Aszimptotikus analízis

Az előző részben azt láttuk, hogy egy periodikus közegben a (6.58) egyenlet megoldása két tagból felépíthető. Az első tag periodikus, és cellánként periodikusan változik, a második tag pedig csak a vizsgált térrész egészén változik számottevően, de nem ismétlődik. Mindkét tag nagyon hasonló egyenletből nyerhető. Most vizsgáljunk meg egy esetet, amikor a vizsgált egyenlet szerkezete más, erre a célra a lineáris transzportegyenletet választjuk. Azt fogjuk látni, hogy a megoldás lassan változó részére hasonló, noha bonyolultabb egyenlet vezethető le, mint az előző példában. Viszontlátjuk azt a már ismert helyzetet is, hogy a periodikus rész segítségével egy cellára vonatkozó integrálás után kapjuk meg a megoldás lassan változó részét meghatározó egyenlet együtthatóit. Jelen fejezetben Ed Larsen munkái[Larsn] nyomán megmutatjuk, hogy a neutrontranszport-egyenlet megoldása, periodikus közegben az alábbi módon adható meg:

Φ(r,v, t) =F(Br, t)u0(r,v) +O(B), (6.81) ahol |B|/= 1, r= (x, y, z)a helykoordináta,v a neutron sebessége, taz idő. Φ(r,v, t)az r helyen Ωirányba repülő neutronok száma a t időpontban⁸. A lassan változóF függvény kielégíti az

∂F

∂t =∇(M0∇F) +M1∇F+M2F+S0. (6.82) egyenletet. A (6.82) egyenletben szereplő M0, M1 ésM2 mennyiségek, amint később látni fogjuk, a (6.106)-(6.107) képletekkel határozhatóak meg. Látni fogjuk továbbá, hogy (6.82) szerkezete analóg a (6.68) egyenlet szerkezetével–mindkettő másodfokú parciális differenciál-egyenlet– noha most a fizikai folyamatokat a transzportegyenlet írja le.

Tekintsük a neutrontranszport-egyenlet integro-differenciál alakját, v.ö. (4.236), amely-ben most az ütközéseket egy közös L operátorral jelöljük. A szórási hatáskeresztmetszetbe minden olyan folyamatot beleértünk, amely a neutronok energiájának változásával jár, így a hasadást is:

∂

∂t +v∇ −1 L

Φ(r,v, t) =S(r,r

,v, t), (6.83) ahol feltettük, hogy a forrás kicsi, ezért-nal arányosnak vehető. Ugyanakkor a forrás gyorsan változhat a helyváltozóban, ezért ^r-től is függ, de lassan változik az időben, ezért csakt-től

8A neutrontranszport- egyenletet általában a neutronfluxusra írjuk föl, itt azonban követjük Ed Larsen eredeti jelölését.

függ. Az Lütközési operátor két részből áll: helyvál-tozóban gyorsan is, lassan is, az időválhelyvál-tozóban csak lassan változhatnak. Ez úgy tükröződik a jelölésekben, hogy bevezetjük a

ΣS(r,r

sorfejtéseket. Figyeljük meg, hogy ΣT csak az energiától függ, ezért argumentumában csak a sebesség abszolútértéke (v) szerepel, míg ΣS argumentumában v szerepel. A vizsgált V tartományt alkotó cellák rendelkeznek egy szimmetriaközépponttal az r⁰ = 0 pontban.

Feltesszük továbbá, hogy aΣT ésΣShatáskeresztmetszetek a cellában forgásszimmetrikusak rendig bezárólag:

Σ_{T n}(r⁰,r⁰, v, t) = Σ_{T n}(−r⁰,−r⁰, v, t), n= 0,1. (6.87) Σ_Sn(r⁰),r⁰,v⁰→v, t) = Σ_Sn(−r⁰),−r⁰,−v⁰→ −v, t), n= 0,1. (6.88) Feltesszük, hogy amennyiben = 0, a Σ_S és Σ_T hatáskeresztmetszetek és a forrás az r⁰ változó periodikus függvénye. Legyen r⁰ = 0 a cella középpontja, r⁰ = a pedig egy másik cella középpontja, ekkor

ΣS0(0,r⁰,v⁰→v, t) = ΣS0(0,r⁰+a,v⁰→v, t); ΣT(0,r⁰, v, t) = ΣT(0,r⁰+a, v, t). (6.89) Azt fogjuk mondani, hogy a fenti tulajdonsággal rendelkező anyagi állandók (hatáskereszt-metszetek) periodikusak.

