Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén

1-megengedett integrandust adnak, melyre az lim

k!1 U^k S

1=g+f₀ f₀

is teljesül, és az egyenl½otlenség egy pozitív mérték½u halmazon pozitív, ami ellent-mond azf₀ maximalitásának.

4.4. Az alaptétel többdimenziós szemimartingál modellek esetén

Delbaen és Schachermayer [23]-ben – lényegesen eltér½o megközelítést alkalmazva –bebizonyították, hogy az alaptétel kiterjeszthet½o a nem feltétlenül lokálisan kor-látos esetre is. Ebben az esetben azonban a NFLVR az ekvivalens

-martingál-mérték létezésével ekvivalens. Egy X folyamat -martingál, ha létezik egy M lokális martingál, és egy M-integrálható H folyamat, hogy X =X₀+H M. Az eredeti 94-es cikk gondolatmenetét használva, Kabanov [57] új bizonyítást adott az alaptétel nem feltétlenül korlátos esetére, megmutatva, hogy a gyenge-csillag zártság ekkor is teljesül. Ez a tény mint látni fogjuk, a portfolióválasztás duális megközelítésében is fontos szerepet játszik.

Delbaen és Schachermayer itt tárgyalt bizonyításában, az eredeti cikkel össz-hangban, csak egydimenziós részvényár folyamatokkal foglalkoztunk. A szerz½ok megjegyzik, hogy az általuk adott bizonyítás minden nehézség nélkül általánosít-ható több dimenziós folyamatokra. Nem világos azonban, hogy ebben az eset-ben mit értünk több dimenziós sztochasztikus integrál alatt. Vajon a kereskedési stratégia nyereményét de…niálhatjuk-e úgy, hogy komponensenként (eszközönként) vesszük az integrált, és aztán az így kapott sztochasztikus integrálokat összead-juk? A legtöbb Wiener-folyamatokra épül½o alkalmazásban ez megtehet½o, és nem jelent megszorítást. Azonban Cherny [11]-ben megmutatta, hogy általánosságban ez az út nem járható, és az alaptétel bizonyítása ilyen módon nem vihet½o át több dimenziós folyamatokra. Általános esetben szükség van az ún. sztochasztikus vektorintegrál fogalmára. Annak érdekében tehát, hogy megértsük mit is jelent az arbitrázsmentesség megkötése többdimenziós folyamatok esetén érdemes tisztázni, mit is értünk sztochasztikus vektorintegrál alatt. A vektor sztochasztikus integ-rál els½o de…níciója J. Jacod-tól származik ([51]). Az általunk alább vázlatosan ismertetett konstrukciót [12]-ból vettük. Induljunk ki abból, hogy már de…niáltuk a valós érték½u (nem feltétlenül lokálisan korlátos) szemimartingálok kvadratikus kovariációját (ld. [75]). Tetsz½oleges M d-dimenziós lokális martingál esetén az i-edik és a j-edik koordináta [Mⁱ; M^j] kvadratikus kovariációja egy korlátos vál-tozású folyamat, ezért létezik egy adaptált növekv½o korlátos válvál-tozásúCfolyamat, és minden i; j-re létezik egy kockázatos ^ij folyamat, hogy

[Mⁱ; M^j]_t= Z

[0;t]

ijdC

(ld.: [51] Proposition 3.13.). Könnyen megmutatható, hogy ^ij megválasztható úgy, hogy minden(!; t)esetén ^ij(!; t)szimmetrikus pozitív de…nit mátrix. Jelöljük

L1(M)-el azon el½orejelezhet½o d-dimenziós H folyamatokat, melyekre a

kifejezéssel de…niált norma véges. Ekvivalenciaosztályokra áttérve a fenti függvény normaL¹(M)-en, nem függCés ^ij megválasztásától, és belátható hogy azL¹(M )-beli egyszer½u integrandusok halmaza s½ur½u L¹(M)-ben, vagyis teljesül az alábbi állítás.

64. Állítás. Az L¹(M)-téren értelmezett

kHkL¹(M) =E

függvény egy normát de…niál, és az L¹(M)-beli egyszer½u integrandusok halmaza s½ur½u L¹(M)-ben.

