Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz

Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz

8. gyakorlat

Tudnivalók

Def: Az A, B ⊆ V halmazok kereszteznek, ha az A∩B, A\ B, B \A, valamint V \(A∪ B) halmazok egyike sem üres. A H ⊆ 2^V halmazcsalád keresztezésmentes, ha nem tartalmaz keresztező halmazokat, ill. lamináris, haA ⊆B, B ⊆ A vagy A∩B =∅ teljesül a H tetszőleges A, B tagjaira.

Megfigyelés: (1) Ha H lamináris, akkor H keresztezésmentes.

(2) HaHkeresztezésmentes, akkor a szimmetrizáltH⁰ :={A, V\A:A∈ H}is keresztezésmentes.

(3) Ha H keresztezésmentes, akkor H_v :={A∈ H:v 6∈A} tetszőletes v ∈V-re lamináris.

(4) Ha F fa, akkor {U ⊆ V(F) : létezik e ∈ E(F), hogy U az F −e egy komponense} keresz- tezésmentes, azaz fa élvágásaihoz tartozó komponensek keresztezésmentes családot, ezek közül a gyökeret nem tartalmazók pedig lamináris halmazrendszert alkotnak.

Állítás: (1) MindenH ⊆2^V lamináris rendszer reprezentálható a fenti módon egyz gyökerű F fával és egy f : V → V(F) függvénnyel úgy, hogy H minden eleme előáll mint az F egy élvágásához tartzó, z-t nem tartalmazó komponensének f szerinti ősképe.

(2) Minden H ⊆V keresztezésmentes rendszer reprezentálható a fenti módon egy F fával és egy f :V →V(F)függvénnyel azzal a különbséggel, hogyHelemei az-t tartalmazó komponenseknek is megfelelhetnek.

Biz: (1) Feltehető, hogyV ∈ H. LegyenV(F) = H∪{z}. F éleizV ∈E(F)mellett mindazok az AB párok, amelyekre A, B ∈ H, A ( B és nem létezik olyan C ∈ H, amelyre A ( C ( B teljesül. Ekkor F minden csúcsából van út a z gyökérbe, így F összefüggő. Ha van F-ben egy C kör, akkorz 6∈V(C), hiszz elsőfokú. LegyenX, Y, Z aC három egymást követő csúcsa, aholY a lehető legkisebb elemszámú csúcsa C-nek. EkkorY (X, Y (Z ésX 6=Z, ami lehetetlen. Ezért F körmentes, így fa. Az u ∈V elem képe pedigf(u) =T{A ∈ H: u∈ A} a H legszűkebb, u-t tartalmazó eleme. Könnyen látható, hogy ez így jó.

(2) Tetsz v ∈V esetén a(H⁰)_v lamináris rendszert (1) szerinti reprezentáló fa megfelel.

Def: A c : E → R⁺ élkapacitásokkal ellátott G = (V, E) gráfnak F a Gomory-Hu fája, ha (1) V(F) = V és (2) minden u, v ∈ V esetén van olyan e ∈ E(F) éle F-nek, amelyre F −e komponensei egy minimális kapacitású uv-vágást határoznak meg.

(Érdemes F minden élére ráírni, mekkora az adott élhez tartozó G-beli vágás kapacitása, mert ekkor tetsz u, v-re λ_c(u, v) meghatározható az F-beliuv-út éleire írt számok minimumaként.)

Tétel: Minden G = (V, E) irányítatlan gráfnak tetszőleges c : E → R+ élkapacitásokhoz létezik Gomory-Hu fája.

Lemma: Legyen G= (V, E) irányítatlan gráf és c: E → R+ kapacitásfv. Ekkor tetszőleges keresztező X, Y ⊂V halmazokra

(1) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y)) = ˜c(E(X∩Y)) + ˜c(E(X∪Y)) + 2˜c(E(X\Y, Y \X))

(2) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X∩Y)) + ˜c(E(X∪Y))(szubmoduláris egyenlőtlenség) ill.

(3) ˜c(E(X)) + ˜c(E(Y))≥˜c(E(X\Y)) + ˜c(E(Y \X))teljesül.

Biz: (1) G minden élének hozzájárulása (1) mindkét oldalához ugyanannyi. (2) Az (1) jobb- oldalán szereplő harmadik tag nemnegatív, ezért ezt elhagyva egyenlőtlenséget kapunk. (3) Al- kalmazzuk (2)-t a keresztező X és V \Y halmazokra és használjuk a c˜függvény szimmetriáját:

˜

c(E(Z)) = ˜c(E(V \Z)).

Köv.: Ha X ésY a G keresztező minimális vágásai, akkor (1) X∩Y,X∪Y, X\Y ésY \X is a Gminimális vágásai,

(2) X∩Y és V \(X∪Y) ill.X\Y ésY \X között nem fut él, valamint

(3)λ(G)páros. (Azaz páratlanλ(G)eseténGminimális vágásainak rendszere keresztezésmentes.) A Tétel bizonyítása: Azt igazoljuk, hogy ha V = {u₁, u₂, . . . , u_n}, akkor minden k = 1,2, . . . nesetén létezik aV-nek egy olyank-részesV(k,1), V(k,2), . . . , V(k, k)partíciója, amelyre a u_j ∈ V(k, j) teljesül minden 1≤ j ≤k esetén, és e partíción, mint csúcshalmazon létezik egy F_k fa úgy, hogy minden 1≤ i, j ≤ i esetén F_k valamelyik élének elhagyásával kapott vágása egy minimális kapacitású uiuj vágást határoz meg.