Bevezetjük azr⁰=r/gyors helyváltozót és azt=τ lassú időváltozót. Az új változók segítségével a (6.83)-ben szereplő keresett függvénytΦ(r,r⁰,v, t, )alakba írjuk, a lassú rés a gyorsr⁰ változókat függetlennek tekintjük, ezért a kifolyást így írjuk:

v∇Φ = Bontsuk fel az Lütközési operátort (ld. (6.84))hatványok szerint az alábbi módon:

L=X

n

ⁿL_n, (6.91)

ahol Ln-ben elvégeztük az alábbi helyettesítéseket: ΣT →ΣT n és ΣS → ΣSn, v.ö. (6.85)-(6.86). Ezzel a transzportegyenlet az alábbi alakot ölti:

1

Itt tehát r ésr⁰ független változók. AV tartomány belsejében kereshetjük a megoldást az alábbi hatványsor alakjában:

Φ∼

∞

X

n=0

ⁿΦn(r,r⁰,v, t). (6.93) Legyen továbbá

T =v∇⁰− L0 (6.94)

Ezt felhasználva (6.93)-ben:

TΦn =

n−1

X

j=0

Ln−jΦj−v∇Φn−1−∂tΦn−2+δn2S. (6.95) A sorfejtésben a negatív indexű tagok (Φ₋₂,Φ₋₁) nullák.

Az (6.95) egyenletrendszer rekurzióval oldható meg. Jegyezzük meg, aT operátorbanr⁰ szerinti (azaz, a gyorsan változó koordináta, a cellán belüli hely szerinti) derivált szerepel.

Azn= 0 esetben

TΦ0= 0, (6.96)

amelynek általános megoldása

Φ0(r,r⁰,v, t) =F(r, t)u0(r,r⁰,v, t). (6.97) Az u0 függvény periodikus r⁰-ben, r , a lassan változó helyváltozó, ami a V tarományon belüli helyet jelöli, ést paraméterek. Továbbá,u0 az alábbi egyenlet megoldása:

0 =v∇⁰u₀(r,r⁰,v, t)+vΣ_T0(r,r⁰, v, t)u₀(r,r⁰,v, t)−

Z

v⁰Σ_S0(r,r⁰,v⁰ →v, t)u₀(r,r⁰,v, t)dv⁰, (6.98) ami egy homogén egyenlet, csak akkor létezik egyértelmű, nemtriviális megoldása, ha a T operátornak van egydimenziós nulltere. Ez egy megszorítást jelent a hatáskeresztmetsze-tekre, amely szükséges ahhoz, hogy a homogén egyenletnek létezzen nemtriviális megoldása, ez a végtelen rács kritikusságának feltétele. Ha (6.98) megoldható az áram normális kom-ponense egyenlő nulla peremfeltétellel mellett, a végtelen rácsot kritikusnak nevezzük. Ez általában csak a hatáskeresztmetszetek (vagy a hasadási hatáskeresztmetszetΣ_f-ben, vagy az abszorpcióΣ_T-ben) egy szabadon választható paraméter alkalmas választásával érhető el.

Részleteket ld. [Szatm].

Most tekintsük a (6.95) egyenletetn= 1esetén.

TΦ₁=FL₁u₀−v∇(F u₀). (6.99) Itt aT =v∇⁰− L0operátor és adjungáltja nulltere egydimenziós. A Fredholm-elternatíva tétel szerint (6.99) megoldhatóságának feltétele a jobboldal ortogonalitása az adjugált ope-rátor nullterét kifeszítőu⁺₀ függvényre:

0 =F(u⁺₀,L1u0) + (u⁺₀,v∇F u0). (6.100) Itt a skalárszorzat a cellára vett alábbi integrált jelenti:

(a⁺, b) = Z

cella

a⁺(v,r⁰)b(v,r⁰)dvdr⁰. (6.101)

Az (6.100) jobboldalán álló második integrál nulla, mert azu0 függvény szimmetrikusv-ben isr⁰-ben is, ha a hatáskeresztmetszetek szimmetrikusak. A megoldhatóság feltétel ezért

(u⁺₀;L1u0) = 0,

ami egy feltétel azL1 operátorra⁹. (6.99) általános megoldása:

Φ₁=F₁u₀−FT⁻¹L1u₀− T⁻¹v∇F u0. (6.102) Itt T⁻¹ a T operátor inverze,a mely a Fredholm-alternatíva miatt rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:

Z

cella

u⁺₀T⁻¹f dvdr⁰ = 0 minden olyan függvényre, amelyre teljesül

Z

cella

u⁺f dvdr⁰ = 0.

