A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa

Legyen az U² halmaz azu :R !R nemcsökken½o, konkáv függvények halmaza és legyen u 2 U². Legyen w₀ 2 L¹, és legyen G 2L⁰ egy nemüres konvex kúp. Ha w₀ konstans, akkor a döntéshozó kezdeti vagyonaként interpretálható. Legyen

U_P;G(w₀) = sup

w2G

E_P[u(w₀+w)];

ahol a szuprémumot azon változók körében kell venni, amelyekreE_P[u (w₀ +w)]<

1:Ekkor aw0 2L¹-b½ol elérhet½o haszonmaximumot a következ½oképpen értelmez-zük:

U_P;C(w₀) = sup

w2C

E_P[u(w₀+w)]: (5.14)

A szakasz hátra lev½o részében a portfolióválasztás duális megközelítésébe szeretnénk egy rövid bepillantást nyújtani. Miel½ott azonban a Frittelli-féle alaptétel szempont-jából fontos Bellini–Fritteli-tételre rátérnénk, ismerkedjünk meg az ún. dualitáson alapuló megközelítéssel. Ha az olvasó netán nem ismerné a Lagrange-dualitás fogalmát, akkor a következ½o lemmát és az azt követ½o bekezdést nyugod-tan átugorhatja, mert a Bellini-Frittelli-féle duális megközelítés nem a Lagrange-dualitásra, hanem a Fenchel-féle dualitási tételre támaszkodik. (Ld.: [69])

Mivel M₁ 6=;, ezért az M kúp polárisa a következ½o alakú:

M⁰ =fw2L¹ jE_Q[w] 0 8Q2M₁g: (5.15) Ekkor igaz a következ½o állítás.

73. Lemma. Ha M₁\P6=;, akkor C =M⁰:

Bizonyítás Tekintsük az(L¹; ba)dualitás(L¹; L¹(P))-re való lesz½ukítését. AC kúp erre vonatkozó polárisa éppen M. Korábban láttuk, hogy a NFLVR feltétel esetén a C kúp gyenge-csillag-zárt, ezért a bipoláris tétel alapján C =C⁰⁰ vagyis valóban C =M⁰.

A továbbiakban tegyük fel, hogyx2Regy tetsz½oleges konstans. Ekkor azM⁰ (5.15) megadása miatt

U_P;M⁰(x) = supfE_P[u(x+w)]jw2L¹ :E_Q[w] 0 8Q2M₁g= supfE_P[u(w)]jw2L¹:E_Q[w] x 8Q2M₁g:

Ekkor tehát a fenti lemma feltételei mellett az (5.14)-beli dinamikus optimalizálási feladat a

supfE_P[u(w)]jw2L¹:E_Q[w] x8Q2M₁g

statikus optimalizálási feladattá alakítható. A probléma, csakúgy mint a véges eset tárgyalásánál láttuk, hogy ez az optimalizálási feladat általános esetben még vége-sen generált valószín½uségi mez½o esetén is végtelen számú korlátot tartalmaz. Ez végesen generált valószín½uségi mez½o esetén nem jelentett valódi problémát, hiszen mint azt korábban láttuk, ekkor azM₁ halmaz zárt, korlátos, polihedrális halmaz, ezért azonos a véges számú extrémális pontjának konvex burkával, ezért a fenti probléma korlátjai között elegend½o ezen extrémális pontokhoz tartozó korlátokat szerepeltetni. Ily módon egy véges számú korlátot tartalmazó statikus optimum problémához jutunk, ami az eredeti dinamikus optimalizálási feladatnál numeriku-san egyszer½ubben kezelhet½o. Ez a módszer viszonylag könnyen általánosítható végtelen dimenziós esetre is teljes piacok esetén (ld. pl.: [79]). Tudjuk, hogy teljes piacok esetén az M₁ halmaz egy elemb½ol áll, ekkor a fenti probléma Lagrange-duálisa (ld.: [84]) a következ½o:

inf

>0 sup

k2L¹(Q)fE_P[u(k)] (E_Q[k] x)g= inf

>0 x +E_P u ( ^dQ_dP) :

Az eredményül kapott minimumprobléma bizonyos esetekben az eredetinél egy-szer½ubben megoldható. Nemteljes piacok esetén azonban nehézséget okoz, hogy a statikus optimumprobléma végtelen számú korlátot tartalmaz. Ezt a nehézséget megkerülend½o, [7]-ben Bellini és Frittelli egy új általános dualitási tételt dolgoztak ki, amely mint látni fogjuk, kulcsszerepet játszik az alaptétel Frittelli-féle alakjának bizonyításában.

