nemegyensúlyi állapotban
5.5. A Chapman-Enskog–sorfejtés
A 5.1. fejezetben láttuk, hogy amennyiben a Botzmann-egyenlet nem függ explicit módon az időtől, egy időtől exponenciálisan függő megoldást találunk. Ez a megoldás a τ << 1 időállandóval átmegy egy olyan függvénybe, amely explicit módon már nem függ az időtől.
A jelen fejezet olyan megoldást mutat be, amely csak közvetve függ az időtől.
Írjuk a Boltzmann-egyenletet az alábbi alakba:
∂f(r,v, t) és Q(f, f) a (3.18) ütközési integrál. A (3.19) egyenlet olyan megoldását keressük, amely csak a Boltzmann-eloszlásban szereplő alábbi mennyiségeken át függ az időtől:
n(r, t) ≡
Feltesszük továbbá, hogy a fenti mennyiségek változása egy szabad úthossznyi távolságon belül elhagyhatóan kicsi, valamint a két ütközés közötti átlagos idő alatti változásuk is el-hagyható. Mindkét feltevés kézenfekvő, hiszen a (5.130)-ben definiált mennyiségek egy adott helyen lévő összes részecskére vett átlag, azaz, lassan változó mennyiség.
Bevezetjük a ζ paramétert, és a keresett f(r,v, t) függvényt az alábbi sor alakjában keressük:
és az f(k) függvényeket úgy határozzuk meg, hogy k-nak monoton csökkenő függvényei le-gyenek. Magának aζparaméternek nem tulajdonítunk fizikai értelmet, szerepük csak annyi, hogy jelzik az egyes tagok nagyságrendjét. Az f(k) függvényeket úgy választjuk, hogy csak a nulladik tag adjon járulékot az átlagsűrűséghez, az átlagsebességhez és a hőmérséklethez:
n =
Ugyanakkor ak >0tagok ne adjanak járulékot ugyanezekhez az integrálokhoz:
Z
d3vf(k)vn= 0, n= 0,1,2;k >0. (5.137) A fentiek szerint választott függvényekkel a (5.134) átlagértékek mindig helyesen adódnak.
Helyettesítsük be a (5.7)-(5.9) megmaradási egyenletekbe a (5.133) sorfejtést, az eredmény:
∂ρ
Az impulzus mérleg az új változókban:
ρ
Az energiamérleg az új változókban:
ρ
Itt a P(k) tenzor a nyomástenzorral analóg, de az eloszlásfüggvény k-ik közelítésével kell a közepelést végrehajtani, aP(k) tenzor elemeit a következő integrálok határozzák meg:
(P(k))ij =m Z
d3vf(k)(vi−ui)(vj−uj). (5.142) A k-ik közelítésben a hőáram vektorának komponenseit is az eloszlásfüggvényk-ik közelíté-sével kell kiszámítani:
q(k)= m2 2
Z
d3vf(k)(v−u)|v−u|2. (5.143)
Ahhoz, hogy a (5.133) sorfejtés tagjai adottkindexig bezárólag koherens közelítést alkos-sanak, a (3.19) Boltzmann-egyenlet minden tagjába be kell a (5.133) sorfejtést helyettesíteni, és az egyenlet minden tagjának meg kell határozni a helyét a sorfejtésben. Mivel Dlineáris operátor, ezért
Df = 1 ζ
Df(0)+ζDf(1)+ζ2Df(2)+. . .
