6. A Frittelli-féle alaptétel 145
6.1.2. A „no market free lunch” fogalma
Az alábbiakban az arbitrázs fogalmának egy preferenciákon alapuló megközelítésé-vel fogunk foglalkozni. Ahhoz, hogy a két megközelítés közötti párhuzamot vilá-gosan lássuk, érdemes az arbitrázs közgazdasági fogalmából kiindulni. Egy rövid gondolatmenet erejéig tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o végesen generált.
Legyen
L1++ =fw2L1 jP(w 0) = 1 és P(w >0)>0g;
és interpretáljuk azL1++-beli elemeket mint aT-edik id½opontbeli feltételes követe-léseket. Ezen feltételes követelést jelenben eladva nyilván pozitív els½o periódusbeli bevételhez jutnánk. Felmerül a kérdés, hogy vajon egy alkalmas kereskedési straté-gia segítségével „fedezhet½o”-e a bizonytalanT-edik periódusbeli wkötelezettség?
Vagyis létezik-e egy alkalmas nempozitív kiinduló költség½u stratégia, melynek f 2 C eredménye4, valamilyen értelemben dominálja, fedezi w-t. Ebben az e-setben egyfajta arbitrázsjövedelemhez jutnánk. Ha a befektet½okr½ol csak annyit teszünk fel, hogy számukra a több jobb, akkor ez a dominancia egyszer½uen az f w, vagyis a
min (f w) 0 (6.1)
2Vagyis nem létezik „market free lunch” a Fritteli-féle értelemben.
3Vegyük észre a párhuzamot a mikroökonómia dualitási elméletének egy ismert következményével. A termeléselmélet dualitáselve szerint a költséggörbéb½ol a technológia minden közgazdaságtanilag fontos tulajdonsága kiolvasható, ugyanakkor a költségfüggvényhez mindig található egy konvex inputkövetelmény halmaz, amib½ol az származtatható. Ezek szerint a tech-nológia konvexitása nem túlságosan megszorító feltételezés.
4Végtelen dimenzió esetén pedig ezen eredmények fnsorozatának – alkalmasan választott topológia szerinti –határértékeként adódólimfn
relációval formalizálható. A kérdéses fedezeti stratégia létezése tehát ekvivalens egy olyanw2L1++ elem létezésével melyre teljesül, hogy
maxf2C
n
min (f w)o
0: (6.2)
Ez az arbitrázs-fogalom tehát konzisztens minden olyan befektet½o preferenciaren-dezésével, aki monoton preferenciákkal rendelkezik. Vajon hogyan módosul ez az arbitrázsfogalom, ha azt akarjuk, hogy konzisztens legyen minden kockázatke-rül½o befektet½o preferenciarendezésével? Ennek vizsgálatához további jelöléseket vezetünk be.
Tegyük fel, hogy a piaci befektet½ok aQ 2Pvélekedésükkel és a biztos kimenete-leken értelmezettu hasznosságfüggvényükkel jellemezhet½oek, valamint hogy hasz-nosságérzetük kizárólag a periódus végén rendelkezésükre álló vagyonuktól függ.
Tegyük fel, hogy a befektet½ok preferenciái várható hasznosságfüggvénnyel reprezen-tálhatóak, vagyis
f1 <f2 () EQ[u(f1)] EQ[u(f2)]:
Ha azt akarjuk, hogy valamely w feltételes követelést minden kockázatkerül½o fo-gyasztó arbitrázslehet½oségnek tekintsen, akkor a fenti (6.2) reláció helyett célszer½u azt megkövetelni, hogy valamely f 2C-re, minden véges érték½u, nemcsökken½o és konkávu hasznosságfüggvény esetén teljesüljön, hogy
EP[u(f w)] u(0):
Ez a meg…gyelés motiválja a következ½o általános fogalmakat.
