A szemimartingál topológiában konvergens sorozat

Most már rátérhetünk a szemimartingál topológiában konvergens sorozatok meg-határozására.

62. Lemma. Létezik olyan Lⁿ2 conv H^k; k n sorozat, amelyre az (Lⁿ M) konvergál a szemimartingál topológiában.

Bizonyítás: Az el½oz½o lemma szerint minden n-hez létezik olyan c_n szám, hogy tetsz½oleges ( ₁; :::; _m)konvex súlyokra

és

n

cn $infft j j(Hⁿ M)_tj c_ng: 1. A ^k_cn megállási id½o de…níciója miatt

H^k 0; ^k_cn M cn+ H^k M k cn :

Mivel a Hⁿ S speciális szemimartingál, ezért aHⁿ S kanonikus felbontása Hⁿ S =Hⁿ M+Hⁿ A:

Mivel a 54. lemma szerint sup_n(Hⁿ S) =q <1, ezért a ( (Hⁿ S)) 2 (Hⁿ S) egyenl½otlenség és a 56. lemma feltételei teljesülnek, így

H^k M _k

cn 2

3 H^k S

2

6 H^k S

2

6kqk2; amit összevetve a fenti egyenl½otlenséggel, kapjuk, hogy

H^k 0; ^k_cn M

H² c_n+ 6kqk2: 2. Legyen H $ b

i2NH²i, ahol b jelöli a (H²i) Hilbert-terek küls½o Hilbert-összegét, amely maga is Hilbert-tér⁵². Tudjuk, hogy tetsz½oleges (X_i) 2 H sorozat nor-mája qP

ikX_ik²_H²_i. Tekintsük azt az X^k Hsorozatot, amelynek n-edik ko-ordinátája

X_n^k $ 1

2ⁿ(c_n+ 6kqk2)H^k 0; ^k_cn M:

Az X^k sorozat korlátos H-ban a H normája szerint. Mivel egy Hilbert-térben minden korlátos sorozatnak van gyengén konvergens részsorzata⁵³, ezért az ál-talánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy az X^k sorozat a H szorzatban gyengén konvergál valamely X-hez. Mazur-tétele alapján létezik⁵⁴ olyan Y^k 2 conv X^k; X^k+1; ::: sorozat, amelyik a H szorzat normájában konvergens. Ezért az Y^k koordinátái H²-ben konvergálnak, vagyis minden k esetén léteznek a ^k₀,

52Ld.: [65]: 221. oldal.

53Ld.: [95]: 8.15 Tétel

54Ld.: [87]: 3.13 Theorem

k sorozat, minden n esetén konvergálH²-ben.

3. Lássuk be, hogy ha L^k $ PNk

j=0 k

jH^k+j, akkor az L^k M sorozat Cauchy-sorozat a szemimartingál-topológia szerint. Legyen adott egy " > 0 és legyen 1=N < "legyen. Ekkor tetsz½oleges k; l indexekre

L^k M L^l M

A c_N de…níciója és (4.27) miatt, az utóbbi két tag mindegyike kisebb mint ".

Másrészt, felhasználva, hogy a sztochasztikus integrálok a nullában nulla értéket vesznek fel

Ez utolsó kifejezés az Itô-izometriával sup

jKj 1

s E(

Z ₁

0

K²d Y_N^k Y_N^l )

q

E( Y_N^k Y_N^l (1)) =

= Y_N^k Y_N^l

H²; vagyis

Y_N^k Y_N^l

S 2 Y_N^k Y_N^l

H²:

Az Y_n^k minden n-re, így N-re is konvergál aH²-ben, ezért elég nagyk-ra és l-re az Y_N^k Y_N^l

S is kisebb mint": Ezzel a lemmát beláttuk.

63. Lemma. Az el½oz½o lemmában de…niált L^k sorozatra teljesül, hogy az L^k A sorozat konvergens a szemimartingál topológiában.