Bizonyítás: A norma axiómák közül elegend½o a háromszög egyenl½otlenséget igazolni. Ehhez lássuk be a következ½o egyenl½otlenséget:

X

Ezt a következ½o képpen láthatjuk be. Emeljük négyzetre az egyenl½otlenség mindkét oldalát, majd használjuk fel, hogy egy A(a; b) szimmetrikus bilineáris alak pon-tosan akkor szemide…nit, ha minden a, és b vektorra (A(a; b))² A(a; a)A(b; b);

(ld.: [37])

Ekkor tehát minden L¹(M)-beliH ésK integrandusra,

E

E

Ez utóbbi kifejezés a Hölder egyenl½otlenség segítségével felülr½ol becsülhet½o a követ-kez½o kifejezéssel.

Lássuk be hogy a szóbanforgó halmaz valóban s½ur½u L¹(M)-ben. Legyen n

olyan lokalizációs sorozat, hogy mindeni-re

E

Mivel Mⁱ lokális martingál, ezért [Mⁱ]

1

2 2 A⁺loc ezért ilyen n sorozat létezik.

Jelöljük M-el a következ½o halmazt:

D2 P\[0; _n] : (D)közelíthet½o L¹(M)-beli, [0; _n]-beli tartójú egyszer½u integrandusokkal kkL¹(M)-szerint

o

Lássuk be, hogy M halmaz -rendszer⁵⁵.

1. Ahhoz hogy [0; _n] 2M, elegend½o belátni, hogy ([0; _n]) egyszer½u integ-randus L¹(M)-beli. Nyilván

Z1

2. Legyenek A és B M-beli halmazok, melyekre A B teljesül. Legyenek H_n ^L

1(M)

! (A) és K_n ^L

1(M)

! (B) [0; _n]-beli tartójú egyszer½u integrandus-sorozatok. Ekkor

k (BnA) (K_n H_n)kL¹(M)=k (B) (A) (K_n H_n)kL¹(M)

k (B) K_nkL¹(M)+kH_n (A)kL¹(M);

ezért elegend½o belátni hogy Kn Hn is [0; n]-beli tartójú egyszer½u integrandus.

Elegend½o annyit belátni, hogy ha I =s₀ (t= 0) +

Xm k=1

s_i ( _i < t _i+1)

egy tetsz½oleges egyszer½u integrandus, és J egy h ( < t) alakú egyszer½u integ-randus, ahol egy tetsz½oleges megállási id½o, akkor I+J is egyszer½u integrandus.

Az egyszer½u integrandusokban szerepl½o megállási id½ok számának növelésével hoz-zuk olyan alakra a két integrandust, hogy pontosan ugyanazok a megállási id½ok szerepeljenek bennük. Egy alkalmas növekv½o megállási id½o sorozat a következ½o:

1^ ¹ ( ₂^ )_ ^{1 2} ( ₃ ^ )_ ² ::: Jelöljük ezt a megállási id½o sorozatot i-vel. Pl. J esetében az alkalmas F ⁱ-mérhet½o fi függvénysorozat a legyen f_i = lim_{n !1}J

i+_n¹. Mivel minden egyszer½u integrandus progresszíven mérhet½o, ezértJ

i+¹_n megállított változóF i+_n¹-mérhet½o⁵⁶, amib½ol következik, hogy f_i T

n F i+_n¹ mérhet½o. Ekkor mivel T

n F i+_n¹ = F i+,⁵⁷ a …ltráció jobbról való folytonosságából következik⁵⁸, hogy f_i F i-mérhet½o. Az I integrandust is hasonló alakra hozva, a két integrandus összege nyílván egyszer½u integrandus lesz.

3.Legyenek A_k % A ahol minden k-ra A_k 2 M. Lássuk be, hogy A 2 M.

56Ld.: [73]: 1.35 proposition

57Ld.: [74]: 21.oldal

58Ld.: [74]: 21.oldal

E

Ismét felhasználva 4.34 egyenl½otlenséget, kapjuk, hogy

k (C_k)kL¹(M) E

kifejezés majdnem biztosan véges, így a Lebesgue-féle domináns konvergencia-tétel alapján k (C_k)kL¹(M) !0.

NyilvánMtartalmazza aB ((s; t]\[0; _n])ésF f0ghalmazokat, aholB 2 F^s, és F 2 F⁰. Ekkor tehát Dynkin tételéb½ol⁵⁹ következik, hogyM=P\[0; _n].