Legyen az U halmaz valamely u: R! R[ f 1g függvények halmaza. Az u függvények e¤ektív értelmezési tartományát, vagyis a fx2Rju(x)> 1g hal-mazt jelöljük D(u)-val. Azt mondjuk, hogy egy adott piacon létezik U szerinti ingyen ebéd, ha létezik egy olyanw 2L1++ függvény, hogy minden P2P és min-den u 2 U esetén supf2CEP[u(f w)] u(0). Ez pontosan azt jelenti, hogy a piacon az összes befektet½o ugyanazt a feltételes követelést tekintiUszerinti ingyen ebédnek, hiszen minden befektet½o –a saját preferenciáit és vélekedését …gyelembe véve – fedezheti a T-id½opontban esedékes w kötelezettséget. Ezek alapján már de…niálhatjuk az Uszerinti nincs ingyenebéd fogalmát.
79. De…níció. Azt mondjuk, hogy az X szemimartingál eleget tesz az U szerinti
nincs ingyenebéd feltételének, ha
8w2L1++ 9P2P 9u2U: sup
f2C
EP[u(f w)]< u(0).
6.2. Az alaptétel
A dolgozat hátralev½o részében a Bellini–Frittelli-féle dualitási tétel egy igen érdekes következményeként bemutatjuk az eszközárazás alaptételének Frittelli-féle alakját.
Látni fogjuk, hogy a tétel bizonyítása nem a sztochasztikus folyamatok általános elméletén, csupán viszonylag egyszer½u funkcionálanalízisbeli és konvex analízisbeli eszközökön alapul. Az alaptétel bizonyításához felhasználjuk a Halmos–Savage-tétel egy következményét. Ehhez el½oször vezessünk be néhány fogalmat.
80. De…níció. A mértékekb½ol álló 1és 2 családról azt mondjuk hogy ekvivalensek, ha (A) = 0 8 2 1 pontosan akkor teljesül, ha (A) = 0 8 2 2.
81. De…níció. Véges mértékek egy családjáról azt mondjuk hogy dominált, ha létezik egy Q mérték, hogy Q minden 2 esetén.
82. Tétel (Halmos–Savage). (Halmos-Savage) Véges mértékek egy családja pon-tosan akkor dominált, ha tartalmaz egy megszámlálható elemb½ol álló, az eredeti családdal ekvivalens részcsaládot.
A tétel bizonyítását ld.: [59]: A Halmos–Savage-tétel alábbi következménye [40]-ból származik, azonban ott martingálmértékre bizonyítják. M1-beli mértékekre a bizonyítás némileg egyszer½ubb.
83. Következmény. Legyen afQngn2Nmértékek egy megszámlálhatóM1-beli hal-maza. Ekkor létezik egyQ2M1 valószín½uségi mérték melyre az egyetlen mértékb½ol álló fQg halmaz ekvivalens fQngn2N-nel.
BizonyításLegyenfzngn2Na megfelel½o Radon–Nikodym deriváltakból álló sorozat.
Tudjuk, hogy
M1 = z 2L1+(P)jEP[wz] 0, EP[z] = 1 8w2C ; P2P:
Ekkor a bk =Pk
n=12 nzn Cauchy-sorozatL1(P)-ben. Jelöljük b-vel azL1(P)-beli határértékét és legyen z = b
kbk1. Belátjuk, hogy a dQ = zdP módon de…niált Q mérték megfelel a feltételeknek. Ehhez elegend½o belátni, hogy minden w 2 C esetén EP[wz] 0. Legyen w 2 C L1 tetsz½oleges. Mivel jbkwj bkkwk1 2 L1(P);ezértfbkwgegyenletesen integrálható ésbkw L!1 bw, így hátEP[limbkw] = limEP[bkw], vagyis
EP
" 1 X
n=1
2 nznw
#
= X1 n=1
2 nEP[znw]: Ez utóbbi alapján
EP[zw] = X1 n=1
kbk112 nEP[znw] 0:
A fenti tétel és a Halmos–Savage-tétel nyilvánvaló következménye az alábbi.
84. Következmény. HaM1 6=?;akkor létezik egyQ2M1, hogyfQgekvivalens M1-gyel.
A fentiek következményeként most lássuk be az alábbi állítást.
85. Tétel. Az M1 \P 6= ? feltétel pontosan akkor teljesül, ha minden A 2 F halmazhoz melyreP(A)>0teljesül, létezik egyQA 2M1 mérték, melyreQA(A)>
0.