Térjünk át azn= 2esetre (6.95) vizsgálatában. A megoldandó egyenlet:

TΦ2=FL2u0+ (L1−v∇)(F1u0− T⁻¹v∇F u0−FT⁻¹L1u0)−∂t(F u0) +S0. (6.103) (6.103) megoldható, ha

∂_tF =∇(M0∇F) +M₁∇F+M₂F+S₀, (6.104) ahol

M₀(r, t) = (vu⁺₀,T⁻¹u₀v) (6.105)

M1(r, t) = (u⁺₀v,∇T⁻¹v∇u0)−(v∇u0T⁻¹v∇u0) (6.106) M2(r, t) = (u⁺₀v,∇T⁻¹(v∇u0)) + (u⁺₀,L2u0)−(u⁺₀,L1T⁻¹L1u0)−(u⁺₀, ∂tu0)(6.107)

S₀(r, t) = (u₀, S). (6.108)

(6.104) egy másodrendű differenciálegyenlet a lassan változóF(r)függvény meghatározására.

Azt kaptuk, hogy a transzportegyenlet megoldása egy rácsban egy lassan változó függvény (F₀(r) és egy gyorsan (azaz, cellán belül is számottevően) változó függvény (u₀) szorzata.

Amennyiben a cellát egyetlen anyag tölti ki, a megoldás első tagja egy helyfüggő és egy energiafüggő tag szorzata lesz. Ez a megoldás a domináns a határfelületektől távol. A cella viselkedését függetlennek tekintettük azF0 függvénytől, noha az is változik egy cellán belül.

A fentiekben ismertetett aszimptotikus elméletnek több kiterjesztése is ismert, alkalmazása a fizika több területén sikereket ért el.

Az aszimptotikus analízis egy módszer, amellyel egymásra épülő skálák segítségével lehet elemezni egy egyenlet megoldását. Magán a módszeren belül számos eltérő technika lehetsé-ges. Ennek bemutatására tekintsük a forrásos neutrontranszport-egyenletet megoldását az aszimptotikus analízis módszereivel. Legyen a transzportoperátor most

TΦ(r,Ω)≡Ω∇Φ(r,Ω) + Σ(r)Φ(r,Ω)− Z

Σ_s(r,ΩΩ⁰)Φ(r,Ω⁰)dΩ⁰ (6.109) és vizsgáljuk a

TΦ(r,Ω) =Q(r,Ω) (6.110)

9Ez a feltétel minden helyváltozóban páratlan, vagy azonosan nulla operátor esetében teljesül.

egyenlet megoldását egy T tartományon. Bevezetjük az r helyváltozó mellett azrM lassú változót is, legyen

rM =Br, (6.111)

ahol B <<1. Nyilván fennáll

∇_r=B∇_rM.

A keresett Φ megoldást a T operátor első m sajátfüggvénye segítségével fogjuk kifejezni, legyen ezért alakban, ahol aΨj próbafüggvényeket úgy választjuk, hogy legyenek periodikusak, ugyanaz-zal a periódussal, mint a hatáskeresztmetszetek, és legyenek ortogonálisak az adjungáltT⁺ operátor első msajátfüggvényére:

Z

φ^∗_i(r,Ω)Ψj(rM,r,Ω)dΩdr= 0,1≤i≤m, (6.114) ahol

T⁺φ^∗_i(r,Ω) =λ^∗_iφ^∗_i(r,Ω), i= 1, . . . , m. (6.115) Legyen a sajátértékek sorrendje: |λ^∗_i|<|λ^∗_i+1|. Az alkalmazott közelítés előnye, hogy ben-ne explicit módon szerepelben-nek a legkisebb (egyúttal legfontosabb) sajátértékekhez tartozó sajátfüggvények. Egyúttal ez biztosítja, hogy az első m sajátfüggvény járuléka mellett a közelítés többi tagjának járuléka elhagyható. Ezért feltehetjük, hogy a forrást kifejtve T sajátfüggvényei szerint, az első mtag kellően pontos közelítést ad.

Helyettesítsük az (6.113) közelítő megoldást a (6.110) egyenletbe, majd szorozzuk meg skalárisan a (6.112)-ben szereplő sajátfüggvényekkel. Az eredmény egy m egyenletből álló egyenletrendszer lesz: Vegyük észre, hogy a (6.116) egyenletrendszerben nem diffúzió egyenlet, hanem a te-legráfegyenlet szerepel. A két egyenlet szerkezete között lényeges különbség van: időfüggő feladatokban a diffúzió egyenlet megoldásában a megváltozott forrás azonnal megjelenik a megoldástér minden pontjában, a telegráfegyenlet megoldásai viszont hullámok, ennek meg-felelően a forrás megváltozása késéssel jelenik meg a megoldástér egyes pontjaiban. Ugyanak-kor a (6.116) egyenletek nagyon hasonlítanak a többcsoport diffúzió egyenletekre. Amennyi-ben a (6.118) integrálok nullává válnak, azaz, aT operátor sajátfüggvényei ortogonálisak, a diffúzió egyenleteket kapjuk.