Egyszer½u integrandusra a szokásosan de…niált és komponensenként vett sztoc-hasztikus integrálról a Davis-egyenl½otlenség segítségével könnyen belátható hogy H¹-beli, és adott L₁(M)-beli integrandus esetén az azt L₁(M)-ben a fenti norma szerint közelít½o egyszer½u integrandus sorozat sztochasztikus integrál sorozata H¹ -ben konvergál, és így egyértelm½uen meghatároz egy sztochasztikus folyamatot. Az ily módon d-dimenziós lokális martingál szerinti integrálra adott de…níció nyílván független a választott egyszer½u integrandus sorozattól, és könnyedén kiterjeszthet½o szemimartingálra is. Vegyük észre, hogy abban az esetben, amikor a többdimen-ziós W integrátorfolyamat független Wiener-folyamatokból áll, akkor az L₁(W) de…niálásához használt kvadratikus kovariáció-folyamatok azonosan nullák, ezért fent de…niált vektorintegrál fogalom nem lesz általánosabb, mint a közönséges kom-ponensenként vett integrál, így természetesen ebben az esetben a Mémin-tétel a komponensenkénti integrálra is teljesül. Az általános esetben a vektorintegrál fo-galma a komponensenkénti integrál fogalmának kiterjesztése az integrandusok egy b½ovebb osztályára. Ennélfogva komponensenkénti integrál helyett vektorinteg-rált alkalmazva az arbitrázsmentességnek egy er½osebb fogalmához jutunk. Cherny ugyancsak [11]-ben bemutat egy olyan többdimenziós lokálisan korlátos szemi-martingált, amire teljesül a „komponensenkénti”N F LV Rfeltétel, mégsem létezik hozzá ekvivalens -martingál-mérték, bizonyítva ezzel, hogy a sztochasztikus

vek-59Ld.: [73]: 2.34 Állítás

torintegrál fogalma a pénzügyi matematikában valóban fontos szerepet játszik.

Martingálmérték és optimális portfóliók

A martingálmérték fogalma nem csak a derivatív eszközök árazásában, de a nemtel-jes piacokon való portfolió optimalizálásban is fontos szerepet játszik. Ismert, hogy a nem Markov-típusú di¤úziós folyamatok esetén a portfolió optimalizálás dinamikus programozási módszerei nem m½uködnek, ezért a 80-as évek közepét½ol, többek között Pliska [79], Karatzas et al. [61] valamint Cox és Huang [15] ki-dolgozták a portfolió optimalizálás ún. dualitási módszerét. A módszer lényege röviden a következ½oképpen írható le. A dinamikus portfolió választási problémát két részre bontjuk. Els½o lépésben a dinamikus optimalizálási problémát áta-lakítjuk egy statikus variációs problémává, ami egy martingálmértékekb½ol álló halmazon való minimalizálást jelent. Ez utóbbit dualitási technikák segítségével megoldva megkapjuk az utolsó periódusbeli optimális vagyont, majd ebb½ol a mar-tingál reprezentációs tétel segítségével meghatározzuk a kereskedési stratégiát.

Ezen dualitási technikákat vizsgálja F. Bellini és M. Frittelli [7] cikke, melyben a szerz½ok egy általános dualitási tételt bizonyítanak. A továbbiakban Bellini és Frit-telli eredményéb½ol kiindulva [38], [40] és [62] alapján teljes bizonyítását közöljük az alaptétel Frittelli féle alakjának, valamint bemutatjuk az arbitrázsmentességi fogalmak preferenciákkal történ½o karakterizációját.

5.1. A portfolió választás duális megközelítése véges dimenzió esetén

5.1.1. A haszonmaximalizációs probléma

A matematikai optimalizálás és a közgazdaságtan dualitási tételei általában azon az elven alapulnak, hogy egy zárt konvex halmaz kétféleképpen írható le. Vagy magával a konvex halmaz pontjaival, vagy a támaszhipersíkjai segítségével. Egy konkáv f függvény gráfja alatti terület konvex halmaz, ezért ennek egy duális leírásához jutunk oly módon, hogy minden egyesx meredekség½u egyenesre megha-tározzuk azt azm paramétert, melyre ag_m(x) = xx m függvény gráfja, vagyis az y = xx m egyenlet½u egyenes éppen „érinti” a konkáv f függvény gráfját.