Bizonyítás: A szemimartingál topológiát jellemz½o 15. tétel miatt elegend½o meg-mutatni, hogy mindent-re a sztochasztikus konvergenciában

K L^k L^m A

t !0 egyenletesen ajKj 1 folyamatokon.

1. A

K L^k L^m A Var K L^k L^m A =

jKj Var L^k L^m A Var L^k L^m A

egyenl½otlenségek miatt elegend½o belátni, hogyVar L^k L^m A (1)!0 sztoc-hasztikusan, amintk; m! 1. Tegyük fel hogy ez nem teljesül, vagyis léteznek az (i_k; j_k) növekv½o, egész érték½u sorozatok, és egy >0 szám, hogy

P Var L^ik L^jk A (1)> > :

A korlátos változású folyamatok Hahn-felbontása alapján létezik egyh^k,f+1; 1g -beli értékeket felvev½o el½orejelezhet½o folyamat, amelyre

Var L^ik L^jk A =h^k L^ik L^jk A :

De…niáljuk az R^k integrandust a következ½oképpen:

R^k $L^jk+ 1

2 1 +h^k L^ik L^jk = 1

2 L^ik +L^jk +h^k L^ik L^jk : A h^k konstrukciója miatt az

R^k L^ik A= 1

2 h^k 1 L^ik L^jk A (4.28)

R^k L^jk A = 1

2 h^k+ 1 L^ik L^jk A folyamatok növekv½oek, és

Var L^ik L^jk A (1) = R^k L^ik A (1) + R^k L^jk A (1): Feltehet½o, hogy minden k-ra

P R^k L^ik A (1)>

2 >

2; (4.29)

ugyanis a relációnak vagy az ik-val vagy a jk-val végtelen sokszor teljesülni kell, így ha szükséges azi_k és aj_k indexeket felcseréljük.

2. Lássuk be, hogy R^k L^ik M sztochasztikusan 0-hoz tart. Tegyük fel hogy az állításunkkal ellentétben, valamely -ra végtelen sokk indexre

P R^k L^ik M > > : Legyen

$inf tj R^k L^ik M (t) > :

Az indirekt feltevés miattP( <1)> , ezért létezik egysszám, hogyP( < s)>

=2:Ekkor felhasználva az (4.28) els½o sorát azt kapjuk, hogy egy =2-nél nagyobb valószín½uség½u halmazon végtelen sokk-ra

R^k L^ik M ( ^s) = R^k L^ik M (s) =

= 1

2 ([0; ]) h^k 1 L^ik L^jk M (s) :

Ez azonban ellentmondás, hiszen a K $ 1

2 ([0; ]) h^k 1

el½orejelezhet½o folyamatra jKj 1, és el½oz½o lemmánk alapján(L^ik L^jk) M !0 a szemimartingál topológiában, ezért a 15. tétel alapján a sztochasztikus konver-genciában

K L^ik L^jk M (s)!0:

Nyilván hasonló állítás teljesül R^k L^jk M -ra is.

3. Legyen ( _k) egy pozitív számokból álló nullához konvergáló sorozat. Az ál-talánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy mindenk-ra

P R^k L^ik M > _k vagy R^k L^jk M > _k < _k: (4.30) Legyen

k$inf tj R^k M

t<max L^ik M

t; L^jk M

t k :

A f ^k<1g halmazon létezik t, amelyre

R^k M _t<max L^ik M _t; L^jk M _{t k};

vagyis vagy R^k M _t <(L^ik M)_{t k};vagy R^k M _t<(L^jk M)_{t k}teljesül.

