Transzportjelenségek, mérlegek
4.8. Közvetett transzport
A Boltzmann-egyenlet leírja, hogyan változik egy S statisztikus rendszer állapota az S-et alkotó részek ütközései révén. Elképzelhető azonban egy másfajta mechanizmus is, amikor Srészei nem egymással ütköznek, hanem az őt körülvevő közeg részeivel, részecskéivel. Ez a típusú transzport szükségszerűen lineáris, ezért leírása is alapvetően eltér a 2. fejezetben
is-4.4. ábra. Három fázis egyensúlya aT−V változókban
mertetett folyamattól. A közvetett transzport legismertebb példája a neutrontranszport, ezt fogjuk megvizsgálni. A transzportot leíró egyenlet lineáris, ez lehetővé teszi a feladathoz tar-tozó operátor matematikai tulajdonságainak vizsgálatát–szemben a nemlineáris Boltzmann-egyenlettel, amelyben található operátor spektrumáról meglehetősen keveset tudunk.
Az alábbi tárgyalás egyik célja a Boltzmann-egyenlet lineáris alakjának bemutatása, amelyben tehát lineáris operátorok szerepelnek, lehetővé téve az operátor spektrumából ka-pott ismeretek kihasználását. Másik célja bemutatni a Boltzmann-egyenlet neutronfizikai alkalmazásának fő vonalát. A pontos neutrontranszport leírása több fontos, itt nem tárgyalt részletet igényel, ezeket az olvasó megtalálja Szatmáry Zoltán könyvében [Szatm]. Ebben a részben azSstatisztikus rendszer két alrendszerből áll: S=SaS
Sn. Feltesszük, hogy csak a két alrendszert alkotó részecskék között van kölcsönhatás. Az Sa alrendszerben atomok találhatóak, azSn alrendszerben pedig neutronok. A két alrendszer között a neutron-atom ütközések teremtenek kapcsolatot. Mivel a neutron-elektron hatáskeresztmetszet elhagyha-tóan kicsi, a kölcsönhatás atommag és neutron ütközésekből áll. Az atomok mérete kb.
négy nagyságrenddel nagyobb, mint az atommag mérete, ezért tekinthetjük úgy, hogy az atommagok közötti teret neutrongáz tölti ki. A neutronok két ütközés között tehetetlenségi pályán mozognak, az ütközés eredményeképpen pedig a lehetséges mag-neutron magreakciók valamelyike megy végbe.
Tekintsük először a neutrongáz állapotát. A lehetséges magreakciókat a magfizika meg-adja, ezek az alábbi csoportokba sorolhatók:
• neutronszórás: a kölcsönhatás eredményeképpen egy mag és egy neutron keletkezik.
Amennyiben a szórás rugalmas, teljesül az energia- és impulzus megmaradás, a mag belső energiája nem változik. Ha a szórás nem rugalmas, a mag belső energiája meg-változik. Előfordulhat, hogy a gerjesztési energia kettő, vagy több neutron kibocsátása során csökken. Az első esetben sem változik a neutrongázban található neutronok szá-ma (ú.n. (n, n)reakció, a második esetben a neutronszám nő(n,2n),(n,3n)reakció.
• neutronbefogás: a kölcsönhatás eredménye, hogy a neutron befogódik a magban, a mag belső energiája a befogott neutron kötési energiájával megnő19. A gerjesztett mag energiáját egy részecske (nem neutron) kibocsátásával is leadhatja. Ilyen pl. az
19A kötött energiák negatívak, a szabad részecske kinetikus energiája pozitív. A növekedés itt az abszolút értékre vonatkozik.
(n, p)reakció, ahol a gerjesztési energia proton kibocsátásával csökken. A magreakció eredményeképpen a neutrongázban található neutronok száma csökken.
• maghasadás: bizonyos magok esetében a gerjesztési energia következtében a mag két, kb. egyenlő tömegű részre hasad, miközben neutronok is keletkezhetnek. Ebben az esetben a neutronszám nő.
