Az egyensúlyi eloszlás
7.4. Statisztikus dinamika
7.4.2. Dinamika a statisztikus dinamikában
AzSstatisztikus rendszer részecskéi egy adott időpillanatban vagy tehetetlenségi pályán mo-zognak (feltéve, hogy nincs jelen külső erőtér) vagy ütköznek. Az ütközésről feltettük, hogy egy adott helyen pillanatszerűen történik. Ez Sdinamikájának alapja. Ezt a folyamatot a statisztikus dinamika keretei között az alábbi módon írjuk le:
1. a lehetséges helyek, amelyeketS részecskéi elfoglalnak egy diszkrét, de végtelen rács pontjainak tekintjük;
2. a rácsxpontjában lévő részecskeszám lehetséges értéke0és1, tényleges értéke egyν(x) valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy azxpontban van részecske P1(x) = P{ν= 1}.
3. azxpontban lévő részecske energiája(x), ez véletlen mennyiség, jellemzésére aP{= E}valószínűségeket használjuk. A részecske impulzusaπ(x), szintén véletlen mennyi-ség, eloszlását aP{π=k} valószínűségekkel jellemezzük. Az 1. és 2. pontban meg-adott valószínűségekkelS-et kielégítően leírtuk.
4. azxpontban található részecske impulzusa, azazkirányába repül. A részecske egyenes pályán mozog. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogyka rács elemi cellájának egyik tengelyével párhuzamos7. Mozgás közben a részecske energiája állandó, ha van külső erőtér, akkor a kinetikus energiája mozgás közben változhat.
5. az első olyan betöltött rácspontban (jelöljük az itt lévő részecskét 2-vel), amelyen a korábbanx-ben lévő (jelöljük1-gyel) részecske pályája áthalad kölcsönhatás következik be. A kölcsönhatás eredményeként az1-gyel jelölt részecske az 1-gyel jelölt részecske pályájának utolsó szabad rácsponton áthaladó helyére kerül.
6. A kölcsönhatásban csak az 1-es és 2-es részecske vesz részt. A kölcsönhatás eredmé-nyeként adott szabályok szerint megosztják energiájukat és impulzusukat.
7. Feltesszük, hogy a kölcsönhatásban a részecskeszám, az energia és az impulzus meg-marad.
Az S rendszer leírásához tehát a Λ rács minden eleméhez hozzá kell rendelnünk az alábbi véletlen mennyiségeket. Ezt a hozzárendelést egy-egy véletlen rácsfüggvény megadásával hozzuk létre8. Legyen
νS(x) =νx, (7.70)
ahol
νx=
1haωx=k 0haωx=∅.
Legyen továbbá
P1(x) =P{νx= 1} (7.71)
a rácspontok betöltöttségét megadó valószínűségek a rácson. Legyen
S(x) =x, (7.72)
ahol
x= k2
2m haωx=k 0haωx=∅.
Legyen
πS(x) =πx (7.73)
7Ha a rács elemi cellájának élei elég rövidek a rács méretéhez képest, minden irány végtelen sok rácsponton fog áthaladni.
8Eddig a rácspont, azaz a hely megjelölésére az xváltozót használtuk. A továbbiakban szükség lesz a rácspontok közötti geometriára, ezért a rácspont megjelölésére azxrácsponthoz tartozóxkoordinátavektort fogjuk használni.
ahol
πx=
khaωx=k 0 haωx=∅.
AzSrendszer leírásához szükséges fenti valószínűségeket összevontanSvalószínűségi leírá-sának fogjuk nevezni.
A dimanika eseményei elemi események együttese. Egy elemi esemény abból áll, hogy az x1 ∈ Λ pontból egy részecske az x01 ∈ Λ pontba kerül. Egy elemi esemény során az S leírására szolgálóΩ állapotban csak ωx1 és ωx01 változik. Ezt a változást leírhatjuk egy Markov-folyamattal. Az alábbiakban meghatározzuk az átmenet valószínűségét.
