Ármérce invariancia

Csakúgy mint a diszkrét modellben, a folytonos id½ohorizont esetén is szeretnénk elvégezni a diszkontálást, aminek a mi szempontunkból a legfontosabb oka, hogy a diszkrét esethez hasonló módon szeretnénk megszabadulni az ön…nanszírozóság feltételének explicit szerepeltetését½ol. Ennek érdekében a folytonos esetben is be kell látnunk, hogy egy az eredeti árfolyamokra nézve ön…nanszírozó stratégia a diszkontálás elvégzése után is ön…nanszírozó marad, vagyis teljesül az ármérce invariancia.

A diszkrét esetben a kockázatmentes bankszámlapénzt tekintettük ármércének.

Szeretnénk azonban hangsúlyozni, hogy a diszkontálást tetsz½oleges portfolió vagy nem kereskedett értékpapír hozama szerint is el lehet végezni. Az ármérce in-varianciának ez az általános megfogalmazása és bizonyítása tudomásunk szerint Du¢ e [29] nevéhez köthet½o, aki az állítást Itô-folyamatokra bizonyítja. Folytonos szemimartingálokra N. El Karoui, H. Geman és J. C. Rochet [32] bizonyítják, a tétel nem feltétlenül folytonos szemimartingál modellekre vonatkozó alakja meg-található Shiryaev [92]-ban arra az esetre, amikor az ármérce folyamat korlátos változású és el½orejelezhet½o, végül általános szemimartingál ármérce esetére ld.: F.

Jamshidian [53].

Az ekvivalens martingálmérték természetesen tetsz½oleges pozitív szemimar-tingál ármérce esetén létezik, de az függ a választott ármérce folyamattól, s½ot, Conze és Viswanathan [13] bebizonyítják hogy tetsz½oleges P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték esetén létezik egy kereskedési stratégia, hogy a hozzá tar-tozó értékfolyamat szerint diszkontált árfolyamat a Q mérték szerint martingál.

Sztochasztikus kamatlábmodelleknél az ármérce portfolió, ezáltal az ekvivalens martingálmérték megválasztása, már nem egyértelm½u, ilyenkor az ármérce megvá-lasztása függhet a konkrét beárazandó követelést½ol. Ezen az elven alapul az es-zközárazás ún. ármérce-csere módszere. Az ármérce-csere módszer egy áttekin-tésér½ol [4]-ben olvashatunk, az ármérce invariancia alábbi, általános szemimartin-gálokra vonatkozó kifejtése F. Jamshidian [53] írásán alapul.

El½oször tegyük fel, hogyXpozitívN+1dimenziós szemimartingál, és képezzük az X = (X₀; :::; X_N) diszkontált folyamatot, ahol X_j = X_jX₀¹. Az Itô-formula

egy következménye hogy X₀¹ folyamat szintén szemimartingál. Legyen V^H =

Xd j=0

H_jX_j =V^HX₀¹ (3.11)

a diszkontált értékfolyamat. Azt akarjuk belátni, hogy ha valamelyHstratégia X-re nézve ön…nanszírozó, akkor aH stratégiaX -ra nézve is ön…nanszírozó marad, vagyis teljesül a

V^H (t) =V^H (0) + Xd

j=0

H_j X_j(t) (3.12)

egyenl½oség. A parciális integrálás formulája szerint tetsz½olegesj-re X_j(t) X_j(0) =

asszociativitási szabály felhasználásával ez utóbbi a

V^H (t) V^H (0) = (3.15)

alakba írható. A fenti egyenl½oség jobb oldalának középs½o tagjában használjuk fel, hogyV^H(s ) = Pd

j=0H_j(s)X_j(s ). Vegyük észre, hogy itt is ki kell használnunk az ön…nanszírozóságot, ugyanis V^H (3.9)-beli de…níciójából nem következik, hogy

V^H = Pd

j=0Hj Xj, ugyanis a Hj folyamatoknak is lehetnek ugrásai, azonban az ön…nanszírozóság feltétele miatt a V^H ugrásai teljes mértékben az árfolyam ugrásaiból származnak. Az ön…nanszírozóság (3.10)-beli de…níciója alapján

ugya-nis

alakba írható. Vegyük észre, hogy it a zárójelen belül éppen a H_j folyamat X_j szerinti integrálja áll (ld. (3.13) sor), vagyis teljesül, hogy

V^H (t) V^H (0) =

és ezzel bizonyítottuk hogy a valóban teljesül a (3.12) azonosság, tehát aH straté-gia a diszkontált értékfolyamat szerint is ön…nanszírozó marad. Természetesen itt is igaz, hogy az X₀ folyamat a konstans 1 folyamat, ezért (3.17) kifejezésben az összegzést elegend½oj = 1-t½ol kezdve elvégezni.