A neutronok fázistérbeli sűrűségét a Boltzmann-egyenlet írja le, egyedül az ütközési integrált kell az elmondottak szerint felírni. Ezt az alábbi modellben szokás megtenni. Először fel-tesszük, hogy a magok rögzített helyeken találhatóak és nyugalomban vannak. Ez a feltevés leginkább a szilárd halmazállapotú anyagokra áll fenn, folyadék és gáz halmazállapotú ma-gokra egyre kevéssé. Egyelőre tekintsünk el a magok hőmozgásától is. Másodszor, a neutron és az egyes magok közötti kölcsönhatást függetlennek tételezzük fel. Ez a közelítés különö-sen a nagy hatáskeresztmetszetű anyagok esetén módosításra szorul. A feltételezés alapja:
a neutron repülési irányába eső magok véletlenszerűen helyezkednek el (atomi skála), így az átfedés (vagy árnyékolás) elhanyagolható.
A neutrongáz leírására az eloszlásfüggvényt használjuk, azonban a sebességváltozót két részre bontjuk: a repülési irányraΩ, és azE energiára. E,Ωésvkölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek egymásnak. A neutronok eloszlását tehát azf(r, E,Ω)eloszlásfüggvénnyel írjuk le. Szükségünk lesz még a sebesség abszolútértékére,v-re.
LegyenN a térfogategységben lévő magok száma, a neutron-mag ütközést leíró magreak-ció hatáskeresztmetszete σ(v), ahol v a neutron sebessége. Az időegység alatt bekövetkező magreakciók száma
vf(r,v, t)σ(v)N. (4.235) A gyakran előforduló Σ(v) = σ(v)N mennyiséget makroszkopikus hatáskeresztmetszetnek, a Φ(v) =vf(r,v, t)mennyiséget fluxusnak nevezik. Az egyes magreakciókat csak a hatás-keresztmetszethez írt indexszel különböztetjük meg: Σs a szórási,Σc a befogási,Σf a hasa-dási hatáskeresztmetszet. A szórási folyamatban keletkező neutron sebességének nagysága és iránya is megváltozhat, ezért bevezetjük a Σs(v0 →v)magfüggvényt, amely a neutron sebességének v0-ről v-re történő változásához tartozó hatáskeresztmetszetet adja meg.
A hasadások során keletkező neutronok száma véletlen mennyiség, ha a neutronok száma nagy, a várhatóértéket szokták feltüntetni (a pontos leírásra kis neutronszám esetén van szükség). Így a v sebességű neutron atommaggal történő ütközése során (feltéve, hogy hasadás magreakció történik) keletkező neutronok (átlagos) száma νΣf(r,v0)Φ(r,v0). A hasadásból kikerülő neutronok energiájának (vagy a megfelelő sebesség abszolútértéknek) eloszlása véletlen mennyiségnek tekinthető, ennek átlagértéke legyenχ(v). Ezzel az ütközési integrál az alábbi tagokra bontható:
∂f(r,v, t)
∂t
ütk
=−Σa(r,v)Φ(r,v, t) + Z +∞
−∞
Σs(r,v0→v)Φ(r,v0, t)dv0+ χ(v)
4π Z ∞
0
νΣf(r,v0 →v)Φ(r,v0, t)dv0.
(4.236)
Az integrálás avvektor minden irányára és abszolut értékének minden nagyságára értendő.
Az egyenletben a neutronok száma két típusú ütközés során csökkenhet: befogáskor és hasa-dáskor. Ezen ütközések együttes hatáskeresztmetszete Σa. Av sebességű neutronok száma nő, ha más sebességű neutronok az ütközés után v sebességre tesznek szert. A hasadásból keletkezett neutronok egy része szert tehetv sebességre. Az ütközési integrál utolsó tagjá-ban feltettük, hogy a hasadásból kikerülő neutronok egy hányadának v abszolútértékű lesz a sebessége, iránya pedig izotrop eloszlású.
A Boltzmann-egyenlet neutrontranszportot leíró alakja pedig
Ugyanez az egyenlet az (E,Ω)változókkal felírva:
∂Φ(r, E,Ω, t)
Amint látjuk, az egyenletΦneutronfluxusban lineáris, hiszen a neutron-neutron ütközé-seket elhagytuk. A neutrongáz így nincs termikus egyensúlyban a környező atommagokkal, hiszen a neutronspektrum, a neutronok energia szerinti eloszlása, minden ütközés után meg-változik, a változás pedig nem feltétlenül az egyensúly irányába mutat.
