7. Arbitrázsfogalmak karakterizációja 153
7.2. Az Orlicz-terek elmélete
A továbbiakban [62] alapján meg kívánjuk mutatni, hogy az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétele ekvivalens a [64]-b½ol ismert C \L1+ = f0g „no free lunch”
feltétellel, ahol aC aC-kúp gyenge-csillag topológia szerinti lezártját jelöli. Ehhez azonban fel kell használnunk néhány, az ún. Orlicz-terekkel kapcsolatos eredményt.
Mivel úgy gondoljuk, hogy ezen elmélet viszonylag kevéssé ismert, ezért az alábbi-akban megadjuk az Orlicz-tér de…nícióját. Az Orlicz-terekkel kapcsolatos további eredményekr½ol a [63], [82] és [98] monográ…ákban tájékozódhat az olvasó.
El½oször vezessünk be néhány fogalmat. Egy F : [0;1) ! [0;1) függvényt Young-függvénynek nevezünk, ha F folytonosan di¤erenciálható,F0(0) = F(0) = 0,F0szigorúan monoton növekv½o éslimt"1F0(t) =1. Az összes Young-függvények halmazát Y-nal jelöljük. Minden F 2 Y-ra legyen
LF = f 2L0( ;F;P)jE[F(ajfj)]<1 valamely a >0-ra : Az
kfkF = inf a >0jE F(a 1jfj) 1
normával ellátott LF teret1 szokás Orlicz-térnek nevezni, amir½ol belátható, hogy Banach-tér. Jelöljük egy A halmaz kkF-szerinti lezártját AF-fel. Szükségünk lesz az alábbi két lemmára. (ld.: [67])
89. Lemma. Legyen A egy konvex L1-beli halmaz. Ekkor a
\
F2Y
AF
!
\L1
halmaz megegyezik az A halmaz (L1; L1) topológia szerinti lezártjával.
90. Lemma. Legyen fk 2LF olyan sorozat melyre fk f
F !0: Ekkor lim
k!1E F( fk f ) = 0:
7.3. A "nincs ingyenebéd" feltétel
Ebben a szakaszban az Orlicz-terek elméletének segítségével megadjuk a nincs ingyenebéd feltétel preferenciákkal történ½o karakterizációját. Jelöljük C -gal a C-kúp gyenge-csillag topológia szerinti lezártját. A következ½o állítást fogjuk igazolni.
91. Tétel (Klein). Az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétele ekvivalens a C \ L1+ =f0g feltétellel.
1Pontosabban az ekvivalenciaosztályokból álló teret.
Bizonyítás El½oször lássuk be, hogy ha egy w követelés ingyenebéd, akkor U2 szerinti ingyenebéd is. Legyen tehát w 2 C \L1++, és legyen u 2 U2 és P 2 P tetsz½oleges. Feltehet½o, hogy u(0) = 0, ugyanis a gondolatmenet eltolásával az általános eset bizonyítása magától értet½od½o. Kezdetben azt is tegyük fel, hogy azu gráfjának negatív síknegyedbe es½o részét az origó körül 180 fokkal elforgatva Young-függvény-t kapunk. Azaz létezik olyan Fu Young-függvény, melyre u (x) = Fu( x), ha x 0, és u (x) = 0 ha x > 0. Ekkor felhasználva, hogy egy konvex halmaz gyenge-csillag lezártja mindenP2Pesetén ugyanaz, az els½o lemma alapján létezik egy fk sorozat, melyre fk w F
u ! 0, ezért a második lemma alapján
EP u (fk w) = EPh
Fu( fk w )i
EP Fu( fk f ) !0: (7.2) Ekkor, mivel fk C-beli, kapjuk hogy
sup
f2C
EP[u(f w)] sup
f2C
EP u (f w) 0 =u(0);
vagyis w valóban U2 szerinti ingyenebéd. Az általános eset bizonyítása annak a ténynek a triviális következménye, hogy mindenu2U2-beli függvényhez és " >0 számhoz létezik egy Fu" Young-függvény, hogy Fu"( x) u (x) +" ha x 0 (lásd [62]).
