Az értekezés második fejezete bemutatja azokat a fontosabb közgazdaságtani és matematikai el½ozményeket, amelyek a Delbaen–Schachermayer-tétel bizonyításához elvezettek. Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a martingálmérték fogalma szorosan kapcsolódik a bizonytalanság melletti általános egyensúlyelmélet Arrow–
Debreu-féle modelljéhez, valamint a Radner-egyensúly fogalma segítségével megad-juk a martingálmérték egy lehetséges közgazdasági interpretációját. Látni fogmegad-juk, hogy a martingálmérték valójában egy a replikálható portfoliók alterér½ol az összes feltételes követelések terére kiterjesztett árazó funkcionált reprezentál, ennek meg-felel½oen ebben a fejezetben az alaptétel –a 60-as és 70-es évek pénzügyi irodalmával összhangban – mint az árazó funkcionál kiterjeszthet½oségének problémája jelenik meg.
Ebben a fejezetben megadjuk az arbitrázs pontos de…nícióját kétperiódusos modellre, majd rámutatunk hogy általános21valószín½uségi mez½o, vagyis –általános egyensúlyelméleti analógiával élve – végtelen dimenziós jószágtér esetén az arbit-rázsmentesség már nem elégséges feltétele a kiterjesztett árazó funkcionál
létezé-21Vagyis nem végesen generált.
sének, ezért szükséges az arbitrázsmentességnél er½osebb fogalmak, az életképesség ésnincs ingyenebéd fogalmak bevezetése. Látni fogjuk, hogy az alaptétel végtelen dimenzióra való kiterjesztése nem zökken½omentes, a fellép½o topológiai problémák miatt a funkcionálanalízis klasszikus szeparációs tételei nem alkalmazhatóak.
A fejezet utolsó alpontjában, egy tömör történeti áttekintést követ½oen, megad-juk többek között a …ltráció, az el½orejelezhet½o folyamat, a martingál, a lokális martingál és szemimartingál pontos de…nícióját, és ismertetjük a sztochasztikus folyamatok általános elméletének néhány kevésbé ismert, kés½obb felhasználásra kerül½o eredményét, továbbá a lognormális modellen keresztül megmutatjuk, hogy a Girsanov-transzformáció segítségével az ekvivalens martingálmérték igen egysz-er½uen meghatározható.
A harmadik fejezetben az arbitrázsmentesség fogalmát kiterjesztjük több perió-dusos modellekre és kimondjuk az alaptétel diszkrét, véges id½ohorizontra vonatkozó alakját. Ez a fejezet tárgyalja az ön…nanszírozó portfólió fogalmát és az ehhez szorosan kapcsolódó ármérce invariancia tételt, amit [53] alapján általános szemi-martingál modellekre is bizonyítunk.
Ezt követ½oen a negyedik fejezetben [21] alapján teljes bizonyítását közöljük a Delbaen és Schachermayer nevéhez f½uz½od½o alaptételnek. A disszertáció ezen fe-jezete a legkidolgozottabb és ebben találhatóak a disszertáció újszer½unek mondható technikai jelleg½u eredményei.22 Bár valóban újnak mondható bizonyítást nem sike-rült adnunk a tételre, ennek ellenére az eredeti bizonyítást számos ponton egysze-r½usítettük és összességében érthet½obbé tettük. Többek között sikerült lényegesen leegyszer½usíteni a 4.1.1. alpontban található 36. lemma bizonyítását, valamint az alaptétel bizonyításában kulcsszerepet játszó 4.1.3. alpontbeli 40. tételre az iro-dalomban található Mackey–Arens-tételen alapuló bizonyítás helyett egy valamivel elemibb bizonyítást közlünk.23 Ezenkívül a 4.1.2. alpontbeli 37. lemma [21]-beli transz…nit indukciós bizonyítása helyett el½oször bemutatunk egy transz…nit rekurzión alapuló bizonyítást, majd egy teljesen elemi bizonyítást. Végül érdemes kiemelni, hogy az 4.1.1. alpontban sikerült pontosan tisztázni a bizonyításban többször is felhasznált 35. lemma szerepét, és sikerült olyan alakban megadni, amely némileg jobban illeszkedik az itteni alkalmazásokhoz.