A bizonyításk szerinti teljes indukcióval történik, ak = 1eset triviális. TfhFk−1 már megvan ésu_k∈V(k−1, i). Legyenek azFk−1 faV(k−1, i)csúcsának elhagyásával keletkező komponensek

a B_j ágak és legyen minden B_j-ben u_j azF_k−1-nek aV(k−1, i)-hez csatlakozó csúcsában fekvő legfeljebb k −1 indexű csúcs. Válasszunk egy olyan u_i-t tartalmazó X minimális v_iv_k-vágást, amelyik a lehető legkevesebb B_j ágat keresztezi. Tfh X keresztezi a B_j ágat.

Hau_j ∈X, akkorB_j∩Xszeparáljau_j-t ésu_i-t,B_j∪Xpedigu_i-t ésu_k-t. Ezért a szubmoduláris egyenlőtlenségből λ(u_j, u_i) +λ(u_i, u_k) = ˜c(E(B_j)) + ˜c(E(X))≥c(E(B˜ _j∩X)) + ˜c(E(B_j∪X))≥ λ(u_j, u_i) +λ(u_i, u_k), így végig egyenlőség áll és X∪B_j is minimális u_iu_k-vágás. Ez ellentmondX választásának.

Ha pedigu_j 6∈X, akkor akkorB_j\X szeparáljau_j-t ésu_i-t,X\B_j pedig u_i-t ésu_k-t. Ezért a Lemma (3) szerint λ(u_j, u_i) +λ(u_i, u_k) = ˜c(E(B_j)) + ˜c(E(X))≥c(E(B˜ _j\X)) + ˜c(E(X\B_j))≥ λ(u_j, u_i) +λ(u_i, u_k), így végig egyenlőség áll ésX\B_j is minimálisu_iu_k-vágás. Ez is ellentmond X választásának, tehát X nem keresztez egyetlen B_j-t sem.

Az F_k fát úgy kapjuk, hogy ` 6= i, k esetén V(k, `) = V(k−1, `), V(k, i) = V(k−1, i)∩X, és V(k, k) = V(k −1, i)∩X. F_k−1 V(k −1, i)-re nem illeszkedő élei megmaradnak F_k-ban, a V(k −1, i)-re illeszkedő élek megfellelői pedig az F_k fában a szerint indulnak V(k, i)-ből ill. az V(k, k)-ból, hogy Xtartalmazza-e a megfelelőB_j ágat. VégülF_k-ban aV(k, i)ésV(k, k)csúcsok közé is beveszünk egy új élt.

MivelF_kreprezentál mindenFk−1 által reprezentált vágást, a konstrukció helyességéhez annyit kell igazolni, hogyF_k minden` < kesetén reprezentál egy minimálisv<sub>k</sub>v<sub>`</sub>-vágást. MivelFk−1 már reprezentál egy minimális uiu`-vágást, ami egyúttal uku`-vágás is (hisz uk ∈ V(k−1, i)), ezért λ(u_k, u_{`</sub>)≤ λ(u<sub>i</sub>, u<sub>`}). Ha egyenlőség áll, akkor az Fk−1 (és F_k) által reprezentált minimális u_iu_{`</sub>- vágás egyúttal minimálisu<sub>k</sub>u<sub>`}-vágás is. Ha pedigλ(u_k, u_{`</sub>)< λ(u<sub>i</sub>, u<sub>`}), akkoru_i minden minimális uku`-vágásban az ui-vel azonos oldalra kerül, és minden minimális ukui-vágás egyúttal minimális u<sub>k</sub>u<sub>`</sub>-vágás is. Tehát X azF_k által reprezentált minimális u_ku_`-vágás, győztünk.

Köv.: Tetsz. n csúcsú, nemnegatív élkapacitásokkal ellátottG gráf esetén (1) G Gomory-Hu fája megkonstruálható n−1 legfeljebb n csúcsú hálózaton futtatott folyamalgoritmussal, (2) a λ(u, v) értékek G csúcsaira legfeljebb n −1-félék lehetnek ill. (3) megadható G-nek legfeljebb n−1 vágása úgy, hogy G bármely két u, v csúcsára legyen ezek ezek között u-t és v-t szeparáló minimális vágás.

Gyakorlatok

1. Döntsük el, hogy az alábbi, V = {a, b, c, d} alaphalmazon értelmezett, halmazrendszerek közül melyek keresztezésmentesek és melyek laminárisak!

(a) H₁ =

{a},{b},{a, b},{c, d},{a, b, c, d}

(b) H₂ =

∅,{d},{a, b},{a, c},{a, b, c},{a, b, c, d}

(c) H₃ =

∅,{c},{a, b},{a, b, c},{a, c, d},{a, b, c, d}

2. (a) Az 1. feladatbeli keresztezésmentes halmazrendszereknek adjuk meg a szimmetrizáltját!