Els½o megközelítésben megpróbálhatnánk a diszkrét eset analógiájára úgy de…ni-álni az arbitrázslehet½oséget, hogy az egy olyanH = (H₀; :::; H_d)zérus kezd½ovagyon-nal megvalósítható, el½orejelezhet½oX szerint integrálható ön…nanszírozó stratégia, melyreV^H(T) 0, ésE(V^H(T))>0. Utóbbi két egyenl½otlenség (3.11) sor alapján pontosan akkor teljesül, ha a(H0; :::; Hd)-ból aH0 koordináta elhagyásával kapott (H₁; :::; H_d) stratégiára V^H (T) 0, és E(V^H (T)) > 0, ez pedig (3.17) alapján pontosan azt jelenti, hogy létezik egy olyan el½orejelezhet½o (H₁; :::; H_d) stratégia, melyre Pd kaptuk, hogy az ármérceinvariancia segítségével az arbitrázslehet½oség az ön…nan-szírozóságra való hivatkozás nélkül is de…niálható, hiszen mint láttuk, a diszkontált nyereményfolyamat nem függ a H₀ folyamattól, de a H₀ folyamatot (H₁; :::; H_d) és az ön…nanszírozóság feltétele egyértelm½uen meghatározza. Sajnos látni fogjuk, hogy a folytonos idej½u pénzpiacok esetén ez az arbitrázsde…níció nem kielégít½o, mert az ún. duplázási stratégiák léte miatt (ld.: 4. fejezet.) a legtöbb

közgaz-daságtanilag releváns folytonosidej½u modellben a fenti értelemben létezik arbitrázs, ezért csak azokat a stratégiákat engedjük meg, amelyek korlátos er½oforrásokra támaszkodnak. Tovább bonyolítja a problémát, hogy az íly módon szóbajöv½o arbitrázslehet½oségek kizárása általános esetben nem biztosítja martingálmérték létezését, ezért a fenti arbitrázsde…níciónk további …nomításra szorul.

Alaptétel szemimartingál modellben

Ebben a fejezetben [21] alapján teljes bizonyítását közöljük az alaptétel lokálisan korlátos szemimartingálokra vonatkozó alakjának. Az alaptétel véges számú id½o-pontból álló, illetve folytonos id½ohorizonton való igazolása nagyon különböz½o. A folytonos id½ohorizontra való igazolás, miként látni fogjuk, igen hosszadalmas és igen „technikás”. A bizonyítás a funkcionálanalízis valamint a sztochasztikus folyamatok –P. A. Meyer és a strassbourgi-iskola matematikusai által a 60-as évek végét½ol kezdve kidolgozott – általános elméletének mély eredményeit használja.

A két id½ohorizont tárgyalása közötti eltérés els½osorban abból adódik, hogy véges számú id½opontból álló id½ohorizonton a sztochasztikus integrál egy közönséges véges összeg, folytonos id½ohorizonton azonban egy igen bonyolult és nem túlzottan köny-nyen kezelhet½o matematikai konstrukció.

Az el½oz½o fejezetben beláttuk hogy a tetsz½oleges szemimartingál modellben elvé-gezhet½o bármely pozitív ármérce-folyamat szerint a diszkontálás, és teljesül az ármérce invariancia. Ennek megfelel½oen a továbbiakban már csak a diszkontált eszközár-folyamatra fogunk hivatkozni, amit az egyszer½uség kedvéértS-sel fogunk jelölni. A továbbiakban S legyen egy rögzített szemimartingál. Miként ismert, a sztochasztikus integrálhatóság „minimál feltétele”, hogy az integrandus el½ore-jelezhet½o legyen. Az alábbiakban ezt minden további említés nélkül automatiku-san feltételezzük. A véges számú id½opontból álló id½ohorizont és a végtelen számú id½opontból álló id½ohorizont közötti eltérés egyik oka, hogy végtelen számú lehet-séges id½opont esetén általában lehet „duplázni”. A duplázási stratégia azt a közis-mert eljárást jelenti, hogy fej-vagy írás játékot játszva veszteség esetén minden

