkedése határoz meg a 2.11. és 2.13. Állítás szerint.

Osztályozásunk első szintjét f végtelenbeli viselkedése adja. Eszerint háromféle függvényt különböztetünk meg:

• aszimptotikusan szuperlineáris ( lim

u→+∞ f(u)

u = +∞),

• aszimptotikusan lineáris ( lim

u→+∞ f(u)

u ∈(0,+∞)) és

• aszimptotikusan szublineáris ( lim

u→+∞ f(u)

u ≤0).

Megjegyezzük, hogy f konvexitása miatt ^f(u)_u monoton nagy u esetén, ezért a

u→lim+∞ f(u)

u határérték létezik.

Kezdjük vizsgálatainkat a legegyszerűbb, azaz a szublineáris esettel. Ekkor a konvexitás miatt f csökkenő, így csak az f(0) > 0 eset érdekes számunkra, hiszen különben f negatív, így a 2.6. Állítás miatt a (2.1)-(2.2) feladatnak nincs pozitív megoldása. Azf tehát egy pozitív értékből indul és csökken. Legyen az első gyöke α, amennyiben nincs gyöke, akkor legyen α = ∞. A 2.10. Állítás szerint ekkor D(T) = (0, α). A 2.11. Állítás szerintlim₀T = 0, a 2.12., vagyα=∞ esetén a 2.14.

Állítás szerint pediglim_αT =∞. Végül a 2.5. Állítás szerint T szigorúan monoton növő. ÍgyT értékkészlete a(0,∞) intervallum, és minden értéket pontosan egyszer vesz fel. Ezzel a következő Tételt igazoltuk.

2.1. Tétel. Legyenf konvex, aszimptotikusan szublineáris függvény, melyre f(0)>

0. Ekkor bármely R >0 esetén a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának pontosan egy megoldása van.

Aszimptotikusan szuperlineáris és lineárisf esetén a teljes osztályozás csakn= 1 esetén ismert. Az osztályozásf(0)előjele szerint történik. Az ezzel kapcsolatos ered-ményeinket foglalja össze a következő két tétel [178]. A tételek részben általánosít-hatók az n >1 esetre is, ezek az eredmények is a [178] dolgozatban olvashatók.

2.2. Tétel. Legyen n = 1, f : [0,∞) → R, f ∈ C² szigorúan konvex függvény, melyre lim

u→+∞ f(u)

u = +∞.

(i) Ha f(u) > 0 (u ∈ [0,∞)), akkor létezik olyan Rsup > 0, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának R < R_sup esetén két megoldása, R=R_sup esetén egy megoldása van, R > R_sup pedig nincs megoldása.

(ii) Ha f(0) > 0 és az f függvénynek van gyöke a (0,∞) intervallumban, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának két megoldása van mindenR >0esetén.

(iii) Ha f(0) = 0 és f^′(0) > 0, akkor létezik olyan Rsup > 0, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van R < R_sup esetén, és nincs megol-dása, ha R≥R_sup.

(iv) Ha f(0) = 0 és f^′(0) ≤ 0, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van minden R >0 esetén.

(v) Ha f(0) < 0, akkor létezik olyan Rsup > 0, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van R≤R_sup esetén, és nincs megoldása, ha R >

R_sup.

Bizonyítás. Mindegyik esetben a T grafikonjának alakját határozzuk meg, en-nek segítségével eldönthető, hogy R különböző értékei esetén hány megoldása van a T(c) =R egyenletnek.

(i) A 2.11. és 2.13. Állítás szerint lim0T = lim+∞T = 0. Így a T függvénynek van egy maximuma, amely a 2.4. Állítás miatt az egyetlen szélsőértéke. Tehát T növekszik nullától valamely R_sup >0 számig, utána pedig csökken nulláig.

A T grafikonjának alakját a 2.2. ábra (a) részén láthatjuk.