Kicsit másképpen: vagy R^k L^ik M _t < _k; vagy R^k L^jk M _t <

k, amib½ol vagy R^k L^ik M > _k, vagy R^k L^jk M > _k: Ebb½ol viszont a (4.30) sor miatt P( k <1)< k:

4. Legyen Re^k $ R^k ([0; _k]). Lássuk be hogy az Re^k integrandus (1 + _k )-megen-gedett. El½oször tegyük fel, hogy t < _k. Az R^k L^ik A és az R^k L^jk A folyamatok növekv½oek és a0-ban 0értéket vesznek fel, így mindkét folyamat nem negatív, ezért

e R^k S

t

= R^k S _t= R^k A _t+ R^k M _t max L^ik A _t; L^jk A _t + R^k M _t:

A k de…níciója miatt

R^k M _t max L^ik M _t; L^jk M _{t k}:

Ezt a fenti egyenl½otlenséggel összevetve, kihasználva hogy azL^ik és az L^jk 1-meg-engedett: (L^ik S), vagy a (L^jk S)ugrással egyezik meg. Az általánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy R^k S

k = ( (L^ik S))

Az utolsó tag nyilván nullához tart. Figyelembe véve (4.29) sort, és aP( k <1)<

k egyenl½otlenséget, az els½o tagra, elég nagy k-ra P Re^k L^ik A

1 >

2 >

4:

Továbbá tudjuk, hogy az R^k L^ik A nem negatív érték½u, amib½ol következik hogy

lim inf

k!1 Re^k L^ik A

1 0: (4.31)

Ha ugyanis egy pozitív mérték½u halmazon a határérték negatív lenne, akkor elég nagy k-ra a P( _k <1) < _k < miatt ellentmondást kapnánk, hiszen csak egy legfeljebb k valószín½uség½u halmazon teljesülhet, hogy a határérték negatív.

Végezetül becsüljük meg a második tagot. Triviálisan af ^k =1ghalmazonR^k= e

R^k. Miként láttuk az R^k L^ik M sztochasztikusan tart 0-hoz, következés-képpen a P( _k<1)< _k !0 miatt,

e

R^k L^ik M ^P!0:

Az általánosság megszorítása nélkül feltehet½o, hogy ez a konvergencia majdnem mindenhol értelemben is teljesül, ezért

Re^k L^ik M

1

m:m:!0: (4.32)

6. A 32. kompaktsági lemma alapján létezik a V^k 2convn

Re^k L^ik;Re^k+1 L^ik+1; :::o

sorozat, hogy a V^k S

1

m:m:! g, és (4.31) valamint (4.32) miatt g 0: Fel-használva (4.30) sort, elég nagy k-ra:

P Re^k L^ik S

Ismét (4.31) és (4.32) sorokból következik, hogy lim inf

k!1 Re^k L^ik S

1 0;

amib½ol

lim sup

k!1

Re^k L^ik S

1 0;

vagyis

klim!1 Re^k L^ik S

1 = 0:

Jegorov-tétele miatt alkalmas C 2 F halmazon _C V^k S

1 tart egyenletesen

Cg-hez a C halmazon, ahol P( nC) < ₁₆. Ekkor a 32. kompaktsági lem-mát a _C Re^k L^ik S

1sorozatra alkalmazva aV^k-ban szerepl½o súlyok nyil-ván most is megfelel½oek lesznek, és az egyenletes konvergencia miatt a lemmában a-értékét tetsz½olegesen kicsire választhatjuk, ezért (4.33) sort is …gyelembe véve kapjuk, hogy P(g >0) > 0. Ekkor viszont, mivel (L^ik S)₁ ^m:m:! f₀, és mivel az ₁₊¹

k-sorozattal való szorzás nem változtatja meg a határértéket, ezért a fenti súlyok egyúttal egy olyan

U^k2conv

( Re^k

1 + _k; Re^k+1 1 + _k+1; :::

)

1-megengedett integrandust adnak, melyre az lim

k!1 U^k S

1=g+f₀ f₀

is teljesül, és az egyenl½otlenség egy pozitív mérték½u halmazon pozitív, ami ellent-mond azf₀ maximalitásának.

4.4. Az alaptétel többdimenziós szemimartingál

In document Arbitrázs és martingálmérték (Pldal 119-127)