2. A Delbaen–Schachermayer-tétel el½ozményei 20
2.3. A sztochasztikus folyamatok általános
Mint már említettük, M. Harrison, D. M. Kreps és S. R. Pliska bebizonyítot-ták, hogy a martingálmérték igen általános körülmények mellett létezik, és a fent elmondottak nagy része ún. di¤úziós folyamatokra is alkalmazható (ld. [45], [64] és [44]). Az említett szerz½ok legfontosabb hozzájárulása azonban az volt, hogy felismerték a martingáltechnika jelent½oségét, ezáltal nagy mértékben járul-tak hozzá, hogy a Black–Scholes képlet nyomán öntudatára ébredt opcióelmélet a martingálelmélet igen gyümölcsöz½o alkalmazási területévé váljon. Harrison és
Kreps rámutatnak, hogy az akkor már meglehet½osen túlérett tudományterültnek számító martingálelmélet egészen megdöbbent½o módon illeszkedik a derivatív esz-közök árazásának problémáihoz. A két tudományterület közti kapcsolódási pontok közül az egyik legérdekesebbet az ún. Girsanov-transzformáció (ld.: [41]) szolgál-tatja, aminek lényegét az alábbiakban Wiener-folyamatok esetére mutatjuk be.
Ha a Pmérték szerinti Wt Wiener-folyamatra a
(t) = exp
folyamat martingál a[0; T] intervallumon, akkor a
Wt0 =Wt+ Zt 0
(s)ds
folyamat Wiener-folyamat a [0; T]-n a Q(A) =
Z
A
(T)dP
módon de…niált mérték szerint. Lássuk, hogyan alkalmazható ez az elv az ekvi-valens martingálmérték meghatározására.
Az egyszer½uség kedvéért tegyük fel, hogy a piacon egy fajta kötvénnyel és egyetlen kockázatos részvénnyel kereskednek, és az Xt diszkontált árfolyamatot az ún. lognormális folyamat írja le, vagyis az X kielégíti az
Xt X0 =
sztochasztikus di¤erenciálegyenletet, ahol W az eredeti P mérték szerint Wiener-folyamat. Bevezetve a = b és Wt0 =Wt+ t jelölést, nyilván
Xt X0 = Zt
0
XudWu0: (2.5)
A Girsanov-formula alapján aWt0 folyamat a[0; T]intervallumon a Q(A) =
Z
A
exp( WT 1 2
2T)dP
módon de…niált mérték szerint Wiener-folyamat. Ekkor azonban (2.5) sor alapján X lokális martingál Q-szerint, hiszen X folytonos, és minden folytonos folyamat lokális martingál szerinti integrálja lokális martingál16, és könnyen megmutatható, hogy egyben valódi martingál is Q-szerint.
A szemimartingál fogalmának, és így a sztochasztikus folyamatok – Markov-folyamatoktól független –általános elméletének pénzügyi jelent½oségére el½oször Har-rison és Pliska [44] mutatott rá. Köztudott, hogy Doob nyomán (Ld.:[27]) a martingálelmélet – bár nem játszott fontos szerepet – már az ötvenes években elvált a Markov-folyamatok elméletét½ol, a sztochasztikus integrál elmélete azon-ban, egészen Meyer és C. Doléans–Dade mérföldk½onek nevezhet½o [26] cikkének megjelenéséig nem vált attól teljesen függetlenné. Ez utóbbi eredmény, az elmélet robbanásszer½u fejl½odéséhez vezetett a hetvenes és nyolcvanas években, így kulcs-fontosságúnak bizonyult a sztochasztikus analízis pénzügyi matematikai alkalmaz-hatósága szempontjából, és matematikatörténeti oldalról tekintve ez vezetett el – az itt bemutatott elmélet közvetlen el½ozményeinek tekinthet½o – Harrison–Kreps [45], és Harrison–Pliska [44] nevezetes eredményeihez17. A Markov-folyamatoktól független általános elmélet kés½obb nagyrészt Dellacherie és Meyer [25]
monográ-…ájában vált kidolgozottá18.