(ii) A 2.8. Állítás szerint D(T) két részintervallumból áll, legyenek ezek (0, α) és (β,∞). A 2.11., 2.12. és 2.13. Állításból következik, hogylim₀T = lim_+∞T = 0 és lim_α−T = lim_β+T = +∞. A 2.4. Állítás miatt T-nek nem lehet szél-sőértéke, így szigorúan monoton mindkét részintervallumon. TehátT minden pozitív értéket kétszer vesz fel. AT grafikonjának alakját a 2.2. ábra (b) része mutatja.

(iii) A 2.10., 2.11. és 2.13. Állítás miattD(T) = (0,∞), valamint fennálllim_+∞T = 0éslim0T =Rsup, aholRsup>0a linearizált egyenlet,u^′′+f^′(0)u= 0, meg-oldásának első gyöke. Az 2.1. Állításból következően T szigorúan csökken,

2.3. A MEGOLDÁSOK SZÁMA KONVEXF ESETÉN 23

2.2. ábra. A (2.1)-(2.2) peremérték-problémához tartozó T leképezés grafikonjának alakja a 2.2. Tételben felsorolt eseteknek megfelelően.

ezért a (0, R_sup) intervallumban minden értéket pontosan egyszer vesz fel. A T grafikonjának alakját a 2.2. ábra (c) részén láthatjuk.

(iv) Haf^′(0) = 0, akkor a 2.8. és 2.11. Állítások szerintD(T) = (0,∞)áslim₀T = +∞. Ha f^′(0)<0, akkor a 2.8. és 2.12. Állítások szerint létezik olyanβ >0, hogyD(T) = (β,∞)éslim_β⁺T = +∞. Mindkét esetben fennálllim_+∞T = 0.

Az 2.1. Állításból következően T szigorúan csökken nulláig. A T grafikonját a 2.2. ábra (d) részén folytonos vonal mutatja.

(v) A 2.8. Állítás szerintD(T) = [β,∞)valamilyenβ >0esetén. Mivellim_+∞T = 0, azért ismét az 2.1. Állításból következőenT szigorúan csökken nulláig. AT grafikonját a 2.2. ábra (d) részén szaggatott vonal mutatja.

Tekintsük végül az aszimptotikusan lineáris esetet. Ekkor az előző Tételhez ké-pest a lényeges változás, hogy lim_+∞T = R_∞ a 2.13. Állításból következően. A fenti Tétel bizonyításának kis módosításával az alábbit kapjuk.

2.3. Tétel. Legyen n = 1, f : [0,∞) → R, f ∈ C² szigorúan konvex függvény, (2.1)-(2.2) peremérték-problémának R ≤ R_∞ és R = R_sup esetén egy megoldása, és R_∞ < R < Rsup esetén két megoldása van, R > Rsup esetén pedig nincs megoldása.

(ii) Ha f(0)>0 és f-nek van gyöke a (0,∞) intervallumban, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának egy megoldása van R ≤ R_∞, és két megoldása van R > R_∞ esetén.

(iii) Ha f(0) = 0 és f^′(0) >0, akkor létezik olyan Rsup> R_∞, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának nincs megoldása, ha R≤R_∞, egy megoldása van, ha R_∞< R < R_sup, és nincs megoldása, haR ≥R_sup.

(iv) Ha f(0) = 0 és f^′(0) ≤ 0, akkor a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának nincs megoldása R≤R_∞ esetén, és egy megoldása van R > R_∞ esetén.

(v) Ha f(0) < 0, akkor létezik olyan Rsup > R_∞, hogy a (2.1)-(2.2) peremérték-problémának nincs megoldása, ha R≤R_∞, egy megoldása van, ha R_∞< R≤ R_sup, és nincs megoldása, haR > R_sup.

2.4. Kvázilineáris egyenlet megoldásainak pontos száma

Az előző szakaszban ismertetett, konvex nemlinearitásra vonatkozó eredményeinket a [182] dolgozatban általánosítottuk kvázilineáris egyenletre ésp-konvex nemlineari-tásra. Tekintsük a következő peremérték-feladatot.