4.8.1 Példa. (Hideg neutronok) Egyes szóráskísérletekhez célszerű adott hullámhosszú, azaz, adott energiájú neutronnyaláb előállítása. A szóráskísérletekben kollimált neutronnya-láb szóródik egy céltárgyon. A neutronok forrása áltaneutronnya-lában egy atomrekator (áltaneutronnya-lában kísérleti reaktor), a neutronok energiája ilyenkor elég széles tartományban változik. JelöljeS(E)a for-rásból származó neutronok spektrumát, legyen Et a termikus energiatartomány felső határa.
Az E energián a neutronmérleg:
Σt(E)ψ(E) =S(E) + Z Et
0
ψ(E0)Σs(E0→E)dE0. (4.239) A mintaΣs(E)ésΣt(E)hatáskeresztmetszete határozza meg aΨ(E)neutronspektrumot. Itt a kifolyást beolvasztottukΣt-be.
Általában a hidegneutronokat olyan berendezésben állítják elő, amelyben az abszorpció ki-csi, ezért a kialakuló spektrum, azaz (4.239) megoldása közel van az anyag hőmérsékletéhez tartozó Maxwell-spektrumhoz. Érdekes módon a kialakuló spektrumra a szórási hatáskereszt-metszet kisebb hatással van, mint az abszorpció. A hideg neutronokat folyékony hidrogén (15-20 K) vagy hélium (4-8 K) hőmérsékletű közegen áteresztve állítják elő. Lehetséges a Maxwell-spektrumból kiválasztani egy adott hullámhossz-tartományt is, ez azonban a nyaláb-intenzitás jelentős csökkenéséhez vezet. Ezt a módszert követik ultrahideg (T <1K) neutro-nok előállításához. Ekkor egymástól távol (kb. 30 m) elhelyezett forgó tárcsákkal ("chopper"-rel) szűrik ki a kívánt hőmérsékletű neutronokat.
A neutrongáz egy figyelemre méltó tulajdonsága, hogy annak ellenére, hogy a neutronok egymással nem ütköznek, a neutronok árama arányos a neutronfluxus gradiensével. Ennek belátáshoz fejtsük sorba a neutronfluxust a Ωszögváltozó szerint. Az első két tag:
Φ(r, E,Ω, t) = 1
4πΦs(r, E, t) + 3
4πJ(r, E, t)Ω. (4.240) A Φs skalár neve skalárfluxus, a J vektor neve neutronáram. Az egyszerűség kedvéért te-gyük fel, hogy a szórás jó közelítéssel izotrop és a (4.238) egyenlet integrálható az energia változó szerint. További egyszerűsítés céljából tekintsük az időtől független esetet, a helyvál-tozó pedig legyen x, a szögváltozó így az Ω vektorxkomponense lesz, amitµ-vel jelölünk.
Feltesszük, hogy aΩszögváltozóban legalább másodfokú tagok elhanyagolhatóak. A hatás-keresztmetszetek legyenek függetlenek a helytől, a szórási hatáskeresztmetszet pedig legyen izotrop. Ebben az egyszerű modellben (4.238) jelentősen leegyszerűsödik:
µdΦ(x, µ)
Itt Σt teljes hatáskeresztmetszeteben vontunk össze minden olyan hatáskeresztmetszetet, amely befolyásolja a neutroneloszlást. A Φ(x, µ) neutronfluxust sorbafejtjük µ hatványai szerint:
Φ(x, µ) = Φ0(x) +1
2Φ1(x)µ. (4.242)
Az izotropΦ0(x)függvényt skalárfluxusnak, aΦ1(x)függvényt (neutron)áramnak nevezzük.
Behelyettesítjük (4.242)-t (4.241)-be, a kapott egyenletben szereplő tagok vagy függetlenek µ-től, vagy arányosakµ-vel. Mivel az egyenletnek mindenµ-re fenn kell állnia, az alábbi két egyenletet kapjuk:
1 2
∂Φ1
∂x + ΣtΦ0(x) = ΣsΦ0(x), (4.243) ami egy mérlegegyenlet, és
∂Φ0(x)
∂x +Σt
2 Φ1(x) = 0, (4.244)
ami egy összefüggés a skalárfluxus és az áram között:
Φ1(x) =− 2 Σt
∂Φ0(x)
∂x . (4.245)
Mivel ebben az egyszerű modellben Φ0(x) arányos az x pontbeli neutronsűrűséggel, azt találtuk, hogy a neutronáram arányos a neutronsűrűség gradiensével, vagyis, a Fick-törvény érvényes a neutrongázban, annak ellenére, hogy nincsenek neutron-neutron ütközések.