Ez az m érték nyilván megegyezik azzal a minimális m számmal, melyre az y = xx m f(x)függvény nem pozitív értéket is felvesz, vagyis melyre

inf

x2Rfxx m f(x)g= inf

x2Rfxx f(x)g m 0:

Ez az m érték nyilván az inf_x2Rfxx f(x)g értékkel egyezik meg. Jelöljük a továbbiakban u -gal, azt azR[ f 1g halmazba képez½o függvényt, melyre

u (x ) = inf

x2Rfxx u(x)g; x 2R:

A fenti megfontolások alapján tehát ez az u függvény az ukonkáv függvény egy-fajta duális leírásának felel meg. Ezt azu függvényt szokás azufüggvény konkáv konjugáltjának is nevezni.

Egyenl½ore tegyük fel, hogy az id½oparaméter diszkrét és a -algebra végesen generált. Ebben az esetben az el½orejelezhet½o H kereskedési stratégiákról nem kell feltételeznünk hogy azok megengedettek, ez automatikusan teljesülni fog. Tegyük fel hogy az u hasznossági függvényre teljesül, hogy

u⁰(1) = 0 és u⁰( 1) =1: A befektet½o haszonmaximalizációs problémája a következ½o:

U_P;K(w₀)$ max

f2w0+KE_P[u(f)]: (5.1)

x y

f g_m

m

5.1. ábra. Konkáv függvény duális leírása

Tegyük fel, hogy a maximumproblémának létezik megoldása. Könnyen belátható, hogy a fenti maximumprobléma ekvivalens a

maxE_P[u(f)] (5.2)

EQ[f] w0; Q2 M

problémával¹, aholM-mel aP-re nézve abszolút folytonos martingálmértékek hal-mazát jelöljük, és így

UP;K(w0) = maxfEP[u(f)]jEQ[f] w0; Q2 Mg (5.3) A véges dimenziós eszközárazásban járatos olvasó könnyen beláthatja, hogy az

1Ld.: pl. [24].

Mhalmaz zárt, korlátos, poliedrikus halmaz, ezért azonos a fQ₁;Q₂; :::Q_Mg

extrémális pontjainak konvex burkával, ezért a fenti probléma korlátjai között elegend½o ezen extrémális pontokhoz tartozó korlátokat szerepeltetni, ily módon egy véges számú korlátot tartalmazó optimumproblémához jutunk. Jelöljük R(w₀)-al az

ff jEQm[f] w₀;Qm 2 fQ1;Q2; :::Q_Mgg halmazt. Ekkor tehát az eredeti (5.1) maximumprobléma és a

max

f2R(w0)EP[u(f)]: (5.4)

maximumprobléma megoldása ugyanaz az fbvektor és U_P;K(w₀)$ max

f2w0+KE_P[u(f)] = max

f2R(w0)E_P[u(f)]: (5.5) Az eredeti portfolióválasztási problémára a fenti eljárás akkor is alkalmazható, ha a befektet½o hasznossága nem csak a periódus végi vagyontól, hanem az egyes periódusbeli fogyasztásaitól is függ. Ekkor az eredeti portfolióválasztási probléma egy dinamikus optimalizálási feladat megoldását jelenti, ami a fenti eljárással egy statikus feltételes optimalizálási feladattá alakítható, ami sok esetben az eredeti problémánál egyszer½ubben megoldható. (ld.: He - Pearson [46]). Általános -algebra esetén azonban a fenti eljárás nem m½uködik, ekkor a statikussá alakított széls½oértékprobléma korlátainak száma végtelen marad.

5.1.2. A minimaxmérték

Felmerül tehát a kérdés, hogy általános körülmények között esetleg létezik-e egy kitüntetettQb 2 M;amely ahhoz hasonló módon helyettesíti a többi martingálmér-téket, ahogy a véges dimenziós esetben az M extrémális pontjai helyettesítik az Mhalmazt. Ez motiválja az ún. minimaxmérték fogalmát.