(|u^′|^p−2u^′)^′+f(u) = 0 (2.27)

u(−R) =u(R) = 0, (2.28)

ahol p ≥ 2 és f a [0,∞) intervallumon értelmezett C¹ függvény, amely az alábbi értelembenp-konvex.

2.1. Definíció. Legyenp≥2, és tegyük fel, hogy azf ∈C¹[0,∞)függvénynek van abszolút minimuma. Az f függvényt (szigorúan)p-konvexnek nevezzük, ha bármely α∈[0,∞) minimumpont esetén a

k(u) := f^′(u)

|u−α|^p−2 (u∈[0,∞), u6=α) függvény (szigorúan) növő.

Megjegyezzük, hogyp= 2esetén visszakapjuk a szokásos konvexitást, másrésztp >2 esetén a p-konvexitásból következik a konvexitás.

Célunk a (2.27)-(2.28) peremérték-feladat pozitív megoldásai pontos számának meghatározása. Ehhez ismét a megfelelő kezdetiérték-feladatból indulunk ki. Tech-nikai nehézséget jelent, hogy a megoldások az u(r₀) =c, u^′(r₀) = 0 kezdeti feltétel mellett általában nem egyértelműek, azonban igazolható, hogyf(c)6= 0esetén egy-értelműség van, f(c) = 0 esetén pedig a konstans megoldáson kívül pontosan egy lokálisan növő, és egy lokálisan fogyó megoldás van. Így bevezethető a time-map, és ennek segítségével megadható a peremérték-feladat megoldásainak pontos száma.

A [182] dolgozatban részletesen vizsgáltuk a time-map értelmezési tartományát, ha-tárértékeit és monotonitását. Megjegyezzük, hogy a határérték kiszámításánál a π szerepét a

π_p = 2 Z ₁

0

1

√p

1−t^pdt = 2π psin^π_p

2.4. KVÁZILINEÁRIS EGYENLET MEGOLDÁSAINAK SZÁMA 25 veszi át [51].

A time-map segítségével sikerült szuper-p-lineáris és aszimptotikusan p-lineáris, p-konvex f függvények esetén a megoldások számáról az alábbi két Tételt igazolni.

2.4. Tétel. Legyen f ∈ C²[0,∞) szigorúan p-konvex, f(0) ≤ 0, és lim peremérték-feladatnak pontosan egy megoldása van.

(ii) Legyen f(0) = 0 és lim_u→0u^f(u)p−1 = m ∈ (0,∞). Legyen R₀ :=

p−1 m

1/p πp

2 . Ekkor a (2.27)-(2.28) peremérték-feladatnak pontosan egy megoldása van R <

R₀ esetén, és nincs megoldása R≥R₀ esetén.

(iii) Legyen f(0) = 0és f^′(0)<0, vagyf(0)<0. Ekkor létezik olyanR1 >0, hogy a (2.27)-(2.28) peremérték-feladatnak pontosan egy megoldása van R ≤ R₁ esetén, és nincs megoldásaR > R₁ esetén.

2.5. Tétel. Legyen f ∈ C²[0,∞) szigorúan p-konvex, f(0) ≤ 0, és lim

u^p−1 = 0, akkor a (2.27)-(2.28) feladatnak nincs meg-oldásaR ≤R_∞ esetén, és egy megoldása vanR > R_∞ esetén. hogy a (2.27)-(2.28) peremérték-feladatnak nincs megoldása R ≤ R_∞, illetve R > R₁ esetén, és egy megoldása van R_∞< R≤R₁ esetén.