Vegyük észre, hogy a fenti duális megközelítés felhasználta a C kúp speciális szerkezetén – ezért egyúttal a sztochasztikus folyamatok általános elméletén – alapuló gyenge-csillag-zártságot. A Bellini–Frittelli-féle duális megközelítés újsze-r½usége éppen abban rejlik, hogy nem használja a C kúp zártságát és így csak annyiban épít a sztochasztikus folyamatok általános elméletére, hogy a C kúp értelmezhet½o. Igaz tehát az alábbi állítás. Ld.: Bellini–Frittelli [7].

74. Tétel (Bellini–Frittelli). Legyen u 2 U², valamint L¹ G L¹ egy

konvex kúp és legyen

N₁ = Q:Q P valószín½uségi mérték és dQ

dP 2G⁰\L¹(P) : Ha valamely P2P és w₀ 2L¹-re teljesül hogy U_P;G(w₀)< u(+1), akkor

U_P;G(w₀) = min

Q2N1

min

>0 E_P dQ

dPw₀ u ( dQ

dP) : (5.16)

Mint említettük, a tétel bizonyítása a Fenchel-féle dualitási tételen alapul, ami viszont a Hahn–Banach szeparációs tétel viszonylag egyszer½u következménye.

5.2.3. A minimaxmérték

A továbbiakban jelöljük D-vel az u függvény e¤ektív értelmezési tartományát.

Tetsz½olegesx2int(D) ésQ P-re legyen

U(x;Q;P)= supfEP[u(x+w)]jw2L¹ :EQ[w] 0g

= supfE_P[u(w)]jw2L¹:E_Q[w] xg

Jelöljük L -al a fw 2L⁰ j kw k₁<1g halmazt. Ekkor könnyen belátható az alábbi lemma.

75. Lemma. Ha u felülr½ol félig folytonos konkáv függvény, melynek D e¤ektív értelmezési tartománya egy intervallum és u nemcsökken½o D-n, akkor

U(x;Q;P) = sup E_P[u(x+w)]jw2L :E_Q[w] 0 : Vegyük észre, hogy minden Q2M₁ esetén U_P;M⁰(x) U(x;Q;P), és így

U_P;M⁰(x) inf

Q2M1

U(x;Q;P):

Ez az észrevétel motiválja a következ½o de…níciót.

76. De…níció. EgyQb_x 2M₁ valószín½uségi mértéket minimaxmértéknek nevezünk, ha

U_P;M⁰(x) = min

Q2M1

U(x;Q;P) =U(x;Qb_x;P):

A minimax mérték els½o alkalmazása He és Pearson nevéhez f½uz½odik. He–Pearson [47]-ben a szerz½ok egy olyan di¤úziós folyamatokon alapuló modellt vizsgálnak, ahol a szerepl½ok hasznossága nem csak periódus végi vagyontól, hanem az egyes periódusokbeli fogyasztástól is függ. Egy alkalmas dualitási tétel segítségével a szerz½ok az eredeti sztochasztikus dinamikus optimalizálási problémát a véges di-menziós esethez hasonlóan egy statikus variációs problémává alakítják, amelyben a szerepl½ok a várható hasznosságukat maximalizálják, egy a minimax mérték segít-ségével képzett költségvetési korlát mellett. A probléma ily módon egy kvázilineáris parciális di¤erenciálegyenletre vezet, ami egyszer½ubben megoldható, mint a Bell-man-egyenlet.