65. De…níció. Ha valamely Qb 2 M mértékre teljesül, hogy U(w₀;Q;b P)$maxn

E_P[u(f)]jE_Qb [f] w₀o

probléma megoldása megegyezik a

f2maxw0+KE_P[u(f)]

maximumprobléma megoldásával, akkor ezt a mértéket minimaxmértéknek nevez-zük.

A minimax mértékre nyilván teljesül hogy

f2maxw0+KE_P[u(f)] = max n

E_P[u(f)]jE_Qb[f] w0

o

: (5.6)

Ha a feltételekb½ol néhányat elhagyunk, akkor a maximum értéke n½o, ezért (5.3) alapján mindenQ2 M eseténU_P;K(w₀) U(w₀;Q;P), következésképpen

U_P;K(w₀) inf

Q2MU(w₀;Q;P);

így ha a kitüntetettQb 2 M létezik, akkor U_P;K(w₀)$ max

f2w0+KE_P[u(f)] = min

Q2MU(w₀;Q;P);

ami megmagyarázza a minimaxmérték elnevezést (ld.: [47]). Kés½obb jóval ál-talánosabb körülmények között megmutatjuk, hogy a minimax mérték valóban létezik, el½oször azonban megmutatjuk, hogy véges dimenziós esetben a minimax mérték hogyan használható fel az eredeti probléma megoldására. Hangsúlyozzuk azonban, véges dimenziós esetben a minimax mértékre nincs szükség, az alábbi számítások célja az, hogy minél egyszer½ubb példán illusztráljuk a minimax mérték fogalmát és bemutassuk azokat a dualitási technikákat, amelyek általános esetben a martingál módszer alkalmazását lehet½ové teszik.

5.1.3. Lagrange-dualitás

Legyen f egy n-változós valós érték½u, és g = (g₁; :::g_m) n-változós R^m-beli érték½u függvények. Ismeretes, hogy a

sup

gj(x) 0 j=1;::;m

f(x) (5.7)

feltételes maximumprobléma Lagrange-duálisa az

inf

valamint –(5.7)-ben vektor jelölés rendszert alkalmazva teljesül az alábbi állítás.

(ld.:[6])

66. Tétel (Gyenge dualitási tétel). Ha f egy n-változós valós érték½u, és g = (g₁; :::g_m) n-változós R^m-beli érték½u függvények, akkor

sup

g(x) 0

f(x) inf

u 0 (u):

Továbbá alkalmas konvexitási feltételek esetén a fenti reláció egyenl½oségre tel-jesül, vagyis igaz az alábbi állítás.

67. Tétel (Er½os dualitási tétel). Haf konkáv,g konvex és valamelyx-reb g_j(bx)<

valamint ha a baloldalon szerepl½o szuprémum véges, akkor a jobboldali in…mum felvétetik valamely ub 0 helyen. Ha továbbá a szuprémum felvétetik egybx helyen, akkor bu^Tg(bx) = 0. Érdemes megjegyezni, hogy általánosan teljesül a

sup

azonosság. Ugyanis ha valamely j-re g_j(x) > 0, akkor a bels½o in…mum 1, különben pedig ez az in…mum éppen f(x), vagyis az f(x) feltételes maximuma

megegyezik a megengedett halmazon kívül 1 értéket felvev½o függvény felté-tel nélküli maximumával. Mindebb½ol következik, hogy az er½os dualitási tétel valójában a fenti szuprémum és in…mum felcserélhet½oségének a feltételeit adja meg. A felcserélhet½oség egy új kritériumához juthatunk a nyeregpont fogalmá-nak felhasználásával.

Lagrange-függvény nyeregpontjának nevezünk, ha mindenx2Rⁿ és u2R^m+ esetén L(x;u)b L(bx;u)b L(bx;u).

A továbbiakban szükségünk lesz az alábbi állításra.

69. Tétel. Az (x;b bu) pár pontosan akkor nyeregpontja a Lagrange-függvénynek, ha bx optimális megoldása a primál problémának,ub pedig a Lagrange-duálisnak, és nincs dualitási rés.

Most alkalmazzuk a Lagrange-dualitásra vonatkozó eredményeinket az eredeti maximumproblémára. Jelöljük az egyes kimenetelekPszerinti valószín½uségeit p_n -nel, a fenti

fQ1; :::Q_Mg

halmaz egyQ_mvektorának elemeit pedigq^m_n-nel. Ekkor a befektet½o maximumprob-lémája a következ½o:

ahol _m 2R⁺, és legyen(fb1; :::fbN)vektor az eredeti maximumprobléma megoldása.