A fenti Tételek nem vonatkoznak az f(0) >0 esetre, ugyanis ekkor játszik sze-repet az, hogy a kezdetiérték-feladat megoldása nem egyértelmű. Ennek ugyanis a pozitív megoldások esetén akkor lehet szerepe, ha az f függvénynek olyan gyöke van, ahol deriváltja negatív. A [182] dolgozatban az ilyen tulajdonságú p-konvex függvények esetében is sikerült leírást adni a pozitív megoldások számáról. Az erről szóló Tétel technikai részleteit a jelen dolgozatban mellőzzük, helyette egy példát mutatunk erre az esetre. Az f(u) = u² −4u + 3 függvénynek két pozitív gyöke van. A peremérték-feladat egy megoldása látható a 2.3. ábrán. Nyilvánvaló, hogy a megoldás konstans szakaszainak ("dead core") hosszát változtatni lehet (az egyik oldalit a másik rovására), így végtelen sok pozitív megoldás van. Azonban igazolha-tó, hogy az egy maximummal rendelkező megoldás a konstans szakaszok hosszától eltekintve egyértelmű. Ha az intervallum hosszabb, akkor több maximummal rendel-kező megoldások is lehetnek, a maximumok közötti szakaszok hossza természetesen változtatható.

−150 −10 −5 0 5 10 15 2

4

x u

dead core

2.3. ábra. A (2.27)-(2.28) peremérték-feladat egy pozitív megoldásaf(u) =u²−4u+3 esetén.

2.5. A megoldások száma szinguláris f esetén

Ebben a szakaszban ismertetjük a [183, 184, 185] dolgozatokban megjelent ered-ményeinket a (2.1)-(2.2) pozitív megoldásainak pontos számáról abban az esetben, amikorf a következő alakú.

• f(u) =u^−α+u^p,

• f(u) =u^p−u^−α,

• f(u) =u^−α−u^p,

aholα∈(0,1)ésp >0paraméter. (Azf(u) =−u^−α−u^p triviális eset azért marad ki, mert ekkor f(u)<0, így nincs pozitív megoldás.)

Az f(u) =u^p+u^−α nemlinearitás és tetszőleges Ω⊂Rⁿ tartomány esetén Her-nandez és Mancebo, valamint Stuart igazolták [71, 140], hogy pontosan egy megoldás van, ha0< p <1. Ap >1 esetet Coclite és Palmieri vizsgálták [40]. Megmutatták, hogy létezik olyanR^∗, hogy haR < R^∗, akkor létezik legalább egy megoldás, ha pe-dig R > R^∗, akkor nincs megoldás. Ha az Ωtartomány gömb, akkor a szubkritikus 1< p <(n+ 2)/(n−2)esetben igazoltuk [183], hogyR < R^∗esetén van legalább két megoldás. Azn= 1speciális esetben pontosan két megoldás van (ekkor p-re csak a p >1 feltételnek kell teljesülnie).

Az f(u) =u^p−u^−α esetet általánosΩ⊂Rⁿ tartományon tárgyalja Diaz dolgo-zata [46], a p= 0esetben, valamint Zhang cikke [154] a 0< p <1esetben. Megmu-tatták, hogy gömb tartomány esetén létezik olyan R^∗, hogy nincs megoldásR < R^∗ esetén, és létezik legalább egy megoldás R > R^∗ esetén. Az egy-dimenziós (n = 1) esetetp= 0esetén Choi és munkatársai tanulmányozták [41]. Bebizonyították, hogy R bizonyos értékeinél két megoldás is lehet, valamint sejtéseket fogalmaztak meg a

2.5. A MEGOLDÁSOK SZÁMA SZINGULÁRIS F ESETÉN 27 megoldások pontos számát illetően. A sejtéseket a [184] dolgozatban bebizonyítot-tuk, ezzel teljes leírást adtunk a megoldások pontos számáról. Igazolbebizonyítot-tuk, hogy az 1/2≤α <1esetben létezik olyanR^∗, hogy haR < R^∗, akkor nincs megoldás, ha pe-digR > R^∗, akkor egy megoldás van. A0< α <1/2esetben azonban bonyolultabb a viselkedés. Ekkor létezik olyan R₀ < R^∗, hogy ha R < R₀, akkor nincs megoldás, haR0< R < R^∗, akkor két megoldás van, végül haR > R^∗, akkor egy megoldás van.