Az alfejezet további részében pontosan de…niáljuk a szemimartingál, és az el½ore-jelezhet½o folyamat fogalmát. Ugyanakkor terjedelmi okokból nem kívánjuk áttekin-teni a szemimartingálokra vonatkozó sztochasztikus analízis általunk felhasznált standard eredményeit, ezekkel kapcsolatban a legtöbb esetben [75] monográ…ára fogunk hivatkozni. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a sztochasztikus folyamatok ál-talános elméletének ezen eredményeire els½osorban a 3.3 alfejezetben, és a 4. – mellesleg a dolgozat egyharmadát kitev½o – fejezetben fogunk támaszkodni. A dolgozat többi részében már csak arra a tényre fogunk hivatkozni, hogy szemi-martingálok szerint tudunk integrálni, ezért a fent bevezetett C kúp ebben az
16Valójában minden lokálisan korlátos el½orejelezhet½o folyamat lokális martingál szerinti inte-grálja lokális martingál.
17Érdekessége még Meyer és Doléans–Dade említett cikkének, hogy ebben találkozhatunk el½oször a szemimartingál fogalmával.
18A téma egy modernebb feldolgozása megtalálható [75]-ben.
esetben is értelmezhet½o, továbbá az 5. fejezetben felhasználjuk, hogy ez a C kúp (L1; L1)-zárt.
A szemimartingál pontos de…níciójához vezessünk be néhány jelölést. Rögzít-sünk egy ( ;F;P) valószín½uségi mez½ot, és egy (Ft)t2[0;1) ún. …ltrációt. A …lt-rációt képez½o Ft F -algebrák azokat az eseményeket tartalmazzák, melyek bekövetkezése, avagy be nem következése a t id½opontban rendelkezésre álló in-formációk alapján eldönthet½o. A …ltrációra teljesül, hogy minden s < t esetén Fs Ft, ami azt fejezi ki, hogy amit a meg…gyel½ok az s id½opontban tudnak, azt a t id½opontban is tudják, vagyis nem felejtenek. Rögzített (Ft)t …ltráció ese-tén valamely X(t; !) folyamatról azt mondjuk hogy adaptált, ha X(t; !) minden t 2 R esetén Ft-mérhet½o. Adott ! esetén az t ! X(t; !) függvényt a folya-mat adott kimenetelhez tartozó trajektóriájának nevezzük. A folytonos idej½u folyamatoknál a folyamat trajektóriáira id½onként bizonyos megkötéseket kell ten-nünk. Egy folyamatról azt mondjuk hogy jobbról reguláris, ha minden ! esetén azt!X(t; !)függvény mindentid½opillanatban jobbról folytonos és létezik véges baloldali határértéke. A martingál tulajdonság de…niálásához szükségünk lesz a feltételes várható érték de…níciójára.
9. De…níció. Legyen ( ;F;P) egy valószín½uségi mez½o, A F egy szigmaalgebra és : ! R egy valószín½uségi változó. Ekkor az változó A-ra vonatkozó feltételes várható értékének nevezzük azt az E[ j A]-vel jelölt kiterjesztett valós szám érték½u A-mérhet½o függvényt, melyre minden A 2 A halmazra teljesül, hogy
Z
A
dP= Z
A
E[ j A]dP
Ezek után már megadható a martingál pontos matematikai de…níciója.
10. De…níció. EgyX(t; !)adaptált jobbról reguláris folyamat martingál, ha min-dent-re azX(t; !)várható értéke véges, és mindens < tesetén majdnem biztosan, vagyis nullmérték½u halmaztól eltekintve teljesül, hogy E[X(t)j Fs] =X(s).