Bizonyítás Ha M1 \ P 6= ? teljesül és valamely A 2 F és P(A) > 0 esetén Q(A) = 0 lenne mindenQ2M1-re, speciálisan valamely M1\P-beli mértékre is, akkor nyilván nem lehetneP(A)>0: Ezzel az egyik irányt beláttuk. Most tegyük fel, hogy mindenP(A)>0 tulajdonságú A-hoz létezik a szóbanforgóQA 2M1 és legyenQ2M1 az el½oz½o következmény alapján létez½o valószín½uségi mérték, melyre tehát teljesül, hogy fQg ekvivalens M1-gyel. Legyen A2 F olyan, hogy Q(A) = 0. Ekkor P(A) = 0, mert különben a feltevésünk szerint valamely QA 2 M1-re QA(A)>0teljesülne, ami lehetetlen, hiszenQ(A) = 0ésfQgekvivalensM1-gyel.
Ezzel beláttuk hogy P Q, amib½ol Q2P.
Most már kimondhatjuk az alaptétel Frittelli-féle alakját.
86. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartin-gál pontosan akkor tesz eleget azU2 szerinti nincs ingyenebéd feltételnek, ha M1\ P6=;
Bizonyítás Csak a nemtriviális irány bizonyítására szorítkozunk. Tegyük fel, hogy az X szemimartingál eleget tesz az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltételnek, vagyis mindenw2L1++ esetén valamely P2P-re és u2U2-re
sup
f2C
EP[u(f w)]< u(0): (6.3)
Rögzítsünk egyw2L1++ elemet. Alkalmazva a 74. tételt és az (5.16) sort G=C és N1 =M1-re, kapjuk, hogy létezik a Qw 2M1 és w >0, melyre
sup
f2C
EP[u(f w)] = min
Q2M1
min
>0 EP dQ
dPw u ( dQ dP) =
= wEQw[w] EP u ( wdQw
dP ) : (6.4)
Mivel
u (x ) = inf
x2Rfxx u(x)g= sup
x2Rfu(x) xx g u(0),
ezért (6.4) egyenl½oség jobb oldala alulról a wEQw[w] +u(0) kifejezéssel becsül-het½o, amib½ol (6.3) felhasználásával kapjuk, hogy0> wEQw[w]. Ebb½ol w= A helyettesítéssel kapjuk, hogy tetsz½oleges A 2 F halmazra, melyre P(A) > 0 tel-jesül, igaz, hogy 0 > AQ A(A). Ez azt jelenti, hogy tetsz½oleges A 2 F hal-mazra, melyre P(A) > 0 teljesül, létezik egy Q A 2 M1 melyre Q A(A) > 0, amib½ol 85. tétel alapján következik, hogy M1\P6=;.
Ezen a ponton a tétel egy érdekes következményére szeretnénk felhívni a …gyel-met. Látni fogjuk, hogy tetsz½oleges szemimartingál modell esetén az M1\P 6=; feltétel a Delbaen–Schachermayer-tétel alapján azU1 szerinti nincs ingyenebéddel (ld.: 88. tétel), ugyanakkor ugyanezen feltétel, a Frittelli-féle alaptétel alapján az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétellel ekvivalens. Ezért az U1 szerinti nincs ingyenebéd valamint az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltételek, vagyis a N F LV R és a „no free lunch” fogalmak ekvivalensek.
Ismert, hogy nem feltétlenül lokálisan korlátos szemimartingál esetén azM1\P halmaz nem a -martingál-mértékek halmazával azonos, hanem azon P-abszolút
folytonos valószín½uségek halmazával, melyekre nézve az1-megengedett integrandu-sok sztochasztikus integráljai szupermartingált alkotnak. Ezek szerint a Delbaen–
Schachermayer és a Frittelli alaptétel közti párhuzam nem feltétlenül lokálisan korlátos szemimartingálok esetén látszólag kevésbé szoros, azonban Frittelli [39]-ben bebizonyította, hogy a megengedett stratégiák halmaza és a P halmaz úgy módosítható, hogy az eredményül kapott NMFL(U2) feltétel ekvivalens lesz az ekvivalens -martingálmérték létezésével.