Vegyük észre, hogy ezáltal a R^M+ halmaznak R⁺ M-re történ½o ráképezését de…niáltuk. Ezekkel a jelölésekkel a fenti Lagrange-függvény az alábbi alakba írható:

Vegyük észre, hogy amennyiben aQb történetesen egy rögzített minimax-mérték, akkor aL(f₁; :::f_N; y;Q)b függvény éppen (5.6) jobboldalán álló maximumprobléma Lagrange függvénye. Mindebb½ol az következik, hogy amennyiben a minimax-mérték létezik, akkor az el½obb említett leképezés miatt az éppen a fQ₁; :::Q_Mg elemeinek, az (5.4) maximumprobléma Kuhn–Tucker-együtthatóival képzett súly-ozott átlaga. De…niáljuk a és függvényeket a következ½oképpen:

(y;Q)$ sup

Ekkor, mivel közömbös hogy aR⁺ MavagyR^M+ halmazon maximalizálunk, ezért az (5.4) maximumprobléma Lagrange-duálisa az

y 0;infQ2M (y;Q) (5.11)

probléma. Megjegyezzük, hogy a gyenge dualitási tétel alapján sup

f1;:::f_N

(f₁; :::f_N) inf

y 0;Q2M (y;Q):

Az (5.8) sor alapján nyilván

U_P;K(w₀) = sup

f1;:::fN

(f₁; :::f_N):

Az er½os dualitási tételb½ol következik, hogy nincs dualitási rés, vagyis U_P;K(w₀) = inf

y 0;Q2M (y;Q);

és létezik a (y;Q)-t minimalizálóybésQ. Megjegyezzük, hogy ekkor,b fb-el jelölve az eredeti probléma megoldását, (f ;bby;Q)b nyeregpontja az

L(f₁; :::f_N; y;Q)

Lagrange-függvénynek, és egyúttal (f ;by)b nyeregpontja a max

E_Qb[f] w0

E_P[u(f)] (5.12)

maximumprobléma

L(f₁; :::f_N; y;Q)b

Lagrange-függvénynek. Ebb½ol pedig következik, hogyfboptimális megoldása (5.12)-nek, vagyisQb minimaxmérték.

Jelöljük u -gal az ufüggvény konjugáltját, ekkor u ( ) = sup [u( ) ]: Ekkor

(y;Q) = XN n=1

p_nu (yq_n

p_n ) +yw₀; y 0; Q2 M:

A konjugált függvények elemi tulajdonságai alapjánu szigorúan konvex. Rögzített y esetén az

inf

Q2M

XN n=1

p_nu (yq_n p_n )

minimum problémának au szigorú konkavitása ésMkompakt volta miatt egyér-telm½uen létezik megoldása, ezt jelöljük Q(y)-nal. Azb u hasznossági függvényre tett megkötésekb½ol könnyen levezethet½o, hogyQ(y)b 2 M \P. Ezzel beláttuk hogy

Q(y)b olyan minimax-mérték, amely egyúttal martingál mérték is.

5.2. A portfolióválasztás duális megközelítése vég-telen dimenzió esetén

5.2.1. A C kúp és a martingálmértékek halmaza közti duális kapcsolat

Korábban már láttuk, hogy a funkcionálanalízis dualitási tételei hatékonyan alkal-mazhatóak a martingálmérték létezésének bizonyításában. Ebben a szakaszban az eddigieknél világosabban rámutatunk, milyen duális kapcsolat van a C kúp és az abszolút folytonos martingálmértékek halmaza között. A továbbiakban a feltételes követelések terének azL¹teret választjuk, ezért az árazófunkcionál azL¹térL¹ duálisának² lesz eleme, vagyis szembe kell néznünk azzal a kellemetlenséggel, hogy azL¹ térnek azL¹ tér nem a duálisa. A dualitási technika alkalmazásához tehát be kell vezetnünk azL¹ térL¹ duálisát.