A sztochasztikus folyamatok elméletének egyik legfontosabb fogalma a megál-lási id½o. A megállási id½o általában egy olyan esemény bekövetkezésének ide-jét írja le, melynek bekövetkezése vagy be nem következése minden id½opontban egyértelm½uen eldönthet½o. Ennek megfelel½oen megállási id½o alatt a következ½ot értjük.
11. De…níció. Egy : !R[f1g függvényt az(Ft)t2[0;1)…ltrációra vonatkozó megállási id½onek nevezünk, ha minden t2R esetén f tg 2 Ft.
Legyen egy megállási id½o. A továbbiakban X (t; !)-val jelöljük, és megál-lított folyamatnak nevezzük az X(minf ; tg; !) folyamatot. Ez tehát egy olyan sztochasztikus folyamat, amelynek egy rögzített ! érték esetén az X!(t) trajek-tóriái azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy X!(t) értéke t esetén meg-egyezik X(t; !)-vel, t > esetén pedig X( (!); !)-val. A pénzügytanban fontos szerepet játszanak a martingál fogalmának különféle általánosításai. Ezek közül a legfontosabb a lokális martingál fogalma.
12. De…níció. Egy X folyamatot lokális martingálnak nevezünk, ha létezik egy megállási id½okb½ol álló monoton növekv½o ( n) sorozat, melyre majdnem biztosan
n! 1, és amelyre teljesül hogy az X (t) X (0) folyamat martingál.
Most már de…niálhatjuk a szemimartingál fogalmát.
13. De…níció. Egy X folyamat szemimartingál, ha el½oállítható egy lokális mar-tingál és egy jobbról reguláris, adaptált és minden korlátos intervallumon korlátos változású folyamat összegeként.
Fontos azonban tudnuk, hogy a de…nícióban szerepl½o felbontás általános eset-ben nem egyértelm½u. A sztochasztikus folyamatok általános elméletének egyik legfontosabb fogalma, azel½orejelezhet½oség. JelöljükP-vel azt az [0;1) részhal-mazaiból álló -algebrát, melyet az adaptált és folytonos trajektóriájú folyamatok generálnak. EkkorP elemeit el½orejelezhet½o halmazoknak, az [0;1)halmazon értelmezett ésP-mérhet½oX(t; !)sztochasztikus folyamatokat pedigel½orejelezhet½o folyamatoknak nevezzük. A szemimartingáloknak egy fontos osztályát alkotják az ún. speciális szemimartingálok. Egy szemimartingált speciális szemimartingál-nak nevezünk, ha anszemimartingál-nak valamely 13. de…nícióbeli felbontásában a korlátos vál-tozású rész el½orejelezhet½o. A speciális szemimartingálok egy igen …gyelemre méltó –és a továbbiakban fontos szerepet játszó –tulajdonsága, hogy a szemimartingál de…níciójában szerepl½o felbontásai között egyértelm½uen létezik egy olyan felbontás, melyben a korlátos változású rész el½orejelezhet½o. Ezt a felbontást kanonikus fel-bontásnak nevezzük. A továbbiakban fel fogjuk használni, hogy minden lokálisan korlátos szemimartingál speciális szemimartingál. Ugyanakkor érdekes tény, hogy egy lokális martingál pontosan akkor el½orejelezhet½o, ha folytonos is.
Ha X egy Rd-beli értékeket felvev½o szemimartingál, valamely H folyamat X szerinti sztochasztikus integrálját H X módon, az integrálfolyamat értékét a t id½opontban(H X)(t), vagy(H X)tmódon fogjuk jelölni. A sztochasztikus integ-rál de…níciója abban az esetben amikor az integrátos folyamat szemimartingál, és az integrandus nem feltétlenül lokálisan korlátos meglehet½osen bonyolult, és számos matematikai fogalom bevezetését igényelné, ezért ennek részleteire terjedelmi okok miatt nem térünk ki19, (ld.: [75]), a továbbiakban csupán a sztochasztikus folya-matok általános elméletének néhány kevésbé klasszikus eredményét ismertetjük (ld.: [1], [34], [78], továbbá ezen eredmények egy újabb feldolgozását ld.:[77]-ben).