Most tegyük fel, hogy a w 2 L1++ követelés U2 szerinti ingyenebéd és lás-suk be, hogy ekkor w ingyenebéd is. Tetsz½oleges F Young-függvényre és k po-zitív egész számra legyen uFk(x) = F( kx) ha x nempozitív, és uFk(x) = 0 ha x pozitív. Mivel uFk 2 U2 és w U2 szerinti ingyenebéd, létezik az fF;k 2 C sorozat, melyre minden P 2 P esetén EP uFk(fF;k w) 2 k. Legyen D = conv (f w) jf 2C . EkkorgF;k = (fF;k w) egyD-beli sorozat. Ekkor nyil-ván EP F(kgF;k) 2 k, ezért gF;k F 1=k, amib½ol következik, hogy gF;k k sorozatLF-ben konvergál0-hoz. Ez azt jelenti, hogy mindenF 2 Yesetén02 DF, ezért az els½o lemmánk alapján 02 D , így hát létezik egyD-belih általánosított sorozat, amely a gyenge csillag topológia szerint tart 0-hoz. Rögzítsünk egy indexet. Mivel h D-beli, ezért felírható a h = Pn
i=1 i(fi w) konvex kom-binációként, ahol fi 2C. Mivel C konvex,
Xn i=1
i(fi w) = f w
valamely f 2C-re. Mivel az id függvény konvex, ezért
(f w)
Xn i=1
i(fi w) =h : Ugyanakkor a
w h =f (f w)+ (h (f w) ) 2C
általánosított sorozatnak nyilván awtorlódási pontja, vagyisw egy ingyenebéd.
7.4. Az életképesség egy újabb megközelítése
A második fejezetben említettük, hogy általános valószín½uségi mez½o esetén a Kreps-féle életképesség ekvivalens a kiterjesztett árazó funkcionál létezésével. Ebben az alpontban ennek az állításnak egy variánsát mutatjuk be. A Bellini–Frittelli-féle dualitási tételnek egy következménye az alábbi állítás.
92. Tétel. Tetsz½oleges szemimartingál modellben pontosan akkor létezik ekvivalens szeparáló mérték, ha létezik egy P 2 P, egy x 2 R és egy u : R ! R konkáv, monoton növekv½o, felülr½ol nem korlátos hasznossági függvény, melyre teljesül hogy
UP;K(x) = sup
w2K
EP[u(x+w)]<1;
Az ekvivalens szeparálómérték létezésének fenti feltételét Bellini és Frittelli "életkép-ességnek" ("viability") nevezik. Ez a fogalom nem ekvivalens a Kreps [64]-b½ol ismert életképesség fogalommal, viszont érvényes az alábbi ekvivalencia. (Ld.: [7]) 93. Tétel. Tetsz½oleges szemimartingál modellben az alábbi állítások ekvivalensek:
1.) létezik ekvivalens szeparáló mérték, 2.) a piac életképes,
3.) teljesül a NFLVR feltétel.
Az állapotár de‡átor és az egy ár törvénye
A 2.1 alfejezetben megmutatuk, hogy ha teljesül az egy ár törvénye, akkor egyértel-m½uen de…niálható egy a replikálható portfoliók terén értelmezett árazó funkcionál.
Felmerül tehát a kérdés, hogy az egy ár törvénye vajon mennyire megszorító feltételezés, és hogy hogyan viszonyul az arbitrázsmentesség feltételéhez. Ebben a fejezetben el½oször egy konkrét véges dimenziós példa segítségével megmutatjuk, hogy az egy ár törvénye az arbitrázsmentességnél jóval enyhébb feltétel, majd bevezetjük a martingálmértékkel szoros kapcsolatban lév½o (pozitív érték½u) ún. ál-lapotár de‡átor (másnéven: árazó mag) fogalmát, és megadjuk ez utóbbi foga-lomnak, egy a CAPM modellre emlékeztet½o közgazdasági interpretációját. Látni fogjuk, hogy az egy ár törvénye, egy nem feltétlenül pozitív „állapotár de‡átor”
létezésével karakterizálható.
8.1. Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben
Tekintsük ismét a bevezet½o véges dimenziós modelljét. Az értékpapírok második periódusbeli árait tartalmazó mátrixot jelöljük ismét X-szel, az értékpapírok els½o periódusbeli árainak vektorát pedigX(0)-lal, a második periódusbeli árakét X(1)-el, az (X(0); X(1)) sztochasztikus folyamatot pedigX-szel.
94. De…níció. Azt mondjuk, hogy azXmátrix és azX(0) vektor által meghatáro-zott pénzpiacon teljesül az egy ár törvénye, ha bármely két ésbkereskedési straté-gia esetén melyekre X T =XbT, teljesül, hogy X(0) T =X(0)bT.
Tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiacot, ahol a kimenetelek száma három. Tegyük fel, hogy három értékpapír létezik, egy zérus kamatozású koc-kázatmentes kötvény és két kockázatos értékpapír. Legyen az els½o értékpapír els½o periódusbeli ára X1(0) = 4, a másik értékpapíré X2(0) = 7, a kockázatmentes kötvényé pedigX0(0) = 1. Az értékpapírok második periódusbeli árait tartalmazó mátrix (ld.:2.1 alfejezet) pedig legyen
X=
ahol korábbi de…níciónk alapján tehát az egyes oszlopok jelölik az egyes értékpa-pírok különféle kimeneteleknek megfelel½o második periódusbeli árait. Mivel tet-sz½olegesH második periódusbeli véletlen ki…zetés esetén az
0
egyenletrendszer megoldása egyértelm½u, vagyis minden feltételes követeléshez egy-értelm½uen létezik egy kereskedési stratégia ami el½oállítja a követelést, ezért az egy ár törvénye automatikusan teljesül. Ugyanakkor vegyük észre, hogy a
(1;4;7) = (q1; q2; q3)
egyenletrendszernek nincs olyan megoldása melyreq1,q2 ésq3 nemnegatív számok.
Ez pontosan azt jelenti, hogy ebben a modellben nemhogy ekvivalens, de semmi-lyen martingálmérték nem létezik, vagyis az egy ár törvénye valóban lényegesen enyhébb megkötést jelent, mint az arbitrázsmentesség feltétele.
8.2. Állapotár de‡átor és kockázati prémium
Térjünk most rá a második kérdés megválaszolására, vagyis hogy matematikailag hogyan karakterizálhatóak azok a modellek, amelyekben teljesül az egy ár törvénye.
Ehhez szükségünk lesz az ún. állapotár de‡átor fogalmára.
Az egyszer½uség kedvéért térjünk vissza az el½oz½o alfejezet számpéldájához, és tekintsük az (8.1) egyenletrendszert. A(q1; q2; q3) = ( 5=2;9=2; 1)vektor megol-dása az egyeletrendszernek, ami de…niál egyQ mértéket. Jelöljük az egyes kime-netelek valószín½uségeit p1-gyel, p2-vel ésp3-mal, és tekintsük a
Z = 5
valószín½uségi változót. Mivel a (q1; q2; q3) vektor megoldása a (8.1) egyenletrend-szernek, ezért
Fogalmazzuk meg a kapott eredményt kissé általánosabban is. Használjuk is-mét a 2.1 alfejezet jelöléseit. El½oször tételezzünk fel, hogy a valószín½uségi mez½o végesen generált, az id½ohorizont véges és csak diszkrét id½opontokban lehet keres-kedni, továbbá tegyük fel, hogy nem létezik arbitrázs, és legyenQ egy tetsz½oleges martingálmérték, vagyis tételezzük fel, hogy az X diszkontált árfolyamat martin-gál Q szerint. Ekkor a Q mértékhez tartozó s½ur½uség-folyamatnak, vagy állapotár s½ur½uségnek nevezzük aZt =EP dQdP j Ft sztochasztikus folyamatot, ahol dQdP jelöli a Q mérték P-re vonatkozó Radon–Nikodym-féle deriváltját. AZ folyamat nyil-vánvalóan egy martingál P szerint. Megmutatjuk, hogy ekkor
EP[XtZt j Ft 1] =Xt 1Zt 1; (8.2) vagyis az XtZt folyamat martingál P szerint. El½oször is a Zt de…níciója és az ún.
torony-szabály alapján (8.2) sor bal oldala az
EP[XtZt j Ft 1] = EP XtEP dQ
dP j Ft j Ft 1 = EP EP XtdQ
dP j Ft j Ft 1 = EP XtdQ dP j Ft 1
alakba írható. A jobboldal pedig szintén Zt de…níciója alapján Xt 1Zt 1 =EP Xt 1dQ
dP j Ft 1 alakú. Elegend½o tehát azt belátni, hogy
EP XtdQ
dP j Ft 1 =EP Xt 1dQ
dP j Ft 1 : (8.3)
Vegyünk egy tetsz½oleges A2 Ft 1 halmazt. Mivel X martingál Q szerint, ezért Z
A
XtdQ= Z
A
Xt 1dQ;
vagyis Z
A
XtdQ dPdP=
Z
A
Xt 1dQ dPdP:
Mivel ez mindenA2 Ft 1 halmazra teljesül, ezért a feltételes várhatóérték de…ní-ciójából következik (8.3), és ezzel beláttuk, hogy azXZ folyamat valóban martin-gálP szerint.