A következ½o állítás a minimax mérték létezésének egy elégséges feltételét adja meg. A minimax mérték létezésének bizonyításához ezek szerint két dolgot kell belátnunk. Egyrészt be kell látnunk hogy asupE_P[u(x+w)]és az infU(x;Q;P) optimumproblémák között nincs „dualitási rés”, másrészt be kell látni, hogy a minimum létezik. Mivel a primál optimum probléma esetében az L¹ téren op-timalizálunk, ezért a duális probléma megoldását „alap esetben” a ba és nem az L¹ tér elemei között kell keresnünk, ezért általános esetben nem várhatjuk, hogy a megoldás a martingálmértékek halmazába fog esni. A tétel bizonyítása a 74.

tételen alapul.

77. Tétel. Tegyük fel, hogy M₁ \ P6=;. Ha továbbá u : R ! R konkáv, nem csökken½o függvény, valamint x2R és P2P kielégítik az U_P;M⁰(x)<sup_y2Ru(y) feltételt, akkor

U_P;M⁰(x) = min

Q2M1

U(x;Q;P):

Ha ráadásul sup_y2Ru(y) = +1; akkor U_P;M⁰(x) = min

Q2M1\PU(x;Q;P):

Ha X korlátos (lokálisan korlátos), akkor a fenti állítás abban az esetben is igaz, ha M₁ helyébeM-et (M^loc-ot) írunk.

A 73. tétel alapján tehát M1\P6=; és D = R esetén az eredeti dinamikus portfolióválasztási probléma átalakítható egy statikus maximalizálási problémává, másrészt aQb_xminimax-mérték ismeretében –a minimax mérték de…níciója alapján –az ezen statikus maximumproblémában szerepl½o korlátok száma egyre csökkent-het½o. Vegyük észre, hogy mivel teljes piacok esetén az ekvivalens

martingálmér-ték egyértelm½u, ezért a fenti tétel alapján sup_y2Ru(y) = +1 esetben a minimax mérték azonos lesz az ekvivalens martingálmértékkel, ezért ebben az esetben a statikus problémában automatikusan egyetlen korlát szerepel.

A Frittelli-féle alaptétel

6.1. Arbitrázs és preferenciák

6.1.1. A sztochasztikus dominancia

Azt szokás mondani, hogy az arbitrázsmentesség feltevése implicit módon annyit feltételez a befektet½ok preferenciáiról, hogy azok preferenciarendezése monoton, hiszen egy arbitrázslehet½oség minden monoton preferenciákkal rendelkez½o befek-tet½o számára kívánatos. Azt is láttuk, hogy az életképesség ekvivalens a nincs ingyenebéd feltétellel, amit úgy is interpretálhatnánk, hogy a nincs ingyenebéd feltétel a preferenciák konvexitását feltételezi. Felmerül tehát a kérdés, hogy létezik-e egy egységes fogalmi keret, aminek segítségével az arbitrázsfogalmak közötti eltérések a preferenciák eltér½o voltára vezethet½oek vissza. Kézenfekv½o megoldásnak t½unhet a sztochasztikus dominancia mint fogalmi keret használata.

Azt mondjuk, hogy egy kockázatos A ki…zetés els½orendben sztochasztikusan do-minálja a B ki…zetést, ha minden növekv½o és folytonos hasznossági függvénnyel rendelkez½o befektet½o gyengén preferálja A-t B-vel szemben. Jelöljük F_X-el az X ki…zetés eloszlásfüggvényét. Ismert (ld.: [48]) hogy A pontosan akkor dominálja els½orendben B-t, ha minden z 2 R esetén F_A(z) F_B(z). A sztochasztikus dominancia és az arbitrázs kapcsolatát vizsgálja R. Jarrow [54]. Megmutatja, hogy egy teljes piacon pontosan akkor létezik arbitrázs, ha létezik két speciális tulajdonsággal rendelkez½o eszköz, melyek közül az egyik egy bizonyos értelemben sztochasztikusan dominálja a másikat.