Arbitrázsfogalmak karakterizációja
Láttuk, hogy az Uszerinti ingyenebéd feltétele formálisan hasonlít a dolgozat els½o felében említett arbitrázs fogalmakhoz. Felmerül a kérdés, vajon milyen kapcsolat van az U szerinti ingyenebéd és az említett klasszikus arbitrázsfogalmak között.
Megmutatjuk, hogy valamennyi klasszikus arbitrázsmentességi fogalom leírható az U szerinti ingyenebéd fogalma segítségével, ezáltal összevethet½ové válnak a Frittelli-féle és a Delbaen–Schachermayer-féle alaptételek. A bemutatott állítások közül a legérdekesebb I. Klein azon eredménye, miszerint a Frittelli-féle alaptétel-ben szerepl½o U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétel ekvivalens a C \L1+ = f0g Kreps-féle nincs ingyenebéd feltétellel. Az állítás révén tehát egyrészt közgaz-daságtanilag interpretálhatóvá vált, másrészt a Frittelli-tétel révén új bizonyítást is nyert az a – korábban a Kreps–Yan-tétel egyszer½u következményeként említett – állítás, miszerint egy lokálisan korlátos szemimartingálra a nincs ingyenebéd feltételb½ol következik az ekvivalens lokális martingálmérték létezése. Ezen a pon-ton nyilván felmerül a kíváncsi olvasóban a kérdés, hogy vajon mi köze van az U2 szerinti ingyenebéd feltételben szerepl½o konkavitásnak az ingyenebéd fogalom gyenge topológiájához. Mint látni fogjuk, erre a kérdésre az Orlitz-terek elmélete adja meg a választ.
7.1. Az arbitrázsmentesség és NFLVR
Tudjuk, hogy véges dimenzió esetén az arbitrázslehet½oség létezése ekvivalens egy olyan w 2 L1++ létezésével, melyre teljesül, hogy valamely f 2 C-re f w.
Ekkor azonban minden monoton növekv½o u hasznossági függvényre és P 2 P-re EP[u(f w)] u(0), vagyis
max
f2C fEP[u(f w)]g u(0):
Megfordítva, ha valamely w 2 L1++ esetén minden monoton növ½o hasznossági függvényre
max
f2C fEP[u(f w)]g u(0);
akkor egy olyan u-t választva, melyre u(x) = 1 hax <0 és u(x) = 0ha x 0, adódik, hogy f w, vagyis w egy arbitrázs. Legyen tehát az U0 halmaz az u :R ! R[ f 1g nemcsökken½o függvények halmaza. Általános szigma-algebra esetére a gondolatmenet értelemszer½u módosításával adódik a következ½o állítás.
87. Tétel. Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartingál pontosan akkor tesz eleget a C \L1+ = f0g feltételnek, ha eleget tesz az U0 szerinti nincs ingyenebéd feltételének.
Legyen az U1 halmaz azon u : R !R[ f 1g nemcsökken½o függvények hal-maza, melyekre teljesül, hogy minden u 2 U balról folytonos 0 2 int(D)-ben.
Ekkor igaz a következ½o állítás.
88. Tétel (Frittelli). Valamely P valószín½uségi mérték szerinti X szemimartin-gál pontosan akkor tesz eleget a NFLVR feltételének, ha eleget tesz az U1 szerinti nincs ingyenebéd feltételének.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogyX nem tesz eleget azN F LV R feltételének. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan w 2 L1++ függvény, melyre teljesül, hogy valamely fn 2 C sorozatra kfn wkL1 ! 0. Ez ekvivalens egy olyan w 2L1++ függvény létezésével, melyre
sup
f2C
n
essinf(f w)o
0. (7.1)
Mivel tetsz½oleges u 2 U1 balról folytonos 0-ban, ezért létezik a n > 0 sorozat, melyre teljesül, hogy n < x 0 esetén u(x) > u(0) 1. Ekkor w de…níciója
miatt létezik azfn2C sorozat melyre
essinf(fn w)> n: Nyilván
n< fn w (fn w)+ 0 P m.m., amib½ol
u(fn w (fn w)+)> u(0) 1 n:
Mivelfn (fn w)+ 2C, ezért a fenti egyenl½otlenség azt jelenti, hogy létezikU1 szerinti ingyenebéd.