Az ötödik fejezetben megmutatjuk, hogy az alaptételhez szorosan kapcsolódik
22Megjelent: Badics T. – Medvegyev P.: Pénzügyi eszközök árazásának alaptétele lokálisan korlátos szemimartingál árfolyamok esetén, Szigma, 2009/3.4.
23Az eredmény publikálását követ½oen Rásonyi Miklós szóbeli közléséb½ol megtudtuk, hogy Ka-banovnak létezik egy az ittenihez hasonló, feltehet½oleg publikálatlan bizonyítása.
a portfólió optimalizálás dualitáselmélete, ugyanis az eredeti haszonmaximalizá-ciós probléma ekvivalens egy a martingálmértékek halmazán való minimalizálás-sal, ami a gyakorlati alkalmazásokban dualitási technikák felhasználásával oldható meg. Ebben a fejezetben el½oször röviden ismertetjük a pénzügyi eszközök árazásá-nak duális megközelítését, a Bellini–Frittelli-féle dualitási tételt és anárazásá-nak egy ér-dekes, szemimartingál modellekre történ½o alkalmazását (ld. [7]), majd a hatodik fejezetben bemutatjuk az alaptétel Frittelli-féle alakját melynek szintén teljes bi-zonyítását közöljük, végül, miután áttekintettük az Orlicz-terekre vonatkozó szük-séges el½oismereteket, [38], [39] és [62] alapján megmutatjuk hogy a legfontosabb arbitrázs fogalmak a befektet½ok preferenciái segítségével is karakterizálhatóak.
Ennek a fejezetnek egyik fontos üzenete az a felismerés, hogy Frittelli és Klein fent említett eredményei közgazdasági szempontból új megvilágításba helyezik a Delbaen–Schachermayer-féle elméletet.
A hetedik fejezetben részletesen tárgyaljuk az egy ár törvényének fogalmát, annak az állapotár de‡átor segítségével történ½o matematikai karakterizációját, valamint az egy ár törvényének és az arbitrázsmentesség fogalmának viszonyát.
Mivel tárgyalásunkban a f½o hangsúly egyértelm½uen a szemimartingálokra vo-natkozó elmélet áttekintése, ezért a bemutatott – többnyire jóval egyszer½ubben interpretálható – véges dimenziós esetek els½osorban az egyes témák és fogalmak intuitív felvezetését szolgálják, ennek megfelel½oen ezen speciális esetek tárgyalása többnyire kevésbé precíz, helyenként pedig vázlatos, annál is inkább, mert ezen eredmények nagy részének igényes tárgyalása megtalálható az idézett
monográ-…ákban és tankönyvekben. Ez alól kivételt képez a portfolió dualitáselméletér½ol szóló 5.1. alfejezet, ami a konvex analízis dualitási módszereinek, így például a Lagrange-dualitás, az er½os- és gyenge dualitási tételek alkalmazására hívja fel a …gyelmet, ezért kissé eltér az eredeti – és valamivel elemibb – [24]-beli tár-gyalástól. A szemimartingálokra vonatkozó fejezetekben azonban minden eset-ben törekedtünk a lehet½o legprecízebb kifejtésre, valamint részletes bizonyítá-sok és hivatkozábizonyítá-sok közlésére. Az ezen fejezetekben felhasznált matematikai ap-parátus magában foglalja a topológiát, a mértékelméletet, a funkcionálanalízis dualitáselméletét, a Hilbert-terek elméletét, a halmazelméletet, a sztochasztikus folyamatok általános elméletének viszonylag új fejezeteit, valamint a konvex analízis és az Orlicz-terek elméletének néhány eredményét.