6.5. Turbulencia

A. N. Kolmogorov (1903-1987) vezette be a korrelációs függvények használatát és fedezett fel egyszerű feltételek mellett, egy univerzális skálatörvényt. Ezt röviden összefoglaljuk.

Vizsgáljuk a folyadék v(r, t) sebességének i-ik komponensét, v_i(r, t)-t, i = 1,2,3. A hely-koordinátákat jelölje r = (x₁, x₂, x₃). Legyen a fázistér egy P pontja P = (x₁, x₂, x₃, t).

Korlátozzuk vizsgálatainkat aV tartomány r∈V pontjaira. Mivel a turbulens mozgás le-írásában szereplőφ_i fázisokat nem ismerjük, ezeket véletlen mennyiségeknek tekintjük. Így végül is v_i(r, t)is véletlen mennyiség. Jelölje az A mennyiség várható értékét E{A}. Fel-tesszük, hogy E

v_i² ésEn (_dx^dvi

j)²o

véges mennyiségV minden pontjában. Bevezetjük azy koordinátákat a fázistérben az alábbi definícióval. Legyen

y_i=x_i−x⁽⁰⁾_i −v_i(P₀)(t−t₀);s=t−t₀, (6.120) ahol P0 = (x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , x⁽⁰⁾₃ , t) és r0 = (x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , x⁽⁰⁾₃ ) ∈ V. Nyilván yi is véletlen mennyi-ség, hiszenvi(P0)-tól függ. Az új koordinátákban kifejezett sebesség különbség komponensei wi(P) =vi(P)−vi(P0), vagyis aP ésP0pontok köztiwi véletlennek tekintett sebesség kü-lönbséget vizsgáljuk. A fázistér általunk vizsgált részétG-vel jelöljük: G= (y, s), y∈V;s∈ T, aholT egy időintervallum. Ezzel definiáltuk aw_i^(k)=wi(Pk), i= 1,2,3;k= 1, . . . , n el-oszlásfüggvényeket. Legyenw⁽⁰⁾_i =wi(P0). Az említett eloszlásfüggvényekx⁽⁰⁾_i , t⁽⁰⁾, v_i⁽⁰⁾, y^(k)_i éss^(k)függvényei lesznek. Legyen egy ilyen eloszlásfüggvény F_n =F_n(x⁽⁰⁾₁ , . . . , s^(k)). Ezen függvények vizsgálatára Kolmogorov bevezette az alábbi definíciókat.

6.5.1. Definíció. (Lokálisan homogén turbulencia) Legyen a turbulencia lokálisan ho-mogén a Gtartományban, ha mindenn-re azFn eloszlásfüggvény független azx⁽⁰⁾_i , t⁽⁰⁾, v⁽⁰⁾_i koordinátáktól.

6.5.2. Definíció. (Lokálisan izotrop turbulencia) Nevezzük a turbulenciát lokálisan izot-ropnak a G tartományban, ha az homogén és emellett Fn minden n-re invariáns a forgatá-sokkal és tükrözésekkel szemben (az eredeti x1, x2, x3 koordinátatengelyekre nézve).

A fenti definíciók alapján vizsgáljuk meg lokálisan izotrop turbulencia esetén az alábbi se-bességektől függő korrelációs függvényeket:

E_ik=E{(v_2i−v_1i)(v_2k−v_1k)}, i, k= 1,2,3, (6.121) ahol v₁ és v₂ az áramlás két közeli pontjában mért sebesség, az átlagolás pedig időbeli átlagolást jelent. Tartozzon av₁sebesség azr₁, av₂pedig azr₂ponthoz. Legyenr=r₂−r1, és legyen r=|r|< l, aholl a vizsgált áramlási tér egy jellemző távolsága.

Feltesszük, hogy a turbulencia lokálisan izotrop, ezért azE_ik tenzor nem függhet a tér egyetlen kitüntetett irányától sem,E_ik-ban csakrill. azrirányú egységvektor,nszerepelhet.

