Gráfok és algoritmusok 2022. tavasz
4. gyakorlat
2022. március 11.Tudnivalók
Adott a G= (V, E)gráf és minden v csúcsához egy v lineáris rendezés a v-re illeszkedő élek E(v) halmazán. Az éltörlési lemma szerint addig törlünk éleketG-ből, amíg lehet. Az így kapott G0 részgráf stabil párosításai megegyeznek G-éivel, és teljesül az alábbi first-last tulajdonság.
(fl) Az e=uv él pontosan akkor legjobbu szerint, ha legrosszabb v szerint.
Megfigyelés: (1) Ha (fl) mellett e = uv a v-ből induló egyetlen él, akkor mivel e egyúttal a legjobb és legrosszabb éle v-nek, ezért e az u-ból induló egyetlen él is. Ezért (fl) esetén a G minden legalább 3 pontú komponensének minden csúcsa legalább másodfokú.
(2) Tfh G-re igaz (fl), és az e2, f1, e1 út rendre a legrosszabb, második legjobb ill. legrosszabb él mentén halad, M stabil párosítás ése1 ∈M, akkor e2 ∈M is teljesül.
Def: Az (e1, f1, e2, f2, . . . , ek, fk) zárt élsorozat rotáció, ha ezen a sétán fordított sorrendben végighaladva minden i-re fi a második, ei pedig az utolsó éle annak a csúcsnak, amelyikből rálépünk.
Megfigyelés: Ha (fl) mellett van G-nek legalább másodfokú csúcsa, akkor van G-ben rotáció.
Megfigyelés: Ha G-re (fl) teljesül, és (e1, f1, e2, f2, . . . , ek, fk) rotáció, akkor
(1) ha ei =fj, akkor fi =ej+1, és e két él közös csúcsából nem indul más éle G-nek, ezért vagy (a) {e1, e2, . . . , ek} = {f1, f2, . . . , fk} és {e1, e2, . . . , ek} a G egy ptn preferenciakör-komponense vagy
(b) {e1, e2, . . . , ek} ∩ {f1, f2, . . . , fk}=∅.
(2) (1a) esetén G-nek nincs stabil párosítása.
(3) (1b) esetén {e1, e2, . . . , ek} ⊆M vagy {e1, e2, . . . , ek} ∩M =∅tetsz. M stabil párosításra, ill.
(4) ha{e1, e2, . . . , ek} ⊆M, akkorM \ {e1, e2, . . . , ek} ∪ {f1, f2, . . . , fk} is stabil párosításG-ben.
Def: Az (e1, f1, e2, f2, . . . , ek, fk) rotáció eliminációja aze1, e2, . . . , ek élek törlése.
Megfigyelés: Tfh (fl) teljesül G-re és G0-t a G egy (b) típusú rotációjának eliminálásával kapjuk.
(1) Ha ei blokkolja G0 egy M párosítását, akkor fi−1 is blokkoljaM-et.
(2) Ezért G0 minden stabil párosításaG-nek is stabil párosítása, továbbá (3) ha G-nek van stabil párosítása, akkor G0-nek is van.
Irving algoritmusa Input: G, {≤v:v ∈V(G)}. Output: G egy stabil párosítása, ha van.
Működés: I. Az éltörlési lemma szerint élt törlünk, ha lehet. II. Ha (fl) teljesül, rotációt keresünk.
(a) Ha (a) típusút találunk, akkor STOP:G-nek nincs stabil párosítása.
(b) Ha (b) típusút találunk, elimináljuk, és GOTO I.
(c) Ha nincs több rotáció, akkor STOP: a vizsgált élhalmaz G egy stabil párosítása.
Def: Az x:E(G)→R+ vektor törtpárosítás, ha x(E(v))˜ ≤1 teljesül mindenv ∈V(G)-re.
Az x törtpárosítás félpárosítás, ha x:E(G)→
0,12,1 .
Azxtörtpárosításstabil, ha mindene∈E(G)-re van olyanv ∈V(G), amireP
{x(f) :f v e}= 1.
Megfigyelés: Ha xstabil félpárosítás, akkor supp(x) komponensei 1 súlyú diszjunkt élek ill.
1
2 súlyú élekből álló preferenciakörök.
Tan tétele: (1) Irving algoritmusában az (a) típusú rotációk éleinek 12, a végén maradó diszjunkt éleknek 1 súlyt adva stabil félpárosítást kapunk.
(2) Bármely két stabil félpárosításnak ugyanazok a páratlan prefkörei: ha egy C páratlan kör minden éle 12 súlyt kap azxstabil félpárosításban, akkor Célei minden más stabil félpárosításban is 12 súllyal szerepelnek.
Köv.: Hax aG stabil félpárosítása, akkor azonnal látszik, van-eG-nek stabil párosítása. Ha ugyanis van olyan C páratlan kör, amelynek minden éle 12 súlyt kap az x stabil félpárosításban, akkor G-nek nincs stabil párosítása. Ha pedig nincs ilyenC kör, akkorGegy stabil párosításának karakterisztikus vektorát kapjuk, ha azxszerinti 12 súlyú élek alkotta páros körök éleinek felváltva 0 és1 súlyt adunk.
Gyakorlatok
1. Határozzunk meg az alábbi gráfokban egy-egy stabil párosítást (illetve stabil félpárosítást) az Irving-algoritmus segítségével.
v1
v2
v3
v4
v5 v6 1
2
2
3 3
2 3
1 1
1
2 3
1 3
3
2
2 1
v1
v2
v3 v4
v5 2
4
1
3 3
2 4
2 3
2 1
3
2 3
1 4
4
1
1 4
v1
v2
v3
v4
v5 v6 4
2 5
2
2
5 1
4 3
4 1
5 4
4 3
5
5 1
4 1
1 3
3
2
3 2 2
3 1 5
2. Mutassunk olyan (e1, f1, e2, f2, . . . , ek, fk) eliminálható rotációt, ahol e1, e2, . . . , ek nem pá- rosítás.
3. Adott G = (V, E) (nem feltétlenül páros) gráf esetén legyen V0 = {v, v0 : v ∈ V} és E0 = {uv0, u0v : uv ∈ E}. Igaz-e, hogy ha a G0 = (V0, E0) gráf csúcsaihoz tartozó preferenciák a G megfelelő csúcsainak preferenciáiból származnak, akkor G0 stabil párosításai G stabil félpárosításainak felelnek meg?
4. (a) Tegyük fel, hogy aGgráf csúcsaihoz úgy vannak megadva av lineáris élpreferenciák, hogy hae1v1e2v2. . . ekvk aG egy páratlan hosszúságúC preferenciaköre, akkorG-nek van olyan f = vivj éle (1≤ i < j ≤ k), amelyet mindkét végpontja preferál a C-beli élekkel szemben, azazf ≺vi ei, ei+1 ésf ≺vj ej, ej+1. Igazoljuk, hogy ebben az esetben G-nek van stabil párosítása.
(b) Tegyük fel, hogy a fenti feltétel a páros hosszúságú preferenciakörökre is teljesül a G gráfban. Bizonyítsuk be, hogy G-nek pontosan egy stabil párosítása van.
5. Bizonyítsuk meg, hogy tetszőleges stabil törtpárosításban a (ténylegesen) törtsúlyú élek diszjunkt preferenciaköröket alkotnak.