lépésben megduplázzuk a feltett összeget. Mivel egy valószín½uséggel el½obb vagy utóbb nyerünk, a nyeremény nettó összege egy valószín½uséggel egy egység lesz. A példa lényege, hogy bizonyos esetekben egy játékot végtelenszer játszva és korlát-lan er½oforrásokra támaszkodva biztos nyereményhez lehet jutni. Mivel az alka-lmazásokban erre valójában nincsen mód, ezt ki kell a modellb½ol zárni. (A prob-lémára els½okén Harrison és Pliska [44] hívta fel a …gyelmet.) Ezt a végtelen számú megengedett id½opontból származó nyilvánvaló arbitrázs lehet½oséget a lehetséges portfóliók alulról való korlátosságával zárhatjuk ki:

27. De…níció. ValamelyS-integrálhatóHfolyamatotu-megengedettnek nevezünk, ha minden t 0-ra(H S)_t u. ValamelyH folyamatot megengedettnek mon-dunk, ha létezik egy u valós szám, amelyre aH folyamatu-megengedett.

Hangsúlyozni kell hogy az alulról való korlátosságból nem következik a felülr½ol való korlátosság, így az alulról való korlátosság feltételezésének fontos következménye, hogy a lehetséges portfóliók nem feltétlenül alkotnak lineáris teret, csak konvex kúpot. De…niáljuk a K₀ konvex kúpot a következ½oképpen¹:

K₀ $f(H S)₁:H megengedett folyamat és a határérték létezik és végesg: A kés½obbiek során be fogjuk látni, hogy amennyiben az alább ismertetett „arbit-rázsmentesség” feltétele teljesül, akkor a (H S)₁ változó minden megengedett stratégia esetén értelmes és véges². Ezt tudva

K0 =f(H S)₁:H megengedett folyamatg:

Most, a tárgyalás kezdetén, azonban evvel a feltételezéssel még nem élhetünk.

A véges id½ohorizonton való arbitrázs elméletb½ol ismert, hogy a lehetséges szár-maztatott termékek halmazáról fel kell tenni, hogy az teljesíti a díjtalan lomta-lanítás megkötését. Ez így van a folytonos id½oparaméter esetében is. JelöljükC₀-al a K₀-beli elemekkel dominálható függvények kúpját, azaz legyen C₀ $ K₀ L⁰₊: Folytonos id½oparaméter esetén az ekvivalens mértéket megadó Radon–Nikodym deriváltról, már a legegyszer½ubb esetben is³ csak annyi tudható, hogy eleme azL¹

1A nulla alsó index arra utal, hogy aK₀ halmaz azL⁰térben van. AzL⁰tér a valószín½uségi változók tere a sztochasztikus konvergenciával mint metrikával. Amennyiben valamely halmaz-nak nincsen alsó indexe, akkor a halmaz általában azL¹térben van.

2V.ö.: 43. állítás.

3Vagyis a klasszikus Black–Scholes modellben is.

térnek. Ez a folytonos és a véges számosságú id½oparaméter közötti eltérés egyik fontos eleme⁴. Mivel az ekvivalens mértékcserét biztosító Radon–Nikodym derivál-tat ismét szeparációval akarjuk meghatározni, és a szeparáló hipersík normálisát az L¹ térben keressük, ezért a „primál teret”, ezért a „lehetséges” származtatott termékek halmazát le kell sz½ukíteni azL¹ térre, vagyis legyenC $C₀\L¹:

Vegyük észre, hogy eddigi de…nícióink alapján a diszkrét és a folytonos idej½u modellek közötti alapvet½o különbség nem abban van, hogy az árfolyamatot egy folytonos id½oparaméter½u avagy diszkrét folyamat írja le, hanem az, hogy a folytonos modellekben megengedjük hogy a befektet½ok minden id½opillanatban kereskedjenek.

A sztochasztikus integrál esetében ugyanis, csakúgy mint a közönséges Stieltjes-integrál esetében, egy intervallumon konstans folyamat Stieltjes-integrálja nem függ az integrátor intervallumon belüli értékeit½ol, ezért egy olyan folytonos árfolyamat-tal megadott modell, melyben csak a diszkrét id½opillanatokban való kereskedést engedjük meg, egy diszkrét idej½u modellre redukálódik. A folytonos kereskedés megengedése ezek szerint kib½ovíti a replikálható követelések körét. Ahogy már ko-rábban utaltunk rá, ebben az általános esetben a szeparációhoz biztosítanunk kell az elválasztandó halmazok zártságát, ezért az arbitrázsmentesség korábbi algeb-rai fogalmát egy – a nincs ingyenebédhez hasonló – er½osebb, topológiai fogalom-mal kell helyettesítenünk, ami kikényszeríti a szeparációhoz szükséges zártságot.