A Boltzmann-egyenlet (4.237) alakját integro-differenciál alaknak is nevezik. Az egyen-letek analitikus megoldása csak néhány leegyszerűsített esetben lehetséges. Ennek oka a (4.237) egyenletben szereplő operátor: nem ismert a spektruma, matematikai tulajdonságai kedvezőtlenek (pl. folytonos spektruma nem üres, nem önadjungált, a peremértéket av vek-tor irányainak csak egy részére kell előírni, az operávek-torban szereplő hatáskeresztmetszetek bonyolult függvények, lényegében csak numerikusan kezelhetőek).
Számos numerikus módszer levezetéséhez egy másik, ú.n. integrál alakra van szükség.
A transzportegyenlet integrál alakja az alábbi módon származtatható. Tekintsük az r∈V pontbantidőpontbanΩirányba repülő neutronokat, legyen ezek száman(r, E,Ω, t), fluxusa pedig Φ(r, E,Ω, t) =vn(r, E,Ω, t), ittE=mnv2/2. Ezen neutronokat felbontjuk az utolsó ütközés helye szerint. Az utolsó ütközés helye valahol azrpontból a−Ωirányba futó egye-nesen volt. Ezeket a pontokat paraméterezzük a következőképpen. Har-ből visszanézünk a
−Ωirányba, metszeni fogjuk aV térfogat határát. Legyen ez a metszéspont r0, a repülési időt is attól az időponttól mérjük, amikor a neutronr0-ban tartózkodott, legyen az t0. Az időt és a helyet így paraméterezzük:
r=r0+sΩ;t=t0+s/v;s≥0. (4.246) Legyen a teljes makroszkopikus hatáskeresztmetszetΣt(r)függvénye a helynek. Azrpontig még nem ütközött neutronok hányadát
exp
−Σt(s0→s
(4.247) adja meg, ahol
Σt(s0→s= Z s
0
Σt(r0+s”Ω, E)ds”. (4.248) Ha az utolsó ütközés helyén található, Ω irányba repülő, E energiájú neutronok száma Q(r0+s0Ω, E,Ω, t0+s0/v), akkor azrpontbanΩirányba repülő neutronok száma
Φ(r, E,Ω, t) = Z s
0
exp Σt(s0→s)Q(r0+s0Ω, E,Ω, t0+s0/v)ds0. (4.249)
A Q(r, E,Ω, t) tartalmazza a külső forrásból származó neutronokat (Q0) és a szórás-, ill.
hasadás során keletkező neutronokat, (ezeketQsésQf jelöli):
Q(r, E,Ω, t) =Q0(r, E,Ω, t) +Qs(r, E,Ω, t) +Qf(r, E,Ω, t), (4.250) Qs(r, E,Ω, t) =
Z ∞ 0
dE0 Z
4π
dΩ0Σs(r, E0→E,Ω0 →Ω)Φ(r, E0,Ω0, t) (4.251) Qf(r, E,Ω, t) = χ(E)
4π Z ∞
0
dE0 Z
4π
dΩ0νΣf(r, E0)Φ(r, E0,Ω0, t). (4.252) Feltettük, hogy a magreakciók pillanatszerűek, a hasadásból kikerülő neutronok energiael-oszlásátχ(E)adja meg, az alábbi normálással:
Z ∞ 0
χ(E)dE= 1. (4.253)
A hasadásban keletkező neutronok szögeloszlása a tapasztalat szerint közel izotrop. A (4.250) integrálegyenlethez tartozó peremérték azt adja meg, milyen V határán a bejövő irányú neutronok repülési szög szerinti eloszlása.
Ezzel a neutrongáz leírását befejeztük. A másik részrendszerben,Sa-ban is magreakciók mennek végbe, ennek következtében megváltozik az anyagi összetétel, vagyis a makroszko-pikus hatáskeresztmetszetek. Ez a folyamat azonban nagyon lassú, napok alatt következik be az észlelhetőség határán lévő változás a makroszkopikus hatáskeresztmetszetekben. A kérdéskör tárgyalását kiégés címszó alatt találja meg az érdeklődő olvasó Szatmáry Zoltán könyvében [Szatm].
