A Radner-egyensúly

Arrow [2]-ben megjegyzi, hogy a fenti Arrow–Debreu egyensúlyi elosztás megkap-ható olyan módon, hogy feltesszük, hogy a szerepl½ok az els½o periódusban csak Arrow–Debreu értékpapírokkal kereskedhetnek, a második periódusban pedig ke-reskedhetnek a jószágok piacán. A magyarázat egyszer½u. Ha a szerepl½ok keresked-hetnek a második periódusban a …zikai jószágokkal, akkor az els½o periódusbeli kereskedés egyetlen célja az, hogy a szerepl½ok megosszák a vásárlóerejüket az egyes világállapotok között. Ezzel az eljárással az eredetileg SK számú jószá-got tartalmazó határid½os piac már csak egy S számú jószágból álló piaccá zsu-gorodott. Ahhoz azonban hogy a szerepl½ok ne csak a pénzben mért vásárlóere-jüket tudják simítani hanem a tényleges fogyasztásukat is, el½ore kell látniuk a második periódusbeli spot árakat⁸, és csak akkor beszélhetünk egyensúlyról, ha a szerepl½ok várakozásai konzisztensek a modellel, vagyis egyensúlyban, minden egyes kimenetelre vonatkozóan a spot árakra vonatkozó várakozások megegyeznek a tényleges egyensúlyi spot árakkal.

A fenti gondolatot kés½obb R. Radner [83] formalizálta és általánosította több periódus esetére. Az ún. Radner-egyensúly abban az esetben is értelmezhet½o, ha Arrow–Debreu értékpapírok helyett csak néhány kockázatos értékpapírral keresked-hetnek a gazdaság szerepl½oi, ezáltal a Radner-egyensúly fogalma fontos kiinduló-pontjává vált mind a pénzpiacok egyensúlyi elméletének mind a nemteljes piacok elméletének. Az alábbiakban [71] és [20] alapján ismertetjük a Radner-egyensúly fogalmát két periódus esetére.

Használjuk továbbra is a fenti modell jelöléseit, és tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi ezúttal N+ 1 számú pénzügyi eszközzel is kereskedhetnek, melyek közül az els½o –a továbbiakban0indexel jelölt –egy rögzített kamatozású kockázatmentes kötvény, és aj-edik eszközb½ol az els½o id½operiódusban vásárolt mennyiséget j jelöli.

A kimenetelek száma S, a fogyasztó az els½o periódusban zérus indulóvagyonnal, és a második periódusban ! kimenetel esetén e_! 2 R^K készlettel rendelkezik és

8Mely árakat természetesen nem tekintünk a modell által adottnak.

legyen e = (e₁; :::; e_S) 2 R^{K S}. Tegyük fel hogy a szerepl½ok hasznossága csak a második periódusbeli fogyasztásuktól függ. A második periódusbeli fogyasztást

! kimenetel esetén jelölje c_! 2 R^K; a j-edik pénzügyi eszköz els½o periódusbeli árát jelöljeX_j(0), a második periódusbeli árátX_j(1). Ez utóbbi egy valószín½uségi változó, melynek értékét ! kimenetel eseténX_!j(1)-el jelöljük.

2. De…níció. Egy a

c₁¹; :::c_S¹; :::c₁^M; :::; c_S^M 2 R^{K SM}

vektor által meghatározott allokáció, egy a spot árakra vonatkozó várakozásokat kifejez½o p = (p₁₁; :::; p_KS) 2 R^{K S} vektorból, és az értékpapírok els½o periódusbeli árait meghatározó X(0) = (X₀(0); :::; X_N(0)) vektorból álló árrendszer, valamint a ^m = ( ^m₀ ; :::; ^m_N), m 2 f1; :::; Mg kereskedési stratégiák együttesét Radner-egyensúlynak nevezünk, ha minden m-re teljesül, hogy a c^m = (c₁₁^m; :::c_KS^m) 2

R^{K S} feltételes fogyasztási terv, valamint a ^m portfólió megoldása a max

feltételes széls½oérték problémának, továbbáPM

m=1c ^m =PM

Itt a feltételben szerepl½o els½o egyenl½otlenség azt fejezi ki, hogy a befektet½o egy olyan portfoliót választ, amely zérus indulóvagyon segítségével megvásárolható az els½o periódusban, a második egyenl½oség pedig azt állítja, hogy az optimumban szükségképpen teljesül, hogy minden ! kimenetel esetén a második periódusbeli (c^m_1!; :::; c^m_K!)fogyasztói kosár megvásárolható a befektetés második periódusban re-alizáltPN

j=0X_!j(1) ^m_j ki…zetése és az indulókészlet spot egyensúlyi árakon történ½o eladása révén.

Jelöljük X-szel azt az S (N + 1)-es mátrixot, melynek !-adik sorában és j-edik oszlopában álló elemeX_!j(1). A fenti modellben a pénzpiac minden fontos

tulajdonságát egyértelm½uen meghatározta azXmátrix, ilyen összefüggésben tehát beszélhetünk az X mátrix által meghatározott pénzpiacról.

3. De…níció. Az X mátrix által meghatározott pénzpiac teljes, ha az X mátrix rangja S, vagyis megegyezik a világállapotok számával.

Ha azXmátrix rangjaS, akkor nyilván mindenx2R^Sesetén létezik megoldása azx=X ^T mátrixegyenletnek, vagyis a pénzpiac teljessége pontosan azt jelenti, hogy minden elképzelhet½o feltételes követelés, vagyis második periódusbeli véletlen ki…zetés el½oállítható valamely portfolió második periódusbeli ki…zetéseként. Be-látható, hogy teljes pénzpiac esetén a Radner-egyensúlyi c₁¹; :::c_S¹; :::c₁^M; :::; c_S^M allokáció el½oáll Arrow–Debreu egyensúlyi allokációként. Egészen pontosan a kö-vetkez½o állítás teljesül.