Ezúttal azonban a gyenge topológia helyett az L¹ norma által meghatározott topológiát fogjuk használni. Jelöljük tehát C-sal a C kúp L¹ normája szerinti lezártját. Ezekkel a jelölésekkel de…niáljuk a Delbaen–Schachermayer-féle „arbit-rázsmentesség” fogalmat.

28. De…níció (NFLVR). Azt mondjuk, hogy az S szemimartingál eleget tesz a NFLVR feltételnek⁵, ha C\L¹₊ =f0g:

A fogalom közgazdasági interpretációja a következ½o. Haf₀ 6= 0függvény eleme aC\L¹₊ halmaznak, akkor létezik egy(fn)n 1 C-beli sorozat, amelyL¹normája szerint konvergál f₀-hoz. Mivel f₀ 2 L¹₊, ez azt jelenti, hogy minden k 2 N -re létezik egy n_k index, hogy f_nk > ¹_k. Az f_n-ek által reprezentált ki…zetések

4Ugyanis véges számosságú lehetséges id½opont esetén a szeparációval kapott derivált L¹-be esett, így ott a duális tér volt azL¹; következésképpen a „primális” tér volt az L¹ tér. Most azonban a „duális” tér, vagyis az a tér ahol a szeparáló hipersíkok „normálisai” vannak lesz az L¹ tér. Mivel az L¹ nem természetes duálisa semmilyen térnek, ezért az alábbiakban egy sor technikai nehézség fog fellépni.

5A „no free lunch with vanishing risk” kifejezés rövidítése.

elérhet½oek olyan módon, hogy valamely H kereskedési stratégiát követünk, és az ehhez tartozó(H S)₁ ki…zetésb½ol kivonunk egyL⁰₊-beli változót –ezen a ponton egyfajta "díjmentes lomtalanítási" feltevéssel élünk –továbbálimf_n=f₀ miatt az f₀ által reprezentált pozitív mérték½u halmazon való pozitív nyereség tetsz½olegesen pontossággal megközelíthet½o, miközben a kockázat mértéke – vagyis a különböz½o kimenetelekhez tartozó lehetséges veszteségek maximuma – tetsz½olegesen kicsivé tehet½o.

A „no free lunch with vanishing risk”kifejezés egy lehetséges magyar fordítása a következ½o: elhalványuló kockázat nélkül nincsen ingyen ebéd⁶. Természetesen ebben az általános esetben is de…niálható az arbitrázsmentesség fogalma is, ami alatt aC₀\L⁰₊ =f0greláció teljesülését szokás érteni. Az els½o fejezetben említett nincsen ingyen ebéd megkötés fogalma annyiban különbözik az elhalványuló kocká-zat nélküli ingyenebédt½ol, hogy a fenti lezárást azL¹tér gyenge* topológiájában és nem a norma szerinti topológiában kell venni. Hangsúlyozni kell, hogy a Delbaen–

Schachermayer elmélet lényege éppen az, hogy a jóval kisebb, norma szerinti lezár-tat veszik a szerz½ok. Így a megkötés jóval enyhébb, ugyanis egy sz½ukebb halmaztól követelik meg, hogy csak a nullában metszheti azL¹₊ térnegyedet⁷.

A dolgozatban a következ½o állítás igazolását fogjuk bemutatni:

29. Tétel (Pénzügyi eszközök árazásának alaptétele). Legyen S egy korlá-tos valós érték½u, valamely P valószín½uségi mérték szerinti szemimartingál. Pon-tosan akkor létezik aP-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, amelyre nézve az S martingál, ha az S eleget tesz a NFLVR feltételnek.

Az alaptétel elégségességének bizonyítása: Tegyük fel, hogy azS folyamat a Q ekvivalens valószín½uségi mérték szerint lokális martingál. Legyen H egy tet-sz½oleges, a P valószín½uségi mérték szerint megengedett integrandus. Ekkor a H S integrál a Q szerint is létezik, és a két integrál megkülönböztethetetlen⁸.