Mint látni fogjuk, a C kúp zártsága általános esetben a szemimartingálok terének topológiai tulajdonságaira vezethet½o vissza. A szemimartingálok terének topológizálása távolról sem egyszer½u feladat. Ennek oka, hogy még a trajek-tóriák egyenletes konvergenciája sem biztosítja, hogy szemimartingálok határértéke szemimartingál maradjon. Példaként érdemes a következ½ore gondolni: egy de-terminisztikus folyamat pontosan akkor szemimartingál, ha korlátos változású.
Emlékeztetünk, hogy a mindenhol folytonos, de sehol sem deriválható függvény konstrukciója során egy nem korlátos változású függvényt korlátos változású füg-gvények20 egyenletesen konvergens határértékeként állítunk el½o. A korlátos vál-tozású függvények azonosíthatók a mértékekkel21. A véges mértékek körében a természetes norma a teljes megváltozás. Ha egy véges mérték, akkor
k k $sup
ahol az els½o szuprémumot az alaphalmaz összes legfeljebb megszámlálható elemb½ol álló mérhet½o partícióján kell venni. A második egyenl½oség világos, és természete-sen a szuprémumot az egynél nem nagyobb abszolút értékkel rendelkez½o mérhet½o függvények szerint kell venni. Ebb½ol következ½oen az R+ félegyenesen értelmezett
19Arra az esetre ha az olvasó netán nem ismerné a sztochasztikus folyamatok általános elméletét, megjegyezzük, hogy a dolgozat nagy részének olvasásához elegend½o ha az olvasó elfo-gadja, hogy az H X sztochasztikus integrál létezik. A sztochasztikus folyamatok általános elméletének mélyebb ismeretére csak a 3.3 alfejezetben és a dolgozat mintegy egyharmadát kitev½o 4. fejezetben fogunk támaszkodni.
20Valójában lineáris törtfüggvények!
21Pontosabban csak egy konstans értékt½ol eltekintve azonosíthatók a mértékekkel. Az R+
félegyenesen a nulla pontban nulla értéket felvev½o korlátos változású függvények azonosíthatók a véges mértékekkel. Ezért szükséges a szemimartingál topológia de…níciójában az S(0)K(0) szerepeltetése.
véges megváltozású függvények22 körében a természetes topológiát a kVkn $jV (0)j+ sup
jKj 1
Z n 0
KdV $jV (0)j+ sup
jKj 1j(K V)nj
félnormákkal érdemes de…niálni. Ha V véges megváltozású trajektóriákkal ren-delkez½o folyamat, akkor a topológiát érdemes a trajektóriák által de…niált mérté-kekhez rendelt félnormák által alkotott valószín½uségi változók sztochasztikus kon-vergenciájával de…niálni. Emlékeztetünk, hogy valószín½uségi változók egy ( n) sorozata pontosan akkor tart sztochasztikusan nullához, ha E(j nj ^1) ! 0: A szemimartingál topológia a teljes megváltozás által de…niált topológiát általánosítja:
14. De…níció. A szemimartingálok terén az
kSkS $X1
n=1
2 n sup
jKj 1
E(jK(0)S(0) + (K S)nj ^1)
kvázinorma által generált topológiát szemimartingál topológiának nevezzük.
15. Tétel (A szemimartingál topológia jellemzése). Szemimartingálok egy Sk sorozata pontosan akkor konvergál a0-hoz a szemimartingál topológia szerint, ha minden t-re Sk(0) !P S(0) és K Sk
t
P!0a K-ban egyenletesen, ahol a K befutja az összes jKj 1 el½orejelezhet½o folyamatot.