Egy ilyen tenzor legáltalánosabb alakja

E_ik=A(r)δ_ik+B(r)n_in_k. (6.122) A koordinátatengelyeket úgy választjuk, hogy az nirányú komponens indexe r(radiális), a rá merőlegest (tangenciális) legyen. Nyilvánn= (nr, nt) = (1,0). (6.122)-ból következően E_rr =A+B;E_tt=A;E_rt= 0. A vázolt közelítésben összefüggést állapíthatunk megE_rr és E_tt között.

Mivel azEvárható érték lineáris:

Eik=E{v1iv1k}+E{v2iv2k} −E{v1iv2k} −E{v1kv2i}. (6.123)

Az izotropia miattE{v1iv1k}=E{v2iv2k}ésE{v1iv2k}=E{v1kv2i}, ezértEik= 2E{v1iv1k}−

E{v1iv2k}. Ezt differenciáljuk az r2koordinátái szerint:

∂Eik

∂x_2k =−2En v1i∂v_2k

∂x_2k

o

. (6.124)

A kontinuitási egyenlet miatt

∂Eik

∂x_2k = 0. (6.125)

Továbbá,Eik=Eik(x1, x2, x3), aholxi=x2i−x1i, ezért azx2kszerinti deriválás megegyezik az xk szerinti deriválással. Bevezetve a geometriához illeszkedő hengeres koordinátákat, (6.125) így írható:

A⁰+B⁰+2B

r = 0. (6.126)

Itt azr szerinti deriválást vesszővel jelöltük. AzA ésB függvények kifejezhetők az el nem eltűnő komponensekkel:

E_rr⁰ +2

r(E_rr−E_tt) = 0, (6.127) ezt átalakítva:

Ett= 1 2r

d

dr r²Err

. (6.128)

r >> l0 távolságokon–ittl0 ∼l/R^3/4– a sebességkülönbségek (6.5) szerint arányosak r^1/3 -nal. MivelEik-ban két ilyen sebesség szorzata szerepel, ezértEik∼r^2/3. Ezt behelyettesítve (6.128)-be:

Ett=4

3Err (6.129)

adódik. Ha viszont r << l₀, a sebességkülönbségekr-rel arányosak, ezértE_rr =cr²,E_tt = cr², ezért ebben a közelítésben

Ett= 2Err. (6.130)

A fenti eredményeket elsőként A. N. Kolmogorov mutatta meg 1941-ben. Eredményét szokás skálafüggetlennek tekinteni, vagyis érvényesnek a turbulenciát alkotó kaszkád bármely tag-jára, másszóval a turbulenciában megtalálható minden skálán érvényesek az összefüggések.

Vannak azonban eltérő vélemények is. L. D. Landau érveket hozott fel a (6.129) összefüggés skálafüggetlenségének cáfolatára. A vitát feloldja U. Frisch gondolatmenete. Egy turbulens áramlásban a (5.47) Navier-Stokes egyenlet szimmetriáinak csak egy kis része figyelhető meg.

Jól ismert tény, hogy egy kísérletben egy vezérlőparaméter (pl. a Reynolds-szám) növelése bifurkációk megjelenéséhez vezet, a bifurkációk csökkentik a szimmetriát, kialakul a kaoti-kus állapot. Ekkor még fennáll az időeltolással szembeni invariancia, igaz, csak statisztikaoti-kus értelemben. U. Frisch feltette, hogy a statisztikus értelemben fennálló szimmetriák nem korlátozódnak az időeltolásra, és a következő hipotéziseket javasolta.

1 Hipotézis Az R → ∞ határesetben a Navier-Stokes egyenlet minden lehetséges szim-metriája, amelyet rendszerint meghiúsít a turbulens áramlás, statisztikus értelemben újra helyreáll kis skálákon, a határfelületektől távol.

2 Hipotézis Az 1. Hipotézisben megfogalmazott feltételek mellett a turbulens áramlás kis skálákon önmagához hasonló, azaz, egyetlen skálakitevőt tartalmaz.

3 Hipotézis Az 1. Hipotézisben megfogalmazott feltételek mellett a turbulens áramlás tö-megegységre eső disszipációjának átlagértéke véges.

A fenti hipotézisekből megkapható a Kolmogorov által is megadott hasonlósági transzformá-ció, 1/3 kitevővel. Általában turbulens áramlásbann mennyiség korrelációjára azl hosszal jellemzett skálán

Fn(l) =cnε^1/3nl^1/3n (6.131) adódik, itt cn dimenziótlan állandó, n = 3 esetén c3 = −4/5, egy univerzális állandó. A többi cn együttható viszont függ a geometriától, így a turbulencia skálájától is, ezért nem univerzális állandó.

In document Bevezetés a transzportelméletbe (Pldal 168-175)