6Vagy esetleg elhalványuló kockázat nélkül nincsen üzlet. Hogy miért halványul el a kockázat, az kés½obb ki fog derülni. V.ö.: 36. lemma.

7Az alaptétel érdemi része a martingálmérték létezését garantáló irány igazolása. Ennek megfelel½oen minél enyhébb feltételek között létezik a martingálmérték, annál er½osebb a tétel.

Mint korábban láttuk, a Kreps–Yan tételb½ol egyszer½uen következik, hogy ha valamely lokálisan korlátos szemimartingálra „nincsen ingyenebéd” akkor a szemimartingálhoz létezik ekvivalens lokális martingál mérték. A f½o nehézség, illetve ennek következtében az igazoláshoz szükséges matematikai bravúr, tehát abban van, hogy egy igen enyhe kritérium teljesülése esetén akarjuk a lokális martingálmérték létezését indokolni.

8Lásd.: [75]: Proposition 4.59. A két mérték ekvivalens, így mind a két mérték szerint megkülönböztethetetlenek.

Érdemes hangsúlyozni, hogy az integrál a Qalatt is csak szemimartingál értelem-ben létezik, bár az S a Q alatt lokális martingál. Természetesen a H folyamat a Q szerint is megengedett. Az alább ismertetett Ansel–Stricker tétel⁹ alapján a H S az alulról való korlátosság miatt szupermartingál¹⁰. Ezért tetsz½oleges t-re E_Q((H S)_t) E_Q((H S)₀) = 0: A nem negatív szupermartingálok¹¹ konver-gencia tétele miatt a(H S)₁érték létezik. Ugyancsak az alulról való korlátosság miatt alkalmazható a Fatou-lemma, ami alapján

E_Q((H S)₁) = E_Q lim

t (H S)_t lim inf

t E_Q((H S)_t) 0:

Mivel ez minden megengedett H integrandusra igaz, ezért minden f 2 C₀ esetén E_Q(f) 0. Vagyis C₀ \ L⁰₊ = f0g: Meg kell még nézni, hogy mi történik a lezárással. Legyen most g 2 C\L¹₊. Ekkor létezik C-beli (g_n) sorozat, amelyre g_n ^L!¹ g: Az L¹ konvergenciából következik a várható értékek konvergenciája¹², így E_Q(g) 0. Ebb½ol a g 0 miatt majdnem mindenhol értelemben g = 0;

vagyisC\L¹₊ =f0gaQ mérték esetén. Mivel a két mérték szerinti nullhalmazok megegyeznek, ezért aN F LV R az eredeti P mérték szerint is teljesül.

A nehézség az állítás megfordításának igazolásban rejlik. A technikai problémákat a következ½o állításban foglaljuk össze:

30. Tétel. Az alaptétel feltételeinek teljesülése esetén a C kúp (L¹; L¹)-zárt része az L¹ térnek.

Az alaptétel szükségességének bizonyítása: Tegyük fel, hogy az S folyamat eleget tesz aN F LV Rfeltételnek. Ekkor még inkább aC\L¹₊ =f0gis teljesül és L¹ C:Tegyük fel, hogy beláttuk¹³ az el½orehozott állítást. Ekkor aC de…níciója miatt teljesülnek a Kreps–Yan tétel feltételei (ld.: 8 tétel), Így létezik egy a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, hogy minden f 2 C esetén, E_Q(f) 0:

9V.ö.: 17. tétel. Az Ansel–Stricker tétel azt állítja, hogy az alulról való korlátosság miatt a sztochasztikus integrál lokális martingál. Erre azért kell hivatkozni, mert H S integrál csak szemimartingál értelemben létezik, így nem lesz automatikusan lokális martingál.

10Ld.: [75]: Proposition 1.141.

11Emlékeztetünk, hogy egyHstratégia de…níció szerint akkor megengedett, ha a sztochasztikus integrál alulról korlátos.

12Ugyanis a mérték véges.

13Természetesen miként látni fogjuk éppen ez a bizonyítás érdemi része!!!!

Legyenek s < t tetsz½oleges id½opontok. Mivel az S korlátos¹⁴, ezért tetsz½oleges valós számra és B 2 F^s halmazra

B ((s; t)) S = (S_t S_s) _B2C;

vagyis E_Q( (S_t S_s) _B) 0. Mivel ez minden -ra teljesül, ezért

E_Q((S_t S_s) _B) = 0: (4.1)

AzS feltételezett korlátossága miatt integrálható. Ezért az (4.1) feltétel pontosan azt jelenti, hogy az S folyamat a Q valószín½uségi mérték szerint martingál.