Legyen e1 az x1 rácspontból induló részecske repülési irányába mutató egységvektor.
Ekkor a kölcsönhatásx01 helye így írható fel:
x01=x1+e1s, (7.74)
ahol segész szám. Ekkor az s= 0éss=s+ 1pozícióknak betöltötteknek kell lenniük, az 1≤s0≤spozícióknak pedig betöltetleneknek. Ezért
P{x1→x01}=
s
Y
s0=1
(1−P1,s0)P1,0P1,s+1. (7.75) Az (7.75) valószínűség a folytonos kifejezés (ld. 4.1. alfejezet) diszkrét megfelelője. Legyen ugyanis
%(x) = m
`3Nx (7.76)
a tömegsűrűség értéke, ami a várható tömeg osztva a cellatérfogattal az adott cellában. Mivel
(1−Nx)≈e−(`2/m)%` (7.77)
ezért
Y(1−Nx)≈e−`2/mR0s%(x+s0e)ds0, (7.78) ami a folytonos esetből már ismert valószínűsége annak, hogy az első ütközés pontosansút megtétele után történik. Mivel jelen fejezet célja a hidrodinamikai átmenet vizsgálata, ezért részletezzük a folytonos esetet.
Legyenw(x,k, t0;t)azon esemény sűrűségfüggvénye, hogy a t0-korx-ben lévő,k impul-zusú részecske ütközés nélkül megteszs=|k|t/mutat és a(t0+t, t0+t+dt)intervallumban azy=x+kt/mpontban ütközik. LegyenW annak (valószínűség) sűrűségfüggvénye, hogy a részecske nem ütközik a(t0, t0+t)intervallumban,Cpedig annak valószínűsége, hogy az` át-mérőjű, ds=|k|dt/mhosszúságú hengerben ütközik. A három frissen definiált valószínűség között fennáll az alábbi összefüggés:
w(x,k, t0;t) =W(x,k, t0;t)C(x+kt/m, t0+t) (7.79) Amennyiben P1,x6= 0a pálya pontjaiban, fennáll a
Z ∞ 0
w(x,k, t0;t)dt= 1. (7.80)
Két ütközés között eltelt idő várható értéke:
τ(x,k, t0) = Z ∞
0
w(x,k, t0;t)tdt. (7.81)
A (7.80) összefüggés miattW ésC nem függetlenek, közöttük fennáll9 W(x,k, t0, t) = exp
− Z t
0
C(x+kt1/m, k, t0+t1)dt1
. (7.82)
C az S-et alkotó részecskék közötti kölcsönhatástól függ. Ezt a kölcsönhatást egy hatáske-resztmetszettel szokás leírni (v.ö. az ütközési integrál (3.18) kifejezésével).
A dinamika tárgyalása végén megemlítjük, hogy a statisztikus dinamika modellje feltéte-lezi, hogy azS-et alkotó részecskék termikus egyensúlyban vannak. Ezt tükrözi az entrópiára alkalmazott (7.66) összefüggés, ill. Svalószínűségi leírásában használt valószínűségek (7.57) szerinti meghatározása. Ez a modellben a lokális termikus egyensúly feltételezésében exp-licit módon meg is található. A Boltzmann-egyenlet tárgyalásánál (v.ö. 3.1. alfejezet) is megemlítettük, hogy Snem szükségszerűen található minden ütközés után termikus egyen-súlyban, ezt világosan mutatják aH függvény fluktuációi. A termikus egyensúly ütközések sorozata révén alakul ki, a nemegyensúlyi állapot időtartama adott S esetén becsülhető.
Egyedileg kell eldönteni, hogy adott mérés esetén a termikus egyensúly feltevése elfogadható vagy nem. Egy adott eset vizsgálatakor nyilván a részecskék egy része, termikus egyensúly-ban van, másik része viszont nincs. A két rész aránya dönti el, hogy alkalmazható-e a LTE feltételezése.