4.9. Skálák
A mechanika előadásokban az olvasó látott példát arra, hogy a térbeli változók koordiná-tarendszerét alkalmasan megválasztva olyan egyenletet kapunk, amelynek megoldása leegy-szerűsödik. Egy-egy adott fizikai egyenlet invariáns lehet a változók adott skálájára nézve.
Most azt fogjuk megvizsgálni, milyen megszorításokat eredményez, ha a fizikai állapot leírá-sára szolgáló egyenletben a skála egységét adott módon vesszük fel.
Legyen a fizikai állapotot leíró egyenlet alakja
f(x1, . . . , xn) = 0 (4.254)
ahol a fizikai állapot leírásában azxi, i= 1, . . . , nmennyiségek játszanak szerepet. Vizsgáljuk meg, hogy az xi mennyiségekből hány független dimenziótlan mennyiséget tudunk előállí-tani. Az egyszerűség kedvéért jelölje az xi mennyiség dimenzióját [xi]. Amint korábban láttuk, ezen dimenzió kifejezhető a mértékrendszer alapmennyiségeihez tartozó dimenziók szorzatával, tehát
[xi] =mαikgβisγiAδi. (4.255) Egy dimenzió tehát egyértelműen jellemezhető az mi = (αi, βi, γi, δi) négyesvektorral. Az (4.254) egyenletben szereplő fizikai mennyiségek dimenziói között legfeljebb négy lehet füg-getlen, hiszen azmi vektorok dimenziója legyenp, ez nem haladhatja meg a négyet. Ebben az esetben az (4.254) egyenletben szereplő fizikai mennyiségek közüln−polyan kombináció képezhető, amelynek dimenziója egységnyi. Itt kombináció alatt azximennyiségek pozitív és negatív kitevőjű hatványainak szorzatait értjük. Legyenek ezen mennyiségek Q1, . . . , Qn−p. Ekkor (4.254)-et így írhatjuk:
φ(Q1, . . . , Qn−p) = 0. (4.256)
Azon esetekben, amelyekben a Qk mennyiségek dimenziói azonosak, az állapotegyenletek egy hasonlósági, másnéven skálatranszformációval, állíthatók elő egymásból.
4.9.1 Példa. (Folyadékba merülő test ellenállása) Vizsgáljuk meg egy áramló folyadék-ba merülő testre ható erőt. Az erő függeni fog a folyadék tulajdonságaitól (ρ sűrűség és µ viszkozitás), az áramlás v sebességétől, a test lineáris méretétől, d-től, tehát a testre ható F erőt kifejezhetjük F(ρ, µ, d, v) alakban, vagy f(F, ρ, µ, d, v) = 0 implicit függvényként. A felsorolt mennyiségek mechanikai mennyiségek, ezért csak három független közülük, legyen az ρ, d, v. Dimenziótlan mennyiségként választhatjukQ1=F/(ρv2d2)-et, ésQ2=µ/(ρvd)-t. A keresett összefüggés alakja:
φ1 F
ρv2d2, µ ρvd
= 0,
vagyis, az eredeti öt független mennyiség helyett két független mennyiség maradt. Természe-tesen más választással is élhetünk. Legyen pl. Q1=F ρ/µ2,Q2=ρvd/µ, ekkor
F ρ µ2 =φ2
ρvd µ
.