Végezetül hangsúlyozzuk, hogy az értekezés szándékosan nem foglalkozik sem az eszközárazás konkrét problémáival, így a Black–Scholes- és
Cox–Ross–Rubinstein-modellel, vagy ezek különféle változataival (ld.: [10] és [16]), sem az ún. súrlódásos modellekkel, vagyis azokkal a modellekkel, melyekben a kereskedésnek tranzakciós költségei vannak.24 Bár a terület az értekezés témájával igen szoros kapcsolatban van, terjedelmi okokból szintén nem foglalkozunk sem a pénzügyi eszközök árazásá-nak második alaptételével25, sem általánosságban a pénzpiacok teljességének prob-lémájával.
24Az alaptétel súrlódásos modellekre való kiterjesztéseir½ol [58], [90] és [42] cikkekben olvashatunk.
25A pénzügyi eszközök árazásának alaptétele azt mondja ki, hogy egy pénzpiac pontosan akkor teljes, ha az ekvivalens martingálmérték egyértelm½u.
A Delbaen–Schachermayer-tétel el½ozményei
Ebben a fejezetben áttekintjük a Delbaen–Schachermayer-tétel közgazdaságtani és matematikai el½ozményeit. El½oször megmutatjuk, hogy a kétperiódusos Arrow–
Debreu egyensúlyi modellben a martingálmérték létezése az egyensúly triviális következménye. Ebben a modellben a martingálmérték nem más mint az Arrow–
Debreu-féle állapotárak egy alternatív reprezentációja.
A 2.1.2. alpontban az Arrow–Debreu-egyensúly egy olyan általánosításával foglalkozunk, amelyben a fogyasztók már nem feltételes jószágokkal, csak érték-papírok egy sz½ukebb családjával kereskednek, így jutunk az ún. Radner-egyensúly fogalmához. Megmutatjuk, hogy a martingálmérték létezése ebben az esetben a Radner-egyensúly els½orend½u feltételének következménye. A martingálmérték ebben a modellben azt mutatja meg, hogy adott ! kimenetel esetére egy pótlóla-gos egységnyi ! kimenetelhez tartozó Arrow–Debreu értékpapír hányszoros ha-szonnövekményt eredményez az egy pótlólagos egységnyi els½o periódusbeli biztos vagyonnövekedés haszonnövekményéhez képest.
A 2.1.3. alpontban az általános egyensúlyelméleti megközelítésr½ol áttérünk egy olyan parciális egyensúlyi modellre, melyben a pénzügyi eszközök árai adot-tak. Ekkor az árazási probléma megoldásához természetesen semmiféle egyensú-lyi feltételre nincs szükség, hiszen a martingálmérték – ami egy a replikálható követelések terén értelmezett árazó funkcionált reprezentál –a pénzügyi eszközök áraiból már meghatározható. Ezzel elérkeztünk az értekezés alapproblémájához.
Ha az árazó funkcionál meghatározásához sem az egyensúly feltételére sem a fo-gyasztók preferenciáira nincs szükség, akkor mi az a konzisztencia feltétel, ami
lehet½oleg az egyensúlynál enyhébb megkötést jelent, és egyúttal biztosítja az árazó funkcionál létezését. Ebben az összefüggésben kerülnek bevezetésre azéletképesség, azarbitrázsmentesség és anincs ingyenebéd fogalmak. Rámutatunk hogy általános valószín½uségi mez½o esetén az arbitrázsmentesség már nem elégséges feltétele az árazó funkcionál létezésének, ezért szükséges az arbitrázsmentességnél er½osebb fo-galmak, azéletképesség és nincs ingyenebéd fogalmak bevezetése.