Az állítás kiterjeszthet½o tetsz½oleges lokálisan korlátos szemimartingál model-lekre is. El½oször azonban vezessük be az állapotár de‡átor fogalmát.
95. De…níció. Legyen X valamely pénzpiac diszkontált árfolyamatát leíró, lokáli-san korlátos szemimartingál. Ekkor egy Z pozitív szemimartingált állapotár de‡á-tornak nevezünk, ha az XZ folyamatP-martingál.
Belátható, hogy lokálisan korlátos szemimartingál modellekre teljesül az alábbi állítás (ld.: [49] vagy [35]).
96. Tétel. Legyen X, valamely pénzpiac diszkontált árfolyamatát leíró lokálisan korlátos szemimartingál. Ekkor azXfolyamathoz pontosan akkor létezik ekvivalens martingálmérték, ha létezik hozzá állapotár de‡átor.
A fentek alapján megállapíthatjuk, hogy az állapotár de‡átor valójában nem más, mint az árazófunkcionál egy újabb reprezentációja, ezért az állapotár de‡átort szokásárazó magnak („pricing kernel”) is nevezni.
Az állapotár de‡átor fogalmának közgazdasági interpretációjához térjünk visz-sza ismét a véges dimenziós kétperiódusos modellhez. Jelöljük azn-edik értékpapír
hozamát Rn-nel, vagyis legyen
Rn = Xn(1) Xn(0) Xn(0) ;
és legyenR0 =rdeterminisztikus. Megmutatható hogy ekkor azn-edik értékpapír EP[Rn] r kockázati prémiuma és aZ állapotár de‡átor között fennáll az
EP[Rn] r = cov(Rn; Z(1)) összefüggés (ld.: pl. [80], 1.6.).
A következ½o alfejezetben megmutatjuk, hogy az állapotár de‡átor fogalmának megfelel½o általánosítása alkalmas az egy ár törvényének matematikai karakterizá-ciójára.
8.3. Az egy ár törvényének karakterizációja
Ebben az alfejezetben kimondjuk az egy ár törvényét karakterizáló állítást. Tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o általános, az id½ohorizont véges és az id½oparaméter diszkrét. El½oször is de…niáljuk az egy ár törvényét erre az általános modellre.
Tegyük fel, tehát hogy a diszkontált árfolyamatot ezúttal egy (Xt)t T diszkrét, d-dimenziós folyamat írja le.
97. De…níció. Azt mondjuk hogy az X diszkontált árfolyamat által meghatáro-zott pénzpiacon teljesül az egy ár törvénye, ha tetsz½oleges H és H0 el½orejelezhet½o kereskedési stratégiák valamint és 0 valós számok esetén, melyekre
+ XT
s=1
XN j=1
Hj(s)(Xj(s) Xj(s 1)) = 0+ XT s=1
XN j=1
Hj0(s)(Xj(s) Xj(s 1))
teljesül, hogy = 0.
Ekkor teljesül a következ½o állítás (ld.:[14]):
98. Tétel. A fenti pénzpiacon pontosan akkor teljesül az egy ár törvénye, ha létezik egy Zt folyamat, melyre
a) Zt korlátos martingál, b) E[Zt] = 1,
c) Z0 >0,
d) az XZ folyamat martingál.
Vegyük tehát észre, hogy míg az arbitrázsmentesség teljesülése esetén az ál-lapotár de‡átor szigorúan pozitív volt, abban az esetben ha csak az egy ár törvényét követeljük meg, nemhogy pozitív de egy nemnegatív „állapotár de‡átor” sem létezik. Az egyetlen amit biztosít, hogy létezik egyfajta „általánosított állapotár de‡átor”, mely felvehet negatív és pozitív értékeket is.