Ezt az eredményünket, amely ap= 0esetre vonatkozik, általánosítottuk ap∈(0,1) esetre is [185]. Megmutattuk, hogy hasonló a bifurkációs struktúra, csak azα= 1/2 helyett azα= (p+ 1)/2 értéknél jelenik meg a két megoldás. Abban a dolgozatban ap >1 esetben is meghatároztuk a megoldások számát. Ekkor azonban egyszerűbb jelenséget tapasztalunk (és a bizonyítás is sokkal egyszerűbb), nevezetesen létezik olyanR^∗, hogy ha R < R^∗, akkor egy megoldás van, ha pedig R > R^∗, akkor nincs megoldás.

Végül azf(u) =u^−α−u^pesetben a (2.1) egyenletben szereplő operátor monoton, így a megoldás minden p > 0 és tetszőleges Ω ⊂ Rⁿ tartomány esetén egyértelmű [71].

Megjegyezzük, hogy a gömbön a pozitív megoldások radiális szimmetriája nem ismert, ezért módszerünkkel nem biztos, hogy az összes megoldást megkapjuk. A továbbiakban csak a radiálisan szimmetrikus megoldások számával foglalkozunk. Az alábbiakban bemutatjuk azn= 1esetben a teljes osztályozást. A "time-map" értel-mezési tartományára és határértékeire vonatkozó állításaink a szinguláris nemlinea-ritás esetére is érvényesek. A monotonitásra vonatkozó eredményekhez aT leképezés deriválhatóságát kell bebizonyítani, hiszen a differenciálegyenlet megoldásának kez-deti feltételtől való differenciálható függése akkor ismert, ha a jobboldal maga is differenciálható. Ezt a technikai nehézséget az n= 1 esetben azzal küszöbölhetjük ki, hogy aT függvényre az alábbi jól ismert integrál előállítást használjuk [178]

T(c) = c

√2 Z ₁

0

p 1

F(c)−F(cs)ds. (2.29)

A többdimenziós esetben a T függvény helyett a [183] dolgozatban pozitív η esetén a

T_η(c) = min{r∈(0, T(c)) : u(r, c) =η } (2.30) függvényt vizsgáltuk. Ennek differenciálhatósága következik a szokásos tételekből.

Megmutattuk, hogy aT_η függvények kompakt intervallumokon egyenletesen konver-gálnak a T függvényhez, amint η → 0, ami bizonyítja T folytonosságát. Ezenkívül bebizonyítottuk, hogyT örökli a T_η függvények monotonitási tulajdonságait.

2.5.1. A megoldások száma f(u) =u^−α+u^p esetén A 2.10. és 2.11. Állítás szerint D(T) = (0,∞) és lim

c→0T(c) = 0. Ha p < 1, akkor a 2.14. Állítás miatt lim

c→∞T(c) =∞. Ha1< p <(n+ 2)/(n−2), akkor 2.15. Állítás szerint lim

c→∞T(c) = 0. A p = 1 és p > (n+ 2)/(n−2) esetekben a T végtelenbeli határértéke nem ismert.

Hap≤1, akkorT szigorúan növekszik, ugyanisuf^′(u)−f(u) = (p−1)u^p−(α+ 1)u^−α<0, így a 2.2. Állítás szerint T^′ >0.

0 5 10 15 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

c c p = 0.5

p = 1

p = 5

c p = 0.5

p = 1

p = 5 α = 0.2

c p = 0.5

p = 1

p = 5 α = 0.2

c T(c)

2.4. ábra. AT grafikonjának háromféle lehetséges alakja azf(u) =u^−α+u^p nemli-nearitás és n= 1 esetén. Ap értékeit a három lehetséges osztályból (p < 1,p = 1,

2.4. ábra. AT grafikonjának háromféle lehetséges alakja azf(u) =u^−α+u^p nemli-nearitás és n= 1 esetén. Ap értékeit a három lehetséges osztályból (p < 1,p = 1,

In document Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben Simon L. Péter (Pldal 19-0)