Most tegyük fel, hogy létezik U1 szerinti ingyenebéd. Tekintsünk egy tet-sz½olegesP2P valószín½uségi mértéket, és mindenn 1-re de…niáljuk a következ½o függvényt. Legyen un(x) = 1 ha x n1 és un(x) = 0 ha x > n1. Ekkor nyilván un 2 U1, és az U1 szerinti ingyenebéd de…níciója alapján minden n 1 esetén valamely w2L1++-re
sup
f2C
EP[un(f w)] un(0) = 0:
Ebb½ol következik, hogy mindenn 1esetén létezik egyfn2C melyreP(fn w
1
n) = 0, vagyis essinf(fn w) n1, amib½ol sup
f2Cfessinf(fn w)g 0;
vagyis létezik arbitrázs.
7.2. Az Orlicz-terek elmélete
A továbbiakban [62] alapján meg kívánjuk mutatni, hogy az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétele ekvivalens a [64]-b½ol ismert C \L1+ = f0g „no free lunch”
feltétellel, ahol aC aC-kúp gyenge-csillag topológia szerinti lezártját jelöli. Ehhez azonban fel kell használnunk néhány, az ún. Orlicz-terekkel kapcsolatos eredményt.
Mivel úgy gondoljuk, hogy ezen elmélet viszonylag kevéssé ismert, ezért az alábbi-akban megadjuk az Orlicz-tér de…nícióját. Az Orlicz-terekkel kapcsolatos további eredményekr½ol a [63], [82] és [98] monográ…ákban tájékozódhat az olvasó.
El½oször vezessünk be néhány fogalmat. Egy F : [0;1) ! [0;1) függvényt Young-függvénynek nevezünk, ha F folytonosan di¤erenciálható,F0(0) = F(0) = 0,F0szigorúan monoton növekv½o éslimt"1F0(t) =1. Az összes Young-függvények halmazát Y-nal jelöljük. Minden F 2 Y-ra legyen
LF = f 2L0( ;F;P)jE[F(ajfj)]<1 valamely a >0-ra : Az
kfkF = inf a >0jE F(a 1jfj) 1
normával ellátott LF teret1 szokás Orlicz-térnek nevezni, amir½ol belátható, hogy Banach-tér. Jelöljük egy A halmaz kkF-szerinti lezártját AF-fel. Szükségünk lesz az alábbi két lemmára. (ld.: [67])
89. Lemma. Legyen A egy konvex L1-beli halmaz. Ekkor a
\
F2Y
AF
!
\L1
halmaz megegyezik az A halmaz (L1; L1) topológia szerinti lezártjával.
90. Lemma. Legyen fk 2LF olyan sorozat melyre fk f
F !0: Ekkor lim
k!1E F( fk f ) = 0:
7.3. A "nincs ingyenebéd" feltétel
Ebben a szakaszban az Orlicz-terek elméletének segítségével megadjuk a nincs ingyenebéd feltétel preferenciákkal történ½o karakterizációját. Jelöljük C -gal a C-kúp gyenge-csillag topológia szerinti lezártját. A következ½o állítást fogjuk igazolni.
91. Tétel (Klein). Az U2 szerinti nincs ingyenebéd feltétele ekvivalens a C \ L1+ =f0g feltétellel.
1Pontosabban az ekvivalenciaosztályokból álló teret.
Bizonyítás El½oször lássuk be, hogy ha egy w követelés ingyenebéd, akkor U2 szerinti ingyenebéd is. Legyen tehát w 2 C \L1++, és legyen u 2 U2 és P 2 P tetsz½oleges. Feltehet½o, hogy u(0) = 0, ugyanis a gondolatmenet eltolásával az általános eset bizonyítása magától értet½od½o. Kezdetben azt is tegyük fel, hogy azu gráfjának negatív síknegyedbe es½o részét az origó körül 180 fokkal elforgatva Young-függvény-t kapunk. Azaz létezik olyan Fu Young-függvény, melyre u (x) = Fu( x), ha x 0, és u (x) = 0 ha x > 0. Ekkor felhasználva, hogy egy konvex halmaz gyenge-csillag lezártja mindenP2Pesetén ugyanaz, az els½o lemma alapján létezik egy fk sorozat, melyre fk w F
u ! 0, ezért a második lemma alapján
EP u (fk w) = EPh
Fu( fk w )i
EP Fu( fk f ) !0: (7.2) Ekkor, mivel fk C-beli, kapjuk hogy
sup
f2C
EP[u(f w)] sup
f2C
EP u (f w) 0 =u(0);
vagyis w valóban U2 szerinti ingyenebéd. Az általános eset bizonyítása annak a ténynek a triviális következménye, hogy mindenu2U2-beli függvényhez és " >0 számhoz létezik egy Fu" Young-függvény, hogy Fu"( x) u (x) +" ha x 0 (lásd [62]).