Az alaptétel igazolása során kiemelked½oen fontos szerepet fog játszani a következ½o tétel (ld.: [78] és [77]):
16. Tétel (Mémin). HaSjelöli a szemimartingálok halmazát, akkor egy rögzített szemimartingál szerinti sztochasztikus integrálként felírható szemimartingálok az (S;k kS) kvázi-normált tér zárt alterét alkotják.
Miként már jeleztük, sztochasztikus integrálon mindig szemimartingál értelem-ben vett integrált értünk. Éppen ezért a lokális martingálok szerint vett sztoc-hasztikus integrálok nem lesznek automatikusan lokális martingálok. Ezen segít a következ½o állítás:
17. Tétel (Ansel–Stricker). LegyenM egy lokális martingál, és tegyük fel, hogy a H el½orejelezhet½o sztochasztikus folyamat szemimartingál értelemben integrálható
22Vagyis az olyan függvények, amelyek megváltozása minden kompakt intervallumon véges.
az M szerint. Ha a H stratégia megengedett, vagyis egy u valós számra, minden t 0-ra (H M)t u; akkor a H M lokális martingál23.
Továbbá szükségünk lesz a következ½o két állításra.
18. Tétel (Korlátos változású folyamat Hahn-felbontása). LegyenAegy vé-ges változású el½orejelezhet½o folyamat, amelyre A0 = 0. Ekkor léteznek a diszjunkt és el½orejelezhet½o B+ és B halmazok, amelyek uniója az R+ halmaz, és ame-lyekre teljesül, hogy a B+ A és a B A folyamatok növekv½oek, és24
Var(A) = B+ B A:
19. Tétel (Speciális szemimartingálok sztochasztikus integrálása). Legyen X egy speciális szemimartingál, amelynek kanonikus felbontása legyenX =X(0)+
M +A. Ha a H folyamat X-integrálható, akkor a H X szemimartingál pon-tosan akkor speciális szemimartingál, ha a H lokális martingál értelemben M -integrálható, és a H Lebesgue–Stieltjes értelemben A-integrálható. Ebben az eset-ben a H X kanonikus felbontása H X =H M +H A.
23A tétel különféle alakjai megtalálhatók: [34] valamint [1]-ben, ld. még: [77]:
24Ld.: [77]: Theorem 26 bizonyításának 2. pontja
A pénzpiac modellje több periódus esetén
Az el½oz½o fejezet kétperiódusos modelljével szemben ebben a fejezetben feltételez-zük, hogy a befektet½ok meghatározott id½oközönként –folytonos kereskedés esetén akár minden id½opillanatban –átrendezhetik a portfóliójukat, más szóval dinamiku-san kereskedhetnek az értékpapírpiacon. Az ily módon létrejöv½o ún. kereskedési stratégiáknak egy fontos osztályát alkotják azön…nanszírozókereskedési stratégiák.
Ön…nanszírozó stratégiáról akkor beszélünk, ha feltételezzük, hogy a kereskedés kezd½o id½opontjában, vagyis a 0-dik id½opontban megvásárolt portfólióból sem nem vonunk ki, sem nem adunk hozzá pótlólagos t½okét. Az ön…nanszírozó kereskedési stratégiák fogalmát felhasználva azt mondhatjuk, hogy akkor létezik arbitrázs, ha nempozitív induló t½okét felhasználva, ön…nanszírozó kereskedési stratégia révén valamelyT id½opontban olyan portfolióhoz jutunk, amit eladva nemnegatív, és egy pozitív mérték½u halmazon pozitív ki…zetéshez juthatunk.
Természetesen a jöv½obeli ki…zetések jelenbeli árának meghatározásához disz-kontálást kell végeznünk. A dolgozat hátralev½o részében szeretnénk feltételezni, hogy a diszkontálást már elvégeztük, vagyis hogy a pénzpiacot leíró sztochasztikus folyamat már maga a diszkontált árfolyamat, ezért meg kell mutatnunk, hogy egy ön…nanszírozó kereskedési stratégia a diszkontálás elvégzése után is ön…nanszírozó marad. A legtöbb alkalmazásban a diszkontálást valamilyen kockázatmentes ka-matláb, pl. a bankszámlapénz kamata szerint végzik el. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a bankszámlapénzt tekintjük ármércének. Az alábbiakban el½oször diszkrét id½oparaméter esetére, majd –[53] alapján –az Itô-formula felhasználásá-val általános szemimartingálokra is megmutatjuk, hogy a diszkontálás tetsz½oleges
pozitív szemimartingál esetére elvégezhet½o, vagyis érvényes az ún. ármérce invari-ancia.