A statisztikus dinamika modelljében a részecskék lokális termalizált állapotban vannak, vagyis, sebességük egy helytől függő hőmérsékletű Maxwell-eloszlásból származik. A ré-szecske ezzel a sebességgel repül a rács egy másik pontjába, ahol ütközik. A modell nyitva hagyja az ütközések leírását. A legegyszerűbb lehetőség: a repülő részecske eredeti impulzu-sával érkezik meg az új rácspontba, ahol szintén lokális termikus egyensúly áll fönn. De az ottani Maxwell-eloszlás más hőmérséklethez tartozik–kivéve azt az esetet, amikor az egész S termikus egyensúlyban van–a beérkező részecske az új rácspontban már nincs termikus egyensúlyban. Általában a részecskék egy része nincs termikus egyensúlyban még ebben az egyszerű modellben sem.
A részecskeszám a statisztikus dinamika modelljében megmarad minden rácspontban, vagyis tetszőleges régióban igaz, hogy a részecskeszám változása a régió határán áthaladó részecskék leszámlálásával meghatározható. Amennyiben a részecskéket termalizált és nem-termalizált csoportra bontjuk, a megmaradás már nem áll fent a két csoportban. Vizsgáljuk meg, hogyan kapcsolódik azS egészére vonatkozó pvalószínűség (ez jelentheti a korábban említett valószínűségek bármelyikét) a termalizált részecskék sokaságára vonatkozó p való-színűséghez. Tekintsünk egy termalizált részecskét, amelyt0-kor azxhelyen van, impulzusa k. A valószínűségek általános alakja termalizált állapotokra
p(ωx) =NxM(x,k),
aholM(x, k)azxrácspontban érvényes Maxwell-spektrum,Nxa részecskeszám várhatóérté-ke. A részecske nyilván más helyen és korábban vált termikussá. Tegyük fel, hogyt−t0-kor az x−kt/m hely termikus egyensúlyi eloszlásából való. A termalizáció a statisztikus dina-mika feltevése szerint az ütközés helyén következik be, ezért at0időpontban a részecske még nem termalizálódott. Legyen az ütközés időpontja t0 > t. Írjuk fel annak valószínűségét, hogy a részecske ütközésétr0=|k|t0/mút megtételekor szenvedi el:
1
t0w(x−kt/m,k, t0−t, t0), (7.83)
9Ennek belátásához deriváljuk (7.82)-ettszerint, majd a kapott ∂W∂t =−W Cegyenletet integráljuk a (0,∞)intervallumra,így (7.80)-hez jutunk.
a(t, t+dt)időtartam alatt ez az eseménydt-szer ismétlődik, ezért ezért annak valószínűsége, hogy egy részecske t0-kor az x rácspontban volt, impulzusa pedig k, és t0 ideig szabadon repült
Itt w az ütközések sűrűségfüggvénye a szabad repülés t0 időtartamának függvényében. A pvalószínűség-sűrűségfüggvényhez adott járulékokhoz azxbal oldaláról az xjobb oldalára történő minden átmenet járulékát össze kell számolni:
N(x, t0)M(x,k, t0) = (7.85) kapcsolatot teremt a termalizált részecskeszám (N), a nem-termalizált részecskeszám (N), a termalizált eloszlásfüggvény (M) és a nem-termalizált eloszlásfüggvény (M) között.
Fejtsük sorba az integrandusban szereplő függvényeket at0 = 0pont körül:
N M =
Itt ∂0 ≡ ∂t0. (7.86) második tagja írja le a disszipációt. Ezzel az összefüggéssel megha-tározható az energia, impulzus és részecskeszám várható értéke a termalizált és termalizá-latlan részecskék esetére. Ha valaki kételkedik a termalizált és a termalizátermalizá-latlan részecskék megkülönböztetésének értelmében, gondoljon arra, hogy a legtöbb mérésben (pl. a szórás fluktuációkon történik, ezért a termalizált és termalizálatlan részecskéken együtt történik) a két részecskeszám együttese mérhető.