Most tegyük fel, hogy a w 2 L1++ követelés U2 szerinti ingyenebéd és lás-suk be, hogy ekkor w ingyenebéd is. Tetsz½oleges F Young-függvényre és k po-zitív egész számra legyen uFk(x) = F( kx) ha x nempozitív, és uFk(x) = 0 ha x pozitív. Mivel uFk 2 U2 és w U2 szerinti ingyenebéd, létezik az fF;k 2 C sorozat, melyre minden P 2 P esetén EP uFk(fF;k w) 2 k. Legyen D = conv (f w) jf 2C . EkkorgF;k = (fF;k w) egyD-beli sorozat. Ekkor nyil-ván EP F(kgF;k) 2 k, ezért gF;k F 1=k, amib½ol következik, hogy gF;k k sorozatLF-ben konvergál0-hoz. Ez azt jelenti, hogy mindenF 2 Yesetén02 DF, ezért az els½o lemmánk alapján 02 D , így hát létezik egyD-belih általánosított sorozat, amely a gyenge csillag topológia szerint tart 0-hoz. Rögzítsünk egy indexet. Mivel h D-beli, ezért felírható a h = Pn
i=1 i(fi w) konvex kom-binációként, ahol fi 2C. Mivel C konvex,
Xn i=1
i(fi w) = f w
valamely f 2C-re. Mivel az id függvény konvex, ezért
(f w)
Xn i=1
i(fi w) =h : Ugyanakkor a
w h =f (f w)+ (h (f w) ) 2C
általánosított sorozatnak nyilván awtorlódási pontja, vagyisw egy ingyenebéd.
7.4. Az életképesség egy újabb megközelítése
A második fejezetben említettük, hogy általános valószín½uségi mez½o esetén a Kreps-féle életképesség ekvivalens a kiterjesztett árazó funkcionál létezésével. Ebben az alpontban ennek az állításnak egy variánsát mutatjuk be. A Bellini–Frittelli-féle dualitási tételnek egy következménye az alábbi állítás.
92. Tétel. Tetsz½oleges szemimartingál modellben pontosan akkor létezik ekvivalens szeparáló mérték, ha létezik egy P 2 P, egy x 2 R és egy u : R ! R konkáv, monoton növekv½o, felülr½ol nem korlátos hasznossági függvény, melyre teljesül hogy
UP;K(x) = sup
w2K
EP[u(x+w)]<1;
Az ekvivalens szeparálómérték létezésének fenti feltételét Bellini és Frittelli "életkép-ességnek" ("viability") nevezik. Ez a fogalom nem ekvivalens a Kreps [64]-b½ol ismert életképesség fogalommal, viszont érvényes az alábbi ekvivalencia. (Ld.: [7]) 93. Tétel. Tetsz½oleges szemimartingál modellben az alábbi állítások ekvivalensek:
1.) létezik ekvivalens szeparáló mérték, 2.) a piac életképes,
3.) teljesül a NFLVR feltétel.
Az állapotár de‡átor és az egy ár törvénye
A 2.1 alfejezetben megmutatuk, hogy ha teljesül az egy ár törvénye, akkor egyértel-m½uen de…niálható egy a replikálható portfoliók terén értelmezett árazó funkcionál.