Összegzés
Az értekezés els½o felében áttekintettük az arbitrázs fogalmának és az eszközárazás alaptételének legfontosabb alakjait, a modern arbitrázselmélet közgazdasági és matematikai el½ozményeit, és megpróbáltuk feltárni az arbitrázselméletnek a szten-derd közgazdasági elméletekkel való kapcsolódási pontjait, valamint a konvex hal-mazok szeparációs tételeinek szerepét. A Radner-egyensúly fogalmának felhaszná-lásával megmutattuk, hogy véges dimenziós esetben a martingálmérték pontosan azt mutatja meg, hogy egy pótlólagos egységnyi Arrow–Debreu értékpapír hány-szoros haszonnövekményt eredményez az egy pótlólagos egységnyi els½o periódusbeli biztos vagyonnövekedés haszonnövekményéhez képest. Megtapasztalhattuk, hogy a végtelen dimenziós jószágtér feltételezése egyrészt megsokszorozza a felhasznált matematikai apparátust, valamint hogy a funkcionálanalízis klasszikus szepará-ciós tételei ebben az esetben nem alkalmazhatóak. Láttuk, hogy csakúgy mint a végtelen dimenziós általános egyensúlyelmélet legfontosabb alkalmazásaiban a jószágtér, az arbitrázselmélet releváns modelljeiben a feltételes követelések tere az L1tér, ugyanakkor mindkét elméletben elengedhetetlen, hogy az árrendszer –ese-tünkben a martingálmérték – az L1 topológiai duálisánál sz½ukebb L1 halmazba essen. Miután a Frittelli-féle U szerinti nincs ingyenebéd fogalma segítségével a klasszikus arbitrázsmentességi fogalmak a preferenciák segítségével karakteri-zálhatóak, ezért megállapíthatjuk, hogy mind az általános egyensúlyelméletben, mind pedig az arbitrázselméletben az árfunkcionál L1-belisége a preferenciákra vonatkozó megkötésekkel biztosítható.
Ezután részletesen ismertettük a szemimartingálokra vonatkozó elméletet. Meg-mutattuk, hogy a pénzügyi eszközök árazásának alaptétele, igen magas szint½u
matematikai apparátus felhasználásával, kiterjeszthet½o szemimartingál modellekre is.
Megmutattuk, hogy az alaptételhez szorosan kapcsolódik a portfólió optima-lizálás dualitáselmélete, ugyanis az eredeti haszonmaximalizációs probléma ekvi-valens egy a martingálmértékek halmazán való minimalizálással, ami a gyakorlati alkalmazásokban a matematikai optimalizálás dualitási technikáinak felhasználásá-val oldható meg. Ugyanakkor, az említett dualitási technikák lehet½ové teszik az alaptétel egy igen érdekes variánsának bizonyítását, vagyis áttérve a Frittelli-féleU -szerinti nincs ingyenebéd fogalomra, az alaptétel jóval egyszer½ubben bizonyítható.
Az alábbiakban az arbitrázsmentességi fogalmak karakterizációjának segítségé-vel összevetjük a Delbaen–Schachermayer-féle és a Frittelli-féle alaptételt, valamint egy érdekes interpretációját adjuk a Delbaen–Schachermayer-féle alaptételnek.
Tudjuk, hogy a Kreps–Yan-tétel alapján egy lokálisan korlátos szemimartin-gálra a NFL feltétel biztosítja az ekvivalens lokális martingálmérték létezését.
Mivel az L1 tér topológiája …nomabb mint a NFL fogalomban szerepl½o gyenge csillag topológia, vagyis a C halmaz sz½ukebb mint a C halmaz ezért a NFLVR feltétel jóval enyhébb mint a NFL feltétel. Ennélfogva az említett könny½u interp-retálhatóság mellett a Delbaen–Schachermayer-féle bizonyítás egy fontos érdeme az, hogy az ekvivalens lokális martingálmérték létezését egy igen enyhe felté-tel mellett biztosítja. Az arbitrázsfogalmak karakterizációja alapján ez úgy is fogalmazható, hogy a Delbaen–Schachermayer-tétel esetében az implicit módon feltételezett hasznosságfüggvény-osztály b½ovebb mint a Frittelli-tételben feltétele-zett függvényosztály, vagyis U1 U2, ezért az U1 szerinti ingyenebédek halmaza sz½ukebb, mint az U2 szerinti ingyenebédek halmaza, ennélfogva az el½obbi állítás matematikailag mélyebb. A NFL fogalmának Klein-féle karakterizációja alapján továbbá megállapítható, hogy a Frittelli alaptétel tulajdonképpen a Kreps–Yan-tételhez hasonló mélység½u állítás, és a két állítás ekvivalenciája Orlicz-tér módsze-rekkel egyszer½uen bizonyítható.