Jelölje P a P-vel ekvivalens valószín½uségi mértékek halmazát, és jelöljük a továbbiakban ba( ;F;P)-vel a P-re nézve abszolút folytonos³ F-en értelmezett korlátos additív halmazfüggvények halmazát. Vegyük észre, hogy a ba tér fenti de…níciója független aP2P megválasztásától. Tetsz½oleges 2ba( ;F;P)esetén jelölje k k a mérték totális variációját, vagyis legyen

k k = sup Xn

i=1

j (Ei)j;

ahol azfE_ighalmazrendszer végigfutjaF valamennyi diszjunkt véges sok elemb½ol álló részhalmazát. Ismert, hogy aba( ;F;P)tér a fenti normával Banach-tér, és tetsz½oleges 2ba( ;F;P)esetén az L¹( ;F;P)halmazon értelmezett

w! Z

wd

leképezés az L¹ egy folytonos lineáris funkcionálját de…niálja, valamint hogy a ba( ;F;P) tér a fenti leképezés révén izometrikusan izomorf módon azonosul

2Duális tér alatt minden esetben topológiai duálist értünk.

3Egy adott Q mértékr½ol akkor mondjuk hogy P-re nézve abszolút folytonos, ha minden P szerint nullmérték½u halmazQszerint is nullmérték½u. Jelölése: Q P.

a L¹( ;F;P) tér duálisával (ld. [30]: IV. 8.16.). Ezek szerint a mértékre tekinthetünk úgy, mint a L¹ duális tér egy elemére, ezt fejezi ki az

(w) = Z

wd

jelölés. A továbbiakban tekintsük az (L¹; ba) duális párt, valamint jelöljük C⁰-al a C kúp ezen dualitásra vonatkozó poláris kúpját, vagyis legyen

C⁰ =f 2baj (w) 0 8w2Cg:

JelöljükM-mel aC⁰ kúp megszámlálhatóan additív elemeit. A Radon–Nikodym-tételb½ol következik, hogyM tetsz½oleges eleméhez létezik egyz 2L¹(P)függvény hogy tetsz½olegesA halmaz -szerinti mértéke a

(A) = Z

A

zdP (5.13)

formulával adható meg, vagyis azM elemeiL¹(P)-beli függvényekkel reprezentál-hatóak ezért minden 2M funkcionál a

(w) = Z

wzdP

alakban adható meg, ahol z 2 L¹(P). Nyilván a z = d =dP Radon–Nikodym-deriváltL¹(P)-beliségének tulajdonsága független aP2Pmegválasztásától⁴. Ezt fejezi ki azM =C⁰\L¹(P); P2P azonosság. Valójában L¹ C miatt a

M = z 2L¹₊(P)jE_P[wz] 0 8w2C ; P2P

azonosság is teljesül, hiszen ha valamely mérték z Radon–Nikodym deriváltja egy A nem nulla mérték½u halmazon negatív lenne, akkor _A 2 L¹ C miatt 2=C⁰. Mivel a mértékekb½ol álló M halmaznak csak azokra az elemeire van szük-ségünk amelyek valószín½uségi mértékek, ezért legyen M₁ =fz 2M jEP[z] = 1g, és miután a P-re nézve abszolút folytonos mértékeket azonosíthatjuk a Radon–

4AzM fenti de…níciójában az(L¹; ba)dualitást nem helyettesíthetjük bármely(L^p; L^q) dual-itással. Utóbbi esetben az árazó mértéketL^q(P)-beli függvényekkel kellene reprezentálnunk (ld.

pl. [28]), deq6= 1esetben ad =dPRadon–Nikodym-deriváltL^q(P)-beliségének tulajdonsága és így maga az arbitrázsmentesség tulajdonság nem lenne független aP2Pmegválasztásától.

Nikodym-deriváltjukkal, ez az alábbi alakba írható:

M₁ =fQ PjQ valószín½uségi mérték és E_Q[w] 0 8w2Cg:

70. De…níció. Egy Q valószín½uségi mértéket szeparálómértéknek nevezünk, ha Q P, K L¹(Q) és E_Q[k] 0 8k 2 K. Ha Q 2 P, akkor ekvivalens szeparálómértékr½ol beszélünk.

A továbbiakban jelöljük M-mel (M^loc-kal) azon P-re nézve abszolút folytonos valószín½uségi mértékek halmazát, melyekre nézveX martingál (lokális martingál).

Könnyen igazolható az alábbi lemma (ld. [7]).