Felmerül tehát a kérdés, hogy az egy ár törvénye vajon mennyire megszorító feltételezés, és hogy hogyan viszonyul az arbitrázsmentesség feltételéhez. Ebben a fejezetben el½oször egy konkrét véges dimenziós példa segítségével megmutatjuk, hogy az egy ár törvénye az arbitrázsmentességnél jóval enyhébb feltétel, majd bevezetjük a martingálmértékkel szoros kapcsolatban lév½o (pozitív érték½u) ún. ál-lapotár de‡átor (másnéven: árazó mag) fogalmát, és megadjuk ez utóbbi foga-lomnak, egy a CAPM modellre emlékeztet½o közgazdasági interpretációját. Látni fogjuk, hogy az egy ár törvénye, egy nem feltétlenül pozitív „állapotár de‡átor”
létezésével karakterizálható.
8.1. Az egy ár törvénye kétperiódusos modellben
Tekintsük ismét a bevezet½o véges dimenziós modelljét. Az értékpapírok második periódusbeli árait tartalmazó mátrixot jelöljük ismét X-szel, az értékpapírok els½o periódusbeli árainak vektorát pedigX(0)-lal, a második periódusbeli árakét X(1)-el, az (X(0); X(1)) sztochasztikus folyamatot pedigX-szel.
94. De…níció. Azt mondjuk, hogy azXmátrix és azX(0) vektor által meghatáro-zott pénzpiacon teljesül az egy ár törvénye, ha bármely két ésbkereskedési straté-gia esetén melyekre X T =XbT, teljesül, hogy X(0) T =X(0)bT.
Tekintsünk egy olyan kétperiódusos pénzpiacot, ahol a kimenetelek száma három. Tegyük fel, hogy három értékpapír létezik, egy zérus kamatozású koc-kázatmentes kötvény és két kockázatos értékpapír. Legyen az els½o értékpapír els½o periódusbeli ára X1(0) = 4, a másik értékpapíré X2(0) = 7, a kockázatmentes kötvényé pedigX0(0) = 1. Az értékpapírok második periódusbeli árait tartalmazó mátrix (ld.:2.1 alfejezet) pedig legyen
X=
ahol korábbi de…níciónk alapján tehát az egyes oszlopok jelölik az egyes értékpa-pírok különféle kimeneteleknek megfelel½o második periódusbeli árait. Mivel tet-sz½olegesH második periódusbeli véletlen ki…zetés esetén az
0
egyenletrendszer megoldása egyértelm½u, vagyis minden feltételes követeléshez egy-értelm½uen létezik egy kereskedési stratégia ami el½oállítja a követelést, ezért az egy ár törvénye automatikusan teljesül. Ugyanakkor vegyük észre, hogy a
(1;4;7) = (q1; q2; q3)
egyenletrendszernek nincs olyan megoldása melyreq1,q2 ésq3 nemnegatív számok.
Ez pontosan azt jelenti, hogy ebben a modellben nemhogy ekvivalens, de semmi-lyen martingálmérték nem létezik, vagyis az egy ár törvénye valóban lényegesen enyhébb megkötést jelent, mint az arbitrázsmentesség feltétele.
8.2. Állapotár de‡átor és kockázati prémium
Térjünk most rá a második kérdés megválaszolására, vagyis hogy matematikailag hogyan karakterizálhatóak azok a modellek, amelyekben teljesül az egy ár törvénye.
Ehhez szükségünk lesz az ún. állapotár de‡átor fogalmára.
Az egyszer½uség kedvéért térjünk vissza az el½oz½o alfejezet számpéldájához, és tekintsük az (8.1) egyenletrendszert. A(q1; q2; q3) = ( 5=2;9=2; 1)vektor megol-dása az egyeletrendszernek, ami de…niál egyQ mértéket. Jelöljük az egyes kime-netelek valószín½uségeit p1-gyel, p2-vel ésp3-mal, és tekintsük a
Z = 5
valószín½uségi változót. Mivel a (q1; q2; q3) vektor megoldása a (8.1) egyenletrend-szernek, ezért
Fogalmazzuk meg a kapott eredményt kissé általánosabban is. Használjuk is-mét a 2.1 alfejezet jelöléseit. El½oször tételezzünk fel, hogy a valószín½uségi mez½o végesen generált, az id½ohorizont véges és csak diszkrét id½opontokban lehet keres-kedni, továbbá tegyük fel, hogy nem létezik arbitrázs, és legyenQ egy tetsz½oleges martingálmérték, vagyis tételezzük fel, hogy az X diszkontált árfolyamat martin-gál Q szerint. Ekkor a Q mértékhez tartozó s½ur½uség-folyamatnak, vagy állapotár s½ur½uségnek nevezzük aZt =EP dQdP j Ft sztochasztikus folyamatot, ahol dQdP jelöli a Q mérték P-re vonatkozó Radon–Nikodym-féle deriváltját. AZ folyamat nyil-vánvalóan egy martingál P szerint. Megmutatjuk, hogy ekkor
EP[XtZt j Ft 1] =Xt 1Zt 1; (8.2) vagyis az XtZt folyamat martingál P szerint. El½oször is a Zt de…níciója és az ún.