A 2.2. alfejezetben részletesen tárgyaljuk a szeparáló hipersík és a martin-gálmérték kapcsolatát és a végtelen dimenzióban történ½o szeparációval kapcso-latos matematikai problémákat. A bevezetésben láttuk, hogy abban az eset-ben, amikor a lehetséges ki…zetések tere véges dimenziós, az alaptétel egy egy-szer½u szeparációs tétellel könnyen bizonyítható. A bizonyítás végtelen dimenzióra történ½o átvitelekor azonban – csakúgy mint az általános egyensúlyelmélet ered-ményeinek általánosításakor – több nehézséggel kell megküzdenünk. A mi szem-pontunkból a legnagyobb nehézséget az okozza, hogy bár az L1 tér duálisa az L1 tér1, az L1 tér duálisa nem az L1 tér. A probléma megoldását a Kreps–Yan-féle szeparációs tétel jelenti.
Végül a 2.3. alfejezetben röviden ismertetjük azokat a matematikai el½ozménye-ket, amelyek a sztochasztikus folyamatok Markov-folyamatoktól független általános elméletének megszületésében szerepet játszottak, és áttekintjük az elmélet néhány, a kés½obbiekben nélkülözhetetlen újabb eredményét.
Mivel ebben a fejezetben csak az irodalmi el½ozményeket tekintjük át, ezért az itt ismertetett állításokat kevésbé formálisan tárgyaljuk és minden esetben bizonyítás nélkül közöljük.
2.1. Az általános egyensúlyelmélett½ol az arbit-rázsárazásig
2.1.1. Az Arrow–Debreu-egyensúly
A martingálmérték közgazdasági tartalmának megértése végett induljunk ki a bi-zonytalanság melletti választás Arrow–Debreu-féle általános egyensúlyi modell-jéb½ol. Mint ismeretes, az eredetileg determinisztikus általános egyensúlyelméletet a feltételes jószág fogalmának bevezetésével el½oször Arrow [2] alkalmazta olyan
1Valójában általánosan teljesül, hogy tetsz½olegesp <1-re azLptér duálisaLq, ahol 1p+1q = 1.
szituáció leírására, ahol a szerepl½ok indulókészletei bizonytalanok, vagyis függenek a megvalósuló világállapottól. Az ötletet kés½obb Debreu [17] általánosította. (Ld.
még: [18], modernebb feldolgozásban pl. [71] vagy [68].)
Vegyünk egy M számú szerepl½ob½ol álló cseregazdaságot. Tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi K számú jószágot fogyasztanak, és ezekb½ol a jószágokból az egyes egyének rendelkezésére álló mennyiségek a bekövetkez½o világállapot füg-gvényei, és az állapottér, vagyis a lehetséges világállapotok halmaza az = f1; 2; :::; Sg véges halmaz. Tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi kereskedhet-nek ún. feltételes jószágokkal, és alkalmazzuk a determinisztikus általános egyen-súlyelméletet a feltételes jószágok piacára. Az k-adik jószághoz és az ! 2 kimenetelhez tartozó egységnyi feltételes jószág egy olyan jog, amely az! kimene-tel esetén egységnyi, minden más kimenekimene-tel esetén zérus mennyiség½u – feltékimene-tel nélküli –k-adik jószágot biztosít a jog birtokosának. Úgy is mondhatnánk, hogy a feltételes jószágok valójában a …zikai jószágokra szóló feltételes követelések.
Feltesszük hogy a gazdaság szerepl½oi, az els½o periódusban, még miel½ott tisztában lennének azzal, hogy ténylegesen melyik világállapot következett be, kereskedhet-nek a feltételes jószágok piacán2. Ilyen módon tehát az eredetileg K dimenziós RK jószágteret egy KS dimenziós RK S jószágtérré b½ovítettük ki, melynek ele-meit ck!-val jelöljük, és valamely c = (c1; :::cS) 2 RK S feltételes jószágvektor birtokosa egy olyan joggal rendelkezik, amely révén az !2 f1; 2; :::; Sgkimenetel esetén ac! = (c1!; :::; cK!)2RK jószágkombinációhoz jut. A negatív koordináták természetesen a jószág második periódusban való szállításának kötelezettségeiként értelmezend½oek. Tegyük fel, hogy a szerepl½ok mindegyike rendelkezik egy az ezen a jószágtéren értelmezett preferenciarendezéssel, és jelöljük -m-vel az m-edik fo-gyasztó preferenciarendezését. Tegyük fel továbbá, hogy a második periódusban az egyes szerepl½ok által a tényleges …zikai – vagyis nem feltételes – jószágokból birtokolt mennyiség függ a kimenetelt½ol, és jelöljük em 2 RK S-el az m-edik sze-repl½o által birtokolt – feltételes – indulókészletet. Ekkor a – determinisztikus – Walrasi egyensúly fogalmát a most bevezetett feltételes jószágokra alkalmazva az ún. Arrow–Debreu-egyensúly fogalmához jutunk.