A pontos eredmény ismertetéséhez tételezzük fel, hogy a befektet½ok vélekedé-sei különböznek az egyes kimenetelek valószín½uségeit illet½oen. Legyenek A és B

valószín½uségi változók, melyek mindegyike egy-egy ki…zetést reprezentál. Jelöljük az A ki…zetés i 2 I befektet½o Pⁱ szubjektív valószín½usége szerinti eloszlásfügg-vényét F_Aⁱ(z)-vel, és módosítsuk kissé a sztochasztikus dominancia fogalmát. Azt mondjuk, hogy egy i 2 I befektet½o számára A els½orendben sztochasztikusan dominálja a B-t, ha minden z 2 R esetén F_Aⁱ(z) F_Bⁱ(z) és valamely z-re F_Aⁱ(z)< F_Bⁱ(z). Jarrow a következ½o állítást bizonyítja:

78. Tétel. Egy véges dimenziós teljes piacon pontosan akkor létezik arbitrázs, ha létezik olyan A és B feltételes követelés és egy Pⁱ szubjektív valószín½uséggel reprezentálható i 2 I befektet½o, hogy az i 2 I befektet½o számára A els½orendben sztochasztikusan dominálja a B-t, és az F_Aⁱ(B) F_Bⁱ(B) feltételes követelés nem-pozitív induló vagyon révén replikálható.

A sztochasztikus dominancia alapgondolatát fejleszti tovább Frittelli „no mar-ket free lunch” fogalma. Látni fogjuk, hogy a „no marmar-ket free lunch” fogalom az arbitrázsfogalmak lezárás operátorait meghatározó topológiafogalmaknak a lehet-séges befektet½ok hasznosságfüggvényeinek analitikus tulajdonságait felelteti meg.

A befektet½o preferenciarendezését alapul véve azt mondhatjuk, hogy az arbitrázsle-het½oség azt jelenti, hogy nulla kiinduló vagyonnal, kereskedés révén egy olyan véletlenf ki…zetéshez juthatunk, mely felbontható egy w nemnegatív és egyúttal pozitív valószín½uséggel pozitív értéket felvev½o ki…zetés és egy olyan q véletlen

ki-…zetés összegére, amelynek a hasznossága –bármely monoton hasznosságfügvényt alapul véve – legalább akkora mint az azonosan nulla ki…zetésé¹. Ezt a gondo-latmenetet általánosítja Frittelli „no market free lunch” fogalma. Ahogy azt ko-rábban láttuk, az arbitrázsmentesség feltétele általános esetben nem garantálja az ekvivalens martingálmérték létezését, ezért egy er½osebb feltételre volt szükségünk, ehhez viszont b½ovítenünk kellett a kizárandó arbitrázs lehet½oségek halmazát. A fenti megközelítést …gyelembe véve, ez megtehet½o oly módon, hogy a fentifvéletlen ki…zetések esetében csak bizonyos monoton hasznossági függvényekre követeljük meg a fenti tulajdonságot. Ezen a ponton válik el a Delbaen–Schachermayer-féle és a Fritteli-féle megközelítés. Az el½obbi ugyanis – mint azt látni fogjuk – a be-fektet½ok hasznossági függvényét½ol csupán a folytonosságot követeli meg, míg az utóbbi a konkavitást is. Mivel mind a Delbaen–Schachermayer-tétel, mind a Frit-telli alaptétel az ekvivalens lokális martingálmérték létezésének az ekvivalenciájáról

1Ez a de…níció triviálisan megegyezik az arbitrázs korábbi de…níciójával, ugyanis a hasznosságfüggvény megválasztható úgy, hogy a negatív számokon 1értéket vegyen fel, ezért qnyilván nemnegatív.

szól, ezért a két arbitrázsmentességi fogalom ekvivalens. Ezért ha feltételezzük, hogy valamely pénzügyi piacon az árrendszer konkáv hasznossági függvénnyel ren-delkez½o befektet½oket feltételezve konzisztens², akkor ez a piac a nem feltétlenül konkáv de folytonos hasznosságfüggvény½u befektet½ok számára már nem tartogat új arbitrázs lehet½oségeket. A Delbaen-Schachermayer-féle elmélet egy érdekes mon-danivalója tehát az, hogy ebben az esetben a piac konzisztenciájának vizsgálatakor a befektet½ok hasznosságfüggvényére vonatkozó konkavitási megkötés nem jelent megszorítást³.