A bemutatott gondolatmenetb½ol evidens, hogy a C kúp (L¹; L¹) zártságának igazolása jelenti a f½o problémát. A fejezet hátralev½o részét ennek igazolásának fogjuk szentelni.

Az el½oz½o állítás egyszer½u következménye a következ½o:

31. Következmény. LegyenSegy lokálisan korlátos, valós érték½u szemimartingál a P valószín½uségi mérték szerint. Pontosan akkor létezik a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, amelyre nézve az S lokális martingál, ha az S eleget tesz a N F LV R fenti feltételének.

Bizonyítás: Az egyszer½uség kedvéért tegyük fel, hogyS(0) = 0:Tegyük fel, hogy az S eleget tesz a N F LV R feltételnek. Mivel az S lokálisan korlátos, léteznek a_n 1, valós számok és n% 1 megállási id½ok, hogyjS ⁿj< a_n. A (( _k; _k+1]) folyamatok adaptáltak és balról folytonosak, így el½orejelezhet½oek. Legyen 0 $0:

Az

Y_k $ (( _k; _k+1]) S =S ^k+1 S ^k

kifejezés egy korlátos szemimartingál, ugyanis kisebb mint a_k+a_k+1:Ha c_k $ 2 ^k

a_k+a_k+1; akkor az Se $ P₁

k=0c_kY_k módon de…niált folyamat korlátos, ugyanis Se 2:

14Vegyük észre, hogy a korlátosságra szükség van, ugyanis a szeparácónál a „primál” tér az L¹:

Tetsz½olegesn-re az

egy szemimartingál, vagyis az Se megállításai mind szemimartingálok, így az Se is egy szemimartingál. Megmutatjuk, hogy az S-hoz tartozóe Ce₀ kúp része az S-hez tartozó C₀ kúpnak. Ehhez elegend½o megmutatni, hogy az S-hoz tartozóe Ke₀ része a K₀-nak. Legyen H megengedett az S-ra nézve és tegyük fel, hogy ae H Se

Mivel ha egy folyamat minden lokalizáltja integrálható, akkor a folyamat integrál-ható, ezért könnyen belátintegrál-ható, hogy a Z $ X¹

k=0

c_kH ([ _k; _k+1)) integrálható az S-re nézve. Az egyenl½oségb½ol az is következik, hogy a Z megengedett az S-re nézve. Ha n! 1; akkor a jobb oldalon álló kifejezésnek létezik határértéke. Mi-vel aH Sealulról korlátos, ezért aZ S is alulról korlátos, így a határérték eleme a K₀ halmaznak, vagyis Ke₀ K₀: Mivel a feltételek szerint az S eleget tesz a N F LV Rfeltételnek, ezért azSeis eleget tesz aN F LV Rfeltételnek. Az el½oz½o tétel alapján létezik tehát a P-vel ekvivalens Q valószín½uségi mérték, melyre nézve az

e

S martingál. Ekkor a

e

S ¹ =c₀S ¹;

és ezért az S ¹ is, martingál, amib½ol következik, hogy az e

S c₀S ¹

is martingál. A gondolatmenetet megismételve kapjuk, hogy azSlokális martingál.

A fordított irány bizonyítása a korlátos eset bizonyításával azonos.

4.1. Néhány el½ozetes eredmény

4.1.1. A kompaktsági lemma

Miként láttuk, az alaptétel bizonyítása lényegében egy kúp alkalmas topológiában való zártságának igazolását jelenti. A konvex analízist ismer½o olvasó számára nem túl meglep½o, hogy ehhez kompaktsági megfontolásokat fogunk használni. Igen gyakran fogunk hivatkozni a következ½o egyszer½u észrevételre:

32. Lemma. Ha (f_n) valószín½uségi változók¹⁵ egy alulról korlátos sorozata, akkor létezik g_n2convff_n; f_n+1;:::g sorozat, hogy a (g_n) sorozat majdnem biztosan kon-vergál egy g függvényhez. A g függvény felveheti a +1 értéket is.

Bizonyítás: Az alulról való korlátosság miatt feltehet½o, hogy mindenn-ref_n 0:

Elegend½o belátni, hogy van olyan(g_n)amely sztochasztikusan konvergál egyg-hez.