. (5.144)
Az idő szerinti deriválásnál kihasználjuk, hogyf csak a (5.130) átlagokon át függ az időtől, ezért
Mivel a (5.144) összefüggés alkalmazható a ρ, ui és Θ szerinti deriváltakra is, az alábbi összefüggésekhez jutunk:
Formálisan aρ,ui ésΘszerinti deriváltakat az alábbi módon lehet értelmezni (itt csak a t szerinti deriválást írjuk le):
A most bevezetett deriválások hatását a megmaradási egyenletek egyértelműen
meghatároz-zák: ∂0
Ezzel a Botzmann-egyenletben szereplő időderiváltat hatványsor alakjába írhatjuk:
∂f
Vegyük most szemügyre az ütközési integrált, a benne szereplőf eloszlásfüggvényre al-kalmazzuk a (5.133) sorfejtést:
Bevezetjük az alábbi definíciót:
Q(k)(f(0), . . . , f(k))≡ X
r+s=k
Q(f(r), f(s)), (5.158) ahol az összegzés minden olyans, rindexpárra kiterjed, amelynek összegek. Ezzel a (5.157) ütközési integrál így írható:
Q(f, f) = 1 ζ2
∞
X
k=0
ζkQ(k). (5.159)
A fejezet előző részeiben bemutattunk módszereket, amelyek segítségével a Boltzmann-egyenlet megoldásából származtatni lehet hidrodinamikai Boltzmann-egyenleteket. Ezek az Boltzmann-egyenletek eltérnek egymástól. Az Euler-egyenletek, a Navier-Stokes-egyenletek, a Hilbert-sorfejtés, a Chapman-Enskog-sorfejtés ellentmondásmentesek ugyan, de eltérő makroszkopikus leírást adnak. A sort a 6. fejezetben kiegészítjük Bogoljubov-eljárásával.
5.6. Linearizálás
A Boltzmann-féle transzportegyenletben szereplő operátornak számos kellemetlen tulajdon-sága van: nemlineáris, nem önadjungált, nem kompakt és nem korlátos (ld. 12. fejezetet).
Természetesen léteznek olyan helyzetek, amikor az egyenlet vagy eleve lineáris (pl. neutron-transzport) vagy lineárissá tehető. Jelen fejezetben módszereket mutatunk a Boltzmann-féle transzportegyenlet linearizálására. Mivel a nemlineáris rész az ütközési integrálban található, a linearizálás kérdése szorosan kapcsolódik a 5.7. fejezetben tárgyalandó ütközési integrálok-hoz.
5.6.1. A Fokker-Planck-egyenlet
A kinetikai jelenségekben gyakori, hogy az elemi ütközések során az eloszlásfüggvény ar-gumentumai csak keveset változnak, az eloszlásfüggvényhez kapcsolódó mennyiségek (pl.
sűrűség, hőmérséklet) változása kicsi. Látni fogjuk a 6.2 fejezetben, hogy az eloszlásfügg-vényhez kapcsolódó mennyiségek egy jóval lassabb időskálán változnak, mert a változásokhoz sok ütközésre van szükség.
Vizsgáljuk meg az egyszerűség kedvéért egy homogénnek tekinthetőS rendszer részecs-kéinek eloszlásfüggvényét. Homogén rendszerben feltehetjük, hogy az eloszlás függvény csak az időtől és a részecskék impulzusától függ ezért azt a következő alakba írjuk: f(t,p). Fel-tesszük, hogy egy ütközésben az S-et alkotó részecske impulzusa csak keveset változhat.
Jelölje w(p,q)d3q annak valószínűségét, hogy időegység alatt egy részecske impulzusa p-ről p−q-ra változik. Az eloszlásfüggvény változása a d3p intervallumot elhagyó, ill. oda bekerülő részecskék különbségéből áll, ezért a kinetikai egyenlet:
∂f(t,p)
∂t =
Z
(w(p+q,q)f(t,p+q)−w(p,q)f(t,p))d3q (5.160) Feltesszük, hogy w(p,q) gyorsan csökken q növekedésével. Ezt úgy használjuk ki, hogy w(p+q,q)-t sorba fejtjük az első argumentum szerintq= 0körül:
w(p+q,q)f(t,p+q)≈w(p,q)f(t,p) +q ∂
∂pw(p, q)f(t, p) +1 2
X
i,j
qiqj
∂2
∂pi∂pjw(p,q)f(t,p). (5.161)
Ezzel a kinetikai egyenlet az alábbi lineáris alakot ölti:
ahol az Ai ésBij operátorokat az alábbi összefüggések adják meg:
Aif = A fenti közelítésben a kinetikai egyenlet tehát integro-differenciálegyenletből (v.ö. (3.2)) differenciálegyenletté vált. A (5.162) egyenletet Fokker-Plank-egyenletnek nevezik. A (5.163) operátor az egy adott idő alatt bekövetkező átlagos impuzusváltozással, a (5.164) operátor hatása az impulzusváltozás kvadratikus alakjával kapcsolatos. A fenti meggondolásokat fel lehet használni az ütközési integrál kiszámításának egyszerűsítésére is (v.ö. 5.7. fejezetben leírtakkal).