3.1. Pénzpiac végesen generált valószín½uségi mez½o esetén
Eddigi tárgyalásunkban az arbitrázsmentesség fogalmát csak két periódus esetére de…niáltuk. Ebben a fejezetben a fogalmat kiterjesztjük a több periódusos pénzpi-acra, ezért de…niálnunk kell a replikálható portfóliókK kúpját több periódus ese-tére is. Ehhez szükségünk van az ön…nanszírozó kereskedési stratégia fogalmára.
3.1.1. Ön…nanszírozó kereskedési stratégiák
Tegyük fel, hogy a befektet½ok a t = 0;1; :::; T diszkrét id½opillanatokban N + 1 darab értékpapírral kereskedhetnek. Tekintsük az ( ;F;P) valószín½uségi mez½ot, ahol
=f!1; !2; :::; !Sg;
és minden nemüres esemény P szerinti valószín½usége pozitív. Rögzítsünk egy (Ft)t2f0;1;:::;Tg ún. …ltrációt. A …ltrációt képez½o Ft F -algebrák azokat az eseményeket tartalmazzák, melyek bekövetkezése avagy be nem következése a t id½opontban rendelkezésre álló információk alapján eldönthet½o. A …ltrációra tel-jesül hogy mindens < t eseténFs Ft, ami azt fejezi ki hogy amit a meg…gyel½ok az s id½opontban tudnak, azt a t id½opontban is tudják, vagyis nem felejtenek.
Legyen X = (X0; :::; XN) és jelölje Xj(t) a j-edik értékpapír t-edik id½opontbeli árát, feltesszük hogyXj(t)a rögzített …ltrációra nézve adaptált, vagyis hogy min-den t id½opontban Xj(t) valószín½uségi változó Ft mérhet½o, valamint minden t-re Xj(t) > 0. Jelölje H(t) = fH0(t); :::; HN(t)g a befektet½o kereskedési stratégiáját, vagyis azt a sztochasztikus folyamatot, melynek j-edik koordinátája azt mutatja meg, hogy a befektet½o hány egység értékpapírral rendelkezik a [t 1; t) id½ointer-vallumban. Mivel a befektet½o a H(t) portfolió összetételér½ol a t 1 id½opontban dönt ezért H(t) nyilván Ft 1-mérhet½o, amit úgy mondunk, hogy a H(t) folyamat el½orejelezhet½o. Feltételezzük, hogy aHnfolyamatok felvehetnek negatív értéket is,
ami az n-edik értékpapír rövidre való eladásaként értelmezhet½o.1 A továbbiakban
folyamatot. Mivel kereskedés csak a t = 1; :::; T diszkrét id½opontokban folyhat, ezért aVH(t)értéke éppen azt mutatja meg, hogy mekkora a befektet½o kereskedés el½ott tartott portfoliójának piaci értéke a t-edik id½opontban. Vegyük észre, hogy a t= 0-ban azért kell eltér½oen de…niálnunk, az értékfolyamatot, mert a t= 0-ban nem beszélhetünk kereskedés el½otti portfoliórol. Ennek megfelel½oenVH(0)a befek-tet½o induló vagyonaként interpretálható. Eddig nem zártuk ki annak lehet½oségét, hogy a befektet½o menet közben a portfoliójából pénzt vonjon ki avagy ahhoz pénzt adjon hozzá, ezértVH(t)értéke elvileg különbözhet a közvetlenül at-edik id½opont-beli kereskedés utániPN
j=0Hj(t+1)Xj(t)értékt½ol2. Ha ennek lehet½oségét kizárjuk, vagyis érvényes a
1Mivel általában a0-dik értékpapír a kockázatmentes befektetés, vagy bankszámlapénz, ezért pl. H0 = 3 azt jelenti, hogy a kiindulási periódusban a befektet½o 3 egységnyi hitelt vesz fel.