1. De…níció. Egy a
c11; :::cS1; :::; c1M; :::; cSM 2 RK SM
2Hangsúlyozzuk, ebben a periódusban nem jószágok, csupán a fenti értelemben vett „jogok”
cseréje történik.
vektor által meghatározott allokáció és egy p = (p11; :::; pKS) 2 RK S árrendszer együttesét Arrow–Debreu egyensúlynak nevezünk, ha minden m-re teljesül, hogy a c m = (c1m; :::cSm)vektor (más néven feltételes fogyasztási terv) azm-edik fogyasztó optimális választása a
n
cm 2 RK S jp cm p emo
költségvetési halmazra és a -m preferencia relációra vonatkozóan, és XM
m=1
c m = XM m=1
em.
Az els½o jóléti tétel következményeként, a lokális telhetetlenségi feltétel tel-jesülése esetén, az egyensúlyban a kockázat elosztása Pareto-hatékony lesz3. Ha a jószágok közül egyet pénznek tekintünk, akkor az ennek egységére vonatkozó, a ténylegesen realizált világállapottól függ½o feltételes követeléseket Arrow–Debreu értékpapíroknak szokás nevezni. Az ! kimenetelhez tartozó Arrow–Debreu érték-papír tehát egy olyan feltételes követelés, amely az ! kimenetel esetén egységnyi, minden más kimenetel esetén zérus ki…zetést biztosít a követelés birtokosának.
Az Arrow–Debreu értékpapírok egyensúlyi árai tulajdonképpen a kimenetelekhez rendelnek számértékeket, amely számértékek egy korlátos mértéket de…niálnak.
Ennek a mértéknek a normálásával a kimenetelek árai egy valószín½uségi mértéket határoznak meg. Ha a valószín½uségi mez½o végesen generált, akkor minden feltéte-les követelés el½oállítható az Arrow–Debreu értékpapírok lineáris kombinációjaként.
Ebb½ol következ½oen többek között létezik kockázatmentes értékpapír. Ezek után már könnyen levezethet½o, hogy tetsz½oleges értékpapír els½o periódusbeli egyensúlyi ára éppen a kockázatmentes értékpapír hozama szerint diszkontált második perió-dusbeli lehetséges árainak imént megkonstruált mérték szerinti várható értéke lesz.
Vagyis a mi terminológiánk szerint a diszkontált árfolyam az ily módon de…niált
„…ktív” valószín½uség szerint martingál4. Ezt a mértéket Arrow [3]
kockázatsem-3Ezen a ponton a kockázat fogalmát nem szokás pontosan de…niálni, a szóhasználat itt arra utal, hogy a fogyasztók (kockázatkerül½o befekte½ok esetén) nemcsak intertemporálisan, de az állapotok között is igyekeznek a fogyasztásukat „simítani”, vagyis a kockázatukat csökkenteni, illetve egymás között megosztani. Egészen pontosan a feltételes jószágok elosztása lesz Pareto-hatékony.
4Két id½operiódus esetén, ha az els½o id½opontban nincsenek valódi valószín½uségi változók, akkor a martingál tulajdonság pontosan azt jelenti, hogy a második periódusban realizálódó valószín½uségi változó várható értéke éppen az els½o periódusban felvett érték.
leges valószín½uségnek nevezi.