4. Tétel. Tegyük fel, hogy a pénzpiac teljes. Ekkor:

a.) Ha a

c = c₁¹; :::c_S¹; :::c₁^M; :::; c_S^M 2 R^{K SM}

allokáció, ap= (p₁₁; :::; p_KS)2 R^{K S}, és a szigorúan pozitív árakból álló X(0) = (X₀(0); :::; X_N(0)) árrendszer, valamint a ^m = ( ^m₀ ; :::; ^m_N), m2 f1; :::; Mg keres-kedési stratégiák rendszere együttesen egy Radner-egyensúlyt alkotnak, akkor létezik olyan, szintén szigorúan pozitív elemekb½ol álló, (q₁; :::; q_S) vektor, melyre a c al-lokáció, és a (q₁p₁₁; :::; q_!p_k!; :::; q_Sp_KS)2 R^{K S} árrendszer együttese egy Arrow–

Debreu-egyensúlyt képez.

b.) Ha a

c = c₁¹; :::c_S¹; :::c₁^M; :::; c_S^M 2 R^{K SM}

allokáció, és ap= (p₁₁; :::; p_KS)2 R^{K S} árrendszer egy Arrow–Debreu-egyensúly, akkor létezik azX(0) = (X0(0); :::; XN(0))árrendszer, valamint a ^m = ( ^m₀ ; :::; ^m_N), m2 f1; :::; Mg kereskedési stratégiák rendszere, hogy a c fogyasztási terv, a X(0) els½o periódusbeli értékpapír árak, a ^m stratégiák valamint a spot árak p rendszere együttesen Radner-egyensúlyt képeznek.

A szakasz hátralév½o részében megmutatjuk, hogy a Radner-egyensúly els½orend½u feltételeib½ol következik, hogy létezik egy a kimenetelek terén értelmezhet½o funkci-onál, ami csakúgy mint az Arrow–Debreu értékpapírok árvektora, egy martingál-mértékként interpretálható, ám ez a martingálmérték nem feltétlenül egyértelm½u.

Ekkor tehát a követelések árazása nem oldható meg a preferenciák felhasználása

nélkül. Ennek megvilágítása céljából, írjuk fel a fogyasztó optimumfeltételét a Radner-egyensúlyban arra a speciális esetre, amikor a szerepl½ok csak egyetlen jószággal kereskednek. A közgazdasági interpretáció kedvéért egyúttal tegyük fel, hogy a szerepl½onk W indulóvagyonnal rendelkezik az els½o periódusban, és a hasznossága az els½o periódusbeli c₀ fogyasztásától is függ. Mivel csak egy fo-gyasztóra írjuk fel az optimumfeltételt, ezért a fofo-gyasztóra vonatkozó m indexet elhagyjuk.

A fogyasztó haszonmaximalizálási problémája a következ½o:

maxU(c₀; c₁; :::; c_S) ahol

(c₁; :::; c_S)^T = (e₁; :::; e_S)^T +X ^T és

c₀+ (X₀(0); : : : ; X_N(0)) ^T =W:

Szavakkal megfogalmazva, a fogyasztó a fogyasztásának hasznosságát maximali-zálja, a második id½operiódus fogyasztása függ a második id½operiódusban realizáló-dott világállapottól. Az els½o egyenl½oség azt állítja, hogy minden!kimenetel esetén a második periódusbelic_! fogyasztás megegyezik az adott kimenetelhez tartozóe_! második periódusbeli készlet és a befektetés adott kimenetelhez tartozó értékének összegével. A második egyenl½oség szerint ac₀ els½o periódusban való fogyasztás és a j beszerzésének összértéke éppen a fogyasztóW induló vagyona, vagyis az els½o id½opontban teljesül a költségfedezeti feltétel.

A probléma Lagrange-függvénye a következ½o:

L(c₀; c₁; :::; c_S; ₀; ::: _N; ; ₁; ; _S) = U(c₀; c₁; :::; c_S) (c₀+

XN j=0

X_j(0) _j W) XS

!=1

!(c_! e_! XN

j=0

X_!j(1) _j):

Az els½orend½u feltételekb½ol minden j-re X_j(0) = PS

!=1 !X_!j(1). Bevezetve a q_! = ^! jelölést ez az

X_j(0) = XS

!=1

q_!X_!j(1) (2.1)

alakba írható. Ez speciálisan j = 0-ra is teljesül. Ekkor tehát X_!0(1) = X₀(0)

miatt az utóbbi egyenl½oség X0(0) = PS

!=1q!X0(0) alakú, ezért PS

!=1q! = 1;

vagyis a q_! nemnegatív számok egy valószín½uségi mértéket de…niálnak. Ekkor tehát (2.1) egyenl½oség pontosan azt állítja, hogy az értékpapírok a q = (q₁; :::q_S) mérték szerint martingálok⁹.

Próbáljuk meg közgazdaságtanilag interpretálni az imént kapott martingálmér-téket. Jelöljük a probléma értékfüggvényétU -gal. A burkolótétel alapján:

@U (W; e₁; :::e )

@e_! = _! és @U (W; e₁; :::e )

@W = :

Ezek alapján a martingálmérték egy q_! komponense azt mutatja meg, hogy egy pótlólagos egységnyi!kimenetelhez tartozó Arrow–Debreu értékpapír hányszoros haszonnövekményt eredményez az egy pótlólagos egységnyi els½o periódusbeli biztos vagyonnövekedés haszonnövekményéhez képest.