6.1.2. A „no market free lunch” fogalma

Az alábbiakban az arbitrázs fogalmának egy preferenciákon alapuló megközelítésé-vel fogunk foglalkozni. Ahhoz, hogy a két megközelítés közötti párhuzamot vilá-gosan lássuk, érdemes az arbitrázs közgazdasági fogalmából kiindulni. Egy rövid gondolatmenet erejéig tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o végesen generált.

Legyen

L¹₊₊ =fw2L¹ jP(w 0) = 1 és P(w >0)>0g;

és interpretáljuk azL¹₊₊-beli elemeket mint aT-edik id½opontbeli feltételes követe-léseket. Ezen feltételes követelést jelenben eladva nyilván pozitív els½o periódusbeli bevételhez jutnánk. Felmerül a kérdés, hogy vajon egy alkalmas kereskedési straté-gia segítségével „fedezhet½o”-e a bizonytalanT-edik periódusbeli wkötelezettség?

Vagyis létezik-e egy alkalmas nempozitív kiinduló költség½u stratégia, melynek f 2 C eredménye⁴, valamilyen értelemben dominálja, fedezi w-t. Ebben az e-setben egyfajta arbitrázsjövedelemhez jutnánk. Ha a befektet½okr½ol csak annyit teszünk fel, hogy számukra a több jobb, akkor ez a dominancia egyszer½uen az f w, vagyis a

min (f w) 0 (6.1)

2Vagyis nem létezik „market free lunch” a Fritteli-féle értelemben.

3Vegyük észre a párhuzamot a mikroökonómia dualitási elméletének egy ismert következményével. A termeléselmélet dualitáselve szerint a költséggörbéb½ol a technológia minden közgazdaságtanilag fontos tulajdonsága kiolvasható, ugyanakkor a költségfüggvényhez mindig található egy konvex inputkövetelmény halmaz, amib½ol az származtatható. Ezek szerint a tech-nológia konvexitása nem túlságosan megszorító feltételezés.

4Végtelen dimenzió esetén pedig ezen eredmények f_nsorozatának – alkalmasan választott topológia szerinti –határértékeként adódólimf_n

relációval formalizálható. A kérdéses fedezeti stratégia létezése tehát ekvivalens egy olyanw2L¹₊₊ elem létezésével melyre teljesül, hogy

maxf2C

n

min (f w)o

0: (6.2)

Ez az arbitrázs-fogalom tehát konzisztens minden olyan befektet½o preferenciaren-dezésével, aki monoton preferenciákkal rendelkezik. Vajon hogyan módosul ez az arbitrázsfogalom, ha azt akarjuk, hogy konzisztens legyen minden kockázatke-rül½o befektet½o preferenciarendezésével? Ennek vizsgálatához további jelöléseket vezetünk be.

Tegyük fel, hogy a piaci befektet½ok aQ 2Pvélekedésükkel és a biztos kimenete-leken értelmezettu hasznosságfüggvényükkel jellemezhet½oek, valamint hogy hasz-nosságérzetük kizárólag a periódus végén rendelkezésükre álló vagyonuktól függ.

Tegyük fel, hogy a befektet½ok preferenciái várható hasznosságfüggvénnyel reprezen-tálhatóak, vagyis

f₁ <f₂ () E_Q[u(f₁)] E_Q[u(f₂)]:

Ha azt akarjuk, hogy valamely w feltételes követelést minden kockázatkerül½o fo-gyasztó arbitrázslehet½oségnek tekintsen, akkor a fenti (6.2) reláció helyett célszer½u azt megkövetelni, hogy valamely f 2C-re, minden véges érték½u, nemcsökken½o és konkávu hasznosságfüggvény esetén teljesüljön, hogy

E_P[u(f w)] u(0):

Ez a meg…gyelés motiválja a következ½o általános fogalmakat.