Han >0, akkor aHn = 3 az n-edik értékpapír3 egységének rövidre való eladását jelenti. A rövidre való eladás lényegének megértéséhez vegyük a következ½o szituációt. Tegyük fel, hogy egy befektet½o valamely részvény árfolyamának csökkenésére számít. Ebben az esetben valamilyen díjazás ellenében, valamely piaci szerepl½ot½ol – pl. brókert½ol – kölcsönveszi az adott részvény egy bizonyos mennyiségét, amit azonnal elad az értékpapír piacon. Amennyiben a befektet½o sejtése beigazolódik, a visszaszolgáltatandó részvényeket egy kés½obbi id½opontban olcsóbban vis-szavásárolva majd visszaszolgáltatva a befektet½o hasznot húzhat az árfolyam csökkenéséb½ol. A várt árfolyamcsökkenés elmaradása esetén természetesen a befektet½o veszteséget könyvel el.
2Ezért nem de…niálhattuk az értékfolyamatot egységesen mindent-re aPN
j=0Hj(t+ 1)Xj(t) folyamatként.
egyenl½oség, akkor ön…nanszírozó portfólióról beszélünk. A továbbiakban nyeremény-folyamatnak nevezzük a
GH(t) = Xt
s=1
XN j=0
Hj(s)(Xj(s) Xj(s 1)) t= 1; :::; T (3.2)
folyamatot, ami aHkereskedési stratégiát követ½o befektet½o0éstid½opontok közötti kumulált nyereségét mutatja. Egyszer½u algebrai átalakításokkal belátható, hogy egy portfolió pontosan akkor ön…nanszírozó ha
VH(t) = VH(0) +GH(t) t = 1; :::; T: (3.3) Ennek bizonyításához csak fel kell bontanunk (3.2)-beli kifejezésben a zárójeleket, és alkalmaznunk (3.1) feltételt.
3.1.2. Ármérce-invariancia
Feltesszük, hogy a0-adik értékpapír a kockázatmentes bankszámlapénz, és a továb-biakban ezt az értékpapírt tekintsük ármércének. Vezessük tehát be az Xj = Xj=X0 jelölést. Ekkor diszkontált értékfolyamatnak nevezzük a
VH (t) = 8>
><
>>
: PN j=0
Hj(t+ 1)Xj(t) t= 0 PN
j=0
Hj(t)Xj(t) t = 1; :::; T
folyamatot, valamint diszkontált nyereményfolyamatnak nevezzük a GH (t) =
Xt s=1
XN j=0
Hj(s)(Xj(s) Xj(s 1))
folyamatot. Ekkor egyszer½u algebrai átalakítással belátható, hogy
VH (t) =VH(t)=X0(t), t= 0;1;2; :::; T: (3.4)
Vegyük észre, hogy itt X0(s) a konstans 1 folyamat, ezért a fenti összegzésnél a j = 0-hoz tartozó tag elhagyható, vagyis
GH (t) = Xt
s=1
XN j=1
Hj(s)(Xj(s) Xj(s 1)); (3.5)
más szóval, a diszkontált nyereményfolyamat kiszámításához a bankszámlapénz mennyiségének ismeretére nincs szükség. S½ot, tetsz½oleges W indulóvagyon és tet-sz½oleges el½orejelezhet½o H0 = fH1(t); :::; HN(t)g sztochasztikus folyamat az (3.1) egyenl½oség révén már egyértelm½uen meghatároz egy olyan H =fH0(t); :::; HN(t)g ön…nanszírozó kereskedési stratégiát melyre VH(0) = W. A H0 stratégiának ez a reprezentációja nagyban leegyszer½usíti a modell kezelhet½oségét, hiszen a H0 stratégiával kapcsolatban az ön…nanszírozóság feltételét nem kell alkalmaznunk. A továbbiakban szükségünk lesz arra a tényre, hogy egy ön…nanszírozó kereskedési stratégia, a diszkontált folyamatra vonatkozóan is ön…nanszírozó marad. Mivel ön…nanszírozó portfóliók esetén (3.4) alapján nyilván érvényes a