5.6.2. A linearizált Boltzmann-egyenlet
Tekintsük a transzportegyenletet ritka gázokban, amikor az eloszlás az egyensúlyitól csak egy perturbációban tér el. Azaz, feltesszük, hogy
f(r,v, t) =f0(v)(1 +φ(r,v, t)), φ <<1. (5.165) Ezt az alakot behelyettesítve a (3.19) egyenletbe, az ütközési integrálban szereplő kvadratikus tagokban aφ2 kifejezéseket elhagyhatjuk:
f(r,v0, t)f(r,v01, t)∼f0(v0)f0(v10) [1 +φ(r,v0, t) +φ(r,v1, t)]. (5.166) Vegyük észre, hogy az ütközés során az energia megmarad, ezért
f0(v0)f0(v01) =f0(v)f0(v1) (5.167) mert
v021+v022=v21+v22. Máris a Boltzmann-egyenlet linearizált formáját kaptuk:
∂φ aholΩa szórás szöge. Ez az egyenlet nagyon hasonlít a (4.237) neutrontranszport-egyenletre, azzal a különbséggel, hogy a (5.168) egyenlet jobboldalán álló operátor eltér az ütközési operátortól. Az egyezés akkor állna fenn, ha a (5.168) egyenlet jobboldalán álló operátort az alábbi alakra lehetne hozni:
Lφ=−ν(v)φ(r,v, t) + Z
d3v0K(v0→v)φ(r,v0, t), (5.169) ahol aν(v)ütközési gyakoriságot
ν(v) = Z
d3v1 Z
dΩ|v−v1|σ(|v−v1|,Ω)f0(v1) (5.170)
5.1. táblázat. A kölcsönhatási potenciál ésν(v)kapcsolata Potenciál ν(v)tulajdonsága s >5kemény potenciál monoton csökkenő s= 5 Maxwell-potenciál állandó
s <5lágy potenciál monoton csökkenő
adja meg. A neutrontranszportban ez a tag felel meg avΣs(v)-nek. Kérdés, létezik-e olyan reális kölcsönhatási potenciálból származtatható σ, amely fizikaileg értelmes ν(v)-t ered-ményez. Ha az ütközést egy taszító potenciál írja le, amelynek alakja V(r) = V0/rs−1, ν(v) =∞-t kapunk. Ezannyit jelent, hogy a (5.169) alakú átalakítás nem megy, ha a poten-ciál végtelen hatótávolságú. A gyakorlatban a kölcsönhatási potenpoten-ciál mindig nullává válik egy véges távolság után, tehátν(v)véges marad. A potenciálskitevője és a ν(v) kapcsola-tát a 5.1. táblázat mutatja be. A fenti potenciálokra tehát a neutrontranszport eszköztára alkalmazható. A szórási magfüggvény a gázdinamika esetén azonban eltér, ezt vizsgáljuk meg alább.
A (5.169) operátorral a linearizált transzportegyenlet így írható:
∂φ
∂t +v∂φ
∂r +ν(v)φ(r,v, t) = Z
d3vK(v0→v)φ(r,v0, t), (5.171) ami matematikai szempontból majdnem azonos a (4.237) neutrontranszport-egyenlettel.