4.9.2 Példa. (Folyadékok áramlása.) A skálatörvény jól használható stacionárius folya-dékmozgások leírása során. Tekintsünk egy adott geometriában (cső, adott excentricitású ellipszis stb.) kialakuló stacionárius áramlást. A geometriát jellemezzük valamely hosszú-sággal (pl. csőátmérő), ezt l-el jelöljük. A hidrodinamikai egyenletekben, amilyen a (6.1) Navier–Stokes-egyenlet, csak a kinematikai viszkozitás (ν =η/ρ) szerepel, az egyenletekből meghatározandó a nyomás és a sűrűség hányadosa (p/ρ). Ezen felül a peremfeltételeken keresztül a bejövő áramlás sebességének abszolút értéke (u) is befolyásolja a fenti mennyi-ségeket, így a folyadék mozgását három paraméter határozza meg: ν, l, u. Ezek dimenziója:
[ν] =cm2s−1,[l] =cm,[u] =cms−1. E mennyiségekből egyetlen dimenzió nélküli mennyiség állítható elő, az
R=%ul
η , (4.257)
Reynolds-szám, minden más, dimenziótlan kifejezés megadhatóR függvényeként. A fentiek-ből következik, hogy a folyadék sebességeloszlását
v=uf(r/l, R) (4.258)
függvénnyel lehet leírni. További dimenziótlan mennyiségek a Froude-szám
F r= u2
gl, (4.259)
és a
S= uτ
l (4.260)
Strouhal-szám. (Itt τ a mozgásra jellemző időállandó.)
A nyomáseloszlás leírásához készítsünk ν, l, u-ból nyomás/sűrűség dimenziójú mennyisé-get:
p=%u2f(r/l, R). (4.261)
Az említettek szerint azonos Reynolds-számú áramlások tehát hasonlóak.
4.10. Hasonlóság
Vizsgáljuk meg, milyen feltételek mellett lesz az S1 ésS2 statisztikus rendszer hasonló, és hogyan lehet S1-ben lezajló folyamatok ismeretében meghatározni azS2-ben lezajló folya-matokat.
AzS1statisztikus rendszert leírja a Boltzmann-egyenlet adott kezdeti- és peremfeltétel-hez tartozó megoldása. TehátS1jellemzésére meg kell adni:
1. EgyV térfogatot;
2. Mindenr∈V pontra az f0(r,v,0)kezdeti értéket;
3. V határának mindenr∈∂V pontjára azfh(r,v, t)peremfeltételt.
A fentiek megadása esetén feltehetjük, hogy a Boltzmann-egyenlet megoldása egyértelmű. Ha azS1ésS2statisztikus rendszer hasonló, akkor létezik azf1(r,v, t)ésf2(r,v, t)megoldások között egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A feladatot Grigorjev és Melesko tárgyalta először [Grig]. A (3.19) Botzmann-egyenletf(r,v, t)megoldását egyTa ponttranszformáció segítségével megadottG(Ta)csoport segítségével lehet megadni, aholaa ponttranszformáció paramétere.
Grigorjev és Melesko az alábbi alakban kereste a Boltzmann-egyenletet változatlanul hagyó transzformációkat:
f =ϕ(t,r,v;a);t0 =τ(t,r, a);r0=h(t,r;a);v0=B(t,r;a)v+b(t,r,;a). (4.262) IttBegy 3x3-as mátrix,begy három elemű vektor,v= (u, v, w). A transzformáció csoport egyik sajátossága a (3.19) egyenletben szereplő ütközési operátor alábbi skálatulajdonsága:
Q(f0, f0) =ψ(t0,r0,v0)Q(f, f). (4.263) A (4.262)-ben szereplő ismeretlen függvényeket abból a feltételből kell meghatározni, hogy a (3.19) f megoldását egy másik f0 megoldásba transzformálja. Behelyettesítve a (4.262) transzformációt a (3.19) egyenletbe, az alábbi infinitezimális generátorokat kapjuk a G(Ta) csoportra:
X1 = ∂x;X2=∂y;X3=∂z;X4=t∂x+∂u; (4.264) X5 = t∂y+∂v;X6=t∂z+∂w;X7=y∂z−z∂y+v∂w−w∂v; (4.265) X8 = z∂x−x∂z+w∂u−u∂w;X9=x∂y−y∂x+u∂v−v∂u; (4.266) X10 = ∂t;X11=t∂t+x∂x+y∂y+z∂z−f ∂f. (4.267) A (3.19)-ben szereplő σ hatáskeresztmetszettől függően ν-ed fokú hatvány alakú potenciál esetén létezik még egy generátor:
X12=t∂t−u∂u−v∂v−w∂w+ (γ+ 2)f ∂f, (4.268) ahol γ= (ν−5)/(ν−1).Továbbá, γ=−1esetén létezik még egy generátor:
X13=t2∂t+tx∂x+ (x−tv)∂v, (4.269) ez a generátor egy projektív csoportnak felel meg.