(A majdnem mindenhol való konvergenciához elegend½o egy részsorozatra áttérni.) Legyen

u(x)$1 exp ( x): Az u szigorúan konkáv és korlátos. Legyen

s_n$sup (E(u(g))jg 2conv (f_n; f_n+1; : : :)); és legyeng_n2conv (f_n; f_n+1; : : :) olyan, hogy

E(g_n) s_n 1 n: Az R⁺$[0;1]halmaz a

d(x; y)$jarctanx arctanyj

metrikával nyilvánvalóan teljes metrikus tér. Az (x_n) pontosan akkor Cauchy-sorozat az R⁺; d térben, ha minden > 0 számhoz létezik n₀; hogy minden m; n n₀ esetén vagy

jx_n x_mj vagy min (x_n; x_m) ¹:

15Emlékeztetünk, hogy a valószín½uség változók de…níció szerint nem vehetik fel a végtelen értéket.

Az u tulajdonságai alapján tetsz½oleges >0 számhoz található olyan ; hogy u x+y

2 > 1

2u(x) + 1

2u(y) + valahányszor az(x; y) eleme a

V $ (x; y)j jx yj és min (x; y) ¹

halmaznak. (A min (x; y) ¹ feltétel miatt aV kompakt és a folytonos u x+y

2

1

2u(x) 1

2u(y) 0

függvény felveszi a minimumát. Mivel azuszigorúan konkáv, ezért hax6=y, akkor a fenti egyenl½otlenség szigorú, így a minimum is pozitív. A számnak vehetjük a minimum felét.) A sztochasztikus konvergencia igazolásához elegend½o belátni, hogy a (g_n) Cauchy-sorozat a sztochasztikus konvergenciában, vagyis elegend½o belátni, hogy tetsz½oleges >0 esetén

n;mlim!1P jgn gmj ;min (x; y) ¹ = 0:

Tetsz½oleges és hozzá tartozó esetén E u g_n+g_m

2

1

2E(u(g_n)) + 1

2E(u(g_m)) + + P jg_n g_mj ;min (x; y) ¹ ; ugyanis triviálisan a de…níciója miatt

u g_n+g_m 2

1

2u(g_n) + 1

2u(g_m) + _V (g_n; g_m): De…níció szerint, han m; akkor

E u g_n+g_m

2 s_n; s_m s_n:

Így a konstrukció szerint

P jg_n g_mj ;min (x; y) ¹ E u g_n+g_m

2

1

2E(u(g_n)) 1

2E(u(g_m)) s_n 1

2 s_n 1 n

1

2 s_m 1

m =

1

2(s_n s_m) + 1 2

1 n + 1

m :

Az(sn)alulról korlátos és csökken½o, így Cauchy-sorozat. Így ha n; m! 1, akkor mivel >0

P jg_n g_mj ;min (x; y) ¹ !0:

Természetesen a g felvehet végtelen értéket is!!! A kompaktsági elv érdemi része ennek a kizárása:

33. Lemma. Ha az el½oz½o lemmában a conv ((f_n)) korlátos az L⁰ térben, akkor a g majdnem mindenhol véges.

Bizonyítás: Haconv ((fn))korlátos az L⁰ térben, akkor minden" >0esetén van olyan N;hogy

P(jg_nj N) ":

Mivelg_n^m:m:! g;a Fatou-lemma miatt

P(jgj N) ";

így majdnem mindenhol g <1.

Miel½ott tovább mennénk a lemma tartalmának jobb megvilágítása céljából érdemes megemlíteni a következ½o példát:

34. Példa. Ha p 1 és az (f_n) L^p egy korlátos sorozat, akkor létezik g_n 2conv (f_n; f_n+1; : : :)

amely majdnem mindenhol konvergál egy g 2 L^p függvényhez. Ha p > 1; akkor a konvergencia az L¹ térben is teljesül.

AzL^p korlátosságból a Csebisev-egyenl½otlenség miatt következik azL⁰korlátosság, így aghatárérték létezik. Egyedül azt kell megmutatni, hogy a határérték is eleme

AzL^p korlátosságból a Csebisev-egyenl½otlenség miatt következik azL⁰korlátosság, így aghatárérték létezik. Egyedül azt kell megmutatni, hogy a határérték is eleme

In document Arbitrázs és martingálmérték (Pldal 63-0)