Fontos azonban rámutatni, hogy a (5.171)-ben szereplő K magfüggvény jelentése más. A magfüggvény vizsgálatához válasszuk le az n(t) = R
d3vf(r, v, t) atomszámból az n0 idő-független részt, a maradék N(t) << n0-t pedig tekintsük korrekciónak. Az N(t)-re felírt linearizált Botzmann-egyenlet:
∂N
∂t +v∂N
∂r = Z
d3v1
Z
d3g0gσ(g0→g)[N0n001+N10n00−N1n0−N n01]. (5.172) Itt g = v−v1 az ütköző részecskék relatív sebessége, g = |g|. Az energiamegmaradás megköveteli g0 = g fennállását. Az ütközési integrálban szereplő tagok az alábbi módon interpretálhatóak:
• N0n001-a korrekcióbanv-be szórt atomok száma;
• N10n00-a főrészbenv-be szórt atomok száma;
• N1n0-a főrészbőlv-ről kiszórt atomok száma;
• N n01- av-ből kiszórt korrekciós atomok száma.
Itt n0-hoz beírtuk az argumentumban szereplő sebesség indexét, így n01 ≡ n0(v1). Az argumentumban szereplő szórás előtti és utáni sebességeket pedig vessző külöbözteti meg, pl. n001 ≡n0(v01). Vegyük észre, hogy az első két tag azonos. Ezután definiáljuk az alábbi szórási magfüggvényeket:
v0Σs(v0→v)≡ Z
d3g0gσ(g0→g)n0(v0) (5.173)
v10ΣK(v01→v)≡n0(v) Z
d3g0gσ(g0 →g), (5.174)
továbbá, amennyiben az egyes integrálok konvergálnak (pl. megfelelő levágási Ezért gázokra a linearizált Boltzmann-egyenletet így írhatjuk:
∂N
∂t +v∂N
∂r +vΣ(v)N(r,v, t) = Z
d3v0[2v0Σs(v0→v)−v0ΣK(v0→v)]N(r,v0, t). (5.176) A kinetikus elmélettől a neutrontranszport abban tér el, hogy a neutronok "idegen" részecs-kékkel ütköznek, ezért ott a jobboldal egyszerűbb:
∂N
∂t +v∂N
∂r +vΣ(v)N(r,v, t) = Z
d3v0[v0Σs(v0→v)]N(r,v0, t). (5.177) (5.176) és (5.177) összehasonlításával látható, hogy a linearizált gázdinamikában az integ-rálban szereplő magfüggvény [2v0Σs(v0 →v)−v0ΣK(v0→v)], míg a neutrontranszportban a megfelelő magfüggvény v0Σs(v0 → v). A különbség azzal magyarázható, hogy gázok esetében a perturbációban szereplő atomok kilökhetik a v sebességről az egyensúlyi tag-ban szereplő atomot, ami egy negatív perturbációnak felel meg. Ennek megfeleleően a [2Σs(v0 →v)−ΣK(v0→v)]akár negatív is lehet bizonyos v,v0 értékekre. ld. [Duder][175.
oldal].