Az Arrow–Debreu értékpapírokkal való kereskedés modellje valójában nem túl-ságosan életszer½u, de a modellnek van egy –empirikus kezelhet½oség szempontjából – nem elhanyagolható következménye. Ha az általános egyensúlyi megközelítés helyett egy parciális egyensúlyi megközelítést alkalmazva feltételezzük, hogy a kereskedett értékpapíroknak nem csak a második periódusbeli ki…zetései, de az els½o periódusbeli árai is adottak, akkor az említett összefüggésb½ol a martingálmérték már meghatározható. Ha eltekintünk az Arrow–Debreu értékpapírokkal való keres-kedést½ol, de feltesszük, hogy a létez½o értékpapírokkal való kereskedés révén minden lehetséges jöv½obeli pénzügyi ki…zetés el½oállítható5, vagyis elég sokféle értékpapír van a piacon ahhoz, hogy kifeszítsék a logikailag lehetséges ki…zetések halmazát, akkor a jöv½obeli ki…zetések a preferenciáktól –speciálisan a kockázattal szembeni attit½udt½ol – függetlenül6 beárazhatóak. Ebben az értelemben az Arrow–Debreu árak egyfajta árazási szabályt, pontosabban egy árazó funkcionált reprezentálnak, amely az összes elképzelhet½o feltételes követelések terén is értelmezve van.
Eddig feltételeztük, hogy a szerepl½ok csak az els½o periódusban kereskednek a feltételes jószágokkal, tehát a csere még azel½ott megtörténik, miel½ott a szerepl½ok tudomást szereznének a ténylegesen megvalósuló világállapotról. Els½o lépésként vizsgáljuk meg mi történne, ha megengednénk, hogy a szerepl½ok a tényleges világál-lapot megismerését követ½oen kereskedjenek a feltétel nélküli, vagyis a …zikai jószá-gokkal7. Megmutatjuk, hogy a fogyasztók ez utóbbi piacon már nem fognak kereskedni.
Tegyük fel, hogy az els½o periódusban kereskedtek a feltételes jószágok piacán, és megvalósult a c11; :::cS1; :::c1M; :::; cSM 2 RK SM Arrow–Debreu-egyensúly.
Tegyük fel, hogy az ! állapot következett be. Ekkor a kötelezettségek teljesítése után az m-edik fogyasztó a c!m = (c1!m; :::cK!m) 2 RK kosárhoz jut. Tegyük fel, hogy létezik a …zikai jószágoknak egy olyan(c1!; :::; cM! )2 RK M allokációja, hogy mindenm esetén
(c1m; :::; c!m; :::; cSm)-m (c1m; :::; cm!; :::; cSm);
5Vagyis feltételezzük, hogy a piac teljes.
6Egészen pontosan arról van szó, hogy nincs szükség a hasznossági függvények explicit szere-peltetésére, de valójában az arbitrázsmentesség feltétele implicit módon feltételezi a preferenciák monotonitását.
7Ebben az összefüggésben szokás a feltételes jószágok piacát „forward”piacnak a …zikai jószá-gok piacát „spot” piacnak is nevezni.
és legalább egy m-re a preferencia reláció szigorú értelemben teljesül, valamint fennáll a PM
m=1cm! PM
m=1em! reláció. Ez azonban lehetetlen hiszen ez ellent-mondana a c11; :::cS1; :::c1M; :::; cSM Arrow–Debreu egyensúlyi allokáció Pareto-optimalitásának.