XN j=0
Hj(t)Xj(t) = 0 (3.6)
feltétel, ezért a korábbihoz hasonló egyszer½u algebrai átalakításokkal belátható, hogy a H stratégia pontosan akkor ön…nanszírozó, ha
VH (t) =VH (0) +GH (t) t= 1; :::; T; (3.7) vagyis ha fH0(t); :::; HN(t)g az eredeti X folyamatra vonatkozóan ön…nanszírozó volt, akkor fH1(t); :::; HN(t)g az X diszkontált folyamatra vonatkozóan is ön…-nanszírozó marad, vagyis teljesül az ún. ármérce-invariancia.
Az ön…nanszírozóság ezen feltételének megértéséhez végezzük el a következ½o gondolatkísérletet. Tegyük fel, hogy a fenti sztochasztikus folyamataink folytonos paraméter½u folyamatok, amelyek diszkrét id½opillanatokban ugranak, és két ugrás között értékük konstans. Tegyük fel, hogy speciálisan a kereskedés at = 0;1; :::; T diszkrét id½opillanatokban folyik, vagyis a Hj folyamatok ezekben az id½opontok-ban ugranak, de az Xj folyamatok ugrásai mindig a (t; t+ 1) nyílt intervallumba esnek. Ekkor a (3.5) formula alapján a GH (t) folyamat éppen a VH folya-mat t id½opont el½otti (s; s+ 1) nyílt intervallumokba es½o ugrásainak összegét
mu-tatja, ugyanakkor ön…nanszírozó portfoliók esetén a VH folyamat t = 0;1; :::; T id½opontokba es½o ugrásai (3.6) feltétel miatt nullák. Mondandónkat tehát úgy összegezhetjük, hogy bár a Hj folyamatok nem feltétlenül folytonosak, ön…nan-szírozó portfóliók esetén a VH értékfolyamat ugrásai teljes mértékben X ugrá-saiból származnak3. Kés½obb látni fogjuk, hogy bár az ön…nanszírozóság (3.1)-beli de…níciója folytonos kereskedés esetén nehezen értelmezhet½o, az ön…nanszírózó portfoliók értékfolyamatának ez a tulajdonsága folytonos kereskedés esetén is meg-marad (ld.: (3.16) sor), ami fontos szerepet fog játszani a szemimartingál model-lekre vonatkozó ármérce-invariancia bizonyításában.
3.1.3. Az arbitrázs fogalma
20. De…níció. Egy ön…nanszírozóH kereskedési stratégiát arbitrázsnak nevezünk, ha VH(0) = 0, VH(T) 0 és E(VH(T))>0.
A VH (t) = VH(t)=X0(t) azonosság nyilvánvaló következménye a következ½o állítás.
21. Tétel. Egy ön…nanszírozó H kereskedési stratégiára az alábbi állítások ekvi-valensek:
1. H arbitrázs,
2. VH (0) = 0, VH (T) 0 és E(VH (T))>0, 3. GH (T) 0 és E(GH (T))>0.
Bizonyítás Az 1. és 2. ekvivalenciája a (3.4) azonosság következménye, 2. és 3.
ekvivalenciája pedig az ármérce invariancia, valamint az ön…nanszírozóság
ekvivalenciája pedig az ármérce invariancia, valamint az ön…nanszírozóság