Legyen az U halmaz valamely u: R! R[ f 1g függvények halmaza. Az u függvények e¤ektív értelmezési tartományát, vagyis a fx2Rju(x)> 1g hal-mazt jelöljük D(u)-val. Azt mondjuk, hogy egy adott piacon létezik U szerinti ingyen ebéd, ha létezik egy olyanw 2L¹₊₊ függvény, hogy minden P2P és min-den u 2 U esetén sup_f2CE_P[u(f w)] u(0). Ez pontosan azt jelenti, hogy a piacon az összes befektet½o ugyanazt a feltételes követelést tekintiUszerinti ingyen ebédnek, hiszen minden befektet½o –a saját preferenciáit és vélekedését …gyelembe véve – fedezheti a T-id½opontban esedékes w kötelezettséget. Ezek alapján már de…niálhatjuk az Uszerinti nincs ingyenebéd fogalmát.

79. De…níció. Azt mondjuk, hogy az X szemimartingál eleget tesz az U szerinti

nincs ingyenebéd feltételének, ha

8w2L¹₊₊ 9P2P 9u2U: sup

f2C

E_P[u(f w)]< u(0).

6.2. Az alaptétel

A dolgozat hátralev½o részében a Bellini–Frittelli-féle dualitási tétel egy igen érdekes következményeként bemutatjuk az eszközárazás alaptételének Frittelli-féle alakját.

Látni fogjuk, hogy a tétel bizonyítása nem a sztochasztikus folyamatok általános elméletén, csupán viszonylag egyszer½u funkcionálanalízisbeli és konvex analízisbeli eszközökön alapul. Az alaptétel bizonyításához felhasználjuk a Halmos–Savage-tétel egy következményét. Ehhez el½oször vezessünk be néhány fogalmat.

80. De…níció. A mértékekb½ol álló 1és 2 családról azt mondjuk hogy ekvivalensek, ha (A) = 0 8 2 ¹ pontosan akkor teljesül, ha (A) = 0 8 2 ².

81. De…níció. Véges mértékek egy családjáról azt mondjuk hogy dominált, ha létezik egy Q mérték, hogy Q minden 2 esetén.

82. Tétel (Halmos–Savage). (Halmos-Savage) Véges mértékek egy családja pon-tosan akkor dominált, ha tartalmaz egy megszámlálható elemb½ol álló, az eredeti családdal ekvivalens részcsaládot.

A tétel bizonyítását ld.: [59]: A Halmos–Savage-tétel alábbi következménye [40]-ból származik, azonban ott martingálmértékre bizonyítják. M₁-beli mértékekre a bizonyítás némileg egyszer½ubb.

83. Következmény. Legyen afQ_ngn2Nmértékek egy megszámlálhatóM₁-beli hal-maza. Ekkor létezik egyQ2M₁ valószín½uségi mérték melyre az egyetlen mértékb½ol álló fQg halmaz ekvivalens fQ_ngn2N-nel.

BizonyításLegyenfz_ngn2Na megfelel½o Radon–Nikodym deriváltakból álló sorozat.

Tudjuk, hogy

M₁ = z 2L¹₊(P)jE_P[wz] 0, E_P[z] = 1 8w2C ; P2P:

Ekkor a bk =Pk

n=12 ⁿzn Cauchy-sorozatL¹(P)-ben. Jelöljük b-vel azL¹(P)-beli határértékét és legyen z = ^b

kbk1. Belátjuk, hogy a dQ = zdP módon de…niált Q mérték megfelel a feltételeknek. Ehhez elegend½o belátni, hogy minden w 2 C esetén E_P[wz] 0. Legyen w 2 C L¹ tetsz½oleges. Mivel jb_kwj b_kkwk₁ 2 L¹(P);ezértfb_kwgegyenletesen integrálható ésb_kw ^L!¹ bw, így hátE_P[limb_kw] = limE_P[b_kw], vagyis

EP

" ₁ X

n=1

2 ⁿz_nw

#

= X1 n=1

2 ⁿEP[z_nw]: Ez utóbbi alapján

EP[zw] = X1 n=1

kbk1¹2 ⁿEP[znw] 0:

A fenti tétel és a Halmos–Savage-tétel nyilvánvaló következménye az alábbi.

84. Következmény. HaM₁ 6=?;akkor létezik egyQ2M₁, hogyfQgekvivalens M₁-gyel.

A fentiek következményeként most lássuk be az alábbi állítást.