Mivel a NFLVR feltétel teljesülése esetén, a C kúp gyenge csillag zárt1, és így a NFL is automatikusan teljesül, vagyis az U1 szerinti nincs ingyenebéd feltevés-b½ol következik az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltevése, ezért a martingálmérték létezésének Frittelli-féle bizonyításában a hasznosságfüggvények konkavitásának feltevése valójában semmilyen megszorítást nem jelent. Ennek az igen érdekes közgazdasági tartalmú állításnak a bizonyítása azonban –mivel a C-kúp speciális
1Ez a Delbaen–Schachermayer-féle bizonyítás érdemi lépése.
szerkezetén alapul –úgy t½unik, a sztochasztikus folyamatok általános elméletének felhasználása nélkül nem lehetséges.
További kutatási lehet½oségek
Mint már korábban említettük, az értekezés témájával szoros kapcsolatban van a pénzügyi eszközök árazásának második alaptétele, vagyis a teljesség problémája, melynek kiterjedt irodalma létezik (ld. pl. [21], [11] és [12]). Ennek tanulmányo-zása egy lehetséges jöv½obeli kutatási feladat.
A szemimartingáloknak egy az alkalmazások szempontjából igenfontos osztá-lyát alkotják az ún. Lévy-folyamatok. Mint azt a bevezetésben már említettük, az eszközárazás elmélete a Wiener-folyamatokon alapuló modellekre meglehet½osen kidolgozott, és a témával mára már számos tankönyv foglalkozik, ugyanakkor mindezidáig kevésbé feldolgozott terület a pénzpiacok Lévy-folyamatokon alapuló megközelítése. Empírikus kutatások alátámasztják, hogy a Lévy-folyamatok a pénzpiacoknak egy jóval valóságh½ubb leírását adják mint a Wiener-folyamaton alapuló megközelítés, ezért gyakorlati szempontból igen nagy jelent½oség½u ezen mo-dellek vizsgálata.
Tárgyalásunkban mindvégig feltételeztük, hogy a piacok súrlódásmentesek, vagyis a kereskedésnek nincsenek tranzakciós költségei. Az utóbbi évtized ku-tatásainak egy igen fontos eredménye, hogy bizonyos modellek esetén ezen feltétel feloldható, és az alaptétel kiterjeszthet½o a súrlódásos modellek bizonyos osztá-lyaira (diszkrét modellekre ld.: [58] és [90], folytonos folyamatokra ld.: [42]). Egy további lehetséges jöv½obeni kutatási feladat ezen súrlódásos modellek vizsgálata, és a meglév½o eredmények szemimartingál modellekre való kiterjesztése.
Végül, de nem utolsó sorban egy igen érdekes és sokatígér½o kapcsolódó ku-tatási terület a pénzpiacok gauge-elméleti megközelítése, ami azon alapul, hogy az arbitrázsmentességnek létezik egy di¤erenciálgeometriai eszközöket használó karakterizációja. Ezen megközelítés, bár nem új (ld.: [50]), igen kevéssé kutatott,
aminek oka többek között a megközelítés újszer½uségében és a közgazdaságtanban még szokatlan matematikai apparátusban keresend½o. A gauge-elméletet a kvan-tummechanikában és a kozmológiában már a nyolcvanas évek óta használják. A terület felhasználja a di¤erenciálgeometriának, az algebrai topológia homotópia-elméletének és az absztrakt algebra, ezen belül a Lie csoportok és Lie-algebrák elméletének egyes fejezeteit. Ennek az elméletnek a tanulmányozása nem csak az eszközárazás szempontjából lenne érdekes, de a közgazdaságtan más területein való alkalmazhatósága szempontjából is. Annak ellenére, hogy számos kutató a közgazdaságtan megújulását várja a gauge-elmélett½ol, jelenleg a közgazdaságtan-ban tudomásunk szerint csak az arbitrázselméletben (ld.: [50], [96], [36] és [35]) és az indexszámítás preferenciákon alapuló megközelítésében (ld.: [70]) használják, így igen ígéretes kutatási területnek tekintem az arbitrázselmélet gauge-elméleti megközelítését.