torony-szabály alapján (8.2) sor bal oldala az
EP[XtZt j Ft 1] = EP XtEP dQ
dP j Ft j Ft 1 = EP EP XtdQ
dP j Ft j Ft 1 = EP XtdQ dP j Ft 1
alakba írható. A jobboldal pedig szintén Zt de…níciója alapján Xt 1Zt 1 =EP Xt 1dQ
dP j Ft 1 alakú. Elegend½o tehát azt belátni, hogy
EP XtdQ
dP j Ft 1 =EP Xt 1dQ
dP j Ft 1 : (8.3)
Vegyünk egy tetsz½oleges A2 Ft 1 halmazt. Mivel X martingál Q szerint, ezért Z
A
XtdQ= Z
A
Xt 1dQ;
vagyis Z
A
XtdQ dPdP=
Z
A
Xt 1dQ dPdP:
Mivel ez mindenA2 Ft 1 halmazra teljesül, ezért a feltételes várhatóérték de…ní-ciójából következik (8.3), és ezzel beláttuk, hogy azXZ folyamat valóban martin-gálP szerint.
Az állítás kiterjeszthet½o tetsz½oleges lokálisan korlátos szemimartingál model-lekre is. El½oször azonban vezessük be az állapotár de‡átor fogalmát.
95. De…níció. Legyen X valamely pénzpiac diszkontált árfolyamatát leíró, lokáli-san korlátos szemimartingál. Ekkor egy Z pozitív szemimartingált állapotár de‡á-tornak nevezünk, ha az XZ folyamatP-martingál.
Belátható, hogy lokálisan korlátos szemimartingál modellekre teljesül az alábbi állítás (ld.: [49] vagy [35]).
96. Tétel. Legyen X, valamely pénzpiac diszkontált árfolyamatát leíró lokálisan korlátos szemimartingál. Ekkor azXfolyamathoz pontosan akkor létezik ekvivalens martingálmérték, ha létezik hozzá állapotár de‡átor.
A fentek alapján megállapíthatjuk, hogy az állapotár de‡átor valójában nem más, mint az árazófunkcionál egy újabb reprezentációja, ezért az állapotár de‡átort szokásárazó magnak („pricing kernel”) is nevezni.
Az állapotár de‡átor fogalmának közgazdasági interpretációjához térjünk visz-sza ismét a véges dimenziós kétperiódusos modellhez. Jelöljük azn-edik értékpapír
hozamát Rn-nel, vagyis legyen
Rn = Xn(1) Xn(0) Xn(0) ;
és legyenR0 =rdeterminisztikus. Megmutatható hogy ekkor azn-edik értékpapír EP[Rn] r kockázati prémiuma és aZ állapotár de‡átor között fennáll az
EP[Rn] r = cov(Rn; Z(1)) összefüggés (ld.: pl. [80], 1.6.).
A következ½o alfejezetben megmutatjuk, hogy az állapotár de‡átor fogalmának megfelel½o általánosítása alkalmas az egy ár törvényének matematikai karakterizá-ciójára.
8.3. Az egy ár törvényének karakterizációja
Ebben az alfejezetben kimondjuk az egy ár törvényét karakterizáló állítást. Tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o általános, az id½ohorizont véges és az id½oparaméter
Ebben az alfejezetben kimondjuk az egy ár törvényét karakterizáló állítást. Tegyük fel, hogy a valószín½uségi mez½o általános, az id½ohorizont véges és az id½oparaméter