85. Tétel. Az M₁ \P 6= ? feltétel pontosan akkor teljesül, ha minden A 2 F halmazhoz melyreP(A)>0teljesül, létezik egyQ_A 2M₁ mérték, melyreQ_A(A)>

0.

Bizonyítás Ha M₁ \ P 6= ? teljesül és valamely A 2 F és P(A) > 0 esetén Q(A) = 0 lenne mindenQ2M1-re, speciálisan valamely M1\P-beli mértékre is, akkor nyilván nem lehetneP(A)>0: Ezzel az egyik irányt beláttuk. Most tegyük fel, hogy mindenP(A)>0 tulajdonságú A-hoz létezik a szóbanforgóQ_A 2M₁ és legyenQ2M₁ az el½oz½o következmény alapján létez½o valószín½uségi mérték, melyre tehát teljesül, hogy fQg ekvivalens M₁-gyel. Legyen A2 F olyan, hogy Q(A) = 0. Ekkor P(A) = 0, mert különben a feltevésünk szerint valamely Q_A 2 M₁-re Q_A(A)>0teljesülne, ami lehetetlen, hiszenQ(A) = 0ésfQgekvivalensM₁-gyel.

Ezzel beláttuk hogy P Q, amib½ol Q2P.

Most már kimondhatjuk az alaptétel Frittelli-féle alakját.

86. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartin-gál pontosan akkor tesz eleget azU² szerinti nincs ingyenebéd feltételnek, ha M₁\ P6=;

Bizonyítás Csak a nemtriviális irány bizonyítására szorítkozunk. Tegyük fel, hogy az X szemimartingál eleget tesz az U² szerinti nincs ingyenebéd feltételnek, vagyis mindenw2L¹₊₊ esetén valamely P2P-re és u2U²-re

sup

f2C

E_P[u(f w)]< u(0): (6.3)

Rögzítsünk egyw2L¹₊₊ elemet. Alkalmazva a 74. tételt és az (5.16) sort G=C és N₁ =M₁-re, kapjuk, hogy létezik a Q_w 2M₁ és w >0, melyre

sup

f2C

E_P[u(f w)] = min

Q2M1

min

>0 E_P dQ

dPw u ( dQ dP) =

= _wE_Qw[w] E_P u ( _wdQ_w

dP ) : (6.4)

Mivel

u (x ) = inf

x2Rfxx u(x)g= sup

x2Rfu(x) xx g u(0),

ezért (6.4) egyenl½oség jobb oldala alulról a wEQw[w] +u(0) kifejezéssel becsül-het½o, amib½ol (6.3) felhasználásával kapjuk, hogy0> _wE_Qw[w]. Ebb½ol w= _A helyettesítéssel kapjuk, hogy tetsz½oleges A 2 F halmazra, melyre P(A) > 0 tel-jesül, igaz, hogy 0 > _AQ _A(A). Ez azt jelenti, hogy tetsz½oleges A 2 F hal-mazra, melyre P(A) > 0 teljesül, létezik egy Q _A 2 M₁ melyre Q _A(A) > 0, amib½ol 85. tétel alapján következik, hogy M₁\P6=;.

Ezen a ponton a tétel egy érdekes következményére szeretnénk felhívni a …gyel-met. Látni fogjuk, hogy tetsz½oleges szemimartingál modell esetén az M₁\P 6=; feltétel a Delbaen–Schachermayer-tétel alapján azU¹ szerinti nincs ingyenebéddel (ld.: 88. tétel), ugyanakkor ugyanezen feltétel, a Frittelli-féle alaptétel alapján az U² szerinti nincs ingyenebéd feltétellel ekvivalens. Ezért az U¹ szerinti nincs ingyenebéd valamint az U² szerinti nincs ingyenebéd feltételek, vagyis a N F LV R és a „no free lunch” fogalmak ekvivalensek.