2.1.2. A Radner-egyensúly
Arrow [2]-ben megjegyzi, hogy a fenti Arrow–Debreu egyensúlyi elosztás megkap-ható olyan módon, hogy feltesszük, hogy a szerepl½ok az els½o periódusban csak Arrow–Debreu értékpapírokkal kereskedhetnek, a második periódusban pedig ke-reskedhetnek a jószágok piacán. A magyarázat egyszer½u. Ha a szerepl½ok keresked-hetnek a második periódusban a …zikai jószágokkal, akkor az els½o periódusbeli kereskedés egyetlen célja az, hogy a szerepl½ok megosszák a vásárlóerejüket az egyes világállapotok között. Ezzel az eljárással az eredetileg SK számú jószá-got tartalmazó határid½os piac már csak egy S számú jószágból álló piaccá zsu-gorodott. Ahhoz azonban hogy a szerepl½ok ne csak a pénzben mért vásárlóere-jüket tudják simítani hanem a tényleges fogyasztásukat is, el½ore kell látniuk a második periódusbeli spot árakat8, és csak akkor beszélhetünk egyensúlyról, ha a szerepl½ok várakozásai konzisztensek a modellel, vagyis egyensúlyban, minden egyes kimenetelre vonatkozóan a spot árakra vonatkozó várakozások megegyeznek a tényleges egyensúlyi spot árakkal.
A fenti gondolatot kés½obb R. Radner [83] formalizálta és általánosította több periódus esetére. Az ún. Radner-egyensúly abban az esetben is értelmezhet½o, ha Arrow–Debreu értékpapírok helyett csak néhány kockázatos értékpapírral keresked-hetnek a gazdaság szerepl½oi, ezáltal a Radner-egyensúly fogalma fontos kiinduló-pontjává vált mind a pénzpiacok egyensúlyi elméletének mind a nemteljes piacok elméletének. Az alábbiakban [71] és [20] alapján ismertetjük a Radner-egyensúly fogalmát két periódus esetére.
Használjuk továbbra is a fenti modell jelöléseit, és tegyük fel, hogy a gazdaság szerepl½oi ezúttal N+ 1 számú pénzügyi eszközzel is kereskedhetnek, melyek közül az els½o –a továbbiakban0indexel jelölt –egy rögzített kamatozású kockázatmentes kötvény, és aj-edik eszközb½ol az els½o id½operiódusban vásárolt mennyiséget j jelöli.
A kimenetelek száma S, a fogyasztó az els½o periódusban zérus indulóvagyonnal, és a második periódusban ! kimenetel esetén e! 2 RK készlettel rendelkezik és
8Mely árakat természetesen nem tekintünk a modell által adottnak.
legyen e = (e1; :::; eS) 2 RK S. Tegyük fel hogy a szerepl½ok hasznossága csak a második periódusbeli fogyasztásuktól függ. A második periódusbeli fogyasztást
! kimenetel esetén jelölje c! 2 RK; a j-edik pénzügyi eszköz els½o periódusbeli árát jelöljeXj(0), a második periódusbeli árátXj(1). Ez utóbbi egy valószín½uségi változó, melynek értékét ! kimenetel eseténX!j(1)-el jelöljük.
2. De…níció. Egy a
c11; :::cS1; :::c1M; :::; cSM 2 RK SM
vektor által meghatározott allokáció, egy a spot árakra vonatkozó várakozásokat kifejez½o p = (p11; :::; pKS) 2 RK S vektorból, és az értékpapírok els½o periódusbeli árait meghatározó X(0) = (X0(0); :::; XN(0)) vektorból álló árrendszer, valamint a m = ( m0 ; :::; mN), m 2 f1; :::; Mg kereskedési stratégiák együttesét Radner-egyensúlynak nevezünk, ha minden m-re teljesül, hogy a cm = (c11m; :::cKSm) 2
RK S feltételes fogyasztási terv, valamint a m portfólió megoldása a max
feltételes széls½oérték problémának, továbbáPM
m=1c m =PM
Itt a feltételben szerepl½o els½o egyenl½otlenség azt fejezi ki, hogy a befektet½o egy olyan portfoliót választ, amely zérus indulóvagyon segítségével megvásárolható az els½o periódusban, a második egyenl½oség pedig azt állítja, hogy az optimumban
Itt a feltételben szerepl½o els½o egyenl½otlenség azt fejezi ki, hogy a befektet½o egy olyan portfoliót választ, amely zérus indulóvagyon segítségével megvásárolható az els½o periódusban, a második egyenl½oség pedig azt állítja, hogy az optimumban