témájához kapcsolódó publikációi
1. Szemimartingálok elmélete és a pénzügyi eszközök árazásának alaptétele, I.
Országos Gazdaság és Pénzügyi Matematikai PhD Konferencia kiadványa, 2008, Budapest
2. On the General Mathematical Theory of Asset Pricing: Duality in Finance and the Fundamental Theorem of Asset Pricing, (coauthor: Medvegyev Péter), 16th International Conference on Mathematical Methods in Economy and Industry, 2009, (Joint Czech-German-Slovak Conference, Ceské Bude-jovice)
3. A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén, Szigma, 2009/ 3–4., (társszerz½o: Medvegyev Péter) 4. Topológikus vektorterek az arbitrázselméletben, Szemináriumi el½oadás, A
Pannon Egyetem Matematika Tanszékének és a VEAB Matematikai és Fizikai Szakbizottsága Matematikai Analízis és Alkalmazási Munkabizottságának szervezésében, 2010 március
[1] Ansel, J.P. –Stricker,C.: Converture des actifs contingents et prix maximum, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 30 (1994), 303–315.
[2] Arrow, K.: The role of securities in the optimal allocation of risk Rev. Econom.
Stud. 31 (1964), 91–96.
[3] Arrow, K.: Essays in The Theory of Risk Bearing. London: Nort-Holland, 1970.
[4] Bajeux-Besnainou, I. – Portrait, R.: The Numeraire Porfolio: A New Per-spective on Financial Theory, The European Journal of Finance, 3 (1997), 291–309.
[5] Badics T. – Medvegyev P.: A Pénzügyi eszközök árazásának alaptétele lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén, Szigma, 2009/3.4.
[6] Bazara, M. S.–Sherali, H. D.–Shetty, C. M.: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993
[7] Bellini, F. –Frittelli, M.: On the Existence of Minimax Martingale Measures, Math. Finance, 12/1 (2002), 1–21.
[8] Bewley, T.: Existence of Equilibria in Economies with In…nitely Many Com-modities, Journal of Economic Theory, 4 (1972), 514–540.
[9] Bingham, N. H. – Kiesel, R.: Risk-Neutral Valuation, Springer-Verlag, Lon-don, 1998
[10] Black, F. – Scholes, M.: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economics, 81 (1973), 637–654.
[11] Cherny, A.S.: Vector Stochastic Integral in the First Fundamental Theorem of Asset Pricing, Proceedings of the Workshop on Mathematical Finance, INRIA, (1998), 149–163.
[12] Cherny, A.S. – Shiryaev, A. N.: Vector Stochastic Integral and the First Fundamental Theorem of Asset Pricing, Proceedings of Steklov Mathematical Institute Seminar, 237 (2002), 12–56.
[13] Conze, A. –Vishwanathan, R.: Probability Measues and Numeraire, CERE-MADE, Université de Paris, 1991
[14] Courtault, J-M. –Delbaen, F. –Kabanov, Yu. M. –Stricker, C.: On the Law of One Price, Finance and Stochastic 8 (2004), 4, 525–530.
[15] Cox, J. C. –Huang, C. F.: Optimal Consumption and Portfolio Policies when Asset Prices Follow Di¤usion Processes, J. Econ. Th. 49 (1989), 33–83.
[16] Cox, J. C. – Ross, S. – Rubinstein, M.: Option Pricing: A Simpli…ed Ap-proach, Journal of Financial Economics, 3 (1979), 145-166.
[17] Debreu, G.: Uné Économie de l’Incertain. Working paper, Electricité de France, 1953
[18] Debreu, G.: Theory of Value, Wiley, New York, 1959
[19] Dalang, R. C. –Morton, A. –Willinger, W.: Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market model. Stochastics Stochastics Rep., 29 (1990), 185–201.
[20] Dana, R. A. – Jeanblanc, M.: Financial Markets in Continuous Time, Springer-Verlag, Berlin, 2007
[21] Delbaen, F. – Schachermayer, W.: A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Math. Ann., 300 (1994), 463–520.
[22] Delbaen, F. – Schachermayer, W.: The No-Arbitrage Property under a Change of Numéraire, Stochastic and Stochastic Reports, 53 (1995) 213–226.
[23] Delbaen, F. –Schachermayer, W.: The Fundamental Theorem of Asset Pric-ing, for Unbounded Stochastic Processes, Math. Ann., 312 (1998), 215–260.