5.6.3. A diffúziós közelítés
A diffúziós közelítés az egyik legegyszerűbb modell a részecsketranszport leírására. Első lépésként vizsgáljuk meg részecskék transzportját egy közegben. E probléma prototípusa a (4.236)-(4.237) neutrontranszport-egyenlet, amelyet most így írunk fel:
∂N
∂t +v∂N
∂r +vΣt(v)N(r,v, t) = Z
d3vΣs(v0→v)N(r,v0, t) +S(r,v, t). (5.178) Itt az S forrásba beleértjük a hasadásból keletkező neutronokat is. Az alábbiakban az egy-csoport közelítést alkalmazzuk (v=Ωv) és bevezetjük aΦ(r,Ω, t) =vN(r,v, t)szögfüggő fluxust, amellyel a (5.178) egyenlet:
∂Φ
∂t +Ω∂Φ
∂r + ΣtΦ(r,Ω, t) = Z
dΩΣs(Ω0 →Ω)Φ(r,Ω0, t) +S(r,Ω, t). (5.179) A közelítő megmaradási egyenleteket úgy származtatjuk, hogy a (5.179) egyenletet meg-szorozzuk Ω-tól függő ütközési invariánsokkal (v.ö. 3.1 fejezet) és integrálunkΩ lehetséges értékeire. Az első invariáns az azonosan egy függvény, ez a szórási folyamatban marad meg:
Z dΩ
Σs(Ω0→Ω)Φ(r,Ω0, t)−ΣsΦ(r,Ω, t)
= 0. (5.180)
Azt találjuk, hogy az öndiffúzióban (azaz, olyan folyamatban, ahol a részecskék saját típusú részecskékkel nem ütköznek), csak egy megmaradási egyenlet van. Ennek segítségével ez első mérlegegyenlet:
∂Φ(r, t)
∂t +∂J
∂r + ΣaΦ(r, t) =S(r, t) (5.181)
ahol bevezettük az alábbi új mennyiségeket: Φ(r, t)neve skalárfluxus,J(r, t)neve neutronáram.
A második lépésben (5.179) egyenletet megszorozzuk Ω-val és integrálunk a teljes tér-szögre, az eredmény: A továbbiakban feltesszük, hogy a forrás izotrop: S1≡0. Itt pedig a szórási tag integrálása során az alábbi jelölést vezettük be:
Z A (5.184) képletben szereplőµ0 a szórási szög koszinuszának átlaga:
µ0=ΩΩ0 = 1 Eddigi erőfeszítéseink eredményeként a (5.179) egyenlet helyett kaptunk két egyenletet:
(5.181)-t és (5.183)-t, az utóbbi kettőben három ismeretlen van, nevezetesen a vektorfluxus nulladik-, első- és második, szög szerinti momentuma. Ezidáig csak azonos átalakításokat hajtottunk végre, újabb közelítéseket vezettünk be az egyenletek egyszerűsítése érdekében.
Három közelítő jellegű feltevéssel élünk:
• Feltesszük, hogy a szög szerinti sorfejtésben elegendő a vektorfluxus első két tagjának megtartása, mert a neutronos repülési szög szerinti eloszlása jó közelítéssel egyenletes:
Φ(r,Ω, t)' 1
4πΦ(r, t) + 3
4πJ(r, t)Ω. (5.186)
• Feltesszük, hogy a vektrofluxus második momentuma így értékelhető ki:
∂
azaz, az áramsűrűség változása sokkal lassabb, mint az ütközési sűrűségvΣt. Ez utóbbi nagyságrendje105, a közelítés csak különleges esetekben nem teljesül.
A fenti közelítések segítségével az áram és a skalárfluxus gradiense között az alábbi kapcso-latot nyerjük a (5.183)-egyenletből:
J(r, t) =− 1
3Σtr∇Φ(r, t). (5.189) Ez az összefüggés megegyezik a Fick-törvénnyel, amennyiben a Ddiffúziós állandót
D= 1 Σtr
(5.190)
helyettesíti. A Σtr hatáskeresztmetszetet a teljes hatáskeresztmetszetből kapjuk meg, egy szórási szögtől függő korrekcióval:
Σtr = Σt−µ0Σs. (5.191)
Ezzel a neutrontranszportot leíró (5.178) egyenletet az alábbi alakra hoztuk:
1 v
∂Φ(r, t)
∂t − ∇D(r)∇Φ(r, t) + Σa(r)Φ(r, t) =S(r, t). (5.192) Ez az egycsoport diffúziós egyenlet, feltehetően a transzportegyenlet legegyszerűbb és leg-gyakrabban használt közelítése.