71. Lemma. A Q mérték pontosan akkor szeparáló mérték, haQ 2M₁, továbbá ha X korlátos (lokálisan korlátos) akkor M₁ =M (M1 =M^loc).

Bizonyítás. Legyen Q szeparáló mérték. Ekkor, mivel E_Q[k] 0 8k 2K, ezért E_Q[w] 0 8w 2 C vagyis Q2M₁. Legyen most Q2M₁, és k egy tetsz½oleges K-beli elem. Ekkor ak_n= minfk; ngegyC-beli sorozat, ésk_n%k Qm.m., ezért a monoton konvergencia tétel alapján

E_Q[k] = Z

k<0

kdQ+

Z

k 0

kdQ= Z

k<0

kndQ+ lim

n!1

Z

k 0

kndQ 0, vagyis Q szeparáló mérték.

LegyenX korlátos,0 s t T tetsz½oleges és A2 F^s. Legyenf = 1_A(X_t X_s) és Q2M₁. Mivel f 2 K, f 2 K és Q szeparáló mérték, ezért Q martin-gálmérték. A bizonyítás triviálisan módosítható a lokálisan korlátos X esetére is, ekkor rögzített – megállási id½okb½ol álló – lokalizációs sorozat esetén a gondo-latmenetet a megállított folyamatokra alkalmazzuk.

A fenti jelölésekkel tehát Delbaen és Schachermayer [21]-beli eredménye az alábbi alakban írható.

72. Tétel. ValamelyX lokálisan korlátos, Pvalószín½uségi mérték szerinti szemi-martingál pontosan akkor tesz eleget a NFLVR feltételének, ha M₁\P6=;. Továbbá [23]-ból tudjuk, hogy a fenti tételben a lokális korlátosság feltétele el-hagyható.

5.2.2. A haszonmaximalizálási probléma és a duálisa

Legyen az U² halmaz azu :R !R nemcsökken½o, konkáv függvények halmaza és legyen u 2 U². Legyen w₀ 2 L¹, és legyen G 2L⁰ egy nemüres konvex kúp. Ha w₀ konstans, akkor a döntéshozó kezdeti vagyonaként interpretálható. Legyen

U_P;G(w₀) = sup

w2G

E_P[u(w₀+w)];

ahol a szuprémumot azon változók körében kell venni, amelyekreE_P[u (w₀ +w)]<

1:Ekkor aw0 2L¹-b½ol elérhet½o haszonmaximumot a következ½oképpen értelmez-zük:

U_P;C(w₀) = sup

w2C

E_P[u(w₀+w)]: (5.14)

A szakasz hátra lev½o részében a portfolióválasztás duális megközelítésébe szeretnénk egy rövid bepillantást nyújtani. Miel½ott azonban a Frittelli-féle alaptétel szempont-jából fontos Bellini–Fritteli-tételre rátérnénk, ismerkedjünk meg az ún. dualitáson alapuló megközelítéssel. Ha az olvasó netán nem ismerné a Lagrange-dualitás fogalmát, akkor a következ½o lemmát és az azt követ½o bekezdést nyugod-tan átugorhatja, mert a Bellini-Frittelli-féle duális megközelítés nem a Lagrange-dualitásra, hanem a Fenchel-féle dualitási tételre támaszkodik. (Ld.: [69])

Mivel M₁ 6=;, ezért az M kúp polárisa a következ½o alakú:

M⁰ =fw2L¹ jE_Q[w] 0 8Q2M₁g: (5.15) Ekkor igaz a következ½o állítás.

73. Lemma. Ha M₁\P6=;, akkor C =M⁰:

Bizonyítás Tekintsük az(L¹; ba)dualitás(L¹; L¹(P))-re való lesz½ukítését. AC kúp erre vonatkozó polárisa éppen M. Korábban láttuk, hogy a NFLVR feltétel esetén a C kúp gyenge-csillag-zárt, ezért a bipoláris tétel alapján C =C⁰⁰ vagyis valóban C =M⁰.

A továbbiakban tegyük fel, hogyx2Regy tetsz½oleges konstans. Ekkor azM⁰

A továbbiakban tegyük fel, hogyx2Regy tetsz½oleges konstans. Ekkor azM⁰

In document Arbitrázs és martingálmérték (Pldal 127-0)