(b) Az 1. feladatbeliHkeresztezésmentes halmazrendszerekhez készítsük el aH_dlamináris halmazrendszereket.

3. Az 1. feladatbeliH keresztezésmentes halmazrendszereket reprezentáljuk egy olyanF fával és f : V → V(F) függvénnyel úgy, hogy H tagjai megfeleljenek az F egy alkalmas élének elhagyásával keletkező komponensnek.

4. Egy n elemű alaphalmazon legfeljebb hány tagja lehet egy lamináris halmazrendszernek?

5. Döntsük el, hogy az alábbi halmazfüggvények közül melyek szubmodulárisak! (EgyV véges alaphalmazon értelmezett f : 2^V → R halmazfüggvényt szubmodulárisnak nevezzük, ha tetszőleges X, Y ⊆V esetén f(X) +f(Y)≥f(X∩Y) +f(X∪Y).)

(a) V egy véges alaphalmaz, f₁ : 2^V →Z⁺0 X 7→ |X|.

(b) G= (V, E) egy véges gráf,f₂ : 2^V →Z⁺0 X 7→e(X), ahol e(X)azX-beli végponttal rendelkező élek száma.

(c) G = (V, E) egy véges gráf, f₃ : 2^V → Z⁺0 X 7→ i(X), ahol i(X) az X által feszített élek száma.

(d) G= (V, E) egy véges gráf, f₄ : 2^V →Z⁺0 X 7→e(X)−i(X).

(e) G= (A, B;E)egy véges páros gráf,f₅ : 2^A →Z⁺0 X 7→ |N(X)|, aholN(X)azX-beli csúcsok szomszédainak a halmaza.

(f) G = (V, E) egy véges gráf és f₆ tetszőleges X ⊆ E élhalmazhoz azon X-beli élek maximális számát rendeli, melyek a G gráfban erdőt alkotnak.

6. Hogyan lehet a szubmoduláris egyenelőtlenséget nemnegatív élkapacitásokkal ellátott irá- nyított gráfokra kiterjeszteni?

7. (a) Legyen (G, s, t, c) egy hálózat. Igazoljuk, hogy a minimálisst-vágások H :=

X ⊆V :s ∈X, t /∈X, X egy minimális st-vágást határoz meg

rendszere zárt a metszetre és unióra, azaz tetszőleges X, Y ∈ H halmazok esetén X∩Y, X∪Y ∈ H.

(b) A Ford–Fulkerson-algoritmus melyik elemét találja meg a H halmaznak?

8. Döntsük el, hogy az alábbi ábrán bal oldalon látható G gráfnak a tőle jobbra álló F₁, F₂, F₃ fák közül melyek a Gomory–Hu-fái és melyek nem!

a

b c

d 1

1 1

1 a

b c

d 2

2

2

a

b c

2 d 2 2

a

b c

d 2

2 2

9. Határozzuk meg az alábbi gráfok egy-egy Gomory–Hu-fáját!

a b

c d

e f

3 1

1 2

6 1

7 4

4

a b

c d

e 3

5 1

7 6 2 4

10. A G gráfról azt tudjuk, hogy a Nagamochi–Ibaraki- és a Karger-algoritmus által megtalált minimális vágások különbözők (de a kapacitásuk természetesen egyenlő). Az alábbi ábra G egy Gomory–Hu-fáját mutatja. Határozzuk meg a Gomory–Hu-fa f g éle által reprezentált G-beli vágás x értékét.

a b c d

e

f g

h

i j k l

22 17

17 42

11 x 6

17 7

4 7

11. Az alábbi ábra a G gráf egy Gomory–Hu-fáját mutatja. Határozzuk meg az f g él behú- zásával létrejövő G⁰ = G+f g gráf egy Gomory–Hu-fáját és a λ_G⁰(a, k), illetve λ_G⁰(b, i) értékeket.

a b c d

e

f g

h

i j k l

22 17

17 42

11 7 6

17 7

4 7

12. Bizonyítsuk be, hogy minden véges, irányítatlan Ggráfnak vannak olyan u és v különböző csúcsai, hogy a G⁰ = G+uv gráfra λ_G⁰(x, y) = λ_G(x, y) teljesül minden olyan esetben, amikor {x, y} 6={u, v}.

13. Hogyan lehet Gomory–Hu-fák segítségével eldönteni, hogy létezik-e olyan él, amelyet a gráfhoz hozzávéve a maxu,v∈V λ(u, v) érték nem nő?

14. Egy Ggráf Gomory–Hu-fája segítségével hogyan lehet meghatározni aG+egráf Gomory–

Hu-fáját? (Ahol e egy újonnan hozzávett él.)

15. Tegyük fel, hogy U ⊆ V(G) és |U| páros. Adjunk hatékony algoritmust olyan vágás meg- találására, aminek mindkét partján páratlan sok U-beli pont van és ezen vágások körében minimális számú élt tartalmaz.(*)