Ismert, hogy nem feltétlenül lokálisan korlátos szemimartingál esetén azM₁\P halmaz nem a -martingál-mértékek halmazával azonos, hanem azon P-abszolút

folytonos valószín½uségek halmazával, melyekre nézve az1-megengedett integrandu-sok sztochasztikus integráljai szupermartingált alkotnak. Ezek szerint a Delbaen–

Schachermayer és a Frittelli alaptétel közti párhuzam nem feltétlenül lokálisan korlátos szemimartingálok esetén látszólag kevésbé szoros, azonban Frittelli [39]-ben bebizonyította, hogy a megengedett stratégiák halmaza és a P halmaz úgy módosítható, hogy az eredményül kapott NMFL(U²) feltétel ekvivalens lesz az ekvivalens -martingálmérték létezésével.

Arbitrázsfogalmak karakterizációja

Láttuk, hogy az Uszerinti ingyenebéd feltétele formálisan hasonlít a dolgozat els½o felében említett arbitrázs fogalmakhoz. Felmerül a kérdés, vajon milyen kapcsolat van az U szerinti ingyenebéd és az említett klasszikus arbitrázsfogalmak között.

Megmutatjuk, hogy valamennyi klasszikus arbitrázsmentességi fogalom leírható az U szerinti ingyenebéd fogalma segítségével, ezáltal összevethet½ové válnak a Frittelli-féle és a Delbaen–Schachermayer-féle alaptételek. A bemutatott állítások közül a legérdekesebb I. Klein azon eredménye, miszerint a Frittelli-féle alaptétel-ben szerepl½o U² szerinti nincs ingyenebéd feltétel ekvivalens a C \L¹₊ = f0g Kreps-féle nincs ingyenebéd feltétellel. Az állítás révén tehát egyrészt közgaz-daságtanilag interpretálhatóvá vált, másrészt a Frittelli-tétel révén új bizonyítást is nyert az a – korábban a Kreps–Yan-tétel egyszer½u következményeként említett – állítás, miszerint egy lokálisan korlátos szemimartingálra a nincs ingyenebéd feltételb½ol következik az ekvivalens lokális martingálmérték létezése. Ezen a pon-ton nyilván felmerül a kíváncsi olvasóban a kérdés, hogy vajon mi köze van az U² szerinti ingyenebéd feltételben szerepl½o konkavitásnak az ingyenebéd fogalom gyenge topológiájához. Mint látni fogjuk, erre a kérdésre az Orlitz-terek elmélete adja meg a választ.

7.1. Az arbitrázsmentesség és NFLVR

Tudjuk, hogy véges dimenzió esetén az arbitrázslehet½oség létezése ekvivalens egy olyan w 2 L¹₊₊ létezésével, melyre teljesül, hogy valamely f 2 C-re f w.

Ekkor azonban minden monoton növekv½o u hasznossági függvényre és P 2 P-re E_P[u(f w)] u(0), vagyis

max

f2C fE_P[u(f w)]g u(0):

Megfordítva, ha valamely w 2 L¹₊₊ esetén minden monoton növ½o hasznossági függvényre

max

f2C fE_P[u(f w)]g u(0);

akkor egy olyan u-t választva, melyre u(x) = 1 hax <0 és u(x) = 0ha x 0, adódik, hogy f w, vagyis w egy arbitrázs. Legyen tehát az U⁰ halmaz az u :R ! R[ f 1g nemcsökken½o függvények halmaza. Általános szigma-algebra esetére a gondolatmenet értelemszer½u módosításával adódik a következ½o állítás.

87. Tétel. Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartingál pontosan akkor tesz eleget a C \L¹₊ = f0g feltételnek, ha eleget tesz az U⁰ szerinti nincs ingyenebéd feltételének.

Legyen az U¹ halmaz azon u : R !R[ f 1g nemcsökken½o függvények hal-maza, melyekre teljesül, hogy minden u 2 U balról folytonos 0 2 int(D)-ben.

Ekkor igaz a következ½o állítás.

88. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartin-gál pontosan akkor tesz eleget a NFLVR feltételének, ha eleget tesz az U¹ szerinti

88. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartin-gál pontosan akkor tesz eleget a NFLVR feltételének, ha eleget tesz az U¹ szerinti

In document Arbitrázs és martingálmérték (Pldal 146-0)